电磁场作业答案
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2.6 在圆柱坐标系中电荷分布为ρ={①r/a ，r ≤a ②0，r ＞a ，r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。
解：电场强度只有沿r 方向分量，选取长度为l 的圆柱
s
d 2r q
E S rlE πε⋅==
⎰⎰ （1）
r a ≤时3
223r lr q dV rldr a a
πρπ===⎰⎰⎰⎰
代入（1）得： 2
3r r E a ε=
r a >时2
223a
r la q dV rldr a πρπ===⎰⎰⎰⎰
代入（1）得： 2
3r a E r ε=
2.7在直角坐标系中电荷分布为ρ（x ，y ，z ）={①ρ0 ∣x ∣≤a ②0 ∣x ∣＞a 求电场强度。 解：电场与y ，z 均无关，电场强度只有沿x 方向分量，
()0
x E E x ρ
ε∂∇⋅=
=∂ （1） r a ≤时0ρρ=
代入（1）得： 00
x x
E C ρε=
+ 0x →时x E 为有限值所以0C =
00
x x
E ρε=
r a >时0ρ=
代入（1）得： 'r E C = 在x a =处r E 连续，所以'00
a
C ρε=
00
r a
E ρε=
2.16已知电场强度为E=3x+4y-5z ，试求点（0,0,0）与点（1,2,1）之间的电
压 解：6b
b
b
b
x y z a
a
a
a
U E dl E dx E dy E dz =⋅=++=⎰⎰⎰⎰
2.26两同心导体球壳半径分别为a 、b ，两导体之间有两层介质，介电常数分别为ε1、ε2，介质界面半径为c ，内外导体球壳电位分别为V 和0，求两导体球壳之间的电场和球壳上的电荷面密度，以及介质分界面上的束缚电荷面密度。 解：两球壳之间电介质不带电电位分布满足拉普拉斯方程20ϕ∇=
选取球坐标则有：22210r r r r ϕϕ∂∂⎛⎫
∇== ⎪∂∂⎝⎭
'1
11C C r ϕ=-
+ '
222
C C r
ϕ=-+ 代入边界条件
'
2220r b
C C b ϕ=∣=-+= '1
11r a
C C V a
ϕ=∣=-+= 12n r c n r c D D ==∣=∣
12r c r c ϕϕ==∣=∣
由上式可得：
1122211111
()()1111()()V
C a c c b V
C a c c b
εεεε=-
-+-=-
-+-
12122221,()
1111()(),()
1111()()V
E a r c r a c c b
V
E c r b r a c c b
εεεε=
<<-+-=
<<-+-
在介质与导体分界面上的电荷密度s n D ρ=
()11212222211111()()()1111()()s s V
r a a a c c b
V
r b b a c c b ερεεερεε==
-+-==
-+-
介质分界面上没有自由电荷感应电荷面密度为：
()21012s n n n n P P E E ρε=-=-
()02
12211
1
(
)1111
1111()()()()V
r c c a c c b
a c c b
ερεεεε==
-
-+--+-
2.32同轴圆柱形电容器内、外半径分别为a 、b ，导体之间一半填充介电常数为ε1的介质，另一半填充介电常数为ε2的介质，如图所示，当电压为V 时，求电容器中的电场和电荷分布。
解：电介质不带电电位分布满足拉普拉斯方程20ϕ∇= 电场强度只有沿r 方向分量， 选取圆柱坐标则有：
210r r r r ϕϕ∂∂⎛⎫
∇=
= ⎪∂∂⎝⎭
又r ϕE =-∇，则r C r
E =
又因为两极板之间的电压是V
ln b
b
a
a
C b
V E dl dr C r a =⋅==⎰⎰
ln V
C b a =
ln C V
E b
r r a
==
在介质与导体分界面上的电荷密度s n D ρ=
在1ε侧11,ln ,ln V r a b a a
s V r b b b a
εερ==⎧⎪=⎨⎪⎩
在2ε侧22,ln ,ln V r a b a a
s V r b b b a
εερ==⎧⎪=⎨⎪⎩