2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解

2017年四川赛区全国初中数学联赛（初二组）决赛试卷及逐题详解
（考试时间：2017年3月26日上午 8:45—11:15）
姓名成绩
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。

因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，这顿饭共花费钱为（ ）
A 、90元
B 、120元
C 、150元
D 、180元
2、若关于x 的不等式组⎩⎨
⎧<-<-1
290
x m x ，的整数解共有5个，则实数m 的取值范围是（ ）
A 、98<≤x
B 、98≤<x
C 、109<≤x
D 、109≤<x
3、如图，在矩形ABCD 中，2=AB ,3=AD ，E 是AB F 是BC 上的动点，将EFB ∆沿着EF 所在直线折叠得到B EF '∆,
连接B D ',则B D '的最小值是（ ）
A 、110-
B 、3
C 、113-
D 、2
4、已知三角形的边长分别为13,,b a ，且b a ,为整数，13<<b a ，则()b a ,的组数共有 是（ ）
A 、26 组
B 、30 组
C 、36 组
D 、49组
5、已知ABC ∆中，102=AB ,6=BC ,2=AC ,点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D , 则=BD （ ）
A 、1
B 、
313C 、
13
13
6D 、13 6、已知非零实数满足2017120171201712
22
++=++=++x z z y y x ，则zx
yz xy z y x ++++222
的值为（ ）
A 、31或
B 、31-或
C 、31或-
D 、31或
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、已知3
21,321-=
+=
b a ，则2
2252b ab a +-的值为 . 8、如图，梯形ABCD 中，BC AD //,BD AC ,相交于点M , 且BD BC AC AB AC AB =⊥=,,,则AMB ∠的度数为
9、从5,4,3,2,1,o 这六个数中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为
10、如图，在ABC Rt ∆中，0
90=∠C ,10==BC AC ,点E D ,
在线段BC 上，且5,2==BE CD ,点Q P ,分别在线段AB AC ,上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为
三、解答题（本大题共三个小题，第11题20分，第12，13题各25分，满分70分）
11、已知关于x 的方程a x =--12有仅有两个解，求实数a 的取值范围。

四、简答题（本题满分25分）
12、如图，已知等腰直角三角形ABC ∆中，0
90=∠B ,D 为BC 上的中点，E 为线段AC 上一点，且ADB EDC ∠=∠,求
BD
ED
BE +的值。

五、简答题（本题满分25分）
13、从连续的自然数1，2，3， ，2017中可以取出n个不同的数，使得所取出的这n个不同数中任意三个数之和能被21整除，求正整数n的最大值。

2017年全国初中数学联赛决赛试卷 （四川赛区初二组）逐题详解答案
（考试时间：2017年3月26日上午 8:45—11:15）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
5、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。

因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，这顿饭共花费钱为（ ）
A 、90元
B 、120元
C 、150元
D 、180元
解析：五位朋友多付出的钱就是小王AA 制的饭钱，故这顿饭共花费556150⨯⨯=元,故选C ;
6、若关于x 的不等式组⎩⎨
⎧<-<-1
290
x m x ，的整数解共有5个，则实数m 的取值范围是（ ）
A 、98<≤x
B 、98≤<x
C 、109<≤x
D 、109≤<x
解析：原不等式的解为92
x m
x <⎧⎪⎨>⎪⎩；如图根据m 位置，故910x <≤，故选D
7、如图，在矩形ABCD 中，2=AB ,3=AD ，E 是AB
F 是BC 上的动点，将EFB ∆沿着EF 所在直线折叠得到B EF '∆,
连接B D ',则B D '的最小值是（ ）
A 、110-
B 、3
C 、113-
D 、2
解析：在折叠过程始终有'
180B B ∠+∠=,故'
,,,E B F B 四点公园，故'
B 一定以AB 为直径的圆上,
如图所示，当'
B 在ED 与E 的交点时，最小值'''DB ED EB EB =-
8、已知三角形的边长分别为13,,b a ，且b a ,为整数，13<<b a ，则()b a ,的组数共有 是（ ）
2,3AB AD == ,'1
1,2
AE EB AB ∴==
= '=10-1DB ∴最小值；A 故选
A 、26 组
B 、30 组
C 、36 组
D 、49组
解析：因为13<<b a 且正整数，又三角形的性质可得，13,13b a b a +>-<， 分类讨论：
（1）当12b =时，a 符合条件有10组； （2）当11b =时，a 符合条件有8组； （3）当10b =时，a 符合条件有6组； （4）当9b =时，a 符合条件有4组；
（5）当8b =时，a 符合条件有2组；共计符合条件有30组，故选B ;
5、已知ABC ∆中，102=AB ,6=BC ,2=AC ,点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ,则=BD （ ）
A 、1
B 、
313C 、
13
13
6D 、13 解析：
AB =,6BC =,2AC =，222
BC AC BC +=,AC BC ∴⊥;如图：
7、已知非零实数满足2017120171201712
22
++
=++=++x z z y y x ，则zx
yz xy z y x ++++222 的值为（ ）
A 、31或
B 、31-或
C 、31或-
D 、31或
解析：0xyz ≠ ，2
22111
201720172017
x y z y z x +
=+=++++；
故2017只是个障眼法，据非负数的含义可知：
（1）当0x y z ==≠时，原等式恒成立，故2222
23=13x y z x xy yz zx x
++=++；
（2）当,,x y z 中任意出现两数相等，其余必成相反数，原等式恒成立，故2222
2
3=-3-x y z x xy yz zx x ++=++；
（3）当0x y z ≠≠≠时，原等式不成立。

综上所述：选B ;
三、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、已知3
21,321-=
+=
b a ，则2
2252b ab a +-的值为 .
解析：22a b == 4,1;a b ab ∴+== 原式=(
)(
)()2
2
22
2522529
23a b
ab a b ab ab a b ab ⎡⎤+-=+--=+-=⎣⎦
8、如图，梯形ABCD 中，BC AD //,BD AC ,相交于点M , 且BD BC AC AB AC AB =⊥=,,,则AMB ∠的度数为
解析：如图过,A D 两点，分别作AE BC ⊥于,E DF BC ⊥于F BD BC AC AB AC AB =⊥=,,，设,AB AC a ==则,Rt ABC BC BD = 中， 在2
2
2,;2
Rt ABE AE a AE a =∴=
中，在01,30;2Rt BDF DF BD DBC =∴∠= 中，
000453075;AMB ACB DBC ∴∠=∠+∠=+=
9、从5,4,3,2,1,o 这六个数中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为
解析：分类讨论；
（1）若有0在的两位数且偶数，即为10，20，30，40，50共有5个；
（2）若无0在的两位偶数即为12，14，24，32，34，42，54，52共有8个；只为两位数有20个； （3）0-5这六个数组成所有的两位数共有5+54=25⨯个； （4）()13
=
25
P 两位偶数； 10、如图，在ABC Rt ∆中，0
90=∠C ,10==BC AC ,点E D ,在线段BC 上，且5,2==BE CD ,
点Q P ,分别在线段AB AC ,上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为
解析：如图，分别找点D 关于AC 的对称点'
D ，找点
E 关于AB 的对称点'
E ，连接'
'
D E 分别交
,AC AB 于,P Q 两点，连接',,DP EQ BE ；
'''0,,45;PD PD QE QE ABC ABE ∴==∠=∠=''BD BE ∴⊥,
()''=PQED C DE D E ∴+最小值 313=+ 16=
四、解答题（本大题共三个小题，第
11、已知关于x 的方程a x =--12有仅有两个解，求实数a 的取值范围。

解析： a
x =--12；
21x a
∴--=±；
21x a
-=±；
因212x x ---，
为非负数，0;10;a a ∴≥±≥ （1）当0a =时，210x ∴--=原方程仅有两个解123,1x x ==合题意； （2）当01a <<时，10a ±>，原方程就有四个解，不合题意；
（3）当1a =时，原方程有三个解；
（4）当1a >时，原方程10a -<无解，原方程仅有两解； 综上所述，实数a 的取值范围为01a a =>或
12、如图，已知等腰直角三角形ABC ∆中，0
90=∠B ,D 为BC 上的中点，E 为线段AC 上一点，且ADB EDC ∠=∠,求
BD
ED
BE +的值。

解析：找点D 关于AC 的对称点F ，连接,EF CF ;
,ED EF CD CF ∴==;0,45EDC EFC ACB ECF ∠=∠∠=∠=;BC CF ⊥
D 为BC 上的中点;BD CD ∴=,
.BD CF ∴=
ADB EDC ∠=∠,ADB EFC ∴∠=∠;
在ABC 和BCF 中；AB BC ABC BCF BD CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
;()..ABD BCF S AS ∴≅
∴ADB BFC ∠=∠,ADB EFC ∠=∠又
∴点,,B E F 三点共线；
设2,AB BC a BD CD CF a =====则； 在Rt BCF
中，BF ；
∴
=BE ED BF BD CF a
+==
13、从连续的自然数1，2，3， ，2017中可以取出n 个不同的数，使得所取出的这n 个不同数中 任意三个数之和能被21整除，求正整数n 的最大值。

解析：这n 个不同数中任意三个数之和能被21整除，则三个数的平均数为7， 因此这些数具有这些特点：
7；7+121⨯，7+221⨯，7+321⨯，7+421⨯ ()7+121n -⨯；
而这些数同时具备任意两个数之差也是21的倍数。

设12,1,2,32017;n a a a n <<<= 其中17a ≥ 故120177
962121
n n a a d --=
≤<； ()=1+95=96n d ∴最大值。