对一道课本习题的研究
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ｎ ６ ＋２＝ ２ （ 口＋ ｂ ） ， ＝１ 一ａ ，
＝ ，
长为 ２ ， 正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长 为 １ ， 于是
Ｐ Ｑ＝Ｂ Ｐ ＋Ｑ Ｄ ＝Ｑ Ｇ， 从 而 △Ｃ Ｐ Ｑ
△Ｃ Ｇ Ｑ， 因此
亦即
从而
ＬＰ Ｃ Ｑ＝／ ＿ Ｇ Ｃ Ｑ＝ ２／ ＿ Ｐ Ｃ Ｇ＝ ４ ５ 。 ．
Ｐ Ｑ＝ ２一（ 口＋ ｂ ） ，
使边 Ｃ Ｂ与 Ｃ Ｄ重合， 则 点 Ｐ 与点 Ｇ重 合， 点 Ｑ与 点 Ｈ 重合 ， 于是 Ｃ Ｐ ＝Ｃ Ｇ，
Ｂ Ｐ＝Ｄ Ｇ． ＬＰ Ｃ Ｇ＝９ ０ 。 ． 又 ＡＡ Ｐ Ｑ 的周
所以
即
图 １
￣ ／ 口 ＋ ｂ ＝ ２ 一 （ ０ ＋ ６ ） ，
角线 Ｂ Ｄ交 Ｃ Ｐ 于点 Ｅ， 交 Ｃ Ｑ 于 点 Ｆ， 则 Ｊ ｓ ｃ Ｐ ０＝
２Ｓ△Ｇ Ｆ ．
理得 ห้องสมุดไป่ตู้
（ 口＋ ｂ ） ＝（ １ 一口 ） ＋（ １ 一ｂ ） ，
第 ４期
Ｙ － ４ ￣ ￣ 龙： 对 一 道 课 本 习题 的研 究
・１ ７・
正 方形 边长 的 ２倍 ． ３ 试题 的 拓展研 究
结论 ５ 在正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 若 点 Ｐ， Ｑ分别 在 边Ａ Ｂ， Ａ Ｄ上 ， ＡＡ Ｐ Ｑ的周长 是 正方形 边 长 的 ２倍 ， 则 Ｓ △ ＋Ｓ △ ｃ Ｄ ０＝ Ｓ △ ｃ Ｐ ｏ ． 如果 联 结 正 方 形 的 对 角 线 Ｂ Ｄ， Ｂ Ｄ 截 ＡＣ Ｐ Ｑ 的 ２边分 出了一个小 三 角形 ， 那 么这 个小 三 角形 的 面 积与原 ＡＣ Ｐ Ｑ 的面积 有 怎样 的关 系 呢 ？经 过 尝 试研 究得 如 下 的结 论． 结 论 ６ 在 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 从 顶 点 Ｃ引 ２条
的大 小．
Ｃ Ｑ＝
由勾股 定理 得
Ｅｃ ： ．
（ 人 教 Ａ版 数 学必修 ４第 １ ４ ７页 习题 ） 解法 １ （ 综合 几 何 法 ） 如图 １ ， 将
正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 绕 点 Ｃ顺 时针 旋 转 ９ ０ 。 ，
√ ２
因为Ｐ Ｑ ＝ ￣ ／ 口 ＋ ｂ ， 又由已 知条件得
笔者尝试用上述解法来考查结论 的逆命题 ， 发 现也是一个真命题 ， 于是便有如下的结论． 结论 ２ 在正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若点 Ｐ ， Ｑ分别在 边Ａ Ｂ ， Ａ Ｄ上 ， 若 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ， 则Ａ Ａ Ｐ Ｑ的周长是
的长 分别 为 １— ０ ， １一ｂ ， Ｐ Ｑ 的长 为 口＋ｂ ．由勾股定
・
１ ６・
中学教研 （ 数 学）
对
一
道
课
本
习 题
的
研
究
●王 伯龙
（ 彭阳县第三中学 宁夏彭阳 ７ ５ ６ ５ ０ ０ ）
即 ｔ ２＋ｂ＝１一口 ６ ，
前苏联数学教育家奥加涅相说 过： “ 必须重视 很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、 发展功能 和教育功能的可行性． ” 中学数学教材 中的习题凝 聚了专家、 学者的集体智慧和结晶， 研究这些习题 ，
第一个蘑菇 （ 或作出第一个发现 ） 后， 要环顾 四周 ，
因为 它们 总是成 堆 生 长 的． ” 我们 从 面 积 的 视角 出 发 研究 试题 的一 般 性结 论 ， 可得 如下 的几 个结 论．
射线分别交 Ａ Ｂ ， Ａ Ｄ于点 Ｐ ， Ｑ ， 若Ｚ ＿ Ｐ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ， 对
的数学兴趣 ， 从而提高数学教学质量．
１ 试 题 的呈 现及解 答
直线Ａ Ｃ： ｙ＝ ， 由点到 直 线 的距 离公 式得
Ｑ Ｅ＝ ｂ
，
题 目 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的边长为 １ ， Ｐ ， Ｑ分别为 Ａ Ｂ ， Ｄ Ａ上的点 ， 当Ａ Ａ Ｐ Ｑ的周长为 ２时 ， 求Ｌ Ｐ Ｃ Ｑ
责无旁贷的任务． 通过研究习题可以提高学生的数
学解题 能力 ， 发 展 学 生 的 数 学 思维 能 力 ， 培 养 良好
标系， 联结 Ａ Ｃ ， 作 Ｑ Ｅ上Ａ Ｃ， 垂足 为 点 Ｅ ． 设 Ｐ（ Ⅱ ，
０ ） ， Ｑ（ Ｏ ， ｂ ） ， 由 已知得 Ｃ（ １ ， １ ） ， Ｂ（ １ ， ０ ） ， Ｏ（ Ｏ， １ ） ，
充 分挖 掘其 内在功 能 的教 育 教 学 价值 是 一 线 教 师
又ｔ ａ ｎ ａ＝０ ， ｔ ａ ｎ ｌ＝ｂ ｆ ， 于是
ｔ ａ ｎ （ ＋ １ ３ ） ＝
＝
＝， ．
由０ 。 ＜ ＋ ＜ ９ ０ 。 ， 得 ＋ ＝ ４ ５ 。 ， 故 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ． 解法 ３ （ 坐标法） 建 立如 图 ３所 示 的 直 角 坐
著名数学教育家波利亚说过 ： “ 没有一道题是
可 以解 决得 十全 十美 的 ， 总 剩下 些 工作 要 做 ， 经 过
充分的探讨与研究 ， 总会有点滴的发现 ， 总能改进 这个解答 ， 而且在任何情况下 ， 我们都能提高 自己
对 这个 解答 的理 解 水平 ． ” 他 打 比方说 ： “ 在 你找 到
Ｃ
于是 Ｒ ｔ ／ ＇ ， Ｃ Ｂ Ｐ— Ｒ ｔ ＡＣ Ｅ Ｑ ． 可知 ／ ＿ ＿ Ｂ Ｃ Ｐ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｃ Ｑ， 故 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ４ ５ 。 ． ２ 试 题 的一般性 结论
注 意到 题 目的 已 知 条 件 ： ＡＡ Ｐ Ｑ 的 周 长 恰 好
是正方形边长的 ２ 倍， 从而可得一般性的结论． 结论 １ 在正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若点 Ｐ ， Ｑ分别在
Ｐ
Ｂ
边Ａ Ｂ， Ａ Ｄ上 ， ＡＡ Ｐ Ｑ的周长是 正 方形 边 长 的 ２倍 ，
图３
图２
则 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ． 用 上 面 的方 法易 证 明结论 成 立 ， 此处 略．
解法 ２ （ 三角法） 如图２ ， 设 Ｐ， ＤＱ 的长 分
别为 Ｃ ｔ ， ｂ ， ＬＢ Ｃ Ｐ＝Ｏ Ｌ ， ／ ＿ Ｄ Ｃ Ｑ＝ 由 已知 得 Ａ Ｐ， Ａ Ｑ
＝ ，
长为 ２ ， 正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长 为 １ ， 于是
Ｐ Ｑ＝Ｂ Ｐ ＋Ｑ Ｄ ＝Ｑ Ｇ， 从 而 △Ｃ Ｐ Ｑ
△Ｃ Ｇ Ｑ， 因此
亦即
从而
ＬＰ Ｃ Ｑ＝／ ＿ Ｇ Ｃ Ｑ＝ ２／ ＿ Ｐ Ｃ Ｇ＝ ４ ５ 。 ．
Ｐ Ｑ＝ ２一（ 口＋ ｂ ） ，
使边 Ｃ Ｂ与 Ｃ Ｄ重合， 则 点 Ｐ 与点 Ｇ重 合， 点 Ｑ与 点 Ｈ 重合 ， 于是 Ｃ Ｐ ＝Ｃ Ｇ，
Ｂ Ｐ＝Ｄ Ｇ． ＬＰ Ｃ Ｇ＝９ ０ 。 ． 又 ＡＡ Ｐ Ｑ 的周
所以
即
图 １
￣ ／ 口 ＋ ｂ ＝ ２ 一 （ ０ ＋ ６ ） ，
角线 Ｂ Ｄ交 Ｃ Ｐ 于点 Ｅ， 交 Ｃ Ｑ 于 点 Ｆ， 则 Ｊ ｓ ｃ Ｐ ０＝
２Ｓ△Ｇ Ｆ ．
理得 ห้องสมุดไป่ตู้
（ 口＋ ｂ ） ＝（ １ 一口 ） ＋（ １ 一ｂ ） ，
第 ４期
Ｙ － ４ ￣ ￣ 龙： 对 一 道 课 本 习题 的研 究
・１ ７・
正 方形 边长 的 ２倍 ． ３ 试题 的 拓展研 究
结论 ５ 在正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 若 点 Ｐ， Ｑ分别 在 边Ａ Ｂ， Ａ Ｄ上 ， ＡＡ Ｐ Ｑ的周长 是 正方形 边 长 的 ２倍 ， 则 Ｓ △ ＋Ｓ △ ｃ Ｄ ０＝ Ｓ △ ｃ Ｐ ｏ ． 如果 联 结 正 方 形 的 对 角 线 Ｂ Ｄ， Ｂ Ｄ 截 ＡＣ Ｐ Ｑ 的 ２边分 出了一个小 三 角形 ， 那 么这 个小 三 角形 的 面 积与原 ＡＣ Ｐ Ｑ 的面积 有 怎样 的关 系 呢 ？经 过 尝 试研 究得 如 下 的结 论． 结 论 ６ 在 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 从 顶 点 Ｃ引 ２条
的大 小．
Ｃ Ｑ＝
由勾股 定理 得
Ｅｃ ： ．
（ 人 教 Ａ版 数 学必修 ４第 １ ４ ７页 习题 ） 解法 １ （ 综合 几 何 法 ） 如图 １ ， 将
正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 绕 点 Ｃ顺 时针 旋 转 ９ ０ 。 ，
√ ２
因为Ｐ Ｑ ＝ ￣ ／ 口 ＋ ｂ ， 又由已 知条件得
笔者尝试用上述解法来考查结论 的逆命题 ， 发 现也是一个真命题 ， 于是便有如下的结论． 结论 ２ 在正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若点 Ｐ ， Ｑ分别在 边Ａ Ｂ ， Ａ Ｄ上 ， 若 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ， 则Ａ Ａ Ｐ Ｑ的周长是
的长 分别 为 １— ０ ， １一ｂ ， Ｐ Ｑ 的长 为 口＋ｂ ．由勾股定
・
１ ６・
中学教研 （ 数 学）
对
一
道
课
本
习 题
的
研
究
●王 伯龙
（ 彭阳县第三中学 宁夏彭阳 ７ ５ ６ ５ ０ ０ ）
即 ｔ ２＋ｂ＝１一口 ６ ，
前苏联数学教育家奥加涅相说 过： “ 必须重视 很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、 发展功能 和教育功能的可行性． ” 中学数学教材 中的习题凝 聚了专家、 学者的集体智慧和结晶， 研究这些习题 ，
第一个蘑菇 （ 或作出第一个发现 ） 后， 要环顾 四周 ，
因为 它们 总是成 堆 生 长 的． ” 我们 从 面 积 的 视角 出 发 研究 试题 的一 般 性结 论 ， 可得 如下 的几 个结 论．
射线分别交 Ａ Ｂ ， Ａ Ｄ于点 Ｐ ， Ｑ ， 若Ｚ ＿ Ｐ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ， 对
的数学兴趣 ， 从而提高数学教学质量．
１ 试 题 的呈 现及解 答
直线Ａ Ｃ： ｙ＝ ， 由点到 直 线 的距 离公 式得
Ｑ Ｅ＝ ｂ
，
题 目 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的边长为 １ ， Ｐ ， Ｑ分别为 Ａ Ｂ ， Ｄ Ａ上的点 ， 当Ａ Ａ Ｐ Ｑ的周长为 ２时 ， 求Ｌ Ｐ Ｃ Ｑ
责无旁贷的任务． 通过研究习题可以提高学生的数
学解题 能力 ， 发 展 学 生 的 数 学 思维 能 力 ， 培 养 良好
标系， 联结 Ａ Ｃ ， 作 Ｑ Ｅ上Ａ Ｃ， 垂足 为 点 Ｅ ． 设 Ｐ（ Ⅱ ，
０ ） ， Ｑ（ Ｏ ， ｂ ） ， 由 已知得 Ｃ（ １ ， １ ） ， Ｂ（ １ ， ０ ） ， Ｏ（ Ｏ， １ ） ，
充 分挖 掘其 内在功 能 的教 育 教 学 价值 是 一 线 教 师
又ｔ ａ ｎ ａ＝０ ， ｔ ａ ｎ ｌ＝ｂ ｆ ， 于是
ｔ ａ ｎ （ ＋ １ ３ ） ＝
＝
＝， ．
由０ 。 ＜ ＋ ＜ ９ ０ 。 ， 得 ＋ ＝ ４ ５ 。 ， 故 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ． 解法 ３ （ 坐标法） 建 立如 图 ３所 示 的 直 角 坐
著名数学教育家波利亚说过 ： “ 没有一道题是
可 以解 决得 十全 十美 的 ， 总 剩下 些 工作 要 做 ， 经 过
充分的探讨与研究 ， 总会有点滴的发现 ， 总能改进 这个解答 ， 而且在任何情况下 ， 我们都能提高 自己
对 这个 解答 的理 解 水平 ． ” 他 打 比方说 ： “ 在 你找 到
Ｃ
于是 Ｒ ｔ ／ ＇ ， Ｃ Ｂ Ｐ— Ｒ ｔ ＡＣ Ｅ Ｑ ． 可知 ／ ＿ ＿ Ｂ Ｃ Ｐ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｃ Ｑ， 故 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ４ ５ 。 ． ２ 试 题 的一般性 结论
注 意到 题 目的 已 知 条 件 ： ＡＡ Ｐ Ｑ 的 周 长 恰 好
是正方形边长的 ２ 倍， 从而可得一般性的结论． 结论 １ 在正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 若点 Ｐ ， Ｑ分别在
Ｐ
Ｂ
边Ａ Ｂ， Ａ Ｄ上 ， ＡＡ Ｐ Ｑ的周长是 正 方形 边 长 的 ２倍 ，
图３
图２
则 ＬＰ Ｃ Ｑ＝ ４ ５ 。 ． 用 上 面 的方 法易 证 明结论 成 立 ， 此处 略．
解法 ２ （ 三角法） 如图２ ， 设 Ｐ， ＤＱ 的长 分
别为 Ｃ ｔ ， ｂ ， ＬＢ Ｃ Ｐ＝Ｏ Ｌ ， ／ ＿ Ｄ Ｃ Ｑ＝ 由 已知 得 Ａ Ｐ， Ａ Ｑ