格与布尔代数.
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第三章 格和布尔代数
§1 代数系统的基本概念
一、代数运算 定义1.1 设A为集合, 映射f: A×A→A称为A上的 一个二元代数运算, 简称为二元运算. 若f是A上的二元运算, 通常将f(a, b)简记为a ◦ b, 其中符号◦表示二元运算,称为算符.
一般地, 映射f : A A
n个
A A 称为A上的一
§2 格
一、格的概念
定义2.1 若部分序集(L, )中任意两个元素a, b(做成的集合)都有 最小上界和最大下界, 则称L关于部分序 作成一个 格.
此时,最小上界和最大下界分别记为
sup (a, b)(或a b), inf (a, b)(或a b).
注: 部分序集(L, )中任意一对不满足关系" "的元素a, b 做成的子集{a,b}都有上确界和下确界, 则(L, )是格.
则矩阵加法、矩阵乘法都是M n ( Z )上的二元运算, 而求逆运算不是.
注: 可以任意定义二元运算,而不必考虑它的数学意义.
验证一个运算是否是集合S的二元运算,只须考虑以下两点:
(1)S中任意两个元素均可进行这种运算,且有唯一 运算结果, (2)S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该 运算封闭.
个n元代数运算, 简称为n元运算. 例 1. 自然数集N上的加法, 乘法运算是二元运算;
但自然数集N上的减法, 除法不是N上的二元运算.
例 2. 整数集Z上的加法, 减法和乘法都是Z上的 二元运算, 但除法不是Z上的二元运算; 注: 整数集Z上求相反数的运算是I上的一元运算.
为什么?
例 3. 集合S的幂集P(S)上的交、并、差及对称差 都是P(S) 上的二元运算. 例4. 设M n (Z )表示所有n(n 2)阶整矩阵的集合,
例1. 设集合S的幂集为P(S),则偏序集 (P(S), )是格.
同理可证,正整数集对应的偏序集 (Z , "|" )也是格.
左分配律 右分配律
矩阵乘法对矩阵加法满足分配律, 而矩阵加法对矩阵乘法不满足分配律.
◦在A上可交换时,左分配律和右分配律是一回事.
例 6. 整数集Z上关于模m的同余关系
Rm : i, j Z , iRm j m (i j),
记Z关于Rm的商集Z / Rm Zm {[ x]Rm : x 0,1,, m 1 },
有 : ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) 同态映射, 则称是( X ,)到(Y ,)的一种 此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,)同态.
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是满射, 则称是 满同态映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 满同态.
定理1.1 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足交换律, 则Y上的运算 也满足交换律.
定理1.2 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足结合律, 则Y上的运算 也满足结合律.
定理1.3 若代数系统(X, , )与(Y, , )满同态,且X中+关于* 的分配律成立,则Y中 关于 的分配律也成立.
二、代数系统
定义1.2 若P是集合A上有限种运算组成的集合, 则称二元组(A, P)为代数系统. 偏序集
例 5. (N, {+}), (N, {*})表示两种不同的代数系统. 定义1.3 若S A, 且在代数系统(A, ◦ )中, 当a, b ∈S时, 总有a ◦ b ∈S, 则称S关于运算“◦ ”封闭. 若S关于 “◦”封闭, 则称(S, ◦)是(A, ◦ )的子代 数.
3. 分配律
定义1.6 代数系统(A, ◦, * )上的运算“◦ ”关于
“*”满足分配律是指当 a, b, c∈A时, 有
a ◦ (b * c)=(a ◦b) * (a ◦ c) . (◦对 *是可分配的)
x ( y z ) ( x y) ( x z ), ( y z ) x ( y x) ( z x),
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是双射, 则称是同构映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 同构.
两个同构的代数系统可以认为没有什么区别.
例 7. 证明代数系统 (I, +)与(zm, +m )满同态, 其中 zm表示整数集I关于同余关系Rm的商集. 定义 一个代数ห้องสมุดไป่ตู้统到自身的同态称为自同态; 一 个代数系统到自身的同构称为自同构.
三、代数运算的性质 1. 交换律 定义1.4 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足交换
律是指当 a, b ∈A时, 有
a ◦ b =b ◦ a . 2. 结合律 定义1.5 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足结
合律是指当 a, b, c∈A时, 有
( a ◦ b )◦ c=a ◦ (b ◦c) .
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是满射,则称是满 同态映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )满同态.
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是双射,则称是 同构映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )同构.
定义1.5 若是X到Y的映射, 而且对于任意 x1 , x 2 X, 有 (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ), (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ) 则称是(X, , )到(Y, , )的一种同态映射, 此时称代数 系统(X, , )与(Y, , )同态.
在Z m定义加法"": [i ]Rm [ j ]Rm [i j ]Rm , 和乘法"": [i ]Rm [ j ]Rm [ij ]Rm
在Z m上, ""和""都满足交换律和结合律 ,
"" 对""满足分配律 .
四、代数系统的比较—同态与同构
定义1.7 若是X到Y的映射, 对任意x1 , x2 X ,
§1 代数系统的基本概念
一、代数运算 定义1.1 设A为集合, 映射f: A×A→A称为A上的 一个二元代数运算, 简称为二元运算. 若f是A上的二元运算, 通常将f(a, b)简记为a ◦ b, 其中符号◦表示二元运算,称为算符.
一般地, 映射f : A A
n个
A A 称为A上的一
§2 格
一、格的概念
定义2.1 若部分序集(L, )中任意两个元素a, b(做成的集合)都有 最小上界和最大下界, 则称L关于部分序 作成一个 格.
此时,最小上界和最大下界分别记为
sup (a, b)(或a b), inf (a, b)(或a b).
注: 部分序集(L, )中任意一对不满足关系" "的元素a, b 做成的子集{a,b}都有上确界和下确界, 则(L, )是格.
则矩阵加法、矩阵乘法都是M n ( Z )上的二元运算, 而求逆运算不是.
注: 可以任意定义二元运算,而不必考虑它的数学意义.
验证一个运算是否是集合S的二元运算,只须考虑以下两点:
(1)S中任意两个元素均可进行这种运算,且有唯一 运算结果, (2)S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该 运算封闭.
个n元代数运算, 简称为n元运算. 例 1. 自然数集N上的加法, 乘法运算是二元运算;
但自然数集N上的减法, 除法不是N上的二元运算.
例 2. 整数集Z上的加法, 减法和乘法都是Z上的 二元运算, 但除法不是Z上的二元运算; 注: 整数集Z上求相反数的运算是I上的一元运算.
为什么?
例 3. 集合S的幂集P(S)上的交、并、差及对称差 都是P(S) 上的二元运算. 例4. 设M n (Z )表示所有n(n 2)阶整矩阵的集合,
例1. 设集合S的幂集为P(S),则偏序集 (P(S), )是格.
同理可证,正整数集对应的偏序集 (Z , "|" )也是格.
左分配律 右分配律
矩阵乘法对矩阵加法满足分配律, 而矩阵加法对矩阵乘法不满足分配律.
◦在A上可交换时,左分配律和右分配律是一回事.
例 6. 整数集Z上关于模m的同余关系
Rm : i, j Z , iRm j m (i j),
记Z关于Rm的商集Z / Rm Zm {[ x]Rm : x 0,1,, m 1 },
有 : ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) 同态映射, 则称是( X ,)到(Y ,)的一种 此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,)同态.
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是满射, 则称是 满同态映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 满同态.
定理1.1 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足交换律, 则Y上的运算 也满足交换律.
定理1.2 若代数系统(X, )与(Y, )满同态, 且X上的运算 满足结合律, 则Y上的运算 也满足结合律.
定理1.3 若代数系统(X, , )与(Y, , )满同态,且X中+关于* 的分配律成立,则Y中 关于 的分配律也成立.
二、代数系统
定义1.2 若P是集合A上有限种运算组成的集合, 则称二元组(A, P)为代数系统. 偏序集
例 5. (N, {+}), (N, {*})表示两种不同的代数系统. 定义1.3 若S A, 且在代数系统(A, ◦ )中, 当a, b ∈S时, 总有a ◦ b ∈S, 则称S关于运算“◦ ”封闭. 若S关于 “◦”封闭, 则称(S, ◦)是(A, ◦ )的子代 数.
3. 分配律
定义1.6 代数系统(A, ◦, * )上的运算“◦ ”关于
“*”满足分配律是指当 a, b, c∈A时, 有
a ◦ (b * c)=(a ◦b) * (a ◦ c) . (◦对 *是可分配的)
x ( y z ) ( x y) ( x z ), ( y z ) x ( y x) ( z x),
若是( X ,)到(Y ,)的同态映射 , 且是双射, 则称是同构映射,
此时, 称代数系统 ( X ,)与(Y ,) 同构.
两个同构的代数系统可以认为没有什么区别.
例 7. 证明代数系统 (I, +)与(zm, +m )满同态, 其中 zm表示整数集I关于同余关系Rm的商集. 定义 一个代数ห้องสมุดไป่ตู้统到自身的同态称为自同态; 一 个代数系统到自身的同构称为自同构.
三、代数运算的性质 1. 交换律 定义1.4 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足交换
律是指当 a, b ∈A时, 有
a ◦ b =b ◦ a . 2. 结合律 定义1.5 代数系统(A, ◦ )上的运算“◦ ”满足结
合律是指当 a, b, c∈A时, 有
( a ◦ b )◦ c=a ◦ (b ◦c) .
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是满射,则称是满 同态映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )满同态.
若是(X, , )到(Y, , )的同态映射,且是双射,则称是 同构映射, 此时称代数系统(X, , )与(Y, , )同构.
定义1.5 若是X到Y的映射, 而且对于任意 x1 , x 2 X, 有 (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ), (x1 x 2 )=(x1 ) (x 2 ) 则称是(X, , )到(Y, , )的一种同态映射, 此时称代数 系统(X, , )与(Y, , )同态.
在Z m定义加法"": [i ]Rm [ j ]Rm [i j ]Rm , 和乘法"": [i ]Rm [ j ]Rm [ij ]Rm
在Z m上, ""和""都满足交换律和结合律 ,
"" 对""满足分配律 .
四、代数系统的比较—同态与同构
定义1.7 若是X到Y的映射, 对任意x1 , x2 X ,