高中数学 1 定积分的概念 新人教A选修-2
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
1.5.3定积分的概念课件人教新课标2(1)
一点i (i 1, 2,..., n) ，作和式：
S
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做 函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分：
S
lim n
n i 1
b
n
a
f
(i
)
b
f (x)dx
a
在区间[a, b]上的定积分，记为
i 1 i n x
nnn
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
y
问题2：对每个小曲边梯
y x2
形如何“以直代曲”？
O1 2 3 nnn
i 1 i n x
nnn
i 1 i
n
n
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆 的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？
v
v t2
问题3：能不能类比割圆术 的思想和操作方法把曲边梯
形的面积问题转化为直边图
形的面积问题？进而尽可能
有规律地减小误差，使得直
边图形的面积越来越接近曲
边梯形的面积？
O
曲边梯形
1t
割圆术
思考、讨论，进行交流
积分上限
b a
f
(x)dx
Hale Waihona Puke Slimn0
n i 1
ba n
f (i )
积分下限
被 积
函
数
被 积 表 达 式
《定积分的概念》人教版高中数学选修PPT精品课件
b
（2）若 f(x) ≤ 0, x∈[a,b] ，则
f(x)dx = -A
a
y
y = f(x)
b
y = a f(x)dx
o
y
a o
b x
b
y = -a f(x)dx
y = f(x) x
新知探究
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a f
-a
xdx =
2
a f xdx
0
新知探究
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi )
作和式：
n
S = f ξi Δxi
i=1
新知探究
积分上限 b
n
积分和
a
f(x)dx
=
lim
n →0
i =1
讲解人： 时间：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题. 最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
新知探究
曲边梯形面积
y
y=ƒ(x) A
B
x=a
x=b
o a y=0 b x
n
n1
S = lim f Δx→∞ i=1
ξi
Δx = lim Δx→∞ i=1
f n
ξi
变速运动的路程
n
课堂练习
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
m
b
-
a
≤
b
a
f(x)dx
≤
M
b
高中数学(新课标)选修2课件1.5.3定积分的概念
bf(x)dx 的几何意义．
a
状元随笔 定积分的物理意义：从物理上看，如果在时间区
间[t1，t2]上
v＝v(t)连续且恒有
v(t)≥0，那么定积分t2v(t)dt t1
表示做
变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积
分tt12v(t)dt 的物理意义．
知识点三 定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： (1)bkf(x)dx＝___k__bf_(_x_)d_x___(k 为常数)； ((23))aabb[f(fx1()xd)x±＝f2(_x_)_]adc_fx_(x＝_a)_d__xab__f_1_(_＋x_)_d__x__±__cb_fab__(f_x2_(_)_xd__)x_d__x___；_(其中 a<c<b)．
1.5.3 定积分的概念
知识点一 定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b xi]上任取一点
将ξi(i区＝间1,[2a，，…b]，等n分)，成作n和个式小i＝Σn1区f(ξ间i)Δ，x在＝每__i＝Σ个_n1_小_b_－区n__a间_f(_ξ[_ix)_i－_1_，.
B.1(2x－1)dx 0
C.1(2x＋1)dx 0
D.1(1－2x)dx 0
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－1
0
0
1dx＝1(2x－1)dx.
0
答案：B
3．定积分3(－3)dx＝( )
1
A.－6
B．6
C．－3 D．3
解析：33dx 表示图中阴影部分的面积 1
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
1-5-3 定积分的概念 课件 (人教A版选修2-2)
i －1 ∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋ n i －1 ＝2＋ n . ∴ f(ξi)Δx＝
i＝1 n n n
i＝1
i－1 1 (2＋ )· n n
＝
i＝1
2 i－1 (n＋ n2 )
2 1 ＝ · n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n 1 nn－1 ＝2＋ 2· n 2 n－1 1 1 ＝2＋ ＝2＋ － 2n 2 2n 5 1 ＝2－2n. 5 1 5 ∴ (1＋x)dx＝lim (2－2n)＝2. n→∞
解 (1)由y＝ 图．
4－x2 知，x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如下
被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由 定积分的几何意义知，此定积分为半圆的面积，所以
2
-2
2 π·2 4－x2dx＝ 2 ＝2π.
π π (2)∵函数y＝sinx在x∈[－ ， ]是奇函数，由定积分的 2 2
1
0
1 1 2 1－x dx＝ ·π·1 ＝ π. 4 4
2
(2)∵函数y＝sinx＋x3在[－1,1]上为奇函数，
1 3 ∴ (sinx＋x )dx＝0.
-1
技能演练
nLeabharlann 积分下限 积分下限积分区间
答 案
积分变量
被积式 曲边梯形的面积
2.连续 恒有f(x)≥0
b 3.(1)k f(x)dx
a
b b (2) f1(x)dx± f2(x)dx
a c a
b (3) f(x)dx
名师讲解
正确理解定积分的概念及其几何意义 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积 函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无
高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2
§1.5.3定积分的概念教案一、教学目标⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义； 教学过程： 二、预习导学1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 三、问题引领，知识探究1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a
最新-高中数学 153定积分的概念1课件 新人教A版选修2-2 精品
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dxf 来自x)dx。aa
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
的面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
b
a
f
(x)dx，即即b b aa
nn
ff((xx))ddxxlimlim f n0i1i1
b(ni)axfi。(i
)
定积分的定义：
即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
1.5.3 定积分的概念
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间［a,b ］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将［a,b ］等分成n 个小区间:［a,a+n a b -］,［a+n a b -,a+na b )(2-］,…,［a+n a b n ))(1(--,b ］.第i 个区间为［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］.分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f ［a+na b i ))(1(--］Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间［a,b ］等分成n 个小区间,在每个小区间［x i -1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b ］上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b ］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b ］上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b ］有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b ］上有界.因此,当函数f(x)在区间［a,b ］上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间［a,b ］上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间［a,b ］上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间［a,b ］上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间［0,10］等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间［a,b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间［0,1］等分成n 个小区间［n i n i ,1-］(i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==［1+2+…+(n -1)］=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间［0,t 0］分成n 等份:［nit n i ,10-t 0］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［00,1t nit n i -］上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t 0］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t 0］上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在［0,t 0］这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间［00,1t n i t n i -］上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间［0,2］分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是［n i n i 2,)1(2-］,习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。
人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处 将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平 面区域的面积用积分表示为________．
人教A版高中数学选修2-2课件3.26定积分的概念(一)
验证得圆面积的计算公式并求出较精确的圆周率值。求出了π＝3、
14124 的数值。不仅如此，他还继续计算，直到算出圆内接正 3072 边
形的面积，求出更精确的圆周率值π＝3.1416.
正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之得到当时一非凡的
成果:得到 3.1415926的数值.约率为 22／7;密率为 355／113.
问题解决的思想:分割→近似代替→求和→取极限
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边图形的面积S.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:
y
因此,我们有理由相信,这个
Sn
像是一条连续不断的曲线，那么就把函数 y f ( x) 称
为区间 I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是
连续函数）
y
f(b)
y=f(x)
曲边梯形的 面积怎么求?
f(a)
这就是定积分所
oa
bx
要解决的问题.
你知道圆的面积公式怎么来的吗?
A
魏晋时期的数学家刘徽，在我国最早
D
创立了割圆术来把握圆的面积. 割圆术 就是用圆内接正多边形来近似代替圆.刘
1 n3
(12
22
(n 1)2 )
1 n3
(n
1)n(2n 6
1)
n
n
1
2
1 n
. 3
O 12 nn
k
n
x
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
数学：15《定积分的概念》PPT课件新人教A版-选修
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
编辑ppt
3
引例曲边梯形的面编积辑ppt
exit 4
定积分的定义 编辑ppt
exit 5
定积分的编几辑何pp意t 义
exit 6
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
a
f(x)dx f(x)dx
a
b
编辑ppt
a
f (x)dx0
a
7
◆定积分的基本性质
补充规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
编辑ppt
9
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
编辑ppt
10
编辑ppt
11
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
是一个确定的常数
n
2
.当
i 1
f
(
)x
i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
4．规定：
新课标人教版课件系列
《高中数学》
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• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以 及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
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(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
积．从定积分的几何意义不难理解定的积 分性质，即曲边梯实形用文面档 积的和与差．
3．当 f(x)在区间[a，b]上 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含 a
义是什么？ 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
• [答案] C
D.112dx 0
• [解析] 由积分的几何意义可知选C.
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二、填空题 4．由正切曲线 y＝tanx，直线 x＝0 和 x＝π4，x 轴所 围成的平面区域的面积用积分表示为________．
[答案] [解析]
tanxdx
由
定
积
分
的
几
何
意
义
可
知
应
表
示
为
∫
π 4
0tanxdx.
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可得大小关系．
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三、解答题 6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．
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5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)1xdx________1x2dx(图 1)；
0
0
(2)1xdx________2xdx(图 2)；
0
1
(3)2 4－x2dx________22dx(图 3)．
0
0
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• [答案] (1)> (2)< (3)< • [解析] 根据定积分的几何意义，结合图形
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• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、
下限明确； • 解答本题可先根据积分的几何意义求出相
关函数的定积分，再根据定积分的性质进 行加减运算．
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• [解析] (1)如图，
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[点评] 求定积分时应注意利用定积分的性质及几何
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• 1．定积分的概念
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• 定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加
性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定 积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的
定积分去实现． 实用文档
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[例 1] [分析]
求1x3dx. 0
• (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、 下限；
• (4)根据积分的性质写出结果．
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画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面 积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5. (2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.
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[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
B．[0,2]
• C．[1,2]
D．[0,1]
•
[答案]
[解析]
B解方程组yy＝＝e1x
，yx＝ ＝e2x
可得xy＝＝01 ，xy＝＝2e2
所以积分区间为[0,2]，实故用文应档选B.
• 2．下列式子中不成立的是 ( ) A．∫2aπ＋asinxdx＝∫2bπ＋bcosxdx
B． sinxdx＝ cosxdx
C.πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D.π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
• [答案] C
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[解析]
由定积分的几何意义知
π
sinxdx>0，
π
cosxdx
0
0
＝0，所以C不成立，故应选C.
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3．下列值等于 1 的是
()
A.1xdx 0
B.1(x＋1)dx 0
C.11dx 0
设此面积为S，则S＝5|sinx|dx 2
或S＝πsinxdx＋5(－sinx)dx
2
π
＝πsinxdx－5πsinxdx. 2
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• 一、选择题
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲 边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分
区间为 ( )
• A．[0，e2]
法是任意的，不一定是等分，只要保证每 一个小区间的长度都趋向于0就可以，采 用等分的方式是为了便于作和．
• ②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定
积分的定义计算定积分时为了方便，常把
ξi都取为每个小区间的左(或右)端点． • 2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝
b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面
这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
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[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
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(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
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因此1x3dx＝14. 0
• [点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似 代替、求和、取极限，关键环节是求 和．体现的基本思想就是先分后合，化曲 为直，通过取极限，形成整体图形的面 积．
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利用定积分的定义求b2dx 的值． a
[解析] 令 f(x)＝2. (1)分割： 在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a， b]等分成 n 个小区间a＋(b－an)(i－1)，a＋(b－n a)i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－n a.
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(2)近似代替、作和： 取 ξi＝a＋(b－n a)i(i＝1,2，…，n)，
积，故由定义可求，但注意被积函数及积 分上、下限特点可采用几何意义解决．
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数， 图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方 部分面积与在x轴下方部分面积相等，由 积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
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• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
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• [点评] 用定积分表示曲线围成的平面区 域的面积的步骤是：
• (1)准确画出各曲线围成的平面区域； • (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，
同时要注意x轴下方有没有区域；
意义．
(1)定积分的性质的推广
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
②bf(x)dx＝ f(x)dx＋ a
cc12f(x)dx＋…＋
f(x)dx(其中 n∈N＋)．
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(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －ag(x)dx＝2ag(x)dx.
意义进行表示．
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[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
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(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
•
1．5.3 定积分的概念
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• 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程， 了解定积分的背景，借助于几何直观体会 定积分的基本思想，了解定积分的概念， 能用定义求简单的定积分．
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• 本节重点：定积分的定义与性质． • 本节难点：定积分定义的理解．
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• 1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分
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• [例4] 利用定积分的性质和定义表示下列 曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①y＝ x图象为抛物线的一部分；
②x＝y2 为一条抛物线；
③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线．
解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何
则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．