2021届广西高考数学模拟试卷及答案解析
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷(文科)(附答案详解)
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−31+i ，则z 的共轭复数z −=( )A. −1+2iB. 1+2iC. −1−2iD. 1−2i3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0D. ∀x >1，x ≤lnx4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )A. 0B. 1C. −1D. 25. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤42x −3y ≤−22x +y ≥6，则目标函数z =x +y 的最小值是( )A. 1B. 3C. 4D. 57. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=cosx−x 2e x的图象大致为( )A. B.C. D.8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=160，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 49.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点最短弦所在的直线方程是()A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=210.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A. n≥6B. n≥8C. n>10D. n≥1011.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. −14B. −34C. −12D. 112.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2nm⋅n的最小值为()A. 4B. 9C. 25D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则)=______ ．f(π615.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49积为______ ．16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(1)求A；(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．优秀非优秀合计男生女生合计19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求点B到平面ADE的距离．20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=12，短轴长为2√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=√3cosαy=sinα(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=4√2(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)的最小值为2，求1a+1+12b的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)2=−2+4i2=−1+2i，∴z−=−1−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体； 故V =34×43⋅π⋅13=π． 故选：D ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −3y =−22x +y =6，解得A(2,2)，化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=cos(−x)−(−x)2e −x=cosx−x 2e −x≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ；当x =0时，f(x)=1e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，=1，此时DP的斜率k=1−02−1则弦BC的斜率k=−1，则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，即x+y−3=0，故选B．根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】程序框图【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；∴框内条件应为n≥10．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1，作差可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，所以y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2，又因为离心率e=ca =√32，所以1−b2a2=34，所以−b2a2=−14，即直线AB的斜率为−14，故选：A．设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．12.【答案】B【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为2x+y=1，则2m+n=1(m,n>0)，所以m+2nm⋅n =(2m+n)(1n+2m)=5+2mn+2nm≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时，取得等号．则m+2nm⋅n的最小值为9．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2【知识点】平均数、中位数、众数【解析】【分析】本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．运用平均数的定义，解方程可得a的值．【解答】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．14.【答案】12【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π2，f(x)=cos2x，则f(π6)=cosπ3=12，故答案为：12．由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π6)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．15.【答案】16【知识点】几何概型【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=49，解得：S =16． 故答案为：16．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．16.【答案】2π3【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =ADPD=tan∠MPC =MCPC，则6PD =3PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF=24=12；∴∠EFK =π6；故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π6×4=2π3．由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =12,A∈(0,π)，所以A=π3．(2)选择①a=√3.由正弦定理bsinB =csinC=asinA=2，即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π3−B)+√3=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π6)+√3，∵B∈(0,2π3)∴π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π6)≤1，即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，得bc=4．由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =2√3sin(B +π6)+√3，可求B +π6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC．∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2……………………………(8分)1 3⋅12⋅AD⋅DE⋅d=13⋅12⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)解得d=√3.………………………………(12分)【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2，求解距离即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ca =122b=2√3，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√33，则直线l 的方程为y =√33(x −1)，即x =√3y +1，联立{x 24+y 23=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6√313，y 1y 2=−913，则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2413， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =12LR ，得内切圆R =2S L=613，所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36169π.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由离心率e =12，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√33，写出直线l 的方程，联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =2S L，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1x ，因为f(1)=3，f′(1)=3，故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1x =2kx 2+2x−1x，x >0，设g(x)=2kx 2+2x −1，①当k =0时，g(x)=0可得x =12，易得，当0<x <12时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >12时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；②当k >0时，△=4+8k >0，由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，当k ≤−12时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−12<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，或x =−√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当√1+2k−12k<x <−√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，当x >−√1+2k−12k，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x =−√1+2k−12k取得极大值，综上−12<k <0．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3=cosαy =sinα，两式两边平方相加得：(√3)2+y 2=1，即曲线C 1的普通方程为：x 23+y 2=1．由曲线C 2：ρsin(θ+π4)=4√2得：√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,12)．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√12)=13(32+√2)=12+√23当且仅当ba+1=a+12b，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)所以1a+1+12b 的最小值为12+√23.(10分)【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2021年广西高考数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－2，－1,0,1}D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63．若0tan >α，则 （ ）A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x ≥”的否定形式是 （ ）.A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )。
2021届广西南宁市高三一模数学(文)试卷及答案解析
绝密★启用前2021届广西南宁市高三一模数学（文）试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}24A x x =≤，{}1,0,1,2,3B =-，则AB =（）A ．{}2,3-B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2答案：D先求出集合A ，再由交集定义即可求出. 解：{}{}2422A x x x x =≤=-≤≤，{}1,0,1,2A B ∴=-.故选：D.2．复数()()112z i i =+-，则z 的虚部是（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3答案：B利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.解：()()21121223z i i i i i i =+-=-+-=-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：B. 3．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．725-B ．725C ．1825D ．2425答案：A由二倍角公式结合诱导公式即可求解. 解：3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，297sin 2cos 22cos 121242525ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，392S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．n B ．12n + C ．21n - D ．312n - 答案：B由等差数列前n 项和公式求出公差，即可得出通项公式. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则313293+3+322S a d d ⨯===，解得12d =，()111122++n n a n ∴=-⨯=.故选：B.5．已知直线l ，两个不同的平面α和β.下列说法正确的是（） A ．若l α⊥，αβ⊥，则//l β B ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥ C ．若//l α，//l β，则//αβ D ．若l α⊂，//αβ，则//l β答案：D根据线面和面面位置关系的性质即可依次判断.解：对A ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，故A 错误；对B ，若//l α，αβ⊥，则l 与β相交，平行或在平面内，故B 错误； 对C ，若//l α，//l β，则α与β平行或相交，故C 错误；对D ，若l α⊂，//αβ，则由面面平行的性质可得//l β，故D 正确. 故选：D.6．若实数x 、y 满足约束条件203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．3B ．5C ．6D ．8答案：D作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，找出使得该直线在x 轴上截距最大值时对应的最优解，代入目标函数即可得解.解：作出不等式组203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立320x x y =⎧⎨-+=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，即点()A 3,5，平移直线z x y =+，当直线z x y =+经过可行域的顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 358z =+=. 故选：D.点评：思路点评：：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（）A ．3420x y+=-B ．4320x y --=C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =答案：C当1l 斜率不存在时可知满足题意；当1l 斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，由此可得切线方程.解：当过()2,2P 的直线1l 斜率不存在时，方程为2x =，与圆()2211x y -+=相切，满足题意；当过()2,2P 的直线1l 斜率存在时，设方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∴圆()2211x y -+=的圆心到1l 的距离202211k k d k --+==+，解得：34k =，131:042l x y ∴-+=，即3420x y+=-；∴直线1l 的方程为3420x y+=-或2x =.故选：C.点评：易错点点评：：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 8．已知函数()1ln f x x=，则其大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：B通过函数的定义域排除选项D,再通过1x >时的函数值确定选项. 解：由题得函数的定义域为{|1}x x ≠，所以选项D 错误； 当1x >时，1ln 0,0,()0ln x f x x>∴>∴>，所以选项B 正确，选项A,C 错误.故选：B点评：方法点评：：根据函数的解析式确定函数的图象，一般先找差异，再验证. 9．某中学高三文科⒉班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分.测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法： ①该小组英语听力测试分数的极差为12 ②该小组英语听力测试分数的中位数为21 ③该小组英语听力测试分数的平均数为21 ④该小组英语听力测试分数的方差为11 其中说法正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据统计量的相关性质，直接计算，逐项判断即可得解.解：对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确； 对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确； 对③，该小组英语听力测试分数的平均数为2023222114182025261892199+++++++++==，故③正确；④该小组英语听力测试分数的方差为222221[(2021)(2321)(2221)(2121)(1421)9-+-+-+-+- 2222106(1821)(2021)(2521)(2621)]9+-+-+-+-=，故④错误.故选：C.10．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（）A ．12B ．14C ．16D ．18答案：C由已知求出2p =，得出直线方程1y =+，联立直线与抛物线，利用弦长公式即可求出.解：由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得240x --=，设()()1122,,,A x y B x y，则12124x x x x +==-，则16AB ==.故选：C.点评：方法点评：：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.11．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e=（） ABCD 答案：C由题结合双曲线的性质可得1F N ON ⊥，11F N F P b ==，ON OP a ==，又得3MNb =，MP =，再由222MN ON OM +=即可求出b a =，即可求出离心率.解：如图，ON OP =，1F P OM ⊥，则由双曲线的对称性可得1F N ON ⊥，11,tan bOF c NOF a=∠=，则可得11F N F P b ==，ON OP a == 112MF F N =，1122MF F N b ∴==，3MN b ∴=，则()2223MP b b b =-=，在MNO 中，222MN ONOM +=，即()()22233b a a b +=+，可得3b a =， 2231b e a ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭. 故选：C.点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．b c a << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<答案：A先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小， 再作差利用基本不等式有2323log 3log 222log 3log 220a c -=+->⨯=即可得解.解：由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==， 2323log 3log 222log 3log 22220a c -=+->⨯>-=，所以a c >， 所以a c b >>，故选：A.点评：本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小； （2）中间量法比较大小； （3）作差法、作商法比较大小. 二、填空题13．已知向量()2,1a =-，(),4b x =，若a b ⊥，则x =__________. 答案：2根据向量的垂直，则数量积0a b ⋅=，代入向量坐标即可得解. 解：由a b ⊥可得：()()2,1,4240a b x x ⋅=-⋅=-+=，所以2x =. 故答案为：2.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若22a =，516a =，则6S 的值为__________. 答案：63由已知求出首先和公比即可得出. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得11,2a q ==， ()661126312S ⨯-∴==-.故答案为：63.15．函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为_________. 答案：5根据题意()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，且(0)sin()163g ωππ=-=±， 可得,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω即可得解.解：由题意可得：()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 由()g x 的图象关于y 轴对称， 可得(0)sin()163g ωππ=-=±，所以,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω，则ω的最小值为5. 故答案为：516．已知母线长为6的圆锥的顶点为S ，点A 、B 为圆锥的底面圆周上两动点，当SA 与SB 所夹的角最大时，锐角SAB 的面积为_________.答案：3可得当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，根据三角形面积可得sin SAB ∠=，进而得7cos 9SAB ∠=，再由余弦定理可求出半径，得出体积.解：设底面半径为r ，当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，此时166sin 2SABSSAB =⨯⨯⨯∠=，解得sin 9SAB ∠=，SAB 为锐角三角形，7cos9SAB ∴∠==，则()22227266266169r AB ==+-⨯⨯⨯=，解得2r ，则圆锥的体积为21233π⨯⨯=.故答案为：3. 点评：关键点评：：本题考查圆锥体积的计算，解题的关键是根据已知求出圆锥的底面半径. 三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B C c -+=-.（1）求角A ；（2）若ABC的面积2ABC S =△a 的取值范围. 答案：（1）30；（2）2a ≥（1）由正弦定理化角为边可得222b c a +-=，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得8bc =+. 解：（1）由已知结合正弦定理可得()()()a b a b c c -+=，即222b c a +-=，则由余弦定理可得222cos 222b c A bc bc a +===-， ()0,180A ∈，30A ∴=；（2）11sin 224ABC S bc A bc ===△，则8bc =+由22224a b c bc =+≥=，当且仅当b c =时等号成立，2a ∴≥.18．在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628 i iix y xy =-=∑).答案：（1） 1.664.4y x=+；（2）75或76.（1）由表格中的数据及所给公式求得b和a的值，则线性回归方程可求；（2）由回归方程求解预测值，注意x的取值.解：（1）由题意，1234563.56x+++++==，666770717274706y+++++== ()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5iix x=-=-+-+-+++=∑()171277281.617.5iiiiix xx y x yb==--∴===∑∑70 1.6 3.564.4a y bx=-=-⨯=∴y关于x的线性回归方程为 1.664.4y x=+；（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x=，此时 1.6764.475.6y=⨯+=保留整数为75或76人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75或76人.点评：思路点评：：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，11B C，BC的中点.（1）求证：//GH 平面11CDD C ； （2）若3ABC π∠=，求证：11B C ⊥平面1A AM .答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，可证四边形1GEC H 为平行四边形，得出1//GH C E ，即可证明；（2）通过AM BC ⊥和1AA BC ⊥可证BC ⊥平面1A AM ，再由11//B C BC 即可证明. 解：（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，G 为AC 的中点，//GE AD ∴，且12GE AD =， 在直四棱柱中1111B C A D AD ，H 为11B C 中点，1GE C H ∴，故四边形1GEC H 为平行四边形，1//GH C E ∴，GH ⊄平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，∴//GH 平面11CDD C ；（2）四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，ABC ∴为等边三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，1AM AA A ⋂=，BC ∴⊥平面1A AM ，11//B C BC ，∴11B C ⊥平面1A AM .20．已知函数()ln e xxf x a x =⋅-，其中a R ∈.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴的交点为()2,0，求a 的值；（2）设函数()()1g x f x x =-，当2e 4a =-时，试讨论()g x 的单调性.答案：（1）a e =；（2）函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 （1）本题首先可通过函数解析式得出()1af e=，然后通过求导得出()11f '=-，并写出()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程，最后通过切线与x 轴的交点为()2,0即可得出结果. （2）本题可根据题意得出()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，然后构造函数()()20xe h x x x =>，通过导函数求函数()2x e h x x=的最值从而得出2204xe x e ，最后分为()0,1x ∈、()1,x ∈+∞两种情况进行讨论，即可得出结果.解：（1）因为()()ln 0e x x f x a x x =⋅->，所以()11ln11e a f a e=⋅-=， 因为()11e x x f x a x -'=⋅-，所以()111111e 1f a -'=⋅-=-，则()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1a y x e ，即10ax ye， 因为切线与x 轴的交点为()2,0，所以210ae，解得a e =. （2）因为()()1g x f x x =-，所以()()l e 10n x g xa x x x x =-⋅>-，则()()()22211n 1e 11l x x x x x e ax x g x a x e x x e xx a x -+-'=---⋅=⋅+=， 当2e 4a =-时，()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 构造函数()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'=， 即当02x <<时，函数()h x 单调递减；当2x >时，函数()h x 单调递增，当2x =时，函数()h x 取最小值，()224e h =，即当0x >时，224x e e x ≥，224xe x e ，2204x e x e ，因为()()22214x x e x x e g x e x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 所以当()0,1x ∈，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0g x '≤，函数()g x 在()1,+∞上单调递减，综上所述，当2e 4a =-时，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.点评：关键点点评：：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数()2x e h x x =得出2204xe x e 是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.21．已知经过原点O 的直线与离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M.记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值.答案：（1）2212x y +=；（2）13-.（1）由点A 在短轴端点时，12AF F △面积取得最大值，得到1bc =，再根据椭圆的离心率为22求解.（2）设直线PM 的方程为y kx m =+与2212x y +=联立，根据PM 是椭圆的切线，由0∆=，得到22210k m -+=，设()00,P x y ，用导数法求得02x k y =-，然后根据()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-，由01202,13y k mk k x -+==+-求解. 解：（1）因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==， 设()00,A x y ，则120122AF F Sc y =⨯， 当0y b =时，12AF F △面积取得最大值， 所以1bc =，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设直线PM ：y kx m =+与2212x y +=联立得：()222124220k x kmx m +++-=，因为PM 是椭圆的切线，所以()()()2224412220km k m ∆=-⨯+⨯-=，即22210k m -+=，由2212x y +=，得2212x y =-， 所以2yy x '=-，则2xy y'=-， 设()00,P x y ，则02x k y =-①， 因为220012x y +=，所以()220021x y =-②，将①②代入22210k m -+=，得2201m y =， 因为0,m y 同号，所以01=m y ， 因为M 在直线2x =-上，所以()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-， 所以01202,13y k mk k x -+==+-， 所以()()()0000120023131x y m y y k m k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⋅==++,()()000001131313x my x x x --+==-=-++.点评：方法点评：：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R .（1）求曲线C 的极坐标方程，若原点O 在曲线C 的内部，则求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，又点P 为此时曲线C 上一动点，求PMN 面积的最大值.答案：（1）222cos 20a a ρρθ-+-=，a <<；（2）4（1）将曲线C 的参数方程消去参数得出普通方程，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程，由()22002a -+<可求出a 的范围；（2）利用弦长公式求出MN ，求出点P 到直线的最大距离，即可得出面积的最大值.解：（1）将曲线C的参数方程x a y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，可得普通方程为222x ay ，即222220x y ax a +-+-=，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程为222cos 20a a ρρθ-+-=，若原点O 在曲线C 的内部，则()22002a -+<，解得a <<；（2）当1a =时，圆C 的方程为()2212x y -+=，圆心为()1,0C，半径r =直线l 的极坐标方程()3πθρ=∈R化为直角坐标方程为y =，由22(1)2x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得24210x x --=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则121211,24x x x x +==-，||MN ====∴要使PMN 面积最大，只需点P 到直线的距离最大， 圆心()1,0C到直线的距离2d ==，则点P到直线的最大距离为2d r +=+ 所以PMN面积的最大值为12+=⎝. 点评：关键点评：：本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查三角形面积的最值，解题的关键是清楚极坐标和直角坐标的关系，知道三角形面积最大只需满足点P 到直线的距离最大. 23．已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-+的解集；（2）若()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[),02,-∞+∞.（1）当2a =时，得原不等式等价于2112x x -++>，分1x ≤-、112x -<<、12x ≥三种情况解不等式2112x x -++>，综合可得出原不等式的解集；（2）由()1,2x ∈，可得出不等式()1f x x x +->等价于11ax ->，分0a <、0a =、0a >三种情况进行讨论，在前两种情况下验证即可，在0a >时，解不等式11ax ->，根据已知条件可得出集合间的包含关系，综合可得出实数a 的取值范围.解：（1）当2a =时，()21f x x =-，则()21f x x >-+等价于2112x x -++>. 当1x ≤-时，则有12132x x x ---=->，解得23x <，此时1x ≤-； 当112x -<<时，则有12122x x x -++=->，解得0x <，此时10x -<<； 当12x ≥时，则有21132x x x -++=>，解得23x >，此时23x >.综上所述，当2a =时，不等式()21f x x >-+的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； （2）当()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立等价于当()1,2x ∈时11ax ->成立.若0a <，则当()1,2x ∈时，111ax ax -=-+>恒成立； 若0a =，则当()1,2x ∈时，11ax -=，不合乎题意；若0a >，由11ax ->可得11ax -<-或11ax ->，解得0x <或2x a>. 由题意可得()21,2,a ⎛⎫⊆+∞⎪⎝⎭，则201a <≤，解得2a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是()[),02,-∞+∞.点评：方法点评：：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝Z，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，且B＝Z；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝1，则复数z的虚部为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝1，
得z ＝，
∴复数z 的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、
标准差分别为σ
甲、σ
乙
，则（）
A ．＜，σ甲＜σ乙
B ．＜，σ甲＞σ乙
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广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 5．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 6．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．7．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d = B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-【答案】C 【解析】 【分析】 由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】 因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C9．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩ 24at t e =-=，解得a 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A．B．C． D【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=r rr r r r计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r， 即260m ---=， 解得8m =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r 故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省桂林市2021届新高考数学二模试卷含解析
广西省桂林市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.2．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m ⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.3．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.4．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题5．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．6．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．21π2C ．41π4D ．10π【答案】C 【解析】 【分析】取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.7．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．在平行四边形ABCD中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A====u u u v u u u v u u u v u u u v若CP C12,Q⋅=u u u v u u u v则ADC∠=( )A．56πB．34πC．23πD．2π【答案】C【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.9．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640 B ．416C ．406D ．236-【答案】B 【解析】2m n +=，有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得．【详解】当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的m nx y 的系数之和为8024096416++=．故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．10．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.12．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.3．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C ．D ．【答案】B 【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 4．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ．本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．6．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++，∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3. 【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BC．D【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 8．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．10．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 12．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B =-+∞U ， 故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1∙若集合A I X 2x|-X 1 0 ,B x| 1 X 2 ,贝U AI B =:()A •[ 2,2)B •(1,1]C •1,1 D. 1,2 【答案】C【解析】【分析】求出集合A, 然后与集合B取交集即可.【详解】由题意，A I X 2x|- 0 x| 2 X 1 , B {x| 1 x 2},则AI B {x| 1 X 1},故答案X 1为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题•2•执行如图所示的程序框图，若输入的t 3,则输出的i （）D. 63【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果【详解】执行程序框t 3, i 0 ；t 8, i 1 ；t 23, i 3 ；t 68, i 7 ；t 203, i 15 ；t 608, i 31，满足t 606 ,退出循环，因此输出i 31，故选:B.【点睛】3. “a 2”是直线ax 2y 1 0与X (a 1)y 2 0互相平行”的()A .充分不必要条件B•必要不充分条件 C •充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当a 2时，直线方程为2x 2y 1 0与x y 2 0 ,可得两直线平行；若直线ax2y10与X a 1 y 2 0互相平行，则a a 1 2 ,解得a1 2，a21,则“a 2”是直线ax 2y 1 0与X a 1 y 2 0互相平行”的充分不必要条件,【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题•4.冷是函数f X I ax 1 x在区间内单调递增”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要条件【答案】C【解析】I aX 1 X ∣ax2 X ,令ax2 X 0,解得X I 0, x2由上两图可知，是充要条件故选AD.既不充分也不必要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法5.已知定义在R上的可导函数f X满足1 X f X X f X 0 ,若y f(χ2) e3是奇函数，则不等式X f(x)X 12e0的解集是(, 2 ,1C.2,D.1,【答案】A【解析】【分析】构造函数g XfX,根据已知条件判断出g X的单调性根据y f X 2 e3是奇函数，求得f 2的值, 由此化简不等式X f (X) 2e x 10求得不等式的解集【详解】构造函数g XfX,依题意可知X—0 ,所以在R上递增.由于y 2 e3是奇函数，所以当0时, e30 ,所以f 2 所以3e~2-e2e.由X f (X)X 1 /口2e 0 得g2e g 2 ,所以X 2 ,故不等式的解集为,2.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式, 考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法, 属于中档题•6.已知双曲线2 2C : Xy =1(a>0 ,a bb>0)的右焦点为4F，过原点O作斜率为-的直线交C的右支于点A，若IoAFIoFI , 则双曲线的离心率为(D. 3+1【答案】B【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为2XC2,联立X2~2a2yy2b22C,可求出点1b 2∣~2 b 2b 2—4A a ^c------- ,—,则一=C2 三，整理计算可得离心率C C a j Cb 3C【详解】7.已知定义在 0, 上的函数f(x)满足f (X)22),且当 X 0,2 时，f (X) X 2x •设2n 9C l 牛卫，只需找到数列｛c n ｝的最大值即可•2n【详解】解：以0为圆心，以 OF 为半径的圆的方程为 2 2 2XyC ,2 X 联立 x 2 a 2 y 2y b 2 2 C ,取第一象限的解得 1 C b 2b 2b 2,则 ICb 2a ∖ C b整理得 9C 25a 25a 2(舍去)，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力, 是中档题 f(x)在2n 2,2n 上的最大值为a n ( n N ),且数列 a n 的前n 项的和为S n .若对于任意正整数 n 不等式k S n 1 2n 9恒成立，则实数 k 的取值范围为(A . 0, 1 32 ,3 C . 64 , 7D .64,【答案】C 【解析】 【分析】 由已知先求出f (X)max21 ,即 a n = n 12 -,进一步可得S n2n 1 ,再将所求问题转化为 k 2晋对2n丄f(X于任意正整数 n 恒成立，设当 2n 2 X 2n 时，则 O x 2 2 n 2, f(x 2 2n) (X 2 2n )(x 2n), 2n 1 (X 2 2n)(x 2n),显然当 X 2n 1 时,f (x)m aχ 2n 1,故a n = 2n-1, S n2n 1 ,若对于任意正整数n 不等式1 22n 9k S n 1 2n 9恒成立，即k2n 2n 9对于任意正整数n 恒成立，即k n 对于任2n2n 911 2n 人 11 2n 小 ” 口 11 意正整数n恒成立，设 C n 歹 ，C n 1 C n 尹厂，令—尹 O ,解得n 三， 人 11 2n C 11*r 1令一百O ,解得n,考虑到n N ,故有当n 5时，｛C n｝单调递增，2233 当n 6时，有｛C n ｝单调递减，故数列｛C n ｝的最大值为C 6 飞2643所以k —.64故选：C. 【点睛】是一道较为综合的数列题I 1 r √31 r 1 r b B.- b C . — b D .b I22 12【答案】D 【解析】 【分析】【详解】故选：D.【点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是(所以，f(x) 2n1f[x 2(n1)]本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、 等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识,&已知非零向量Ll * Ib ,右b 且2a b √3 b ,则向量 b 在向量a 方向上的投影为(设非零向量a 与b 的夹角为 在等式2a两边平方, 求出COS 的值，进而可求得向量 b 在向量a 方向上的投影为COS ,即可得解.r r r 2 b 得2a br23br 2,整理得2a 2ar 2 b「2rr2a 2 a 2 a COS 40 ,解得cos因此，向量b 在向量a 方向上的投影为A . 1. 1B . 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题 【详解】 初始值n O , S 111第一次循n 1 , S1 一2 2；第二次循环：n 2 , S 1 2 12 3 3第三次循环：n 3 , S 1 3 13 4 4第四次循环：n 4 , S — 4 —4 5 5第五次循环：n 5 , S 1 5 15 6 6第六次循环：n 6 , S 1 6 16 7 7第七次循环：n 7 , S — 7 —7 8 8 18 1第九次循环：n 8， S ———；8 9 9 1 9 1第十次循环：n 9， S — — —0.1；9 10 101 所以输出S 9 0.9. 10故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题110 .已知复数Z 满足—1 i ,则Z 的值为（）D . 2. 8ZC . -J2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数Z进而求得其模【详解】12i，所以Z1 12 2故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题11. 一个陶瓷圆盘的半径为IOcm ,中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001)(1000粒米后，发）A. 3.132 B . 3.137C. 3.142D. 3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知:S H241025110003.137故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型, 属于基础题12 .设等差数列θn的前n项和为S n ,若a4 5, S9 81 ,则印。
广西桂林市、崇左市2021届高考数学联考试卷(文科)(二模)(含答案解析)
广西桂林市、崇左市2021届高考数学联考试卷(文科)(二模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)︳x2+y2=1}，B={(x,y)︳x+y=1}，则集合A∩B的元素个数为()A. 4B. 3C. 2D. 12.若复数z=a+bi(a、b∈R)，则下列正确的是()A. |z2|>|z|2B. |z2|=|z|2C. |z2|<|z|2D. |z|2=z23.函数f(x)=2x2−mx+3，当x∈(−∞,−2]时是减函数，x∈[−2,+∞)时是增函数，则f(1)等于()A. −3B. 13C. 7D. 由m而定的常数4.设α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，若1−cosαsinα=1+cosβsinβ，则下列结论一定正确的是()A. sinα=sinβB. sinα=−cosβC. sinα=cosβD. sin2α=sin2β5.设椭圆x22+y2=1的两个焦点为F1，F2，且P点的坐标为(√22 , √32)，则|PF1|+|PF2|=()A. 1B. √2C. 2D. 2√26.等差数列{a n}中，a1>0，S n是前n项和且S9=S18，则当n=()时，S n最大．A. 12B. 13C. 12或13D. 13或147.曲线上的点到直线的最短距离是()A. B. C. D. 08.如果：在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103，那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为()A. 29B. 254C. 602D. 20049.已知P是圆x2+y2=1上的一动点，则P点到直线l：x+y−2√2=0的距离的最大值为()A. 1B. 3C. 2D. 2√210.在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()A. B.C.D.11. 数列{a n }满足a n +a n+1=1 (n ∈N ∗)，a 2=2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 31为( )A. 14B. 15C. 16D. 1712. 已知双曲线的右准线与渐近线在第四象限的交点为，双曲线的右焦点为，则所在直线的斜率是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等边△ABC 的边长为1，D 为边AC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 14. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥a ，目标函数z =3x −2y 的最小值为−4，则a 的值是______．15. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，若f(π12)−f(−5π12)=2，则函数f(x)的单调增区间为______． 16. 设函数f(x)={1−sinπx,−2≤x <0(19)x ,x ≥0，若关于x 的方程f(x)−a =0有三个不等实根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=−52，则a = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且cosBcosC =−b2a+c ． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)b =√13，a +c =4，且a >c ，求△ABC 的面积．18. 如图，在三棱锥S −ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC =90°，O 为BC 中点． (1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)(理科)求二面角A −SC −B 的余弦值． (文科)若AB =2，求三棱锥A −SBC 的体积．19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40间产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(Ⅰ)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(Ⅱ)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的数学期望．20. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx ． (1)当a =log 32时，求f(x)的单调区间； (2)若a <−12，函数g(x)=f(x)x在x =x 0处取得最小值，证明：0<f(x 0)<(e −1)(e −a)．21. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ． (1)求证：直线AB 过焦点F ；(2)若|PA|=8，|PB|=6，求|PF|的值．22. 在直角坐标系xOy 中，将单位圆x 2+y 2=1上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 的参数方程；(2)设M 为C 上一点，N 点的板坐标为(2,π2)，求|MN|的最大值及此时点M 的坐标．23. 设不等式组{|x −1|+2>|x +2||x −1|<|x +2|的解集为M ，且a ，b ∈M ．(1)证明：|a +3b|<2(2)试比较|1−4ab|与2|a −b|的大小，并说明理由【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本元素，根据点集关系转化为直线和圆的位置公式是解决本题的关键，属于基础题．根据集合关系转化为直线和圆的位置关系即可得到结论．解：集合A的元素为半径为1的圆上的点构成的集合，集合B的元素为直线x+y=1上的点构成的集合，圆心到直线的距离d=√2=√22<1，即直线x+y=1和圆相交，则直线和圆有2个公共点，故集合A∩B的元素个数为2个，故选：C．2.答案：B解析：解：∵z2=(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2−b2+2abi；∴|z2|=√(a2−b2)2+(2ab)2=√a4+2a2b2+b4=a2+b2；又∵|z|=2+b2；∴|z|2=a2+b2．即|z2|=|z|2．故选：B．3.答案：A解析：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题．解：二次函数f(x)=2x2−mx+3的图象是抛物线，当x∈[−2,+∞]时增函数，当x∈(−∞,−2]时是减函数，∴抛物线的对称轴是x=m4=−2，解得m=−8，∴f(x)=2x2−8x+3，∴f(1)=2−8+3=−3．故选A．4.答案：A解析：解：由已知可得：1−cosαsinα=1−1−tan2α21+tan2α22tanα21+tan2α2=1+1−tan2β21+tan2β22tanβ21+tan2β2=1+cosβsinβ，从而有：tanα2tanβ2=1，得sinα2sinβ2=cosα2cosβ2故有：cos(α+β2)=0∵α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，∴π4<α+β2<3π4∴α+β=π∴sinα=sin(π−β)=sinβ故选：A．由万能公式化简可得cos(α+β2)=0，由已知可求得π4<α+β2<3π4，从而α+β=π，故可得sinα=sin(π−β)=sinβ．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．5.答案：D解析：解：经验证P的椭圆上的一点，椭圆x22+y2=1的两个焦点为F1，F2，且P点的坐标为(√22 , √32)，则|PF1|+|PF2|=2a=2√2．故选：D．判断P的位置，利用椭圆的定义，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆定义的应用，是基本知识的考查．6.答案：D解析：解：设等差数列{a n}的公差是d，由S9=S18得，9a1+9×82×d=18a1+18×172×d，解得d=−113a1，∴S n=na1+n(n−1)2×d=−126a1⋅n2+2726a1n，∵a1>0，∴当n=27时，即n=13或14时，S n最大，2故选：D．由等差数列的前n项和公式化简S9=S18，求出a1与d的关系式，利用二次函数的性质求出S n最大时n的值．本题考查等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出S n最大，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义及点到直线的距离公式，在曲线y=ln(2x−1)上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x−y+3=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．解：设曲线y=ln(2x−1)上的一点是P(m,n)则过P的切线必与直线2x−y+3=0平行．由，所以切线的斜率，解得m=1，n=ln(2−1)=0．即P(1,0)到直线的最短距离是．故选A．8.答案：B解析：解：(2004)5=2×53+4=254．故选B．本题考查的知识点是类比推理，由10进制的转换方法类比推理出5进制的转换方法，5进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进行转换，即可得到答案．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．9.答案：B解析：先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离，则将此距离加上半径，即为所求．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．=2，解：圆心(0,0)到直线l：x+y−2√2=0的距离d=√2|2故P点到直线l：x+y−2√2=0的距离的最大值为d+r=2+1=3，故选：B．10.答案：B解析：解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：数列{a n}满足a n+a n+1=1(n∈N∗)，a2=2，∴a1+2=1，解得a1=−1．则S31=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a30+a31)=−1+1×15=14．故选：A．数列{a n}满足a n+a n+1=1(n∈N∗)，a2=2，可得a1+2=1，解得a1.利用S31=a1+(a2+a3)+ (a4+a5)+⋯+(a30+a31)即可得出．本题考查了数列分组求和、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：由双曲线得a=4，b=3，c=5，右焦点F(5,0)，因此双曲线的右准线方程为，双曲线的渐近线方程为y=，联立，解得(舍去)或，即，因此PF 所在直线的斜率为，故选A ．13.答案：−34解析：解：因为△ABC 为等边三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×√32cos150°=−34； 故答案为：−34．所求利用数量积公式解答，其中向量的夹角为150°．本题考查了向量的数量积的定义和等边三角形的性质，属于基础题．14.答案：−1解析：解：作出约束条件所对应的可行域(如图)，目标函数z =3x −2y 可化为y =32x −12z ， 平移直线y =32x −12z 可知， 由{x −y =−1y =a ， 解得x =a −1，y =a ， ∴A(a −1,a)，当直线经过点A 截距取最大值，z 最小， ∴3(a −1)−2a =−4， 解得a =−1故答案为：−1．作出可行域，变形目标函数并平移直线y =32x −12z 可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图、利用目标函数的几何意义求最值是解决问题的关键，属于中档题．15.答案：[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z解析：解：∵函数f(x)=sin(2x +φ)，若f(π12)−f(−5π12)=2， 函数f(x)的周期为π，则f(π12)=sin(π6+φ)=1，f(−5π12)=sin(−5π6+φ)=−1，故π6+φ=2kπ+π2，且−5π6+φ=2kπ−π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π3，k ∈Z ．故f(x)=sin(2x +π3 )．令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ． 故答案为：[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z ．本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的值域、单调性，属于中档题． 由条件可得π6+φ=2kπ+π2，且−5π6+φ=2kπ−π2，k ∈Z ，求得φ的值，可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．16.答案：13解析：解：如图所示，画出函数f(x)的图象， 不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1+x 2=2×(−32)=−3， 又x 1+x 2+x 3=−52， ∴x 3=12． ∴a =(19)12=13． 故答案为：13．如图所示，画出函数f(x)的图象，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1+x 2=2×(−32)，又x 1+x 2+x 3=−52，可得x 3，代入aa =(19)x 3即可得出a ．本题考查了函数的图象与性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB=−sin(B+C)=−sinA，∵sinA≠0，∴cosB=−12，∵B为三角形内角，∴B=120°；(Ⅱ)∵b=√13，cosB=−12，a+c=4，∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，即13=a2+c2+ac=(a+c)2−ac=16−ac，∴ac=3，则S△ABC=12acsinB=12×3×√32=3√34．解析：(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin A不为0，求出cos B的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(Ⅱ)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式化简，将b，a+c及cos B的值代入求出ac的值，再由sin B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.答案：证明：(1)由题设知AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=√22SA，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=√22SA，从而OA2+SO2=SA2．∴△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．∴SO⊥平面ABC．解：(2)(理科)(法一：几何法)：取SC的中点M，连结AM，OM，由(1)知SO=OC，SA=AC.得OM⊥SC，AM⊥SC．∴∠OMA为二面角A−SC−B的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC=O得AO⊥平面SBC．∴AO⊥OM．又AM =√32SA ， 故sin∠AMO =AO AM =√2√3=√63，cos∠AMO =√33， ∴二面角A −SC −B 的余弦值为√33． (法二：向量法)：以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2，则A(0,√2,0)，B(√2,0，0)，C(−√2,0，0)，S(0,0，√2)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2)，SC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,−√2)， 设平面SAB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0n⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，1)， 设平面SBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设二面角A −SC −B 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3=√33． ∴二面角A −SC −B 的余弦值为√33． (2)(文科)∵AB =2，∴S △BAC =12×AB ×AC =12×2×2=2， SO =√22SA =√2，∴三棱锥A −SBC 的体积：V A−SBC =V S−ABC =13×√2×2=2√23． 解析：(1)由题设知AB =AC =SB =SC =SA ，连结OA ，推导出SO ⊥BC ，SO ⊥AO ，由此能证明SO ⊥平面ABC ．(2)(理科)几何法：取SC 的中点M ，连结AM ，OM ，则OM ⊥SC ，AM ⊥SC ，∠OMA 为二面角A −SC −B 的平面角，由此能求出二面角A −SC −B 的余弦值．向量法：以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −SC −B 的余弦值．(2)(文科)三棱锥A −SBC 的体积V A−SBC =V S−ABC ．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)重量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12件；(Ⅱ)Y的所有可能取值为0，1，2；P(Y=0)=C282C402=63130，P(Y=1)=C121C281C402=56130，P(Y=2)=C122C402=11130，Y的分布列为：∴E(Y)=0×63130+1×56130+2×11130=3965=35．解析：(Ⅰ)重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；(Ⅱ)Y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可求Y的数学期望．本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，考查数学期望．属于中档题．20.答案：(1)解：由f(x)=12x2−(a+1)x+alnx，得f′(x)=x−(a+1)+ax =(x−1)(x−a)x(x>0)，0<a=log32<1，由f′(x)>0，得0<x<log32或x>1，则f(x)的单调递增区间为(0,log32)，(1,+∞)．由f′(x)<0，得log32<x<1，则f(x)的单调递减区间为(log32,1)；(2)证明：g(x)=12x−a−1+alnxx，g′(x)=x2+2a(1−lnx)2x2，设ℎ(x)=x2+2a(1−lnx)，∵a<−12，∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，又ℎ(1)=1+2a<0，ℎ(e)=e2>0，∴∃t∈(1,e)，ℎ(t)=0，当0<x<t时，g′(x)<0；当x>t时，g′(x)>0．故x0=t且x02+2a=2alnx0，f(x0)=12x02−(a+1)x0+alnx0=12x02−(a+1)x0+12x02+a=(x0−1)(x0−a)，∵a<−12，x0∈(1,e)，∴0<f(x 0)<(e −1)(e −a)．解析：(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；(2)对g(x)求导，得到函数的单调性，由单调性得到函数取得最小值时的x 值，代入f(x)解析式，结合a 与x 0的范围即可证明结论．本题考查对数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，函数的最值与零点问题，综合性较强，难度较大．21.答案：解：(1)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(−1,a)、设直线PA ：y −y 1=k 1(x −x 1)，联立{y −y 1=k 1(x −x 1)y 2=4x整理可得：y 2−4k 1y +4y 1k 1−4x 1=0， 由△=0 得1−k 1y 1+k 12x 1=0 又y 12=4x 1，故1−k 1y 1+14k 12y 12=0， 故(12k 1y 1−1)2=0，故k PA =k 1=2y 1，故直线PA 的方程为：y −y 1=2y 1(x −x 1)，即yy 1=2x +2x 1， 同理k PB =2y 2，直线PB 的方程为：yy 2=2x +2x 2． 又P 在直线PA ，PB 上∴{ay 1=−2+2x 1ay 2=−2+2x 2， 故A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，在直线ay =−2+2x 上，故直线AB 的方程为ay =−2+2x.令y =0，得x =1，∴直线AB 过焦点F ．(2)由(1)知联立{ay =−2+2x y 2=4x消x 得：y 2−2ay −4=0 ， 故y 1+y 2=2a ，y 1y =−4，故k PA ⋅k PB =2y 1⋅2y 2=−1， 故直线PA 与直线PB 垂直，从而|AB|=√PA 2+PB 2=10，又{y 12=4x 1y 22=4x 2∴y 12−y 22=4(x 1−x 2)，k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=2a ， 又k PF =a−0−1−1=−a 2，k PF ⋅k AB =−1，故PF ⊥AB ，∴|PF|=6×810=245．解析：(1)设A ，B ，P 的坐标，设直线PA ，PB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由判别式为0及点A ，B 在抛物线上可得直线PA ，PB 的斜率与A ，B 的纵坐标的关系，由于P 在两条直线上，可得直线AB 的方程ay =−2+2x 上，可得直线AB 恒过定点(1,0)，即直线过抛物线的焦点；(2)由(1)可得直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线PA ，PB 的斜率之积为−1，所以直线PA ，PB 互相垂直，可得弦长|AB|的值，A ，B 代入抛物线的方程作差可得直线AB 的斜率，求出PF 的斜率与AB 的斜率之积为−1，进而求出PF 的值．本题考查抛物线的性质及直线恒过定点的应用，直线互相垂直的性质，属于中档题．22.答案：解：(1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2=1，则其参数方程为{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)；(2)由N 得极坐标为(2,π2)，得N 得直角坐标为(0,2)，∴|MN|=√4cos 2θ+(sinθ−2)2=√−3(sinθ+23)2+283．当sinθ=−23时，|MN|取得最大值为2√213， 此时M(±2√53,−23). 解析：(1)由坐标变换可得曲线C 的方程，由平方关系转化为参数方程；(2)求出N 的直角坐标，由两点间的距离公式可得|MN|，平方后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：(1)令f(x)=|x −1|−|x +2|={3, x ≤−2−2x −1, −2<x <1−3, x ≥1，由题意可得−2<|x −1|−|x +2|<0，即−2<−2x −1<0，解得−12<x <12；则M ={x|−12<x <12}；∴|a +3b|≤|a|+3|b|<12+3×12=2； ∴原题得证．(2)由(1)可得a 2<14,b 2<14；∵|1−4ab|2−4|a −b|2=(1−8ab +16a 2b 2)−4(a 2−2ab +b 2)=(4a 2−1)(4b 2−1)>0，∴|1−4ab|2>4|a −b|2，故|1−4ab|>2|a−b|．解析：(1)构造出新函数f(x)=|x−1|−|x−2|，将f(x)转换为分段函数，求出解集，之后利用|a+ 3b|≤|a|+3|b|证明不等式；(2)根据利用作差法比较大小，得出关系．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。
广西省南宁市2021届新高考数学四模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．2．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.3．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.4．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 5．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.10．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==，MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''=，MN =C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =p =，∴4F ，1132248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学二模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002x x+=，解得()10021x =； 且满足2100y x =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米. 故选：B【点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.2．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】21iz =+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】()()()()32122111111i i i i i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =， 所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.6．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()x x y f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116 D ．1516【答案】D【解析】【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ．【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．8．已知i 为虚数单位，则()2312i i i+=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-. 故选：A.【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.9．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 设1122,AF r AF r ==，得222121242cos 3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=. 设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-， 又122r r a -=.故212416r r b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知向量()1,2a =-v ，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v ，()2//b a a v v Q v -， ()2250x x ∴++-=， 解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.11．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a+b ＝﹣1，本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．12．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．22 B ．22- C ．22± D ．13【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2122sin 1cos 19αα∴=-=-= ()22sin sin παα∴+=-=-本题正确选项：B【点睛】 本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西玉林市、柳州市2021届高三第二次模拟考试文科数学试题及答案
2021届高三第二次模拟考试文科数学(考试时间120分钟满分150分)注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡。
上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝A.{x|0<x≤3}B.{0，1，2，3}C.{x|－1≤x≤72} D.{1，2，3}2.复数z＝2i13i-(i为虚数单位)的虚部是A.－35i B.15i C.15D.－353.已知向量a＝(m，1)，b＝(4，m－3)，则m＝4是a//b的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件4.已知偶函数g(x)在(0，＋∞)，上是减函数，若a＝g(－log2)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n＝a＋b＋c＋d。
根据表中的数据，下列说法中正确的是6.函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为A.－1 D.－27.若571sin cos1212tanππα-=，则tanα＝C.－4D.－38.等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1和公差d变化时，a3＋a8＋a10是一个定值，则下列选项中为定值的是78 13 159.已知函数y ＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x 的最大整数。
执行如图程序框图，则输出的S 值为10.已知点P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点，满足()PC PA PB ⋅+＝0，则PB 的最小值是A.2B.12D.211.圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上一动点M ，抛物线y 2＝8x 上一动点N(x 0，y 0)，则x 0＋|MN|的最小值为112.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，下列结论中正确的个数是①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1//平面EFG ；③异面直线EF 与BD 1；④四面体ACB 1D 1的体积等于33a 。
广西2021届高三数学模拟测试试题理含解析
广西2021届高三数学模拟测试试题理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i解：∵z（1﹣i）＝1+3i，∴z＝＝＝＝﹣1+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜}，B＝{y|y＞﹣}，∴A∩B＝（﹣，），故选：D．3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．6解：因为3sin2B＝2b sin A cos B，可得6sin B cos B＝2b sin A cos B，因为B为锐角，所以6sin B＝2b sin A，由正弦定理可得6b＝2ab，所以a＝3．故选：C．4．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．解：两个单位向量，满足|2﹣|＝，可得：＝5﹣4＝3，解得＝，所以|+|＝＝．故选：C．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，故选：C．6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减解：对于函数f（x）＝cos（2x+），夏然它的最小正周期为＝π，故A错误；当x∈[0，]，2x+π4∈[，]，f（x）在[0，]上的最大值为cos＝，故B正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故C错误；当x∈[，]，2x+∈[，]，故f（x）在[，]上没有单调性，故D 错误，故选：B．7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意可知抛物线的焦点坐标（1，0），由抛物线定义可知当AP⊥x轴时，|PF|+|PA|取得最小值，最小值为：3﹣（﹣1）＝4．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]解：执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，即当x∈（1，4]时，y＝log2x+3x，①当x∈（﹣2，1]时，y＝x2+2x﹣1，②解①可得y∈（3，14]；解②可得y∈[﹣2，2]；故输出的y的范围为：[﹣2，2]∪（3，14]．故选：A．9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．42解：令x＝1，则（2﹣1）（2+1）n＝243，即3n＝243，所以n＝5，则展开式中含x2的项为2x2﹣1×＝﹣38x2，所以x2的系数为﹣38，故选：B．10．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则有f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，排除AB，在区间（0，）上，f（x）＝ln|x|+cos x＝lnx+cos x，lnx＜﹣2，则f（x）＜0，排除D，故选：C．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]解：如图，分别过P，B，C作底面O2的垂线交圆O2于P1，B1，C1，由题意知P1，B1，C1在半径为4，圆心为O2的圆上，且|PP1|＝|AO1|＝4，则|PO2|＝＝8，∴|PO2|＝|DO2|＝8，设∠P1O2D＝θ，则|DP1|2＝|DO2|2+|P1O2|2﹣2|DO2|•|P1O2|cosθ＝80﹣64cosθ，则|DP|2＝|DP1|2+|PP1|2＝128﹣64cosθ，则cos2∠PDQ2＝＝∈[]，则cos∠PDO2∈[]，∴DP与BC所成角的余弦值的取值范围是[]．故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h （x）→+∞，∴h（x）的大致图象如下，∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为12 ．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+4＝12．故答案为：12．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为8π．解：圆柱的底面周长为2π，圆柱的底面半径为1，则底面直径为2，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为2和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r＝．∴该圆柱的外接球的表面积为4π×（）2＝8π．故答案为：8π．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210 元．解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．故答案为：210．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是（1，2] ．解：因为点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，所以•＝．则，又双曲线的离心率为3，所以b2＝8，a2＝1，所以c2＝9，所以＝＝1+，因为|PF2|≥c﹣a＝2，所以0＜≤1，故1＜≤2，则的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．（2）根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客80 20 100女性顾客60 40 100 合计140 60 200 根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，因为9.524＞6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．解：（1）由a1＝1，a n+1＝a n+n+1，可得n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）＝1+2+3+...+n＝n（n+1），即a n＝n（n+1），n∈N*；（2）由（1）可得+2n＝+2n＝2（﹣）+2n，所以S n＝2（1﹣+﹣+...+﹣）+（2+4+...+2n）＝2（1﹣）+＝+2n+1﹣2＝2n+1﹣．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连接DE、AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又因为BD⊥AD1，所以BD⊥平面D1AC，又因为D1C⊂平面D1AC，所以BD⊥D1C，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，E是AB中点，所以DE⊥DC，因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，所以DE⊥平面AA1C1C，又因为CD1⊂平面AA1C1C，所以DE⊥CD1，因为BD∩DE＝D，BD、DE⊂平面ABCD，所以CD1⊥平面ABCD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为＝，所以∠D1DC＝60°，于是D1C＝2，＝（0，2，2），＝（﹣，1，0），设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z），，令y＝，＝（1，，﹣1），平面AA1B1B的法向量为＝（1，0，0），设二面角A1﹣BB1﹣C的大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝．所以二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．解：（1）将点P（2，）代入C的方程得，又e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可设直线l的方程为：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x得：（3t2+4）y2+12ty﹣36＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A（﹣4，0），∴S△AMN＝＝3＝，令m＝，m≥1，则t2＝m2﹣1，∴S△AMN＝＝，∵m≥1，∴≥4，∴，∴△AMN的面积的范围为：（0，18]．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．解：（1）∵x＞0，∴f（x）≥0等价于a≥，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max＝g（e）＝，故实数a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：由（1）可知﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，则x≥elnx＝lnx e，即e x≥x e，当且仅当x＝e时“＝”成立，取x＝1，2，3，•••n，则e1＞1e，e2＞2e，e3＞3e，••••，e n＞n e，将上述不等式相乘可得e1+2+3+•••+n＞（1×2×3ו••n）e＝（n!）e，即＞（n!）e，故e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得y＝2x2﹣1，由ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，解得x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣1＝0；（2）由（1）可得直线l的参数方程为，代入y＝2x2﹣1，得，设M、N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣2，则t1，t2异号，∴＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．解：（1）不等式f（x）≥8即为|2x﹣1|+|2x+3|≥8，当时，2x﹣1+2x+3﹣8≥0，解得；当时，﹣2x+1+2x+3﹣8≥0，不等式无解；当时，﹣2x+1﹣2x﹣3﹣8≥0，解得；综上，不等式的解集为；（2）∵|2x﹣1|+|2x+3|≥|2x﹣1﹣（2x+3）|＝4，当（2x﹣1）（2x+3）≤0时取等号，∴a2+b2+c2＝4，∴（a+2b+c）2≤（1+22+1）（a2+b2+c2）＝24，当且仅当时取等号，∴a+2b+2c的最大值为．。
广西2021届高三数学(文)第一次高考模拟卷附答案解析
广西2021届高三数学（文）第一次高考模拟卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（）A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（）A ．2-B ．1-C ．0D ．13．某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（）A ．15B ．14C ．35D ．234．已知0.82.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（）A ．a ab c<<B ．ac b c<<C ．ab a c<<D ．c ac b<<5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．483π-B ．42π-C ．283π-D ．8π-7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=-B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=-D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin 23cos (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（）A ．225m 3B ．225m 4C ．225m 8D ．225m 1610．已知数列{}n a 中，15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++= ，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（）A ．12B ．1C ．2D ．411．已知圆D 关于y 轴对称，点(3,0),(0,2)B C --位于其上，则sin DBC ∠=（）A ．31313B ．134C ．21313D ．7412．已知函数22,0(),0,x x f x x bx c x +⎧=⎨++>⎩ ()210g x x =-，若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且(2)3f =-，则函数(())y g f x =零点的取值集合为（）A ．{3,4}B ．{2,4}C ．{4}D ．{0,3,4}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件2,220,20,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3x z y =-+的最大值为__________．14．已知抛物线2:(,0)C y mx m m =∈≠R 过点(1,4)P -，则抛物线C 的准线方程为____________．15．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()(),(4)()0f x f x f x f x -=+-=，当(0,2]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于_________．16．在三棱锥P ABC -中，若23BC CA AB ===，PA ⊥平面ABC ，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为12cos bcB．（1）求sin cos A B 的值和cos sin A B 的取值范围；（2）若ABC 为钝角三角形，且1cos sin ,33A B c ==，分别求C 和22b a -的值．18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知O 为平行四边形11BDD B 的中心，E 为1CC的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若平面11BDD B ⊥平面,ABCD OE BD ⊥．求证：1D E BE =．19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以每组数据所在区间中点的值作代表，求80名读书者年龄的平均数；（2）若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．中青年老年合计电子阅读13传统阅读13合计80附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．临界值表供参考：()20P K k 0.050.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.82820．（12分）设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x=+=．（1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解，求证：24a π ．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点22,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与y 轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||2|f x x x =--+．（1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．文科数学参考答案、提示及评分细则1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B9．C 10．C 11．A 12．C 13．4314．15．216．2217．解：（1）由题设得，1sin 212cos bc bc A B =，所以1sin cos 6A B =；1分因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,0sin()16A B A B A B A B A B +=+=+<+ ，所以15cos sin 66A B -< ．3分又因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,1sin()16A B A B A B A B A B -=-=--- ，所以57cos sin 66A B - ．5分综上，15cos sin 66A B -< ．6分（2）因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==，所以1sin()sin cos cos sin 2A B A B A B +=+=，所以6A B π+=或56A B π+=，所以6C π=或56C π=．9分因为sin cos 0,cos sin 0A B A B >>，所以A ，B 都为锐角，又因为ABC 为钝角三角形，所以56C π=．10分因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==，所以sin cos 1cos sin 2A B A B =，所以2222222122a a cb bc b ac b c a +-⋅⋅=+-，所以()2223b a c -=，所以223b a -=．12分18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分，2分因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点，因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ，4分因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ；6分（2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥，因为平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面,ABCD BD AC =⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面11BDD B ，9分所以1AC BD ⊥，所以1OE BD ⊥，因为1OB OD =，所以1D E BE =．12分19．解：（1）80名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．4分（2）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=，老年人数为(0.030.0250.01)108052++⨯⨯=，6分由此可得22⨯列联表如图，中青年老年合计电子阅读151328传统阅读133952合计2852809分由题意2280(15391313)3206.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．12分20．解：（1）()2sin f x x x =-'，2分令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'，4分所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增；5分所以当[0,]x π∈时，()2sin 0f x x x -'= ，所以当[0,]x π∈时，2()cos f x x x =+单调递增．6分（2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解，所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅ 有解，7分令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅，8分因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>，所以()0k x '>，所以()k x 单调递增，10分所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以24a π ．12分21．解：（1）由题意可得2224,211,2a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==，2分所以椭圆的方程为：2214x y +=；3分（2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=，则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-．5分（ⅰ）因为()()()()1221121212121222222222222222PA PBx t x x t x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()()()12122212122(2)2222222222202222x x t x x t t t t t x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪--+-+⎝⎭===----，所以APB ∠的角平分线平行于y 轴．7分（ⅱ）如图所示，当AP BP ⊥时，则45APQ BPQ ∠=∠=，所以直线AP 的方程为222y x =-+，即22y x =-，8分代入椭圆的方程可得2224402x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即254220x x --=，可得25A x =-，所以可得A 到直线PQ 的距离1262255d =+=；9分直线BP 的方程为：232(2)22y x x =--+=-+，代入椭圆的方程22324402x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，即25122140x x -+=，可得725Bx =，所以B 到直线PQ 的距离27222255d =-=，10分而由上可得||2QP =，所以()12 1162228||222555APQ BPQAPBQ S S S PQ d d ⎛⎫=+=⋅+=⋅⨯+= ⎪⎝⎭ 四边形，所以四边形APBQ 的面积为85．12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2分所以点A ，C ，D ，B 的直角坐标分别为3131,,,,(0,1),(0,1)2222⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4分（2）设()00,P x y 是曲线1C 上的任意一点，则00cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），5分因为C ，D 的直角坐标分别为31,,(0,1)22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的直角坐标方程为31y x =--，即310x y ++=，6分所以0022226sin 131|3cos 3sin 1|421(3)1(3)x y d πϕϕϕ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭===++，8分因为616sin 1614πϕ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭，所以6102d +．10分23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．5分（2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，7分由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，8分故25422m m -<-，解得1522m -<<．10分。
广西省南宁市2021届新高考数学三模试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 2．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264B ．264C ．624D ．622【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1，∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22Tπω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.3．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102x g x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-.故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.4．ABC V 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．53B ．33C ．6 D ．36【答案】D 【解析】 【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点，必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V . 故选：D. 【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.5．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ） A ．{}|2x x > B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集. 【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 7．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >【答案】C 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．8．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 9．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 10．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可. 【详解】由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+ 令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 16226ππ<=<=<， 所以66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误； 选项B ，因为334ππ＜＜，所以203312sin cos -＜＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,1033233cos sin cos ππππ==->->->， 所以4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考仿真卷数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB =∅”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18 B ．14 C ．16 D ．123．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=） A ．1624 B ．1024 C ．1198 D ．1560 5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1- C ．{}1,0- D ．{}0,18．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．932C ．332D ．3312．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ） A ．x±2y=0 B ．2x±y=0 C ．4x±y=0 D ．x±4y=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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第 1 页 共 13 页 2021届广西高考数学模拟试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－2，－1,0,1}
D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足
a =2
b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
3．若0tan >α，则 （ ）
A ．0sin >α
B ．0cos >α
C ．02sin >α
D ．02cos >α
4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是 （ ）.
A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <
B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <
C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <
D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <
7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D. 3。