格与布尔代数.
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离散数学第6章 格与布尔代数
设c是a∧b 的任一下界，即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
09-格与布尔代数-8.2
第三节 子布尔代数、积布尔代数、布尔代数同态
定义：给定布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>，≠T B
2015年6月6日星期六
若T对 、* 和 ’ 是封闭的，且：0, 1 T
称<T, , *, ’ , 0, 1>是<B, , *, ’ , 0, 1>的子布尔代 数 显然：<{0, 1}, , *, ’ , 0, 1>和<B, , *, ’ , 0, 1> 都是<B, , *, ’ , 0, 1>的(平凡)子布尔代数
则：<f(B),∨,∧, , f(0), f(1)>是布尔代数 （证明参见教材P170 —— 利用布尔代数的定义证明）
布尔代数同态
结论：
2015年6月6日星期六
若 f 是从布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>到格<S,∨,∧>的 格同态映射，且f是满射的，
则：<S,∨,∧>是布尔代数
并且可以用基本公式来定义布尔代数
布尔代数的定义 从这4个定律，可以推出所有布尔代数的公式
有兴趣的同学可以参阅 R. L. 古德斯坦因 著的
对于a, b B ， 有 定义：设<B, , *, ’ >是一个代数结构，其中：
2015年6月6日星期六
和 * 是B上的二元运算，’ 是B上的一元运算，且 0, 1 B
例9.15：设Bn是由0和1形成的n元组集合，且
2015年6月6日星期六
a = <a1, a2, …, an>，b = <b1, b2, …, bn> 0n = <0, 0, …, 0> ， 1n = <1, 1, …, 1> 对任意 a, b Bn，定义： a b = < a1∨b1, a2∨b2 , …, an∨bn > a * b = < a1∧b1, a2∧b2 , …, an∧bn > a’ = < a1, a2, …, an> < Bn,∨,∧, , F, T>是布尔代数（开关代数）
格和布尔代数
a,bL，若a≤b a∧b = a
分三步： 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b = glb(a,b)。 3）a,bL, {a,b}的上确界存在，且 lub(a,b) a∨b 具体证法见后面
1) 证明’≤’是L上的偏序关系 自反性：aL 由等幂律 a∧a=a, a≤a 反对称性：a,bL, 若a≤b, b≤a 则 a∧b=a, b∧a=b a = a∧b = b∧a = b 传递性：a,b,cL, 若 a≤b,b≤c 则a∧b=a, b∧c=b a∧c=(a∧b)∧c = a∧(b∧c)= a∧b=a a≤c
2、格的对偶原理
① 集合S的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关 系，若AS, 其中 ≤的glb(A) 对应于 ≥的lub(A), ≤的lub(A) 对应于 ≥的glb(A), 所以，若<S,≤>是格，则<S,≥>也是格， 称这两个格互为对偶。
2、格的对偶原理
② 因为<S,≤>的交是<S,≥>的并， <S,≤>的并是<S,≥>的交，
一般格只满足分配不等式： a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
一、定义
设<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c), (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c), 则称 <L,∧,∨> 为分配格。
注：(1)(2)是互相等价的，由对偶原理，从一式可推
2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b=glb(a,b)。
a) 因为 (a∧b)∧a =(a∧a)∧b=a∧b a∧b≤a 同理a∧b≤b a∧b 是a,b的下界。
分三步： 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b = glb(a,b)。 3）a,bL, {a,b}的上确界存在，且 lub(a,b) a∨b 具体证法见后面
1) 证明’≤’是L上的偏序关系 自反性：aL 由等幂律 a∧a=a, a≤a 反对称性：a,bL, 若a≤b, b≤a 则 a∧b=a, b∧a=b a = a∧b = b∧a = b 传递性：a,b,cL, 若 a≤b,b≤c 则a∧b=a, b∧c=b a∧c=(a∧b)∧c = a∧(b∧c)= a∧b=a a≤c
2、格的对偶原理
① 集合S的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关 系，若AS, 其中 ≤的glb(A) 对应于 ≥的lub(A), ≤的lub(A) 对应于 ≥的glb(A), 所以，若<S,≤>是格，则<S,≥>也是格， 称这两个格互为对偶。
2、格的对偶原理
② 因为<S,≤>的交是<S,≥>的并， <S,≤>的并是<S,≥>的交，
一般格只满足分配不等式： a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
一、定义
设<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c), (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c), 则称 <L,∧,∨> 为分配格。
注：(1)(2)是互相等价的，由对偶原理，从一式可推
2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b=glb(a,b)。
a) 因为 (a∧b)∧a =(a∧a)∧b=a∧b a∧b≤a 同理a∧b≤b a∧b 是a,b的下界。
格与布尔代数
三. 格的性质
5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。 证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ∵ a≤ a∨(b∨c) b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a，b}的上界。 ∴ (a∨b) ≤a∨(b∨c) 又 ∵ c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a∨b ，c}的上界 ∴ (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ⑵同理可证 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 最后由反对称得 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) 类似可证 (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。
。 。 。 。
a b
1
a
c
d e
2 4
3 5
b d
c e
6
这三个偏序集，也都不是格，第一个与第三个是同构 的。因为 d和e无下界，也无下确界；b,c虽有下界， 但无下确界。 2,3无下确界，4,5无上确界。 2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。 因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的下确界为x，上确界为y。 如果y≤x，则{x,y}的下确界为y，上确界为 x 。 即这{x,y}的下确界为较小元素，上确界为较大元素.
*9. a≤b a∨b=b a∧b=a
证明：下面只证明a≤b a∨b=b 先证a≤b a∨b=b 设 a≤b，又b≤b ∴ a∨b≤ b 又∵ b≤a∨b 由反对称得 a∨b=b 再证 a∨b=b a≤b 已知 a∨b=b ∵ a≤ a∨b ∴ a≤b。 最后得 a≤b a∨b=b 这是个很重要的定理，我们在以后经常用到此论。
离散数学第五章格与布尔代数2
离散数学
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
1
离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里：S={0,1}，00, 01, 11,其运算表如下：
2021/5/22
3
x
离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
1
xx
01 10
表2
通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。即，令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里：X={a})
16
离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运 算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、 分配律的对称性，半序关系≼和其逆关系≽的对称性； 最小元0和最大元1的对称性；以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注：•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上，它们互为对偶；
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定 义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证：
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里：X={a1, a2, , an}，即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
1
离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里：S={0,1}，00, 01, 11,其运算表如下：
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离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
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xx
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表2
通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。即，令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里：X={a})
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离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运 算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、 分配律的对称性，半序关系≼和其逆关系≽的对称性； 最小元0和最大元1的对称性；以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注：•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上，它们互为对偶；
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定 义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证：
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里：X={a1, a2, , an}，即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。
格与布尔代数
例7.12 设B={0，1}，B n=BxBx…xB，B n中的元 素a=＜a1，a2，…，an＞，b=＜b1，b2，…，bn＞, 其中ai与bi取0或1，＜0，0，…，0＞表示为0n， ＜1，1，…，1＞表示为1n，定义*， ⊕ 与┐运算
如下：
a*b=＜a1*b1，a2*b2，…,an*bn＞,a⊕b＜a1⊕b1， a2⊕b2，…， an⊕bn＞, ┐a=＜┐a1， ┐a2，…，┐an ＞,可验证：＜Bn，*，⊕，┐，0n，1n＞符合条件 （H1）至（H4），故可构成布尔代数。
3、分配格的判定 定理7.7 格L是分配格，当且仅当L中不含有与钻 石格或五角格同构的子格。 推论7.1 （1）小于五元的格都是分配格；（2） 任意一条链都是分配格。 证明P130
例7.7 图7.4中哪个是分配格，哪个不是？
f
f
f
d e
e d
b
c
d
b
c c
e b
a
（a)L1
a
（b)L2
图7.4 格的示意图
7.1 格的基本概念
7.1.1 格的定义 1、格定义7.1 设＜A，≤＞是一个偏序集，对于 Ɐa,b∈A,子集{a，b}在A中都有一个最大下界(也 称为下确界，记为inf{a,b})和一个最小上界(也称 为上确界，记为sup{a,b}),则称＜A，≤＞为 格。
2、诱导的代数系统 定义7.2 设＜A，≤＞是一个格，如果在A上定义两 个二元运算，使得对Ɐa,b∈A，a∧b等于a和b的最 大下界，a∨b等于a和b的最小上界。则称＜A，∧， ∨ ＞为由格＜A，≤＞所诱导的代数系统。
⊕0 1 00 0 10 1
x ┐x
01 10
可验证＜B，*，⊕ ，┐，0，1＞是布尔格，也称为 二值布尔代数。
第九章 格与代数
第9章 格与代数 章
9.2
9.2.2 定义9.5 定义9.5
分配格和有补格
有补格 设<A，≤>是一个格，如果存在元素a∈A，对于任意
的x∈A，都有a≤x，则称a为格<A，≤>的全下界，记格的全下界 为0；同理若存在元素b∈A，对于任意的x∈A，都有x≤b，称b为 格<A，≤>的全上界，记格的全上界为1。 定义9.6 定义9.6 格。 如果一个格中存在全下界和全上界，则称该格为有界
定理9.1
(对偶原理)一个关于格的上、下确界以及偏序关系
≤，≥的命题是真命题，当且仅当将命题中的上确界换成下确界 、下确界换成上确界、将关系“≤”换成“≥”、将“≥”换成 “≤”后 是一个真命题。 定理9 在一个格<A，≤>中，对任意的a，b∈A，都有 定理9.2 a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b 定理9.3 定理9.3 则， a∨c≤b∨d a∧c≤b∧d 在一个格<A，≤>中，对于a，b，c，d∈A，如果 a≤b ， c≤d
x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 1 3 0 1 2 3 f 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 2 2 2 2 3 3 3 3 x2 0 1 2 3 0 1 2 3 f 2 0 1 1 3 0 0 2
布尔代数
布尔表达式 含n个变元x1，x2，x3，…，xn的有限次引用以下规则
生成的符号串叫做合式的布尔表达式，简称为布尔表达式。 （1）0和1是布尔表达式。 （2）每一个变元x1，x2，x3，…，xn是布尔表达式。 （3）若a，b是布尔表达式，则(a*b)，(a+b)是布尔表达式。 （4）若a是布尔表达式，则a-1是布尔表达式。
二、 偏序格的基本性质 1、对偶命题 是含有格中元素以及符号= 设f是含有格中元素以及符号=，≤，≥，∧和 是将f中的≤替换成≥ 替换成≤ 的命题， ∨的命题，令f*是将f中的≤替换成≥，≥替换成≤， 替换成∨ 替换成∧所得到的命题， ∧替换成∨，∨替换成∧所得到的命题，称f*为f的 对偶命题。 对偶命题。 2、对偶原理 是含有格中元素以及符号= 设f是含有格中元素以及符号=，≤，≥，∧和∨ 的命题， 对一切格为真， 的对偶命题f 的命题，若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也对一 切格为真。 切格为真。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
6.3格与布尔代数
格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ， 由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个， 譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互 为补元， 但a,b,c均不存在补元。
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代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两 个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元 是1,因x∈Sn,1|x,x|n。
离散数学9-格与布尔代数
(2)类似于(1)可证，3)由(1)和(2)得证。
17
定理4: 设<A, ∨, ∧>是格，对任意a, b, cA，有 (1)若a≤b和c≤d，则a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d (2)若a≤b，则a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
18
证明：(1)如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d,这说明b∨d是{a, c}的上界，而a∨c是{a, c}的最小上界，所以a∨c≤b∨d。类似可证 a∧c≤b∧d。
则称b是a的补元，记为a′。若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 一般说来，一个元素可以有其补元 ，未必唯一，也可能无补元。0′=1和1′=0。
37
定义12: 在有界格中，如果每个元素都有补元，则称格是有 补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是 有界格。
38
定理11: 在有界分配格中，如果某元素有补元，则补元是唯 一的。
34
定理9: 设<A, ∧,∨, 0, 1>是有界格，则对于A中任意元素 a 都有 a∨1 = 1 a∧1 = a a∨0 = a a∧0 = 0
1称为全上界或最大元，0称为全下界或最小元。
图9-6中(a)(b)(c)都有最大元和最小元，所以都是有界格。
35
定理10: 有限格必定是有界格。
36
定义11: 设<A,∨,∧>是有界格，aA，如果存在bA使得 a∨b = 1 a∧b = 0
31
定义8: 设<A,∨,∧>是格，如果A中存在元素a,使得对于A中 任意元素x 都有a≼x，则称a为格(A , ≤)的全下界，用0表 示。如果L中存在元素 a, 使得对于L中任意元素 x 都有 x≼a则称a为格(A , ≤)的全上界，用1表示。全下界即是格 的最小元，是唯一的。全上界即是格的最大元，是唯一的 。
17
定理4: 设<A, ∨, ∧>是格，对任意a, b, cA，有 (1)若a≤b和c≤d，则a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d (2)若a≤b，则a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
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证明：(1)如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d,这说明b∨d是{a, c}的上界，而a∨c是{a, c}的最小上界，所以a∨c≤b∨d。类似可证 a∧c≤b∧d。
则称b是a的补元，记为a′。若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 一般说来，一个元素可以有其补元 ，未必唯一，也可能无补元。0′=1和1′=0。
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定义12: 在有界格中，如果每个元素都有补元，则称格是有 补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是 有界格。
38
定理11: 在有界分配格中，如果某元素有补元，则补元是唯 一的。
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定理9: 设<A, ∧,∨, 0, 1>是有界格，则对于A中任意元素 a 都有 a∨1 = 1 a∧1 = a a∨0 = a a∧0 = 0
1称为全上界或最大元，0称为全下界或最小元。
图9-6中(a)(b)(c)都有最大元和最小元，所以都是有界格。
35
定理10: 有限格必定是有界格。
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定义11: 设<A,∨,∧>是有界格，aA，如果存在bA使得 a∨b = 1 a∧b = 0
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定义8: 设<A,∨,∧>是格，如果A中存在元素a,使得对于A中 任意元素x 都有a≼x，则称a为格(A , ≤)的全下界，用0表 示。如果L中存在元素 a, 使得对于L中任意元素 x 都有 x≼a则称a为格(A , ≤)的全上界，用1表示。全下界即是格 的最小元，是唯一的。全上界即是格的最大元，是唯一的 。
离散数学 第五章 格与布尔代数
由于这里的*和⊕就是上面格中的*运算和⊕运算，故有
a*b=glb{a,b}= GLB{a,b} a⊕b=lub{a,b}= LUB{a,b}
下面证明半序关系≤等于半序关系≤’。 1）若a≤b，则有GLB{a,b}=a ，又因为a*b=GLB{a,b}， 故有a*b=a，即a≤’b，由(a,b) 的任意性知≤ ≤’。 2）若a≤’b，则有a*b=a ，又因为a*b=GLB{a,b}，故有 a=GLB{a,b}，由下确界的定义知有a≤b，由(a,b)的任意性知 ≤’ ≤。
例2. 设I是整数集合， a,b∈I， 定义运算*和⊕如下： a*b=min{a,b} a⊕b=max{a,b} 则<I, *,⊕>是代数系统。 1）由于 a∈I, a*a=min{a,a}=a a⊕a=max{a,a}=a
故由定义1知，*和⊕运算均满足幂等律。 2）任取a,b∈I，由于有
a*(a⊕b)=min{a,max{a,b}}=a
由集合相等的定义知≤’=≤，即≤和≤’是同一个半序关 系。
由此可知，格与任意两个元素有上、下确界的半序集 是等价的，即格就是格。于是得到 格的另一种等价的定义。
定义3’ 设<L, ≤>是半序集，若L中的任意两个元素有上、 下确界存在，则称<L, ≤>是格。 由于定义3和定义3’的等价性，以后关于格，既可以用 <L,*,⊕>表示，也可以用 表示。当用<L,*,⊕>表示时，半序 关系是用a*b=a或a⊕b=b定义的。当用<L, ≤>表示时，两个运 算是用
故*运算和⊕运算满足结合律。
2）由于 a,b∈I，有 a*b=min{a,b}=min{b,a}=b*a a⊕b=max{a,b}=max{b,a}=b⊕a 故*运算和⊕运算满足交换律。
第6章 格与布尔代数
借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+；(4)0改为1；(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础，在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的，后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究，在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文，为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
6-4 布尔代数
第六章 格和布尔代数
a≼a1∨a2∨…∨ak 于是有 a≼(a1∨a2∨…∨ak)∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0 即 a≼0 这与a是原子相矛盾。所以b∧(a1∨a2∨…∨ak)′＝0，根 据引理6-4.2有 b≼a1∨a2∨…∨ak 由≼的反对称性知 b＝a1∨a2∨…∨ak
第六章 格和布尔代数
引理6-4.3
设X,∨,∧,′是有限布尔代数，如果
bX且b≠0，a1,a2,…,ak是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的 所有原子。则b=a1∨a2∨…∨ak是将b表示为原子的 唯一形式。 说明：这里唯一性的含义分为两个方面，式中任一原子
aj 都有aj≼b；所有aj≼b的原子都在式中，所以可用反
设a≼b，由于b′≼b′，根据定理有a∧b′≼b∧b′，而 b∧b′=0，所以a∧b′≼0。又因为0≼a且0≼b′，故有 0≼a∧b′。由≼的反对称性知a∧b′=0。
第六章 格和布尔代数
引理6-4.2设X,∨,∧,′是有限布尔代数，0是全下界， 如果bX且b≠0，a1,a2,…,ak 是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的所 有原子，则b=a1∨a2∨…∨ak 证明：因为aj≼b(j=1,…,k)，所以a1∨a2∨…∨ak≼b 再证b≼a1∨a2∨…∨ak，根据引理6-4.1，只需证明 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0。 用反证法。设b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≠0 由定理6-4.2，至少存在一个原子a，使得 a≼b∧(a1∨a2∨…∨ak)′ 又因为b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼b和 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 由≼的传递性可得a≼b和a≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 因为a是原子且满足a≼b，所以a必是原子a1,a2,…, ak中 的一个，因此
离散数学第七章格与布尔代数
离散数学第七章格 与布尔代数
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系， 满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换 律、结合律、吸收律等，这些性质使 得布尔代数成为逻辑推理和电路设计 等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时 为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少 有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在 计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系， 满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换 律、结合律、吸收律等，这些性质使 得布尔代数成为逻辑推理和电路设计 等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时 为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少 有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在 计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。
格与布尔代数
格与布尔代数后述，一部分关于格与一部分关于布尔代数。
关于格格是数学中的一种代数结构，它被广泛用于数学、计算机科学和逻辑学等领域。
在数学中，格是一种偏序集合，它具有两个基本运算：上下拟合和交并运算。
其中，上下拟合是指存在最小上估和最大下估，而交并运算则是指对于任意两个元素都可以求出它们的最大公共上界和最小公共下界。
尽管最初格是在点集拓扑学中发现的，但它们的概念在其他领域中也扮演着重要角色，例如，它们在科学中被用来定义空间，它们被用来解决许多计算机科学问题，例如，程序正确性证明，它们与数据结构有关，在逻辑学中，格被用来理解一些推理系统。
关于布尔代数布尔代数是一种代数结构，它被广泛用于逻辑学、电子工程和计算机科学中。
布尔代数是邓纳-Bier恩论文提出的一种基于命题逻辑的代数系统，其中对于两个命题P和Q，存在两个二元运算，即并（∨）和交（∧）。
这种代数系统可以用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
布尔代数中的一些重要性质是：交换律、结合律、分配律等。
尽管在布尔代数中并和交这两个朴素的逻辑运算都不是独立产生的概念，但该理论在数学和计算机科学中有着重要应用。
布尔代数不仅用于设计电路和硬件，还用于在计算机程序和算法中描述逻辑条件，可编程逻辑和任意逻辑等方面。
格与布尔代数的关系虽然格和布尔代数看起来似乎是两种完全不同类型的代数结构，但它们之间有着密切的联系。
一些格配合着一些次区域可以构成布尔代数；同样，对于一个布尔代数而言，它也可以被看作是某个格所描述的偏序集合。
在交集上平凡地定义结构子格也叫布尔子格。
一个布尔代数的子集都可以看做是一种决策支持系统（Decision Support System，DSS）或决策信息系统（Decision Information System，DIS）。
由此可见，布尔代数是格论的一种特例，而格论是布尔代数的一种扩展。
总体而言，格与布尔代数的关系很紧密。
事实上，这种关系已经在数学和计算机科学的广泛应用中得到了充分的体现。
第九章 格与布尔代数 - 同济大学
定义9.3.3 设L是格，若对任意 b, c ∈ L，有 是格， 定义 是格 若对任意a, ， 分配律) ∧ （1）a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) (∧对∨的分配律 ） ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 分配律) （2）a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) (∨对∧的分配律 ） ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ 则称L是分配格 是分配格。 则称 是分配格。 是集合， 是分配格。 例9.3.2 设S是集合，则(P(S), ⊆ )是分配格。 是集合 是分配格
• 如果 是一个有界格，则对任意 ∈ L均有 如果L是一个有界格 则对任意a 是一个有界格， 均有 （1）O ≼ a ≼ I ） （2）a ∨ O = a, a ∧ O = O ） （3）a ∨ I = I, a ∧ I = a ） 是正整数集合，偏序“ 例 设Z+是正整数集合，偏序“≼”为：a ≼ b ⇔ a|b | 则格(Z 无最大元。 则格 +, ≼)不是有界格， (Z+, ≼) 无最大元。 不是有界格， 全序集(Z, ≤)不是有界格， (Z, ≤)无最元。 无最元。 全序集 不是有界格， 无最元
定义9.3.6 设( B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S是B的非空 是布尔代数， 是 的非空 定义 是布尔代数 子集，如果S 对于运算∨ 封闭，则称S是布 子集，如果 对于运算∨, ∧, ¯ 都封闭，则称 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 例如， 是布尔代数， 例如，设(B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S={O, I }, 则S是布 是布尔代数 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 如果S是布尔代数 的子代数， 是布尔代数B的子代数 例9.3.9 如果 是布尔代数 的子代数，则O, I ∈ S. I = a∨a, O = a∧a ∨ ∧
第十章格与布尔代数
证：(1) : x, y L1, x 1 y x y y
( y) (x y) (x) ( y) (x) 2 ( y); (2) : ()由(1)得：x 1 y (x) 2 ( y)，反之：(x) 2 ( y) (x) ( y) ( y) (x y) y x y x 1 y ()对x, y L1，x 1 y (x) 2 ( y) 令x y z，则x 1 z，y 1 z (x) 2 (z)，( y) 2 (z) (x) ( y) (z) (x y) 另一方面，是满射，(x)，( y) L2，则(x) ( y) L2 则必存在u L1，使得(u) (x) ( y)
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10.2 子格与格同态
(x) 2 (u)，( y) 2 (u) x 1 u，y 1 u， x y 1 u (x y) 2 (u) (x) ( y) (x y) (x) ( y) 同理：(x y) (x) ( y) 为格同构
• 例10-2：在同构意义下：具有1，2，3个元素的格
➢(1)偏序集的任一子集并非都有上下确界， ➢(2)偏序集的某一子集的上下确界若存在，则唯一，
格的定义确定了上下确界的存在性，
➢(3){x, y}的上确界记为x∨y，下确界记为x∧y
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10.1 格的定义与性质
• 定义10.2：设f是含有格中元素及符号=, ≤,≥,
∨, ∧的命题，令 f *是将f中≤,≥, ∨, ∧分别 替换为≥, ≤,∧,∨所得到的命题，则称 f * 是f 的对偶命题或称对偶式。
3/73
10.1 格的定义与性质
➢由定理10.1知，格的两个运算满足交换律，结合
律，幂等律，因此可以考虑用带有这4条性质的2 个二元运算∨, ∧，来像群，环，域，一样定义 格，即用<L, ∨, ∧ >来定义格，可以证明这是 可行的。
( y) (x y) (x) ( y) (x) 2 ( y); (2) : ()由(1)得：x 1 y (x) 2 ( y)，反之：(x) 2 ( y) (x) ( y) ( y) (x y) y x y x 1 y ()对x, y L1，x 1 y (x) 2 ( y) 令x y z，则x 1 z，y 1 z (x) 2 (z)，( y) 2 (z) (x) ( y) (z) (x y) 另一方面，是满射，(x)，( y) L2，则(x) ( y) L2 则必存在u L1，使得(u) (x) ( y)
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10.2 子格与格同态
(x) 2 (u)，( y) 2 (u) x 1 u，y 1 u， x y 1 u (x y) 2 (u) (x) ( y) (x y) (x) ( y) 同理：(x y) (x) ( y) 为格同构
• 例10-2：在同构意义下：具有1，2，3个元素的格
➢(1)偏序集的任一子集并非都有上下确界， ➢(2)偏序集的某一子集的上下确界若存在，则唯一，
格的定义确定了上下确界的存在性，
➢(3){x, y}的上确界记为x∨y，下确界记为x∧y
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10.1 格的定义与性质
• 定义10.2：设f是含有格中元素及符号=, ≤,≥,
∨, ∧的命题，令 f *是将f中≤,≥, ∨, ∧分别 替换为≥, ≤,∧,∨所得到的命题，则称 f * 是f 的对偶命题或称对偶式。
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10.1 格的定义与性质
➢由定理10.1知，格的两个运算满足交换律，结合
律，幂等律，因此可以考虑用带有这4条性质的2 个二元运算∨, ∧，来像群，环，域，一样定义 格，即用<L, ∨, ∧ >来定义格，可以证明这是 可行的。
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§2 格
一、格的概念
定义2.1 若部分序集(L, )中任意两个元素a, b(做成的集合)都有 最小上界和最大下界, 则称L关于部分序 作成一个 格.
此时,最小上界和最大下界分别记为
sup (a, b)(或a b), inf (a, b)(或a b).
注: 部分序集(L, )中任意一对不满足关系" "的元素a, b 做成的子集{a,b}都有上确界和下确界, 则(L, )是格.
在Z m定义加法"": [i ]Rm [ j ]Rm [i j ]Rm , 和乘法"": [i ]Rm [ j ]Rm [ij ]Rm
在Z m上, ""和""都满足交换律和结合律 ,
"" 对""满足分配律 .
四、代数系统的比较—同态与同构
定义1.7 若是X到Y的映射, 对任意x1 , x2 X ,
左分配律 右分配律
矩阵乘法对矩阵加法满足分配律, 而矩阵加法对矩阵乘法不满足分配律.
◦在A上可交换时,左分配律和右分配律是一回事.
例 6. 整数集Z上关于模m的同余关系
Rm : i, j Z , iRm j m (i j),
记Z关于Rm的商集Z / Rm Zm {[ x]Rm : x 0,1,, m 1 },
定理1.1 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足交换律, 则Y上的运算 也满足交换律.
定理1.2 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足结合律, 则Y上的运算 也满足结合律.
定理1.3 若代数系统(X, , )与(Y, , )满同态,且X中+关于* 的分配律成立,则Y中 关于 的分配律也成立.
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是双射, 则称是同构映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 同构.
两个同构的代数系统可以认为没有什么区别.
例 7. 证明代数系统 (I, +)与(zm, +m )满同态, 其中 zm表示整数集I关于同余关系Rm的商集. 定义 一个代数系统到自身的同态称为自同态; 一 个代数系统到自身的同构称为自同构.
三、代数运算的性质 1. 交换律 定义1.4 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足交换
律是指当 a, b ∈A时, 有
a ◦ b =b ◦ a . 2. 结合律 定义1.5 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足结
合律是指当 a, b, c∈A) .
定义1.5 若是X到Y的映射, 而且对于任意 x1 , x 2 X, 有 (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ), (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ) 则称是(X, , )到(Y, , )的一种同态映射, 此时称代数 系统(X, , )与(Y, , )同态.
3. 分配律
定义1.6 代数系统(A, ◦, * )上的运算“◦ ”关于
“*”满足分配律是指当 a, b, c∈A时, 有
a ◦ (b * c)=(a ◦b) * (a ◦ c) . (◦对 *是可分配的)
x ( y z ) ( x y) ( x z ), ( y z ) x ( y x) ( z x),
第三章 格和布尔代数
§1 代数系统的基本概念
一、代数运算 定义1.1 设A为集合, 映射f: A×A→A称为A上的 一个二元代数运算, 简称为二元运算. 若f是A上的二元运算, 通常将f(a, b)简记为a ◦ b, 其中符号◦表示二元运算,称为算符.
一般地, 映射f : A A
n个
A A 称为A上的一
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是满射,则称是满 同态映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )满同态.
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是双射,则称是 同构映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )同构.
二、代数系统
定义1.2 若P是集合A上有限种运算组成的集合, 则称二元组(A, P)为代数系统. 偏序集
例 5. (N, {+}), (N, {*})表示两种不同的代数系统. 定义1.3 若S A, 且在代数系统(A, ◦ )中, 当a, b ∈S时, 总有a ◦ b ∈S, 则称S关于运算“◦ ”封闭. 若S关于 “◦”封闭, 则称(S, ◦)是(A, ◦ )的子代 数.
则矩阵加法、矩阵乘法都是M n ( Z )上的二元运算, 而求逆运算不是.
注: 可以任意定义二元运算,而不必考虑它的数学意义.
验证一个运算是否是集合S的二元运算,只须考虑以下两点:
(1)S中任意两个元素均可进行这种运算,且有唯一 运算结果, (2)S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该 运算封闭.
例1. 设集合S的幂集为P(S),则偏序集 (P(S), )是格.
同理可证,正整数集对应的偏序集 (Z , "|" )也是格.
有 : ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) 同态映射, 则称是( X ,)到(Y ,)的一种 此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,)同态.
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是满射, 则称是 满同态映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 满同态.
个n元代数运算, 简称为n元运算. 例 1. 自然数集N上的加法, 乘法运算是二元运算;
但自然数集N上的减法, 除法不是N上的二元运算.
例 2. 整数集Z上的加法, 减法和乘法都是Z上的 二元运算, 但除法不是Z上的二元运算; 注: 整数集Z上求相反数的运算是I上的一元运算.
为什么?
例 3. 集合S的幂集P(S)上的交、并、差及对称差 都是P(S) 上的二元运算. 例4. 设M n (Z )表示所有n(n 2)阶整矩阵的集合,