有理函数及三角函数有理式的积分

求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。
二、有理函数的积分 有理函数R（x）是指由两个多项式的商所表函数，即
nn1
P（x） a°xaixa* ix a*
R（x）Q（x）b°xmbixm 1bmiX bm
其中m和n都是非负整数；ao，ai，a2,，an及5,4,5,，bm都是实数，通常总假定 分子多项式P（x）与分母多项式Q（x）之间没有公因式，并且ao0，bo0.
当n m时，称R（x）为真分式；而当n m时，称R（x）为假分式.
一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式•例如
43
x x2,x1
2x x 12—
x 1x 1.
多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，
式的积分往往是转化为最简分式来计算•鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题
§3.6有理函数及三角函数有理式的积分
教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握
有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。
重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
教学过程:
一、问题的提出
前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积 分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按 照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容
6
x
：25x
6x2
x 3
注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数.
2
x
2
例3把(X2)(x2x2)分解为最简分式之和.
解：因为分母中x
2x 2为二次质因式,
2
X
故应分解为
两端去分母得
(x 2)(x22x 2)
Bx C
2x 2
2 2
x A(x 2x
比较两端对应项的系数不难求得A2，
所以
2)
B
(Bx
2dx
例6求(x 2)(x 2x 2)
解：由例3可得
(X 1)2
1
(X 1)
dx
—dx
x 1
(x 2)(x22x
又x2
dx
从而
2x
dx——2——dx
2)x 2dx
1
(2x 2)1
二dx
x22x 2
2x 2丄
「dx
x22x 2
2
d(x 2x 2)
2
x
1
2
1
2
1|n
2
2x 2
x2
x 2
2x
x2
In
2dx
x34x22x9 ,
2dx
x 5x6x34x22x 9
x25x 6
x 3
~2
2知x 5x 6
4x22x 9
dx
X
x25x
6
3
所以,
例5求 解：因为
2
X
2
X
X
2
£
x(x
5x6
51n x
2dx
1)
所以
2dx
x(x 1)
Ldx
3
61n x
x(x 1)
(x
1
(X 1)
2dx (x 1)2
1
x 1
2X
Inx
In x 1
x 3
例2把x25x
6分解为最简分式之和.
解：因为x5x
6
(x 2)(x 3)
x 3
A
B
2
所以，令x 5x上式两端去分母后，
6
得
x 2
x 3
，其中A、B为待定常数.
或
x
3 A(x 3)
B(x
2)
比较Βιβλιοθήκη Baidu端系数有
x
3 (A B)x
(3A
2B)
A
i B 1
(3A B) 3
从而解得A
5,
B 6•所以
x 3
5
P(x)
综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出， 且原函数
都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。
由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分旦凶dx的步骤书为：
Qm(x)
第一步 将Qm(x)分解为(2)的形式；
第二步 将旦型分解为(3)的形式；
Qm(x)
第三步求各部分分式的原函数。
下面通过举例来说明这类函数的积分方法.
1，
C)(x 2)
C 2
2
(x 2)(x 2x 2)
x2
x22x 2
由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和,AAMx NMx N
X a、(x a)、X px q、(x数的积分.显然，前面四类都比较容易积出， 一类积分较繁，
其积分最终归结为多项式、
解：因为
又由前面例
3X
k2
px q) (k N,k 1, p 4q 0)等五类函 我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后 其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论
2dx
x22x 2
d(x 1)
(x 1)21
2x 2arcta n(x 1) C
(x2)2
arcta n(x 1) C
x22x 2
2dx
(x 2)(x22x 2)
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。
数都可用sin x及cosx的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由 常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为 有理式，积分R(si nx,cosx)dx称为三角有理式的积分。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”
“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等
变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、 提取公因子；三角恒等变形：半角、 倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、 分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、 倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。
2A B
C 0
A
1
从而解得A1,B
1,C
1.
1
1
1
1
于是得x(
x 1)
2
=x
(x 1)2
(x 1).
注：此题定A、B、C还有另法： 在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的 常数•
在式⑴中
令x令x再令x
1，得B 1；
0,得A 1：
2，得C
1.
于是得
1
1 1
1
x(x
1)2=
x (x 1)2
(x 1)
易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还
“积不出”。例如，
sin x dx
dx,
x In x
被积函数都是初等函数， 看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，这是
因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分
计算技巧。
下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤.
1
例1把x(x1f分解为最简分式之和•
解：根据真分式的性质可设
1
A
B
C
x(x
1)2=
x (x
1)2
(x
1)
上式两端去分母后，得
1
A(x
1)2
Bx Cx
(x
1)
(1)
或
1
(A
C)x2
(2A
B
C)x A
⑵
因为这是恒等式，等式两端对应项的
勺系数应相等，
于是有
A
C 0