第11章 线性系统的多项式矩阵描述分解

对PMD的说明：
（1）PMD的属性
多项式矩阵描述也是系统的一种内部描述，而且比
状态空间描述更为一般，引入广义状态（状态，伪
状态），对其并不要求按状态进行严格限定。
（2）系数矩阵的多项式矩阵属性
U(s) R
p1
, Y(s) R
q1
, R
m1
P(s) R mm , Q(s) R mp , R (s) R qm , W (s) R qp
matrix description)PMD。
11.1 多项式矩阵描述
一.多项式矩阵PMD的形式
回路电流 1， 2 作 为 广 义 状 态 变 量 ， u为 输 入 ， y为 输 出 1 1 ( L s ) ( s ) 2 (s) U(s) 1 1 C1s C1s 1 1 1 ( s ) ( L 2 s R 1 ) 2 (s) 0 1 C1s C 2 s C1s Y(s) L 2 s 2 (s) 3s2 1 1 (s) 3s 1 U (s) 2 6s 3s 4 2 (s) 0 1 1 (s) Y(s) 0 2s ( s ) 2
V(s) 0 U(s) 0 U(s), , , V(s)均 为 单 模 阵 I 0 I 0 有rank P (s) Q (s) rankP (s) Q(s), 左 互 质


P (s) P(s) rank ，右互质 rank R (s) R (s) 则{P (s), Q (s), R (s), W(s) }也 为 不 可 简 约 P MD。
为下列三种情形之一：
{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质
{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}非右互质 {P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}非右互质
对可简约PMD化为不可简约PMD的基本途径是引入
变换，将非互质化为互质。
（1） {P(s),R(s)}右互质，{P(s),Q(s)}非左互质
PMD和其它描述的关系
（1）多项式矩阵描述的传递函数矩阵
(s) P -1 (s)Q(s) U(s)
Y(s) R (s)P -1 (s)Q(s) U(s) W(s) U(s) G (s) R (s)P -1 (s)Q(s) W(s)
（2）状态空间描述的多项式矩阵描述
Ax Bu x y Cx E ( p) u ˆ(s) Bu (sI A ) ˆ (s) ˆ(s) E (s) u (s) ˆ (s) C y ˆ(s) x (s)为n维 广 义 状 态 ， 系 数 矩 阵 P(s) sI A, Q(s) B, R (s) C, W (s) E (s)
（3）矩阵分式描述的多项式矩阵描述
对于给定 p q系 统 的 右 MFD N(s)D 1 (s) E(s) [N(s)D 1 (s) E(s)]U(s) Y(s) 令D 1 (s)IU(s) (s)得 D(s) (s) IU(s) Y(s) N(s) (s) E(s) U(s) P(s) D(s), Q(s) I, R (s) N(s), W (s) E(s)
（3）对PMD的假设
为保证PMD系统有唯一解，假定多项式矩阵P(s)为
非奇异。
（4）时间域PMD
对频率域PMD的系数矩阵中，若用微分算子 p d / dt
代替系数多项式中的复变量s，并将频率域变量替换
为时间域变量，得到时间域PMD为
P( p) (t ) Q( p) U( t ) Y( t ) R ( p) ( t ) W( p) U( t )
L1 1H
C1 1F
u(t)
1
C 2 3F
2
L 2 2H
y(t)
R 1 1
上式为描述系统的广义状态方程和输出方程，
且系数矩阵为多项式矩阵形式，称为多项式矩
阵描述PMD。
一般多输入/多输出线性时不变系统，定义
u1 1 u 2 输 入U , 广 义 状 态 2 , 输 出y u m p 那 么P MD描 述 P(s) (s) Q(s) U (s) Y(s) R (s) (s) W (s) U(s) P(s) R mm , Q(s) R mp , R (s) R qm , W (s) R qp y1 y 2 y q
对于给定 p q系 统 的 左 MFD D -1 L (s) N L (s) E (s)
1 [DL (s) N L (s) E (s)]U (s) Y (s) ~ -1 令D L (s) N L (s) U(s) (s)得 ~ D L (s) (s) N L (s) U(s) ~ Y(s) I (s) E(s) U(s) P(s) D L (s), Q(s) N L (s), R (s) I, W (s) E(s)
1 1
证明： {P (s),Q(s)} 非 左 互 质 ， 有 最 大 公子 因H(s), 非 奇 异 ， P(s) H(s) P (s), Q(s) H(s) Q (s) {P (s), Q(s)}左 互 质 ， 代 入 ˆ(s) H(s) Q (s) U ˆ (s) H(s) P (s) ˆ(s) W (s) U ˆ (s) R (s) ˆ (s) Y ˆ(s) Q (s) U ˆ (s) P (s) ˆ(s) W (s) U ˆ (s) R (s) ˆ (s) Y 再由 {P (s),R (s)}右 互 质 ， 其 右 公 因 子 单 为模 阵 ， 而 P (s) H 1 (s)P(s)为P (s) 约 去H(s)得 结 果 ， 所以 {P (s), R (s)}右 公 因 子 仍 为 单 模 阵 为 ，右 互 质
注意PMD的实现具有强不唯一性，结果不唯一，实 现的维数也不唯一。
二.构造PMD的实现方法 构造PMD的实现是基于矩阵分式描述MFD的规范 形，能控形，能观测类实现而建立的。含义是指 PMD的传递函数矩阵G(s)中包含的一个MFD的实
现，称为PMD实现的内核。
P MD的G(s) R (s)P 1 (s)Q(s) W (s)
（4）多项式矩阵描述的一般性 PMD是线性时不变系统的最一般描述，其它形式描述 均可认为是PMD的特殊形式。
三.不可简约PMD
定义：称(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约
PMD，当且仅当
{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}右互质
(P(s),Q(s),R(s),W(s))为可简约PMD，则只可能
证明：对 {P (s),Q(s), R (s), W (s)},引 入 变 换 (s) V 1 (s) (s) P(s)V(s) (s) Q(s) U(s) Y(s) R (s)V(s) (s) W (s) U(s) U(s)P(s)V(s) (s) U(s)Q(s) U(s) Y(s) R (s)V(s) (s) W (s) U(s) 令 P (s) U(s)P(s)V(s), Q (s) U(s)Q(s), R (s) R (s)V(s)得 Q (s) [ U(s)P(s)V(s)
degdetP(s)=4，产生系统升级错误的原因是化 简过程中电容C1进行了两次通分运算。
若 将(1)式 改 写 为 1 1 1 (s) 2 (s) U(s) L1s1 (s) 代 入(2)得 C1s C1s - U(s) L1s1 (s) (L 2 s R 1 ) 2 (s) 0 3s2 1 1 1 (s) 3s U(s) 2s 1 2 (s) 1 1 degdet P(s) 3 储 能 元 件 个 数
degdetP(s)=m=系统中具有储能元件个数。 强调：广义状态变量必须是独立的。对于方程中的 某个储能参数若多次引用，必须给予恰当处理。 例如若将电容C2两端短路，则
1 1 ( L s ) ( s ) 2 (s) U(s) 1 1 C1s C1s 1 1 1 (s) ( L 2 s R 1 ) 2 (s) 0 C1s C1s 仍按上面整理得： 3s2 1 1 (s) 3s 1 U(s) 2 6s 3s 1 2 (s) 0 1
第11章 线性时不变系统的多项式矩阵描述
状态空间描述给出了控制输入与系统内部状态
及输出的清晰关系，然而状态变量的选定是任意的，
不一定具有直接的物理含义；组成系统的各子系统
的性质也不能得到明显的反应。而传递函数具有直
观的物理含义，但它忽略了系统内部的重要结构信
息。罗森布罗克（H.H.Rosenbrock)提出一种新 的恰当的描述---多项式矩阵描述（poynomial
11.2 多项式矩阵PMD的状态空间实现 传递函数矩阵的最小实现是通过既约矩阵分式 MFD来进行，它给出了规范形矩阵分式与规范形 动态方程(A,B,C,E)之间的变换关系。而矩阵分式 描述MFD是一种特殊的多项式矩阵描述PMD，为 此，考虑多项式矩阵PMD到状态空间描述，即
PMD的实现。
一.PMD的实现
P(s) (s) Q(s) U(s) 多项式矩阵描述PMD Y(s) R (s) (s) W(s) U(s)
则称状态空间描述
Ax Bu x y C x Eu 为P MD{P (s), Q(s), R (s), W (s)}的 一 个 实 现 ， 两 者 传 递 函 数 矩 阵 为等 相， 即 R (s)P 1 (s)Q(s) W (s) C(sI A) 1 B E