高等数学 一 微积分 考试必过归纳总结 要点重点
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结微积分是高等数学的重要组成部分，对于大一的同学来说，是一门具有挑战性但又十分重要的课程。
以下是对大一微积分主要知识点的总结。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
我们需要理解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。
比如，单调递增函数指的是当自变量增大时，函数值也随之增大；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，奇函数满足 f(x) ＝ f(x) 。
极限是微积分中一个极其重要的概念。
极限的计算方法有很多，例如直接代入法、化简法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
等价无穷小在求极限时经常用到，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小。
洛必达法则则适用于“0/0”或“∞／∞”型的极限。
二、导数与微分导数反映了函数在某一点处的变化率。
对于常见的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，要熟练掌握它们的求导公式。
导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
复合函数的求导法则是一个重点也是难点，需要通过链式法则来求解。
微分是函数增量的线性主部。
函数在某一点的微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理在证明一些等式和不等式时非常有用。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
导数为 0 的点可能是极值点，但还需要通过二阶导数来判断是极大值还是极小值。
在实际问题中，经常需要通过求导数来找到最优解，比如求成本最小、利润最大等问题。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算。
要熟练掌握基本积分公式，如幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
积分的方法有换元积分法和分部积分法。
换元积分法包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
分部积分法通常适用于被积函数是两个函数乘积的形式，比如 xe^x 。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结
函数与极限：
函数的定义与性质（奇偶性、周期性、单调性等）函数的四则运算与复合运算极限的概念与性质极限的运算法则无穷小与无穷大的概念极限存在准则（如夹逼准则）导数：
导数的定义（增量比、差商、导数）导数的几何意义（切线斜率）导数的计算法则（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等）高阶导数隐函数与参数方程的导数函数的单调性与导数的关系微分：
微分的定义与性质微分的计算法则微分在近似计算中的应用中值定理与导数的应用：
*罗尔定理（Rolle's Theorem）
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）泰勒公式（Taylor's Formula）函数图形的描绘（利用导数判断凹凸性、拐点等）最值问题（一阶、二阶导数判断最值）不定积分：
不定积分的定义与性质不定积分的计算法则（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的不定积分等）积分表的使用换元积分法分部积分法定积分：
定积分的定义与性质微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）定积分的计算（直接计算、换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、弧长、旋转体体积等）无穷级数：
数列的概念与性质无穷级数的概念与性质正项级数的审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等）交错级数的审敛法（莱布尼茨审敛法）幂级数的概念与性质函数展开成幂级数（泰勒级数、麦克劳林级数）
以上是对大一微积分主要知识点的总结，每个知识点都有许多细节和深入的内容需要学习和掌握。
在学习过程中，要注重理解概念和原理，多做练习，加强实践应用。
大一微积分高数期末知识点
大一微积分高数期末知识点微积分是大一高数课程中的一门重要学科，涵盖了许多基础的数学知识和计算方法。
在期末考试前，了解和掌握微积分的关键知识点对于取得好成绩至关重要。
本文将为您总结大一微积分高数期末考试中的主要知识点。
一、极限与连续1. 极限的定义和性质极限是微积分的核心概念之一，了解极限的定义和性质是理解微积分的基础。
掌握函数极限和数列极限的定义，熟练运用极限的性质进行计算和证明是必不可少的。
2. 连续的概念与判定了解函数在某一点的连续性的定义和判定方法。
可利用极限的性质判定函数在某一点的连续性。
二、导数与微分1. 导数的定义和计算法则理解导数的定义和计算法则是解决微积分问题的关键。
熟悉基本的导数计算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等，并能够熟练运用。
2. 高阶导数了解高阶导数的概念和计算方法。
能够使用高阶导数解决相关的数学问题。
3. 微分的概念与应用理解微分的概念，能够根据问题应用微分进行计算，如求近似值、求最大值最小值等。
三、积分与不定积分1. 积分的定义和计算法则熟悉积分的定义和计算法则，包括基本积分法则、分部积分法、换元积分法等。
能够运用这些法则解决各种不定积分问题。
2. 定积分了解定积分的概念和几何意义。
能够计算定积分，求解曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念了解微分方程的定义和基本概念，包括阶数、常微分方程和偏微分方程等。
2. 一阶常微分方程掌握一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
3. 高阶常微分方程了解高阶常微分方程的求解方法，特别是二阶常微分方程的特征方程法和常系数法等。
五、级数与幂级数1. 级数的定义和性质掌握级数的概念及其基本性质，理解级数的敛散性和收敛域的判定方法。
2. 幂级数了解幂级数的定义和性质，掌握幂级数的收敛域和求和方法，熟练运用幂级数求解函数展开和逼近问题。
六、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量理解空间直角坐标系的基本概念和性质，熟悉向量的基本运算法则和坐标表示。
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点微积分是高等数学一门重要的学科，对于大部分学习该学科的学生来说，微积分考试是一个必须要过的关卡。
为了帮助大家更好地应对微积分考试，下面将对微积分的重点内容进行归纳总结，希望对大家有所帮助。
1. 导数与微分- 定义：导数是描述函数在某一点的变化率，微分是导数的代数形式。
- 基本公式：常见函数的导函数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
- 高阶导数：描述函数变化率变化的快慢程度。
2. 极限与连续性- 极限的概念：函数逐渐趋近于某一值的过程。
- 常见极限：基本极限，如常数极限、幂函数极限、指数函数极限等。
- 连续性：函数在某一点上没有间断的特性。
- 常见连续函数：多项式函数、三角函数、指数函数等。
3. 微分中值定理与导数应用- 中值定理：介于两个点之间存在某一点，该点的切线斜率等于这两个点的斜率之差。
- 增量与微分：增量是函数值的改变量，微分是函数值的无穷小部分。
- 泰勒展开：将函数表示为幂级数的形式，用来逼近函数在某一点附近的近似值。
4. 积分与定积分- 不定积分：求函数的原函数，即求导的逆运算。
- 定积分：表示曲线下面的面积。
- 牛顿-莱布尼兹公式：定积分与不定积分的关系。
5. 微分方程与应用- 常微分方程：描述变化的过程中，一些量的关系式。
- 一阶微分方程：只涉及到一阶导数的方程。
- 区分可分离方程、一阶线性方程、齐次方程、可化为齐次形式的方程等常见类型。
以上就是微积分考试的必过归纳总结要点重点，希望对大家的学习有所帮助。
无论是在理论还是实际应用中，微积分都是一门重要的学科，需要大家掌握扎实。
希望大家通过复习和练习，能够在微积分考试中取得好成绩。
祝愿大家学业进步！。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
大学微积分l知识点总结(完整版)
大学微积分l 知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+ab2b a 22≥+3abc 3c b a ≥++ ()n n21n 21...a a a n a ...a a ≥+++abc 3c b a 333≥++2b a 2b a ab b1a 1222+≤+≤≤+b a b a b -a +≤±≤()nn 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++•••=的最大值为：则为常数，且扩展：若有柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有：()()()()()()()()()22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），则f （x ）具有对称性。
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性（1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2（2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称引申双向不等式： 两侧均在ab ≥0或ab ≤0时取等号4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
大一(上)-微积分-知识点(重点)
大一（上） 微积分 知识点第一章 函数一、A ⋂B=∅,则A 、B 是分离的。
二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。
A-B={x|x ∈A 且x ∉B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。
四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对∃x ∈A,∃y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。
五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。
第二章 极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。
二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。
三、无穷小量的几个性质：1、limf(x)=0，则2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0=4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0四、无穷小量与无穷大量的关系：①若y 是无穷大量，则y 1是无穷小量；②若y （y ≠0)是无穷小量，则y1是无穷大量。
大一微积分期末考试知识点
大一微积分期末考试知识点微积分是数学的重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
期末考试对于学生来说是一个重要的节点，掌握好考试的重点知识是至关重要的。
在本文中，将对大一微积分期末考试的知识点进行整理和总结。
一、导数与微分导数是微积分的重要概念之一，对于理解函数变化趋势、求解极值等问题具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 导数的定义：导数可以看作是函数在某一点上的变化率，其定义为函数f(x)在点x处的极限，即f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)。
2. 基本导数公式：常见的导数公式有常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 高阶导数：导数也可以继续求导，得到的就是高阶导数。
在考试中可能会涉及到二阶导数、三阶导数等的求导计算。
二、不定积分不定积分是微积分中的另一个重要概念，它与导数有密切的联系。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 不定积分的定义：不定积分是函数的一个原函数。
即对于函数f(x)和它的原函数F(x)，有F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的原函数。
2. 基本积分公式：常见的积分公式有幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 积分的基本性质：积分有线性性质、定积分的可加性等基本性质，需要理解和灵活运用。
三、定积分与积分应用定积分是微积分中的重要内容之一，在解决面积、体积、弧长等问题时具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 定积分的定义：定积分可以理解为函数在一定区间上的累计和，其定义为f(x)在区间[a,b]上的极限，即∫[a,b]f(x)dx=limΔx→0∑i=1n f(xi)Δxi。
2. 定积分的计算方法：除了基本积分公式外，还需要掌握换元积分法、分部积分法等计算定积分的方法。
3. 积分应用：定积分有许多应用，如计算曲线下面的面积、求解旋转体的体积、计算曲线的弧长等。
大一微积分考试重点知识点
大一微积分考试重点知识点微积分是数学中的一门重要学科，对于大一学生来说，微积分是其中的一门必修课程。
在微积分学习的过程中，掌握一些重点知识点非常关键。
本文将重点介绍大一微积分考试中的一些重点知识点，供学生们参考。
一、数列与数列极限数列是一系列按照一定规律排列的数字的集合。
考试中常涉及到数列的概念、性质及其极限的计算。
其中，重要的知识点包括：1. 数列的定义、通项及前n项和的计算；2. 数列的收敛与发散的概念；3. 数列极限的计算方法，包括极限的四则运算法则、夹逼定理等。
二、函数与函数极限函数是一种特殊的数学映射关系，即自变量与因变量之间的关系。
函数极限是微积分中的一个重要概念，与数列极限有着密切的联系。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 函数的定义与性质，包括定义域、值域等；2. 函数极限的概念及计算方法，包括无穷小量、无穷大量等；3. 极限存在的条件，如左极限、右极限等。
三、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数变化率的度量。
微分是导数的应用之一，它描述了函数在某一点的局部线性近似。
在考试中，需要了解以下知识点：1. 导数的定义及计算方法，包括基本导函数、导数的四则运算法则等；2. 导函数的应用，如求函数的极值、函数的单调性等；3. 微分的概念及其计算方法，包括微分近似、高阶微分等。
四、不定积分与定积分积分是微积分的另一个重要概念，它是导数的逆运算。
在考试中，需要了解以下知识点：1. 不定积分的定义及计算方法，包括基本不定积分、不定积分的性质等；2. 定积分的定义及计算方法，包括定积分的性质、积分中值定理等；3. 积分的应用，如求曲线的长度、曲线下的面积等。
五、微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，广泛应用于自然科学和工程技术等领域。
在考试中，需要了解以下知识点：1. 微分方程的基本概念及分类，包括常微分方程、偏微分方程等；2. 微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等；3. 微分方程的应用，如求解物理问题、生物问题等。
大一微积分期末知识点总结
大一微积分期末知识点总结微积分作为数学的重要分支，是应用广泛且基础性强的学科。
在大一学习微积分，我们需要熟练掌握一些基础知识点，以便能够在期末考试中取得好成绩。
本文将对大一微积分期末知识点进行总结，以帮助同学们更好地复习。
1. 极限与连续1.1 极限的定义及运算法则在微积分中，极限是一个基本的概念，可以描述函数在某一点的趋近情况。
极限的定义为:当自变量趋近于某个确定值时，函数的极限是一个确定值。
常见的极限运算法则有加减乘除法则、复合函数极限法则等等。
1.2 连续函数的概念连续函数是极限的重要应用，指的是在一个区间上，函数的值能够无间断地接近于函数的极限值。
连续函数的特点是：函数在定义域上无间断点，满足极限的条件。
2. 导数与微分2.1 导数的定义及运算法则导数是描述函数变化率的概念，用来衡量函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：在自变量趋近于某一点时，函数在该点的极限。
常见的导数运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等等。
2.2 微分的概念及应用微分是导数的基本应用之一，可以对函数进行近似线性化处理。
微分的定义为：函数在某点的导数乘以自变量与该点的差值。
微分在求解一些极值问题中有重要的应用。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念及基本公式不定积分是微积分的重要内容之一，也称为原函数。
不定积分的定义为：求导数为原函数的过程。
常用的不定积分公式有基本初等函数积分公式、换元积分法等。
3.2 定积分的概念及性质定积分是微积分中对曲线下面的面积进行求解的方法。
定积分的计算方法有基本定积分的计算法则、曲线的参数方程法、曲线的极坐标方程法等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念与分类微分方程是微积分的重要应用领域，用来描述未知函数及其导数之间的关系。
常见的微分方程类型有一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程等。
4.2 解微分方程的基本方法解微分方程是微积分的核心内容，可以通过分离变量法、齐次线性微分方程法、变化常数法等方法来求解微分方程。
高数一
高数一（微积分）总复习笔录---高数一（微积分）总复习笔录可能考的知识点:第一章：函数及其图形(一)对于定义域的求法：形如y=1/f(x)，要求f(x)不等于0对于根号f(x)，要求f(x)大于等于0对于Y=logf(x)，要求f(x)大于0对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x)，要求f(x)大于等于负1,小于等于正1.*值域：以定义域带进去求。
(二)判断函数的奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x)，关于原点对称；偶函数：f(-x)=f(x)，关于Y轴对称。
(1)两个偶函数之和或差是偶函数，两个奇函数之和或差是奇函数；(2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数；(3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。
(三)复合函数的分解：(四)反函数的求法：把x 从y=f(x)中反解出来即可。
* (五)经济学中常用的函数：(1)需求函数：D=(a-P)/b；D=(a-P^2)/b；(2)供给函数：S=aP-b；S=(aP-b)/(cP+d)。
(3)总收益函数。
(4)总成本函数：总成本＝固定成本+可变成本。
(5)总利润函数：第二章极限与连续(一)收敛数项级数的极限计算：1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛，其和为a/(1-q)；当大于1时发散；2、荚逼定理：；3、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限。
(二)函数极限：1、定理：当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。
2、极限的四则运算法则：(三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限：1、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。
有界变量与无穷小量的积为无穷小量。
2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b快；(四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限：(五)利用两个重要极限求极限：(六)利用函数的连续性求极限：函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等.(七)利用等价无穷小的代换求极限：(八)连续函数的运算和初等函数的连续性:1、连续函数的和、差、积、商仍是连续函数；2、设函数在区间上是单调的连续函数，则其值域是一个区间，且它的反函数是区间上的单调连续函数；3、闭区间上的连续函数必有界；4、最值定理：闭区间上的连续函数必有最大值和最小值；5、零点定理：设f(x)是[a,b]上的连续函数，且f(a),f(b)异号，则函数f(x)在（a,b）中至少有一个零点；6、介值定理：闭区间上的连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值。
大一高数微积分知识点总结
大一高数微积分知识点总结在大一的高数学习中，微积分是一个非常重要的部分。
它涵盖了许多基本的概念和技巧，为后续的数学学习打下了坚实的基础。
下面是对大一高数微积分知识点的总结：1. 限与连续在微积分中，我们首先学习了函数的极限和连续性。
极限是一个重要的概念，它描述了函数在某点附近的表现。
连续性则描述了函数在定义域内不断接近于自身的性质。
2. 导数与微分导数是微积分中的核心概念之一。
它衡量了函数在某一点附近的变化率。
微分则是导数的一种形式，用来近似描述函数的变化。
导数和微分有着广泛的应用，比如求解最优化问题和描述函数的变化趋势等。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要内容。
它是导数的逆运算，用于求解曲线下的面积、曲线的长度和曲线围成的面积等问题。
不定积分是对原函数的求解过程，它可以将一个导数重新转化为一个原函数。
4. 定积分与积分应用定积分是积分的一种形式，用于计算曲线所围成的面积。
在应用方面，定积分也可以用来求解曲线的弧长、质心、物理学中的质量、动量和能量等问题。
5. 基本的微积分技巧在微积分学习中，我们还学习了一些基本的技巧来处理函数的导数和积分。
比如，我们学习了用链式法则求解复合函数的导数，用分部积分求解积分，以及用换元法变换积分的变量。
6. 微分方程微分方程是微积分的重要应用之一。
它描述了自然界中很多变化的过程，并且可以通过求解微分方程来预测未来的变化。
在大一的微积分学习中，我们初步接触了一阶线性微分方程的解法。
7. 序列与级数序列和级数是微积分中的另一部分内容。
序列可以看作是一组按照一定规律排列的数，而级数则是将序列中的数进行求和得到的结果。
在学习中，我们主要了解了数列的收敛性和级数的收敛性判别法。
以上就是对大一高数微积分知识点的一个总结。
通过学习这些基本概念和技巧，我们可以更好地理解数学中的变化和规律，并且为后续的数学学习打下坚实的基础。
希望这篇总结对你有所帮助！。
大一微积分基础考试必背知识点
大一微积分基础考试必背知识点微积分是数学的一门重要分支，也是大学数学教学中的一门必修课程。
在大一微积分基础考试中，掌握一些必备的知识点能够帮助学生更好地应对考试，提高成绩。
本文将介绍大一微积分基础考试中的一些必背知识点，以供参考。
一、函数与极限1. 函数的定义与分类：函数的定义，常见函数的分类（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。
2. 函数的极限：极限的定义，极限的运算法则，常用极限公式（如sin x/x的极限等），函数的左右极限与无穷远处的极限。
3. 无穷小与无穷大：无穷小的定义与性质，无穷大的定义与性质，无穷小的比较、运算法则。
二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法（基本初等函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘积法则、商法则等）。
2. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的概念与计算，高阶微分的概念与计算。
3. 微分与线性近似：微分的几何意义，微分的应用（线性近似、误差估计等）。
三、微分中值定理1. 罗尔定理：罗尔定理的条件和结论，罗尔定理的几何解释。
2. 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的条件和结论，拉格朗日中值定理的几何解释。
3. 柯西中值定理：柯西中值定理的条件和结论，柯西中值定理的几何解释。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义，常用不定积分公式（如基本初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等），定积分与不定积分的关系。
2. 定积分的定义与性质：定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的性质（线性性、可加性、保号性等）。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式的表述与应用。
以上是大一微积分基础考试中的一些必背知识点，希望对你的备考有所帮助。
在复习中，要结合教材和课堂笔记进行系统学习，多做一些相关的例题和习题，加强对概念的理解和运用能力。
同时，也要注重对公式和性质的记忆，以便在考试中能够熟练运用。
加油，祝你考试顺利！。
高数微分知识点总结大一
高数微分知识点总结大一微分作为高等数学中的重要概念，是大一学习中的重点和难点之一。
它是微积分的基础，也是后续高级数学学习的桥梁。
下面将对大一学习的高数微分知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握微分的相关内容。
1. 函数与导数在微分学中，我们将自变量的变化引起的函数值的变化率称为导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 可导性：一个函数在某点可导，意味着该点处存在导数。
可导性是进行微分运算的前提。
- 可导函数的判定：函数可导的充要条件是其在该点处的左导数等于右导数。
- 常见函数的导数：例如，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式需要熟练掌握。
2. 微分运算法则微分运算法则是微分学中非常重要的运算工具，掌握好这些法则对于解决微分问题非常有帮助。
常见的微分运算法则包括：- 基本公式：常数函数的导数为零，导数的线性运算性质，复合函数的导数法则等。
- 乘积法则与商规则：分别适用于求两个函数乘积的导数和两个函数商的导数。
- 链式法则：用于求复合函数的导数，是微分学中的重要工具。
- 反函数与参数方程的微分：应用于相应函数的导数计算。
3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数是指一个函数的导数再求导，或者说求导数的导数。
高阶导数的计算过程需要遵循以下步骤：- 一阶导数：通过微分法则计算函数的一阶导数。
- 二阶导数：对一阶导数再次求导，得到函数的二阶导数。
- 高阶导数：依次进行导数的求导，即可得到函数的高阶导数。
隐函数求导是指已知函数方程，通过求导的方法找到函数的导数。
在隐函数求导中，需要掌握隐函数求导的基本方法以及常见函数的隐函数求导。
4. 已知导函数求函数在微分学中，有时候我们已知一个函数的导函数，需要反推该函数的原函数。
这时候需要运用到微分学的基本知识和常见函数的积分公式，通过逆向的思维找到函数的原函数。
5. 线性近似与微分中值定理线性近似和微分中值定理是微分学中的重要应用，它们帮助我们在无法直接计算的情况下，通过近似和推论得到函数的一些性质。
大一高数微积分知识点笔记
大一高数微积分知识点笔记微积分是数学的一个重要分支，它研究了函数的变化和运动规律，是自然科学和工程技术的基础。
在大一的高数学习中，微积分是一个重要的知识点。
本文将为大家整理总结大一高数微积分的知识点，希望能够帮助大家理解和掌握这些内容。
一、函数的极限在微积分中，我们经常需要研究函数在某个点的极限，以探究函数的趋势和特性。
一个函数 f(x) 在 x=a 处的极限，可以用以下公式来表示：Lim(x->a) f(x) = L其中 Lim 表示极限的运算符，x->a 表示 x 在无限趋近于 a 的时候，函数 f(x) 的值趋近于 L。
通过计算极限，我们可以得到函数在某个点的重要性质，比如函数的连续性和可导性等。
二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某个点的变化率。
如果函数 f(x) 在 x=a 处存在导数，那么该导数可以通过以下公式来计算：f'(a) = Lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h其中 h 是一个无限小的增量，表示 x 在 a 处的偏移。
导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。
在实际问题中，导数可以帮助我们研究函数的变化趋势和最优化问题等。
微分是导数的一个应用，表示函数在某个点的微小变化值。
微分可以用以下公式来表示：df = f'(x)dx其中 df 表示微分值，f'(x) 表示函数在 x 处的导数，dx 表示自变量 x 的微小增量。
微分在物理学和工程学中有广泛的应用，比如用于描述速度、加速度和力等。
三、极值与最值极值和最值是函数最重要的特性之一，用于研究函数的最大值和最小值。
对于一个函数 f(x) 来说，如果在 x=a 处取得极大值或极小值，那么该点就称为极值点。
通常，我们可以通过求函数的导数来找到极值点，即导数为零的点和导数不存在的点。
通过求解导数方程，我们可以得到极值点的解析表达式。
四、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分的两个核心概念，分别用于研究弧长和曲线下面积的计算。
大一微积分基本知识点总结
大一微积分基本知识点总结微积分是数学的一个分支，主要研究函数的变化、极限、导数和积分等概念和性质。
作为大一学习的一门重要课程，微积分的基本知识点对于理解和应用数学具有重要的意义。
本文将对大一微积分的基本知识点进行总结。
一、函数与极限函数是微积分的研究对象，它是一个变量与变量之间的对应关系。
函数的极限是函数在某一点上的特定值。
在大一微积分中，主要包括以下几个知识点：1. 无穷小与无穷大：无穷小是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于零的特殊函数。
无穷大是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于正无穷或者负无穷的特殊函数。
2. 极限的定义与性质：极限的定义是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于一个确定的值。
极限的性质包括四则运算法则、夹逼定理等。
3. 连续性：函数在某一点上连续，意味着函数在该点的极限存在，并且等于函数在该点的取值。
二、导数与微分导数是函数在某一点上的变化率，用来描述函数曲线的斜率。
微分是导数的微小变化，可以理解为函数在某一点上的线性近似。
在大一微积分中，主要包括以下几个知识点：1. 导数的定义与性质：导数定义为函数变化率的极限，导数的性质包括四则运算法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与导数应用：高阶导数是对导数的重复求导，导数应用包括切线与法线方程、函数的极值与凹凸性等。
3. 微分与近似计算：微分可以用来进行函数的线性化近似，常用于计算近似值和误差估计。
三、积分积分是导数的逆运算，是求函数曲线下面积的数学工具。
在大一微积分中，主要包括以下几个知识点：1. 不定积分与定积分：不定积分是指求导数为给定函数的原函数，定积分是指计算函数曲线下面积。
2. 定积分计算方法：定积分的计算方法包括换元积分法、分部积分法、定积分的几何意义等。
3. 积分应用：积分应用包括求曲线长度、曲线旋转体体积、求平均值等。
四、微分方程微分方程是函数与其导数之间的关系方程，是微积分与方程的结合。
在大一微积分中，主要包括以下几个知识点：1. 常微分方程：常微分方程是指不依赖于自变量的微分方程，包括一阶和二阶常微分方程。
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高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数___________. 2007.7知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。
这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。
基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：(,)(0,)R R +=-∞+∞=+∞例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域 2007.4解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故()ln(1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）A ．f (x )=11+x [0，1] B ．f (x )=11+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)知识点：函数的有界性注：函数的有界性是指值域的有界性。
解：A 1111+1212+1x x x ≤≤≤≤⇒≤≤当0时，，故f (x )=11+x 在[0，1]上为有界函数。
B ． -11lim=+1x x →∞故f (x )=11+x 在（-1，0）上为无界函数。
CD 结合函数图像判断。
例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明： （1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数知识点：奇偶性若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。
若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-只证（1）：()()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。
例5、求函数44log 2log y =+. 07.10 知识点：反函数求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反 函数1()y f x -=。
解：由44411log 2log log 22y x =+=+ ，可得412()log 2y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为214x y -=例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=ϕ，则f [)4(π-ϕ]=( )A.-2B.22-C.0D.22. 已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2009.10 知识点 ：复合函数 解：1. []3()fx x x ϕ=sin 2-sin23()()()0444f πππϕ⎡⎤-=--=⎢⎥⎣⎦sin 2-sin2答案：C2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2(1)f x x +=可得2()(1)f u u =-，即2()(1)f x x =-.二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
典型例题求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例7．求22235lim 31x x x x →-++．知识点： 若函数()y f x =在点0x 处连续，00lim ()()x x f x f x →=解 因为7161lim 3lim )13(lim 222≠=+=+=+→→→x x x x x ．故 22222lim(235)2357lim 131lim(31)7x x x x x x x x x →→→-+-+===++例8、221lim 32x x x →∞++解 ： ∞=++=++=++∞→∞→∞→2222222312lim 2312lim 2312limx x x xx x x x x x x x知识点：一般地，设000,0,,a b m n N ≠≠∈，则101101lim n n n m m x m a x a x a b x b x b --→∞⎧++⋅⋅⋅+⎪=⎨++⋅⋅⋅+⎪⎩00,0,,a b ∞,,.m n m n m n =><当当当 例9 =-++∞→23563lim2n n n n ___________. 2007.7 解：3n n n→∞→∞=-例10 （1）、121cos 0lim(1)xx x -→+ 2008.1 (2) lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1知识点：重要极限：1∞01(1)lim(1),1lim(1),()0,lim(1())xu x t x x t e u x u x e xt e →∞→+=+=→+=，10,lim(1)na n n na a e →+=解: (1) 2211221cos 1cos 0lim(1)lim[(1)]x xx xx x x x --→→+=+因为 2120lim[(1)]x x x e →+=，22200limlim 21cos 2x x x x xx →→==-。
(2) 求 lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1 解：(1)(1)1111lim lim lim 1lim 11111nnnnn n n n n n n n n n n n -+-+→∞→∞→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(1)11lim 11n n n n e n -+-+-→∞⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例11. 2000tan sin 1cos (1)lim(2)lim(3)lim(4)lim sin(2007.10)2x x x n x kxxn xxx nπ→→→→∞-知识点：重要极限 0()00sin sin sin ()lim1,lim1,lim1()n nx u x a n a xu x x u x a →→→===解：0000tan sin 1sin 1(1)limlim lim 111cos limcos x x x x x x x x x x x x→→→→===⨯=(2)00,u kx x u =→→令，等价于000sin sin limlim lim 1sin x x u kx kx k k k kx kx uu →→→=⋅=⋅=⨯=222200022sin sin 2(3)1c lim lim lim 2()2os 2x x x x x x x x x →→→==- 20sin 2211lim 22x x x →⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭(4) sin 2lim(sin)lim2222n n n n nnπππππ→∞→∞=⋅=例12．求极限（1）20ln(1)lim1cos x x x→+- （2）()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。
,',,'ααββ为无穷小， 且~',~'ααββ， 则'lim lim 'ααββ= 解：(1)因为221x x ~)ln(+, 2211x x ~cos - 所以 22002ln(1)lim=lim =211cos 2x x x x x x →→+- （2）因为221~x e x -， sin3~3x x ，22121cos 2~(2)2x x x -=，ln(1)~x x +所以 ()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+22x 0(3)3lim (2)2x x x x →⋅==⋅．注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小1、sin ~,x x 导出 ()0u x →时，sin ()~()u x u x2、tan ~,x x 导出 ()0u x →时，tan ()~()u x u x3、arcsin ~x x ， 导出 ()0u x →时，arcsin ()~()u x u x4、1~x e x -， 导出 ()0u x →时，()1~()u x e u x -5、ln(1)~x x +， 导出 ()0u x →时，()ln 1()~()u x u x +6、21cos ~2x x -， 导出 ()0u x →时，2()1cos ()~2u x u x -例13：(1) x x x x x sin e lim 20-→ 09.7 (2) 2sin lim1x x xx →∞++ 09.4 (3) x 1lim (1)tan2xx π→- 07.4 （4）11lim 1ln x xx x →⎛⎫-⎪-⎝⎭知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式∞∞、0．其它类型的未定式 ∞-∞，0⋅∞ ，000,,1∞∞ 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则解：(1) 20lim e sin x x x x x →- 0()01sin 22lim cos 2lim00=++=-+=→→xe xe x e xe x x x x x x x（2） 2sin lim1x x xx →∞++∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭1cos 1limlim (1cos )022x x x x xx →∞→∞+==+=(3) x 1lim (1)tan 2x x π→- 0(0)0⋅∞→x 1(1)limcot 2x x π→-= 2x 1x 12122lim lim sin 2csc22x x πππππ→→-===-(4) 11101ln 11ln 1lim lim lim 011ln (1)ln ln x x x xx x x x x x x x x xx→→→-++-∞-∞⎛⎫- ⎪---⎝⎭+ 211ln 1limlim 121ln 111x x x x xx xx →→==+=-+例14．求极限（1）x x x x cos 12e e lim 0--+-→. 2009.10 (2) 0ln cos 0,0,lim ln cos x ax a b bx →≠≠ 2007.1知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合解：（1）0e e 2lim 1cos x x x x -→+-- 0()02000e e 2e e lim lim lim (e e )22x x x x x x x x x x x---→→→+--===+= (2) 001(sin )ln cos cos lim lim1ln cos (sin )cos x x a ax ax ax bx b bx bx→→-=- 0()0 0cos sin limcos sin x bx a axax b bx →=220cos lim cos x bx a ax a ax b bx b→== 例15 .设f (x )是连续函数，且f(0)=1，则=⎰→2x limx dt )t (tf x（ ）2007.4 A.0 B.12C.1D.2知识点： 变上限函数求导求极限解： 02x 0x 0()()limlim2xtf t dt xf x x x →→=⎰x 0()(0)1lim 222f x f →==== 例16．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ ）2009.4知识点：函数连续 若00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续。