八下数学同步课时精练答案
八年级数学北师大版下册课时练第2章《不等关系》(含答案解析)(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第2单元一元一次不等式与一元一次不等式组不等关系一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A ．a 不是正数，则0a <B ．b 是小于0的数，则0b >C ．c 不大于-1，则1c <-D ．d 是负数，则0d <2．济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，则济南当日气温t （℃）的变化范围是（）A ．t ≤20B ．t ≥6C ．6≤t ≤20D ．6＜t ＜203．下列说法：①x 与3的差不是正数，即；②x 是负数，即；③x 的平方是非负数，即；④x 大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．根据数量关系:2x 减去10不大于10，用不等式表示为（）A．21010x ->B．21010x -£C．21010x -³D．21010x -<5．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330±10g ，表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是（）A ．320＜x ＜340B ．320≤x ＜340C ．320＜x ≤340D ．320≤x ≤3406．“数x 不小于2”是指()A ．x≤2B ．x≥2C ．x ＜2D ．x ＞27．下列各项中，蕴含不等关系的是（）A ．老师的年龄是你的年龄的2倍B ．小军和小红一样高C ．小明岁数比爸爸小26岁D ．x 2是非负数8．若a 为有理数，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0a -£C ．20a >D ．210a +>9．下列说法正确的是（）A ．﹣a 比a 小B ．一个有理数的平方是正数C ．a 与b 之和大于bD ．一个数的绝对值不小于这个数10．下列式子：①3＞0；②4x ＋3y ＞0；③x ＝3；④x －1；⑤x ＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．下面的式子：①30>；②30x y +<；③30x +=；④7x -；⑤32m -<；其中是不等式的是：___________________；（填序号）12．对于任意实数a，用不等号连结|a|________a（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）13．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x 包4.5元的点心，根据题意，列出关于x 的不等式为________________________；14．按商品质量规定：商店出售的标明500g 的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g．设实际克数为x(g)，则x 应满足的不等式是_____．15．数学表达式中：①a 2≥0②5p-6q<0③x-6=1④7x+8y ⑤-1<0⑥x≠3.不等式是________（填序号）三、解答题16．用不等式表示下列数量之间的不等关系：(1)去年某农场某种粮食亩产量是480kg ，今年该粮食作物亩产量为xkg ，较去年有所增加；(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5g 砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．17．用不等号填空：（1）﹣π﹣3；（2）a 20；（3）|x |+|y ||x +y |；（4）（﹣5）÷（﹣1）（﹣6）÷（﹣7）；（5）当a0时，|a|＝﹣a．18．有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．（1）m+n0；（2）m﹣n0；（3）m•n0；（4）m2n；（5）|m||n|．19．用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．20．用适当的不等式表示下列不等关系：（1）x减去6大于12；（2）x的2倍与5的差是负数；（3）x的3倍与4的和是非负数；（4）y的5倍与9的差不大于1-.参考答案1-5:DCDBD6-10:BDDDC11．①②⑤16．（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，则x＞480；（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，则3x＞5.17．解：（1）﹣π＜﹣3；（2）a2≥0；（3）∵x，y的值不确定∴|x|+|y|≥|x+y|；（4）（﹣5）÷（﹣1）＝5＞（﹣6）÷（﹣7）＝；（5）当a≤0时，|a|＝﹣a．18．解：由数轴可得m＜n＜0，（1）两个负数相加，和仍为负数，故m+n＜0；（2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故m﹣n＜0；（3）两个负数的积是正数，故m•n＞0；（4）正数大于一切负数，故m2＞n；（5）由数轴离原点的距离可得，|m|＞|n|．19．解：（1）x+2x≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．17．解：（1）﹣π＜﹣3；（2）a2≥0；（3）∵x，y的值不确定∴|x|+|y|≥|x+y|；（4）（﹣5）÷（﹣1）＝5＞（﹣6）÷（﹣7）＝；（5）当a≤0时，|a|＝﹣a．18．解：由数轴可得m＜n＜0，（1）两个负数相加，和仍为负数，故m+n＜0；（2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故m﹣n＜0；（3）两个负数的积是正数，故m•n＞0；（4）正数大于一切负数，故m2＞n；（5）由数轴离原点的距离可得，|m|＞|n|．19．解：（1）x+2x≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．20．（1）x-6＞12；（2）2x-5＜0；（3）3x+4≥0；（4）5y-9≤-1．。
八年级下册数学北师大版同步课时作业 2.6一元一次不等式组(有答案)
八年级下册数学北师大版同步课时作业2.6一元一次不等式组一、单选题1.下列不等式组：20324x xx x>->⎧⎧⎨⎨<+>⎩⎩①②22130724x x xxx⎧+<+>⎧⎪⎨⎨<-+>⎪⎩⎩③④1010xy+>⎧⎨-<⎩⑤其中一元一次不等式组的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.52.不等式组2030xx-⎧⎨+>⎩的解集是( )A.32x-<≤ B.32x-≤< C.2x≥ D.3x<-3.不等式组2(1)3112x xxx+>⎧⎪⎨+-⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.4.小明去商店购买A B，两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量，则小明的购买方案有( )A.5种B.4种C.3种D.2种5.已知关于x的不等式组321123x xx a--⎧-⎪⎨⎪-<⎩恰有3个整数解，则a的取值范围为( )A.12a<≤ B.12a<< C.12a≤< D.12a≤≤6.不等式组2342x xx>⎧⎨+>⎩的整数解是( )A.0B.1-C.2-D.17.若关于x的不等式组2(1)2xa x->⎧⎨-<⎩的解集是x a>，则a的取值范围是( )A.2a< B.2a≤ C.2a> D.2a≥8.已知关于x的不等式组2323(2)5x ax x>-⎧⎨≥-+⎩仅有三个整数解，则a的取值范围是( )A.112a< B.112a C.112a< D.1a<9.一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种二、填空题10.某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元.已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则签字笔购买了_________支.11.若关于x的不等式组10,2420x ax⎧->⎪⎨⎪-⎩无解，则a的取值范围为_______.12.关于x的不等式组240,1xa x->⎧⎨->-⎩的解集是24x<<，则a的值为__________.三、解答题13.2020年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”一时间，地摊兴起.小邱决定采购甲、乙两种文具到学校附近的地摊经营，采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元.（1）求甲、乙两种文具每件各多少元；（2）小邱想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小邱共有哪几种进货方案？请列举出来.参考答案1.答案：B解析：根据一元一次不等式组的定义，①②④是一元一次不等式组;③中未知数的最高次数是2,⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组.故有①②④三个一元一次不等式组.故选B.2.答案：A解析：求出每个不等式的解集分别为23x x≤>-，，所以不等式组的解集为32x-<≤.3.答案：A解析：2(1)3112x xxx+>⎧⎪⎨+-⎪⎩①②解不等式①得2x<，解不等式②得1x≥-，则不等式组的解集为12x-≤<，在数轴上表示如下故选A4.答案：C解析：设小明购买了A 种玩具x 件，则购买的B 种玩具为102x -件， 根据题意得1012102x x x -⎧⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得1383x < x 为整数，102x -也为整数，4x ∴=或6或8 ∴有3种购买方案5.答案：A 解析：解321123x x ---得12x ≥- 解0x a -<得x a <，不等式组的整数解有3个，∴不等式组的整数解为1-、0、1，则12a <≤6.答案：B解析：2342x x x >⎧⎨+>⎩①② 解不等式①得0x <，解不等式②得2x >-不等式组的解集为20x -<<，不等式组2342x x x >⎧⎨+>⎩的整数解是1-，故选B 7.答案：D解析：解()212x ->得2x >，解0a x -<得x a >，关于x 的不等式组2(1)20x a x ->⎧⎨-<⎩的解集是x a >，2a ∴≥ 8.答案：A解析：解不等式()2325x x ≥-+得1x ≤，因为不等式组仅有三个整数解，所以这三个整数解为1，0，1-，所以2231a -≤-<-，解得112a ≤<，故选A. 9.答案：C解析：设租二人间x 间，租三人间y 间，则四人间客房7x y --．依题意得：234(7)70x y x y x y ++--⎧⎨-->⎩，解得：1x >．28070x y y x y +=>-->，，，2,4,71;x y x y ∴==--=3,2,72x y x y ==--=．故有2种租房方案．故选：C ．10.答案：8解析：设签字笔购买了x 支，则圆珠笔购买了()15x -支，根据题意2 1.5(15)272 1.5(15)26x x x x +-<⎧⎨+->⎩解不等式组得79x << x 是整数，8x ∴=11.答案：1a解析：本题考查解不等式组.解不等式102x a ->得2x a >，解不等式420x -得 2.x 不等式组无解，22a ∴，解得1a .12.答案：3 解析：解不等式240x ->，得2x >.解不等式1a x ->，得1x a <+.不等式组的解集为2414x a <<∴+=，，即3a =.故答案为3.13.答案：（1）设甲种文具每件x 元，乙种文具每件y 元，则83955680x y x y +=⎧⎨+=⎩解得105x y =⎧⎨=⎩答：甲种文具每件10元，乙种文具每件5元.（2）设小邱采购甲种文具t 件，则采购乙种文具()100t -件，则()750105100765t t <+-≤，解得5053t <≤. t 为正整数，515253∴=，，，即有三种方案第一种方案：采购甲种文具51件，乙种文具49件；第二种方案：采购甲种文具52件，乙种文具48件；第三种方案：采购甲种文具53件，乙种文具47件.。
2022年苏科版八年级数学下册课时同步练习(全册)
2022年苏科版八年级数学下册课时同步练习（全册）第七单元第1课时普查与抽样调查一、选择题1．下列调查中，最适合采用普查方式的是( )A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查2．下列调查中，适合用普查方式的是( )A．了解一批炮弹的杀伤半径B．了解湘潭市每天的流动人口数C．了解一本100页书稿的错别字个数D．了解石家庄市居民的日平均用水量3．以下问题，不适合用普查的是( )A．旅客上飞机前的安检B．学校招聘教师，对应聘人员的面试C．了解某班学生的课外活动时间D．了解一批灯泡的使用寿命4．下列调查适合用抽样调查的是( )A．审查书稿有哪些科学性错误B．了解一个打字训练班学员的训练成绩是否都达到了预定训练目标C．要考察一个班级的学生对建立班级生物角的看法D．要考察人们对保护海洋的意识5．下列情况，适合用抽样调查的是( )A．了解某校飞行学员视力的达标率B．了解某校考生的中考录取率C．了解某班40名同学的身高情况D．了解一批种子的成活率6．对于范围较大的调查对象可以采用抽样调查的方法，下列适合用抽样调查的是( ) A．调查本班学生的近视率B．调查某校学生的男女比例C．了解全国七年级学生的平均身高D．人口普查7．下列调查中，适合用抽样调查方式的是( )A．了解全班学生某次考试的情况B．调查某一品牌5万袋包装鲜奶是否符合卫生标准C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市D．了解全班学生100 m短跑的成绩8．要了解自来水厂的水中所含矿物质情况，所采用调查方法是( )A．普查B．抽样调查C．普查或抽样调查D．以上答案都不对9．下列采用的调查方式中，不合适的是( )A．为了了解全国中学生的身高状况，采用抽样调查的方式B．对载人航天器“神舟”六号零部件的检查，采用普查的方式C．医生要了解某病人体内含有病毒的情况，需抽血进行化验，采用普查的方式D．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式二、填空题10．为了检测某型号导线的抗拉强度，现随机抽取几段进行检测，在这次检测中，采用的调查方式是________．11．为了了解一批白炽灯的使用寿命，只能采用抽样调查方式进行，这是由于______________________．12．为了获得较为准确的调查结果，抽样调查时要注意所选取的样本要具有__________________．13．在下列问题中为了得到数据是采用普查还是抽样调查？(1)为了买校服，了解每个学生衣服的尺寸；(2)某养鱼专业户欲了解鱼塘中鱼的平均质量；(3)商检人员在某超市检查出售的饮料的合格率；(4)某班拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查．第七单元第2课时统计图、统计表的选用一、选择题1.扇形统计图中,所有扇形表示的百分比之和为 ( )A.大于1B.小于1C.等于1D.不确定2.如图是某班学生最喜欢的球类活动情况的统计图,则下列说法不正确的是( )A.该班喜欢乒乓球的学生最多B.该班喜欢排球和篮球的学生一样多C.该班喜欢足球的人数是喜欢排球人数的1.25倍D.该班喜欢其他球类活动的人数为53.某校学生来自甲、乙、丙三个社区,其人数比例为3∶4∶5,如图所示的扇形统计图表示上述分布情况,那么表示乙社区的扇形的圆心角度数为 ( )A.100°B.110°C.120°D.135°4.某校图书管理员整理阅览室的书籍时,将其中甲、乙、丙三类书籍的数量信息制成如图所示的不完整的统计图,已知甲类书有45本,则丙类书有______本.5.某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示.若参加人数最少的小组有25人,则参加人数最多的小组有 ( )A.25人B.35人C.40人D.100人6.7.从如图所示的两个统计图中,可看出女生人数较多的是（）A.七年级(1)班B.七年级(2)班C.两班一样多D.不能确定二、解答题1.近年来,随着创建“生态文明城市”活动的开展,某市的社会知名度越来越高,吸引了很多外地游客.某旅行社对5月份本社接待外地游客来该市各景点旅游的人数做了一次抽样调查,并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计表和统计图.(1)此次共调查_____人,并补全条形统计图;(2)根据上表提供的数据制作扇形统计图.2.七年级(1)班的两名学生对本班的一次数学成绩(分数取整数,满分为100分)进行了初步统计,看到80分以上(含80分)的有17人,但没有满分,也没有低于30分的学生.为更清楚地了解本班的数学成绩,他们分别用频数直方图和扇形统计图进行了统计分析,如图1和图2所示.请根据图中提供的信息解答下列问题.(1)该班共有多少学生参加了这次数学考试?(2)补全频数直方图中空缺的两处,并将扇形统计图中一处未填的百分比填上.(3)数学成绩在85~90分的学生有多少人?第七单元第3课时频数和频率一、选择题1.在画频数直方图时,一组数据的最小值为149,最大值为172.若确定组距为3,则分成的组数是 ( )A.8B.7C.6D.52.如图是九(1)班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).由图可知,人数最多的一组是 ( )A.2~4 hB.4~6 hC.6~8 hD.8~10 h3.某班有64名学生,在一次外语测试中,分数只取整数,统计其成绩,并绘制出如图所示的频数直方图,从左到右小长方形的高度之比是1∶3∶6∶4∶2,则分数在70.5到80.5之间的学生有_____名.4．社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91～100分的为优胜者，则优胜者的频率是（）分段数（分）61～70 71～80 81～90 91～100人数（人） 1 19 22 18A．35% B．30% C．20% D．10%5．在频数分布直方图中，有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，且数据有160个，则中间一组的频数为（）A．32 B．0.2 C．40 D．0.25二、填空题6．已知某组数据的频数为25，样本容量为100，则这组数据的频率是．7．某市对400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.68～1.70这一小组的频率为0.25，则该组的人数为．8．一组数据共分5组，第一、二、三组共有250个频数，第三、四、五组共有230个频数，若第三组的频率为0.25，则这组数据的总频数为个．9．一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有人．10．将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中第一组与第五组的频率之和是0.27，第二与第四组的频率之和是0.54，那么第三组的频率是．11．一个样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成组．三、解答题12．中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（第17题图）（1）此次抽样调查中，共调查了名中学生家长；（2）先求出C类型的人数，然后将图1中的折线图补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？13．某校学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成右边的两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布折线统计图．第七单元第4课时频数分布表与频数分布直方图一．选择题1．一个容量为40的样本最大值为35，最小值为12，取组距为4，则可以分为（）A．4组B．5组C．6组D．7组2．为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加书法兴趣小组的频率是（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.33．通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率．因此，频率分布直方图的纵轴表示（）A．B．C．D．4．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在30～35次之间的频率是（）A．0.2 B．0.17 C．0.33 D．0.145．某校随机抽查了八年级的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图（每组含前一个边界，不含后一个边界），则次数不低于42个的有（）A．6人B．8个C．14个D．23个6．在对60个数进行整理的频数分布表中，这组的频数之和与频率之和分别为（）A．60，1 B．60，60 C．1，60 D．1，17．某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数分布直方图（横半轴表示分数，把50.5分到100.5分之间的分数分成5组，组距是10分，纵半轴表示频数）如图所示，从左到右的小矩形的高度比是1：3：6：4：2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是（）A．9 B．18 C．12 D．6二．填空题8．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是．9．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房套．10．在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计．在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率为0.12，那么这1000个数据中落在54.5～57.5之间的数据约有个．三．解答题11．如图所示，某校七年级有学生400人，现抽取部分学生做引体向上的测试，成绩进行整理后分成五组，并画出频数分布直方图，已知从左到右前四个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数是25，根据已知条件回答下列问题：（1）第五小组频率是多少？（2）参加本次测试的学生总数是多少？（3）如果做20次以上为及格（含20次），估计全校七年级有多少名学生合格？12．为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m）频数1.09～1.19 81.19～1.29 121.29～1.39 a1.39～1.49 10（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．第八单元第1课时确定事件与随机事件一、选择题1. 下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C．相等D．不能确定5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．8. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．9. 如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．10. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．第八单元第2课时可能性大小一、单选题1.气象台预报“本市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法正确的是( )A. 本市明天将有30%的地区水B. 本市明天将有30%的时间降水C. 本市明天有可能降水D. 本市明天肯定不降水2.掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是（）A. 点数为3的倍数B. 点数为奇数C. 点数不小于4D. 点数不大于43.一个布袋里装有3个红球，4个黑球，5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )A. 摸出的是红球B. 摸出的是黑球C. 摸出的是绿球D. 摸出的是白球4.一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同.若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（）A. 红色B. 白色C. 黄色D. 红色和黄色5.袋子中有黑球3个，白球若干个，它们只有颜色上的区别，从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（）A. 2个B. 不足3个C. 3个D. 4个或4个以上6.一个质地均匀的小正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.如果任意抛掷小正方体两次,那么下列说法正确的是( ).A. 得到的数字和必然是4B. 得到的数字和可能是3C. 得到的数字和不可能是2D. 得到的数字和有可能是17.下列说法中，完全正确的是（）A. 打开电视机，正在转播足球比赛B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上C. 三条任意长的线段都可以组成一个三角形D. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较大8.投掷一枚普通的正方体骰子,有下列事件:①掷得的点数是6;②掷得的点数是奇数;③掷得的点数不大于4;④掷得的点数不小于2,这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是( ).A. ①②③④B. ④③②①C. ③④②①D.②③①④9.下列有四种说法：①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易；②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件。
北师大版八年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）
北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题第⼀章三⾓形的证明第⼆章1．1等腰三⾓形第1课时全等三⾓形和等腰三⾓形的性质01基础题知识点1全等三⾓形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对2．如图，若能⽤AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加⼀个适当的条件：AB＝DE(答案不唯⼀)，使得△ABC≌△DEC.5．如图，点B，E，C，F在同⼀条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，∠DBA ＝∠CAB ，AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，∴△ADB ≌△BCA(ASA)．∴AD ＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ，∴∠BAD ＝∠NAM.在△BAD 和△NAM 中，AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)．∴∠B ＝∠ANM.知识点2 等腰三⾓形的性质8．若等腰三⾓形的顶⾓为50°，则它的底⾓度数为(D)A ．40°B ．50°C ．60°D ．65° 9．(2017·平顶⼭市宝丰县期末)等腰三⾓形的⼀边长为4，另⼀边长为5，则此三⾓形的周长为(D)A ．13B ．14C ．15D ．13或14 10．(2017·江西)如图1是⼀把园林剪⼑，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪⼑张开的⾓为30°，则∠A ＝75度．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，AD ＝BD ＝CD ，则下列结论错误的是(C)A ．AB ＝AC B ．AD 平分∠BAC C ．AB ＝BC D ．∠BAC ＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三⾓形的⼀个内⾓等于15°，则这个三⾓形为(D)A ．钝⾓等腰三⾓形B ．直⾓等腰三⾓形C ．锐⾓等腰三⾓形D ．钝⾓等腰三⾓形或锐⾓等腰三⾓形 14．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D)A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°15．如图，已知点A ，F ，E ，C 在同⼀直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE. (1)从图中任找两组全等三⾓形； (2)从(1)中任选⼀组进⾏证明．解：(1)答案不唯⼀，如：△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA. (2)答案不唯⼀，如选择证明△ABE ≌△CDF ，证明如下：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ⼜∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°. ⼜∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)． (2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.03 综合题17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 在边AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数； (2)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，则∠DCE ＝110°； (3)在△ABC 中，∠ACB ＝n °(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，⽤含n 的式⼦表⽰)．解：(1)∵AD ＝AC ，BC ＝BE ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠BEC. ∴∠ACD ＝(180°－∠A)÷2，∠BCE ＝(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－(∠A ＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°. ∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE －∠ACB ＝135°－90°＝45°. (3)①如图1，∠DCE ＝90°－12n °；②如图2，∠DCE ＝90°＋12n °；③如图3，∠DCE ＝12n °；④如图4，∠DCE ＝12n °.第2课时等边三⾓形的性质01 基础题知识点1 等腰三⾓形相关线段的性质1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为边AC ，AB 上的中线．若BD ＝5，则CE ＝5． 2．证明：等腰三⾓形两腰上的⾼相等．解：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D.求证：BD ＝CE.证明：∵CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. ⼜∵AC ＝AB ，∠A ＝∠A ，∴△ACE ≌△ABD(AAS)．∴CE ＝BD.知识点2等边三⾓形的性质3．如图，△ABC是等边三⾓形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)5．如图，△ABC为等边三⾓形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为⾼，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所⽰，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三⾓形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三⾓形，AD 为BC 边上的中线，∴AE ＝AD ，AD 为∠BAC 的平分线．∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∴∠BAE ＝∠BAD ＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABD(SAS)．∴BE ＝BD.02 中档题10．下列说法：①等边三⾓形的每⼀个内⾓都等于60°；②等边三⾓形三条边上的⾼都相等；③等腰三⾓形两底⾓的平分线相等；④等边三⾓形任意⼀边上的⾼与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三⾓形⼀腰上的⾼与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，△ABC 是等边三⾓形，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，点E 是AC 上⼀点，且AD ＝AE ，则∠CDE 等于(C)A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°12．如图，已知△ABC 是等边三⾓形，点B ，C ，D ，E 在同⼀直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝15度．13．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD ，BE 交于点O ，则∠BOC 的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC 纸⽚，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝45°．解：∵△ABC 是等边三⾓形，BF 是△ABC 的⾼，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE. ∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三⾓形，点M 是线段BC 上任意⼀点，点N 是线段CA 上任意⼀点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q. (1)求证：AM ＝BN ； (2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三⾓形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC. 在△AMB 和△BNC 中，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN. (2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ ＝∠NBC ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°.03 综合题17．已知，如图所⽰，P 为等边△ABC 内的⼀点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的⾼AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h. 证明如下：连接PA ，PB ，PC. ∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h. ∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ＝BC. ∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时等腰三⾓形的判定与反证法01 基础题知识点1 等腰三⾓形的判定1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BC B ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC 中，AD 平分外⾓∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC ⼀定是(C)A ．任意三⾓形B ．等边三⾓形C ．等腰三⾓形D ．直⾓三⾓形3．如图，AC ，BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，如果请你再补充⼀个条件，使得△BOC 是等腰三⾓形，那么你补充的条件不能是(C)A ．OA ＝ODB ．AB ＝CDC ．∠ABO ＝∠DCOD ．∠ABC ＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三⾓形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的⼀个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三⾓形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三⾓形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三⾓形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)⽤反证法证明命题“⼀个三⾓形中不能有两个⾓是直⾓”第⼀步应假设⼀个三⾓形中有两个⾓是直⾓．9．⽤反证法证明：等腰三⾓形的底⾓必定是锐⾓．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐⾓．证明：①假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是直⾓，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾；②假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是钝⾓，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐⾓．故等腰三⾓形的底⾓必定为锐⾓．10．⽤反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平⾏于直线c，这与“过直线外⼀点平⾏于已知直线的直线有且只有⼀条”相⽭盾，所以假设不成⽴，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州⽉考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若⽤反证法证这个结论，应⾸先假设∠B≥90°．13．如图，在⼀张长⽅形纸条上任意画⼀条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状⼀定是等腰三⾓形．14．某轮船由西向东航⾏，在A处测得⼩岛P的⽅位是北偏东70°，⼜继续航⾏7海⾥后，在B处测得⼩岛P的⽅位是北偏东50°，则此时轮船与⼩岛P的距离BP＝7海⾥．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂⾜为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三⾓形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三⾓形．16．如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE. (1)成逸同学说：BD ＝DE ，她说得对吗？请你说明理由；(2)⼩敏同学说：把“BD 平分∠ABC ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三⾓形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°. ⼜∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC(或点D 为AC 中点)．理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E. (1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变⼩(填“⼤”或“⼩”)； (2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三⾓形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE. 理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°. ⼜∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°. ∴∠ADB ＝∠DEC. ⼜∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°. 理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°. ∵∠C ＝40°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝180°－∠DAC －∠ADE ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三⾓形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三⾓形．第4课时等边三⾓形的判定01基础题知识点1等边三⾓形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三⾓形B．等边三⾓形C．不等边三⾓形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个⾓分别为60°的三⾓形是等边三⾓形B．顶⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形C．底⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形D．有⼀个⾓为60°的三⾓形是等边三⾓形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°⾓的三⾓板拼接在⼀起，则拼接后的△ABD的形状是等边三⾓形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上⼀动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三⾓形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三⾓形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.⼜∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.⼜∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三⾓形．知识点2 含30°⾓的直⾓三⾓形的性质 7．(2017·平顶⼭市宝丰县期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，则AB ＝18． 8．(2017·郑州⽉考)如图，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，∠CDB ＝30°.若BC ＝3 cm ，则AD ＝6cm.9．如图，这是某超市⾃动扶梯的⽰意图，⼤厅两层之间的距离h ＝6.5⽶，⾃动扶梯的倾⾓为30°，若⾃动扶梯运⾏速度为v ＝0.5⽶/秒，则顾客乘⾃动扶梯上⼀层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC 与铁路AD 相交于车站A ，B 区在∠CAD 的平分线上，且距车站A 为20千⽶，∠DAC ＝60°，则B 区距铁路AC 的距离为10千⽶．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝8 cm ，求AD 的长．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝8 cm ，∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝16 cm. ⼜∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DCB ＝30°. ∴DB ＝12BC ＝4 cm.∴AD ＝AB －DB ＝12 cm.02 中档题12．在下列三⾓形中：①三边都相等的三⾓形；②有⼀个⾓是60°且是轴对称图形的三⾓形；③三个外⾓(每个顶点处各取1个外⾓)都相等的三⾓形；④⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形．其中是等边三⾓形的有(D)A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④13．如图，折叠直⾓三⾓形纸⽚的直⾓，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD ＝1，∠B ＝30°，则BD 的长是(B)A ．1B ．2 C. 3 D ．2 314．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三⾓形是(D)A ．直⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．等边三⾓形15．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．616．如图，△ABC 是等边三⾓形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上⼀点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF 的形状是等边三⾓形．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边的中线，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证：△AED 是等边三⾓形；(2)若AB ＝2，则四边形AEDF 的周长是4．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＝60°. ∴AD ＝12AB.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB.∴AE ＝AD.∴△ADE 是等边三⾓形．03 综合题18．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ＝60°，连接AC.(1)如图1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证：①△ABE ≌△ACF ；②△AEF 是等边三⾓形；(2)若点E 在BC 的延长线上，则在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三⾓形？请证明你的结论(图2备⽤)．解：(1)证明：①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三⾓形．∴AB ＝AC. 同理，△ADC 也是等边三⾓形，∴∠B ＝∠ACF ＝60°.⼜∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．②∵△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°.∴△AEF 是等边三⾓形． (2)存在．证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理，可证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.∴∠BAE －∠CAE ＝∠CAF －∠CAE. ∴∠BAC ＝∠EAF ＝60°. ∴△AEF 是等边三⾓形．(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)⼩专题(⼀) 等腰三⾓形中常见的数学思想类型1 ⽅程思想1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ED ＝EA ，求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °，∵BC ＝BD ＝ED ＝EA ，∴∠ADE ＝∠A ＝x °. ∴∠DEA ＝∠DBE ＝2x °. ∴∠BDC ＝∠C ＝3x °. ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝3x °.在△ABC 中，∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180. ∴x ＝1807.∴∠A 为180°7.类型2 分类讨论思想2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取⼀点P ，使得△PAB 为等腰三⾓形，则符合条件在点P 共有(B)A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个。
【人教版】八年级数学下第十九章《一次函数》课时作业同步练习(含答案)
第十九章 一次函数19．1 函数 19．1.1 变量与函数01 基础题知识点1 变量与常量1．小王计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数为W 个，每个球的单价为n 元，其中(A )A ．100是常量，W ，n 是变量B ．100，W 是常量，n 是变量C ．100，n 是常量，W 是变量D ．无法确定 2．由实验测得某一弹簧的长度y(cm )与悬挂物体的质量x(kg )之间有如下关系：y ＝ —12＋0.5x.下列说法正确的是(D)A ．变量是x ，常量是12，0.5B ．变量是x ，常量是－12，0.5C ．变量是x ，y ，常量是12，0.5D ．变量是x ，y ，常量是－12，0.5 3．写出下列各问题中的变量和常量：(1)购买单价为5元的钢笔n 支，共花去y 元； (2)全班50名同学，有a 名男同学，b 名女同学；(3)汽车以60 km /h 的速度行驶了t h ，所走过的路程为s km . 解：(1)y ，n 是变量，5是常量． (2)a ，b 是变量，50是常量． (3)s ，t 是变量，60是常量．知识点2 函数概念与函数值4．军军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x(本)之间的关系是(C)A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋505．下列关系式中，一定能称y 是x 的函数的是(B )A ．2x ＝y 2B ．y ＝3x －1C .||y ＝23xD ．y 2＝3x －56．若93号汽油的售价为6.2元/升，则付款金额y(元)随加油数量x(升)的变化而变化，其中，加油数量x(升)是自变量，付款金额y(元)是加油数量x(升)的函数，其解析式为y ＝6.2x ．7．从大村到黄岛的距离为60千米，一辆摩托车以平均每小时35千米的速度从大村出发到黄岛，则摩托车距黄岛的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函数解析式为y ＝60－35t ．8．已知函数y ＝x 2－x ＋2，当x ＝2时，函数值y ＝4；已知函数y ＝3x 2，当x ＝±2时，函数值y ＝12.9．如图是济南市8月2日的气温随时间变化的图象，根据图象可知：在这一天中，气温T(℃)是(填“是”或“不是”)时间t (时)的函数.知识点3 自变量的取值范围 10．(2017·无锡)函数y ＝x2－x中自变量x 的取值范围是(A)A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＞211．(2017·郴州)函数y ＝x ＋1的自变量x 的取值范围为x ≥－1． 12．求下列函数中自变量的取值范围：(1)y ＝2x 2－3x ＋5；解：x 为一切实数．(2)y ＝x －1＋36－2x ；解：解不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，6－2x ≥0得1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.(3)y ＝(x －1)0.解：∵x －1≠0，∴x ≠1.02 中档题13．在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形面积S ＝12ah ，当a 为定长时，在此函数关系式中(A )A ．S ，h 是变量，12，a 是常量B ．S ，h ，a 是变量，12是常量C ．a ，h 是变量，12，S 是常量D ．S 是变量，12，a ，h 是常量14．(2017·恩施)函数y ＝1x －3＋x －1的自变量x 的取值范围是(B) A ．x ≥1 B ．x ≥1且x ≠3 C ．x ≠3 D ．1≤x ≤315．若等腰三角形的周长为60 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，则y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围是(D )A ．y ＝60－2x(0<x<60)B ．y ＝60－2x(0<x<30)C ．y ＝12(60－x)(0<x<60)D ．y ＝12(60－x)(0<x<30)16．若函数y ＝⎩⎨⎧x 2＋2（x ≤2），2x （x>2），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是(D )C．±6或4 D．4或－ 617．(2017·安顺)在函数y＝x－1x－2中，自变量x的取值范围是x≥1且x≠2．18．据测定，海底扩张的速度是很缓慢的，在太平洋海底，某海沟的某处宽度为100米，两侧的地壳向外扩张的速度是每年6厘米，假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x年，海沟的宽度为y米．(1)写出海沟扩张时间x年与海沟的宽度y米之间的表达式；(2)你能计算出当海沟宽度y扩张到400米时需要多少年吗？解：(1)根据题意得：y＝0.06x＋100.(2)当y＝400时，0.06x＋100＝400，解得x＝5 000.答：当海沟宽度y扩张到400米时需要5 000年．19．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数解析式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)10小时后，池中还有多少水？解：(1)Q＝800－50t.(2)令y＝0，则0＝800－50t，解得t＝16.∴0＜t≤16.(3)当t＝10时，Q＝800－50×10＝300.答：10小时后，池中还有300立方米水．03综合题20．如图是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.8 cm，每个铁环长5 cm，设铁环间处于最大限度的拉伸状态．(1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别是多少？(2)设n个铁环长为y cm，请写出y关于n的函数解析式；(3)若要组成2.09 m长的链条，需要多少个铁环？解：(1)由题意，得2×5－2×0.8＝8.4(cm)，3×5－4×0.8＝11.8(cm)，4×5－6×0.8＝15.2(cm)．故2个铁环组成的链条长8.4 cm，3个铁环组成的链条长11.8 cm，4个铁环组成的链条长15.2 cm.(2)由题意，得y＝5n－2(n－1)×0.8，即y＝3.4n＋1.6.(3)2.09 m＝209 cm，当y＝209时，则3.4n＋1.6＝209，解得n＝61.答：需要61个铁环．19.1.2 函数的图象 第1课时 识别函数的图象01 基础题知识点1 对函数图象定性的认识 1．(2017·泸州)下列曲线中不能表示的y 是x 的函数的是(C )A B C D 2．(2017·东营)小明从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m )与时间t(min )的大致图象是(C)A B C D3．某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系对应的图象大致为(D)A B C D 4．(2017·黑龙江)如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h 与注水时间t 之间的函数关系图象可能是(D )A B C D知识点2 对函数图象定量的研究5．如图是护士统计一位甲型H 1N 1流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16时的体温约是(C)A ．37.8 ℃B ．38 ℃C ．38.7 ℃D ．39.1 ℃第5题图 第6题图6．娟娟同学上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．娟娟同学离家的路程y(m)和所经过的时间x (min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(D)A ．娟娟同学家与超市相距3 000 mB ．娟娟同学去超市途中的速度是300 m/minC．娟娟同学在超市逗留了30 minD．娟娟同学从超市返回家比从家里去超市的速度快7．如图是江津区某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：(1)气温T(℃)是不是时间t(时)的函数；(2)12时的气温是多少？(3)什么时候气温最高，最高是多少？什么时候气温最低，最低是多少？(4)什么时候气温是4 ℃？解：(1)在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温T(℃)是时间t(时)的函数．(2)12时的气温是8 ℃.(3)14时的气温最高，是10 ℃；4时的气温最低，是－2 ℃.(4)8时、22时的气温是4 ℃.02中档题8．在动画片《喜羊羊与灰太狼》中，有一次灰太狼追赶懒羊羊，在距离羊村60米处的地方追上了懒羊羊，如图反映了这一过程，其中s表示与羊村的距离，t表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是(D) A．一开始懒羊羊与灰太狼之间的距离是30米B．15秒后灰太狼追上了懒羊羊C．灰太狼跑了60米追上懒羊羊D．灰太狼追上懒羊羊时，懒羊羊跑了60米第8题图第9题图9．已知甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90 km，甲、乙行驶的路程y(km)与经过的时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象填空：(1)甲(或电动自行车)出发的早，早了2h，乙(或汽车)先到达，先到2h；(2)电动自行车的速度为18km/h，汽车的速度为90km/h.10．某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速按一定的速度匀速增大，经过荒漠地时，风速增大的比较快．一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴经过防风林时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图所示是风速与时间之间的关系的图象．结合图象回答下列问题：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？(2)从图象上看，风速在哪一个时间段增大的比较快，增加的速度是多少？ (3)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？ (4)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减小多少？ 解：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了41.2小时．(2)风速从5～12小时这个时间段增大的比较快，每小时增加38－1012－5＝4(千米)．(3)风速在12～26小时这个时间段保持不变，经历了14小时． (4)风速每小时减小3841.2－26＝2.5(千米)．11．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：① ② ③情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校； 情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进． (1)情境a ，b 所对应的函数图象分别是③①(填写序号)；(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．解：情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．03 综合题12．李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班．已知学校到李老师家总路程为2 000米．一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家．李老师回家过程中，离家的路程s(米)与所用时间t(分钟)之间的关系如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求李老师从学校到家的总时间．解：(1)李老师停留地点离他家路程为 2 000－900＝1 100(米)． 900÷45＝20(分钟)， ∴20＋30＝50(分钟)．故a ＝20，b ＝1 100，c ＝50. (2)20＋30＋1 100110＝60(分钟)．答：李老师从学校到家的总时间为60分钟．第2课时画函数图象01基础题知识点1点在函数图象上(函数图象经过点)1．下列各点在函数y＝3x＋2的图象上的是(B)A．(1，1) B．(－1，－1)C．(－1，1) D．(0，1)2．已知点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图象上，则a＝(A)A．1 B．－1C．2 D．－2知识点2画函数图象3．画出函数y＝2x－1的图象．(1)列表：(2)描点并连线；(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．解：(2)如图．(3)点A，B不在其图象上，点C在其图象上．(4)m＝5.4．在如图所示的平面直角坐标系内，画出函数y＝－x的图象．解：列表：描点、连线，如图．5．画出函数y ＝ －x －3的图象．解：列表：描点、连线，6．在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2的图象．解：列表：描点、连线，如图．02 中档题7．在点P(3，－1)，Q(－3，－1)，R(－52，0)，S(12，4)中，在函数y ＝－2x ＋5的图象上的点有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知点P(3，m)，Q(n ，2)都在函数y ＝x ＋b 的图象上，则m ＋n ＝5． 9．在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y ＝2x －1的图象.解：列表：描点、连线，如图．10．(1)画出函数y＝8x的图象；(2)从函数图象观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0呢？解：(1)列表：描点、连线，(2)当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而减小．11．(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x和y2＝x2的图象．(2)观察图象，何时y1＞y2？何时y1＝y2？何时y1＜y2?解：(1)列表：描点、连线，如图.(2)当0＜x＜1时，y1＞y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当x＜0或x＞1时，y1＜y2.03综合题12．(2016·北京).究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(2)根据画出的函数图象，写出：①x＝4对应的函数值y约为2.00；②该函数的一条性质：该函数有最大值(答案不唯一)．第3课时 函数的三种表示方法01 基础题 知识点1 解析式1．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，则y 与x 之间的函数解析式是(B )A ．y ＝0.05xB ．y ＝5xC ．y ＝100xD ．y ＝0.05x ＋1002．直角三角形中一个锐角的度数y 与另一个锐角的度数x 的函数解析式为(B )A ．y ＝180°－x(0°<x<90°)B ．y ＝90°－x(0°<x<90°)C ．y ＝180°－x(0°≤x ≤90°)D ．y ＝90°－x(0°≤x ≤90°)3．李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园ABCD 的面积为24平方米，设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数解析式为(A )A ．y ＝24xB ．y ＝－2x ＋24C ．y ＝2x －24D ．y ＝12x －124．已知汽车油箱内有油30 L ，每行驶100 km 耗油10 L ，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(L )与行驶路程s(km )之间的函数解析式是(C )A ．Q ＝30－s100B ．Q ＝30＋s100C ．Q ＝30－s10D ．Q ＝30＋s10知识点2 列表法5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度y(cm )与所挂物体的质量x(kg )间有下面的关系：下列说法中，不正确的是A ．x 是自变量，y 是x 的函数 B ．弹簧不挂重物时长度为0 cmC ．物体质量每增加1 kg ，弹簧长度y 增加0.5 cmD ．所挂物体质量为7 kg 时，弹簧长度为13.5 cm6．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高h 处落下，弹跳高度m 与下降高度h 的关系．则m 关于h 的函数解析式为(C ) A ．m ＝h 2 B ．m ＝2h C ．m ＝h2D ．m ＝h ＋257．一种豆子在市场上出售，豆子的总价y(元)与所售豆子的重量x(千克)之间的关系如下：(1)写出y 与x y ＝2x ；(2)出售2.5千克豆子售价为5元；(3)根据你的推测，出售10.5千克豆子，可售得21元．知识点3 图象法 8．(2017·齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是(D)A B C D9．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是0.2千米/分钟．10．如图是弹簧在弹性限度内挂上重物后的线性图，其中y 表示弹簧的长度(厘米)，x 表示所挂物体的质量．根据图象，回答问题：(1)当所挂物体的质量分别为0千克，5千克，10千克，15千克，20千克时，弹簧的长度分别是多少厘米？ (2)弹簧长度y 可以看成是物体质量x 的函数吗？如果是，写出这个函数关系式．(写出自变量的取值范围) 解：(1)15，17.5，20，22.5，25. (2)可以，y ＝15＋0.5x(0≤x ≤20)．02 中档题 11．(2017·广元)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：①若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；②若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.60元/度计算)，现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是(C)A B C D12．某校办工厂年产值是15万元，计划以后每年增加2万元．(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数解析式，并画出函数图象；(2)估计5年后该工厂的产值．解：(1)y＝15＋2x(x≥0)，图象如下：(2)当x＝5时，y＝15＋2×5＝25.∴估计5年后该工厂的产值为25万元．13．一根蜡烛长20 cm，蜡烛的燃烧速度是5 cm/s.(1)写出蜡烛的剩余长度h与燃烧时间t之间的函数关系式；(2)画出这个函数的图象．解：(1)h＝20－5t(0≤t≤4)．(2)列表：描点、连线，如图．14．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：(1)(2)假设温度为x℃时，合金棒的长度为y cm，根据表中数据写出y与x之间的关系式；(3)当温度为－20 ℃或100 ℃，分别推测合金棒的长度．解：(1) 从表格上可知温度每升高1 ℃合金棒的长度就增加0.001 cm，∴如果合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在50 ～150 ℃.(2)y＝0.001x＋10.(3)当x＝－20时，y＝0.001×(－20)＋10＝9.98；当x＝100时，y＝0.001×100＋10＝10.1.03 综合题15．已知点P(x ，y)是第一象限内的点，且x ＋y ＝8，点A 的坐标为(10，0)．设△OAP 的面积为S.(1)求S 与x 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)画出函数图象．解：(1)∵P(x ，y)在第一象限内， ∴x>0，y>0.∵x ＋y ＝8，∴y ＝8－x. ∴S ＝12OA·y ＝12×10×(8－x)，即S ＝－5x ＋40.x 的取值范围是0<x<8. (2)图象如图．19.2 一次函数 19．2.1 正比例函数01 基础题知识点1 认识正比例函数1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为(C )A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x2D ．y ＝x ＋122．函数y ＝(a ＋1)x a －1是正比例函数，则a 的值是(A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．－23．函数y ＝(2－a)x ＋b －1是正比例函数的条件是(C )A ．a ≠2B ．b ＝1C ．a ≠2且b ＝1D ．a ，b 可取任意实数4．若一个正比例函数y ＝kx 的比例系数是4，则它的解析式是__y ＝4x ． 5. 下列函数中哪些是正比例函数？那些不是？若是，请指出比例系数．(1)y ＝2x ； (2)y ＝3x ； (3)y ＝－35x ；(4)y ＝－17x＋1; (5)y ＝－x 2＋1 .解： (1)是正比例函数，比例系数是2.(2)不是正比例函数．(3)是正比例函数，比例系数是－35.(4)、(5)不是正比例函数．知识点2 正比例函数的图象和性质 6．(2016·南宁)已知正比例函数y ＝3x 的图象经过点(1，m)，则m 的值为(B )A .13B ．3C ．－13D ．－37．正比例函数y ＝2x 的大致图象是(B )8．已知在正比例函数y ＝(k －1)x 的图象中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是(A )A ．k<1B ．k>1C ．k ＝8D ．k ＝69．关于正比例函数y ＝－2x ，下列结论正确的是(C )A ．图象必经过点(－1，－2)B ．图象经过第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．不论x 取何值，总有y ＜010．如图，正比例函数图象经过点A ，则该函数解析式是y ＝3x ． 11．用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：(1)y ＝x ；(2)y ＝－12x .解：列表：描点、连线，如图．02 中档题 12．(2017·陕西)若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m ，－4)两点，则m 的值为(A)A ．2B ．8C ．－2D ．－813．正比例函数y ＝(k 2＋1)x(k 为常数，且k ≠0)一定经过的两个象限是(A )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限14．(2016·陕西)设点A(a ，b)是正比例函数y ＝－32x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是(D )A ．2a ＋3b ＝0B ．2a －3b ＝0C ．3a －2b ＝0D ．3a ＋2b ＝015．若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是(D )A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜12D ．m ＞1216．已知y ＝(k －1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k ＝ －1．17．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．18．已知正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)．(1)求这个函数的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(3)判断点A(4，－2)、点B(－1.5，3)是否在这个函数的图象上．解：(1)把点(3，－6)代入正比例函数y＝kx，得－6＝3k，解得k＝－2.∴这个函数的解析式为y＝－2x.(2)如图．(3)∵正比例函数的解析式为y＝－2x，∴当x＝4时，y＝－8；当x＝－1.5时，y＝3.∴点A(4，－2)不在这个函数的图象上，点B(－1.5，3)在这个函数的图象上．19．已知正比例函数y＝kx的图象过点P(－2，2)．(1)写出该函数的解析式；(2)已知点A(a，－4)，B(－22，b)都在它的图象上，求a，b的值．解：(1)∵正比例函数y＝kx的图象过点P(－2，2)，∴2＝－2k，解得k＝－1.∴该函数的解析式为y＝－x.(2)∵点A(a，－4)，B(－22，b)都在y＝－x的图象上，∴－4＝－a，b＝－(－22)，即a＝4，b＝2 2.20．已知正比例函数y＝(2m＋4)x.求：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限；(2)m为何值时，y随x的增大而减小；(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上．解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0.解得m＞－2.(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)∵点(1，3)在该函数图象上， ∴2m ＋4＝3，解得m ＝－12.03 综合题21．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3.(1)求正比例函数的解析式；(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为5？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3， ∴点A 的纵坐标为－2， ∴点A 的坐标为(3，－2)．∵正比例函数y ＝kx 经过点A ， ∴3k ＝－2，解得k ＝－23.∴正比例函数的解析式为y ＝－23x.(2)存在．∵△AOP 的面积为5，点A 的坐标为(3，－2)， ∴OP ＝5.∴点P 的坐标为(5，0)或(－5，0)．周周练(19.1～19.2.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．某市居民用电价格是0.58元/度，居民应付电费为y元，用电量为x度，其中(B) A．0.58，x是常量，y是变量B．0.58是常量，x，y是变量C．0.58，y是常量，x是变量D．x，y是常量，0.58是变量2．下列式子中的y不是x的函数的是(C)A．y＝－2x－3 B．y＝－1 x－1C．y＝±x＋2 D．y＝x＋13．经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是(B)A．(0，0)和(2，1) B．(0，0)和(1，2)C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2)4．(2016·南宁)下列各曲线中表示y是x的函数的是(D)A BC D5．(2017·淄博)小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是(D)A B C D6．(2017·哈尔滨)周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(D) A．小涛家离报亭的距离是900 mB．小涛从家去报亭的平均速度是60 m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/minD．小涛在报亭看报用了15 min第6题图 第7题图7．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB 沿直线y ＝－34x 平移后，点O′的纵坐标为6，则点B 平移的距离为(D )A ．4.5B ．6C ．8D ．108．已知函数y ＝⎩⎨⎧2x ＋1（x ≥0），4x （x<0），当x ＝2时，函数值y 为(A)A ．5B ．6C ．7D ．8 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．函数y ＝1x －1的自变量x 的取值范围是x ≠1． 10．向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当半径从2 cm 变成5 cm 时，圆形的面积从4π__cm 2变成25π__cm 2．这一变化过程中半径是自变量，面积是自变量的函数．11．(2017·扬州)同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数解析式是y ＝95x ＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为－40℃. 12．(2017·齐齐哈尔)在函数y ＝x ＋4＋x－2中，自变量x 的取值范围是x ≥－4且x ≠0．13．已知(x 1，y 1)和(x 2，y 2)是直线y ＝－3x 上的两点，且x 1＞x 2，则y 1与y 2的大小关系是y 1＜y 2__． 14．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为(－12，－12) .三、解答题(共44分)15．(6分)写出下列各题中y 关于x 的函数解析式，并判断y 是否为x 的正比例函数．(1)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y 元与所买西瓜x 千克之间的关系；(2)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y 与星期数x 之间的关系；(3)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y 元与月数x 之间的关系．解：(1)依题意，得y ＝3.6x ，y 是x 的正比例函数． (2)依题意，得y ＝400－36x ，y 不是x 的正比例函数． (3)依题意，得y ＝10 000＋500x ，y 不是x 的正比例函数．16．(9分)在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：(1)y ＝－23x ；(2)y ＝3x ；(3)y ＝23x.解：如图所示．17．(9分)已知y 与x ＋2 成正比例，当x ＝4时，y ＝12.(1)写出y 与x 之间的函数解析式； (2)求当y ＝36时x 的值；(3)判断点(－7，－10)是否是函数图象上的点． 解：(1)设y ＝k(x ＋2)．∵x ＝4，y ＝12，∴6k ＝12.解得k ＝2. ∴y ＝2(x ＋2)＝2x ＋4.(2)当y ＝36时，2x ＋4＝36，解得x ＝16. (3)当x ＝－7时，y ＝2×(－7)＋4＝－10， ∴点(－7，－10)是函数图象上的点．18．(10分)已知函数y ＝(k ＋12)xk 2－3(k 为常数)．(1)k 为何值时，该函数是正比例函数；(2)k 为何值时，正比例函数过第一、三象限，写出正比例函数解析式；(3)k 为何值时，正比例函数y 随x 的增大而减小，写出正比例函数的解析式． 解：(1)由题意得：k ＋12≠0，k 2－3＝1.解得k ＝±2.∴当k ＝±2时，这个函数是正比例函数．(2)当k ＝2时，正比例函数过第一、三象限，解析式为y ＝52x.(3)当k ＝－2时，正比例函数y 随x 的增大而减小，解析式为y ＝－32x.19．(10分)某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示，回答下列问题．(1)机动车行驶几小时后加油？(2)求加油前油箱剩余油量Q 与行驶时间t 的函数关系，并求自变量t 的取值范围；(3)中途加油多少升？(4)如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．解：(1)观察函数图象可知：机动车行驶5小时后加油．(2)机动车每小时的耗油量为(42－12)÷5＝6(升)，∴加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系为Q＝42－6t(0≤t≤5)．(3)36－12＝24(升)．∴中途加油24升．(4)油箱中的油够用．理由：∵加油后油箱里的油可供行驶11－5＝6(小时)，∴剩下的油可行驶6×40＝240(千米)．∵240＞230，∴油箱中的油够用．19.2.2 一次函数 第1课时 一次函数的定义01 基础题知识点 认识一次函数1．下列函数关系式：①y ＝－2x ；②y ＝－2x ；③y ＝－2x 2；④y ＝x3；⑤y ＝2x －1.其中是一次函数的有(B )A ．①⑤B ．①④⑤C ．②⑤D ．②④⑤2．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是(C )A ．y ＝2xB ．y ＝1x ＋2C ．y ＝12x －23D ．y ＝2x 2－13．下列问题中，变量y 与x 成一次函数关系的是(B )A ．路程一定时，时间y 和速度x 的关系B ．10米长的铁丝折成长为y ，宽为x 的长方形C ．圆的面积y 与它的半径xD ．斜边长为5的直角三角形的直角边y 和x4．据调查，某地铁自行车存放处在某星期天的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通自行车存车费是每辆一次0.20元，若普通自行车存车数为x 辆，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数解析式为(D )A ．y ＝0.10x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.10x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.10x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.10x ＋1 200(0≤x ≤4 000)5．函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是(A )6．若函数y ＝2kx ＋k ＋3是正比例函数，则k 的值是－3．7．函数s ＝15t －5和s ＝15－5t 都是形如y ＝kx ＋b 的一次函数，其中第一个式子中k ＝ 15，b ＝－5；第二个式子中k ＝－5，b ＝15．8．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当x ＝－2时，y ＝7；当x ＝1时，y ＝－11，求k ，b 的值．解：将x ＝－2，y ＝7和x ＝1，y ＝－11分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝7，k ＋b ＝－11.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，b ＝－5.9．已知y ＝(m ＋1)x 2－|m|＋n ＋4.(1)当m ，n 取何值时，y 是x 的一次函数？ (2)当m ，n 取何值时，y 是x 的正比例函数？ 解：(1)根据一次函数的定义，有 m ＋1≠0且2－|m|＝1，解得m ＝1.∴m ＝1，n 为任意实数时，这个函数是一次函数． (2)根据正比例函数的定义，有 m ＋1≠0且2－|m|＝1，n ＋4＝0， 解得m ＝1，n ＝－4.∴当m ＝1，n ＝－4时，这个函数是正比例函数．10．写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？y 是否是x 的一次函数？(1)某小区的物业费是按房屋面积每平方米0.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y(元)与房屋面积x(平方米)之间的函数关系；(2)地面气温是28 ℃，如果高度每升高1 km ，则气温会下降5 ℃，则气温y (℃)与高度x (km)的关系；(3)圆面积S (cm 2)与半径r (cm)的关系．解：(1)y ＝0.5x ，y 是x 的正比例函数，y 是x 的一次函数． (2)y ＝28－5x ，y 是x 的一次函数，但y 不是x 的正比例函数． (3)S ＝πr 2，S 不是r 的一次函数，S 也不是r 的正比例函数．02 中档题11．函数y ＝(m －2)x n －1＋n 是一次函数，则m ，n 应满足的条件是(C )A ．m ≠2且n ＝0B ．m ＝2且n ＝2C ．m ≠2且n ＝2D ．m ＝2且n ＝012．关于函数y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)，下列说法正确的有 (B)①y 是x 的一次函数； ②y 是x 的正比例函数；③当b ＝0时，y ＝kx 是正比例函数；④只有当b ≠0时，y 才是x 的一次函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．已知关于x 的一次函数y ＝kx ＋4k －2(k ≠0)，若x ＝1，y ＝8，则k ＝2． 14．在一次函数y ＝－2(x ＋1)＋x 中，比例系数k 为－1，常数项b 为－2．15．把一个长10 cm ，宽5 cm 的长方形的宽增加x cm ，长不变，长方形的面积y(cm 2)随x 的变化而变化．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使长方形的面积增加30 cm 2，则x 应取什么值？ 解：(1)y ＝10(x ＋5)，即y ＝10x ＋50.(2)根据题意，得10x ＋50＝10×5＋30，解得x ＝3.16．已知y －m 与3x ＋n 成正比例函数(m ，n 为常数)，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝7，求y 与x 之间的函数关系式．解：∵y －m 与3x ＋n 成正比例，∴设y －m ＝k(3x ＋n)(k ，m ，n 均为常数，k ≠0)． ∵当 x ＝2时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＝k （6＋n ），7－m ＝k （9＋n ）. ∴k ＝1，，m ＋n ＝－2.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝3x －2.17．学校图书室有360本图书借给八(2)班的同学阅读，每人借6本．(1)求余下的图书数量y(本)和学生数x(人)之间的函数关系式，并求自变量的取值范围； (2)当班里有50个学生时，剩余多少本？(3)当图书室剩余72本书时，这个班有多少名学生？解：(1)y ＝360－6x(0≤x ≤60)．(2)当x ＝50时，y ＝360－6×50＝60.(3)当y ＝72时，360－6x ＝72，解得x ＝48.03 综合题18．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－3时，y ＝4.(1)求y 与x 的函数解析式，并说明此函数是什么函数； (2)当x ＝3时，求y 的值．解：(1)设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2(x －2)，则y ＝k 1x ＋k 2(x －2)，依题意，得⎩⎨⎧k 1－k 2＝0，－3k 1－5k 2＝4，解得⎩⎨⎧k 1＝－12，k 2＝－12.∴y ＝－12x －12(x －2)，即y ＝－x ＋1.∴y 是x 的一次函数．(2)把x ＝3代入y ＝－x ＋1，得y ＝－2. ∴当x ＝3时，y 的值为－2.。
最新精编湘教版八年级数学下册全册配套课时练习课课练(全面详细)47课时
最新湘教版八年级数学下册全册配套课时练习课课练总目录：湘教版八年级数学下册第1章直角三角形全单元课时练习（10课时）精编最新湘教版八年级数学下册第2章四边形全单元课时练习（15课时）精编最新湘教版八年级数学下册第3章图形与坐标全单元课时练习同步练习（7课时）精编最新湘教版八年级数学下册第4章一次函数全单元课时练习同步练习（11课时）精编最新湘教版八年级数学下册第5章数据的频数分布全单元课时练习同步练习（4课时）湘教版八年级数学下册第1章直角三角形全单元课时练习目录1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ课时练习含答案(2课时)1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ课时练习含答案(3课时)1.3直角三角形全等的判定练习课课练含答案1.4角平分线的性质课时练习课课练含答案(2课时)第1章直角三角形专题训练一直角三角形与勾股定理的应用课时练习含答案第1章直角三角形本章中考演练练习含答案1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ课时练习含答案(2课时)课时作业(一)[1.1 第1课时直角三角形的性质和判定]一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是链接听课例1归纳总结( )A．66° B．56° C．46° D．36°2．在直角三角形中，若斜边和斜边上的中线的长度之和为9，则斜边上的中线长为( )A．3 B．4.5 C．6 D．93．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是链接听课例2归纳总结( )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C4．如图K－1－1，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )图K－1－1A．10 B．11 C．12 D．135．如图K－1－2，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，则( )图K－1－2A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．无法确定∠1与∠2的大小关系6．如图K－1－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高．若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B 的度数是( )图K－1－3A．60° B．45° C．30° D．15°二、填空题7．如图K－1－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，D 为AB的中点，则CD＝________cm.图K－1－48．如图K－1－5，AD⊥BC，∠BAD＝∠B，∠C＝65°，则∠BAC 的度数为________．图K－1－59．在直角三角形中，若两个锐角的度数之比为2∶3，则它们中较大锐角的度数为________°.10．2017·常德如图K－1－6，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一个动点，过点D作CD交BE 于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是____________．图K－1－6三、解答题11．如图K－1－7，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC是直角三角形．链接听课例2归纳总结图K－1－712．如图K－1－8，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，那么AD与BC有什么位置关系？请说明理由．图K－1－813.如图K －1－9，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.求证：AF ＝AD.图K －1－914．如图K －1－10，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，且DC ＝BE.求证：∠B ＝2∠BCE.图K －1－1015．如图K －1－11，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝BC ，E 为BD 的中点，F 为AC 的中点，连接EF 交CD 于点M ，连接AM.(1)求证：EF ＝12AC ；(2)若∠BAC ＝45°，求线段AM ，DM ，BC 之间的数量关系.链接听课例3归纳总结图K－1－1116．如图K－1－12，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.求证：(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；(2)∠EMD＝2∠DAC.图K－1－12动点问题如图K－1－13，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC边的中点．(1)写出点D到△ABC三个顶点 A，B，C的距离的关系(不要求证明)；(2)如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动， 在移动过程中保持AN ＝BM ，请判断△DMN 的形状，并证明你的结论．图K －1－13详解详析课堂达标1．[解析] D ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝54°， ∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－54°＝36°.故选D.2．[解析] A 设该直角三角形斜边上的中线长为x ，则斜边长为2x ，则x ＋2x ＝9，解得x ＝3.故选A.3．[解析] D A 选项中，∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形；同理，B ，C 选项均为直角三角形．D 选项中，∠A ＝∠B ＝3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角中没有90°角，故不是直角三角形．故选D.4．[解析] B ∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，BC ＝6，∴AD ⊥BC ，CD ＝BD ＝12BC ＝3.∵E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ＝12AC ＝4，∴△CDE 的周长＝CD ＋DE ＋CE ＝3＋4＋4＝11.故选B.5．[解析] B ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，∴BE ＝12AC ，ED ＝12AC ，∴ED ＝BE ，∴∠1＝∠2. 6．[解析] C在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，∴EC ＝EA ＝12AB.根据对称，得EC ＝AC ，∴EC ＝AC ＝EA ，∴△ACE 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. 7．58．[答案] 70°[解析] ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠B ＝45°.在Rt △ADC 中，∠DAC ＝90°－∠C ＝90°－65°＝25°， ∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝45°＋25°＝70°. 9．[答案] 54[解析] 设直角三角形的两个锐角分别为α，β(α＜β)，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝90°，αβ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝36°，β＝54°.所以两个锐角中较大的锐角为54°. 10．[答案] 0<CD ≤5[解析] 根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，当点D运动至点A时，CD最长，为5.11．证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．12．解：AD∥BC.理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°.∵∠C＝60°，∴∠DBC＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.∵∠A＝120°，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC.13．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ADF＝90°－∠ABD.∵AE⊥BC于点E，∴∠AFD＝∠BFE＝90°－∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADF＝∠AFD，∴AF＝AD.14．证明：如图，连接DE.∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，DE 是AB 边上的中线， ∴DE ＝12AB ＝BE ，∴∠B ＝∠EDB. ∵DC ＝BE ， ∴DE ＝DC ， ∴∠DEC ＝∠BCE.∵∠EDB ＝∠DEC ＋∠BCE ＝2∠BCE ， ∴∠B ＝2∠BCE.15．解：(1)证明：∵CD ＝BC ，E 为BD 的中点， ∴CE ⊥BD.在Rt △ACE 中，∵F 为AC 的中点， ∴EF ＝12AC.(2)∵∠BAC ＝45°，CE ⊥BD ， ∴△AEC 是等腰直角三角形． ∵F 为AC 的中点，∴EF 垂直平分AC ，∴AM ＝CM. ∵CD ＝CM ＋DM ＝AM ＋DM ，CD ＝BC ， ∴BC ＝AM ＋DM.16．证明：(1)∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 是等腰三角形． ∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ， ∴MD ＝MB ＝12AB ，∴△BMD 是等腰三角形． (2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ，∴∠BME ＝2∠MAE. 同理MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ，∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2(∠MAE －∠MAD)＝2∠DAC.素养提升解：(1)DC ＝DA ＝DB.(2)△DMN 是等腰直角三角形． 证明：连接AD.∵∠BAC ＝90°，D 为 BC 边的中点， ∴DC ＝DA ＝DB ，∴∠C ＝∠CAD ，∠B ＝∠DAB. 又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ， ∴∠CAD ＝∠B.在△AND和△BMD中，∵AN＝BM，∠NAD＝∠B，DA＝DB，∴△AND≌△BMD，∴DN＝DM，∠ADN＝∠BDM，∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADM＋∠BDM＝90°，∴∠ADM＋∠ADN＝90°，即∠NDM＝90°，∴△DMN是等腰直角三角形．课时作业(二)[1.1 第2课时含30 °角的直角三角形的性质及应用]一、选择题1．如图K－2－1，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度是( )图K－2－1A．10米 B．15米 C．25米 D．30米2．如图K－2－2，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D为斜边AB的中点，则图中与线段AC的长度相等的线段有( )图K －2－2A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条3．如图K －2－3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∠A ＝30°，AB ＝4，则BD 的值为( )图K －2－3A ．3B ．2C ．1 D.124．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，若这个三角形的最短边长为2，则它的最长边长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 25．如图K －2－4，AB ⊥BC 于点B ，AD ∥BC ，BE ⊥CD 于点E ，CE ＝12BC ，E 为CD 的中点，那么∠ADB 的度数为( )图K －2－4A ．75°B ．60°C ．45°D ．无法确定6．2018·郴州如图K －2－5，∠AOB ＝60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 分别于点C ，D ；分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 中截取OM ＝6，则点M 到OB 的距离为( )图K －2－5A ．6B ．2C ．3D ．3 37．如图K －2－6，已知∠1＝∠2，AD ＝BD ＝4，CE ⊥AD 于点E ，2CE ＝AC ，那么CD 的长是( )图K －2－6A ．2B ．3C ．1D ．1.5 二、填空题8．若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1，斜边长为8，则这个直角三角形最短的边长为________．9．如图K －2－7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D.若BC ＝12AB ，则∠DCB ＝________°.图K－2－710．如图K－2－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝________．图K－2－811．如图K－2－9，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，AD＝2BC，则∠A＝________°.链接听课例2归纳总结图K－2－912．如图K－2－10，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．图K－2－10三、解答题13．如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF＝4 cm.求：(1)∠F的度数；(2)AB的长.图K－2－1114．如图K－2－12，△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系，并说明理由．图K－2－1215．如图K－2－13，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC 上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.图K－2－1316．如图K－2－14，∠AOP＝∠BOP ＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D.若PC＝4，求PD的长．图K－2－141．分类讨论思想在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD是高，且∠ABD ＝30°，求CD的长2．图形全等与变换如图K－2－15，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB ＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝15°，点B，E关于CD对称，连接BE交CD于点H，交AC于点G，连接DE交AC于点F.(1)求∠ADF的度数；(2)求证：AF ＝CG.图K －2－15详解详析课堂达标1．[解析] B 由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米，则大树在折断前的高度是5＋10＝15(米)．2．[解析] D 由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知，AC ＝12AB ＝AD ＝BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD ＝12AB ，所以AC＝AD ＝BD ＝CD.故选D.3．[解析] C ∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，∴CB ＝12AB＝2，∠B ＝60°.∵CD 是AB 边上高，∴∠BDC ＝90°，∴∠BCD ＝30°， ∴BD ＝12BC ＝1.4．[解析] B 设三个内角的度数分别为x °，(2x)°，(3x)°，则x ＋2x ＋3x ＝180，解得x ＝30，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴这个三角形是直角三角形，30°角所对的直角边为最短边，斜边为最长边．∵最短边长为2，∴它的最长边为2 2.5．[解析] B 由BE ⊥CD ，CE ＝12BC ，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”得∠EBC ＝30°.又由BE 垂直平分CD 得△BCD 为等腰三角形，所以∠DBE ＝∠EBC ＝30°，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠ADB ＝∠DBC ＝60°.故选B.6．[解析] C 由作图知，OP 是∠AOB 的平分线，点M 到OB 的距离即为垂线段的长，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得点M 到OB 的距离是3.7．[解析] A 在Rt △AEC 中，由CE AC ＝12，可以得到∠1＝∠2＝30°.又∵AD ＝BD ＝4，得到∠B ＝∠2＝30°，从而求出∠ACD ＝90°，然后由直角三角形的性质求出CD 的长．8．4 9．[答案] 30[解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12AB ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.∵CD ⊥AB ，垂足为D ，∴∠CDB ＝90°，∴∠DCB ＝30°.10．[答案] 2[解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝12∠CAB ＝30°，∴∠BAD ＝∠B ，∴AD ＝BD.∵CD ＝1，∴AD ＝2CD ＝2，∴BD ＝AD ＝2. 11．[答案] 15[解析] 连接BD.∵DE 垂直平分AB 于点E ，∴AD ＝BD ＝2BC ，∴在Rt △BCD 中，∠BDC ＝30°.又∵BD ＝AD ，∴∠A ＝∠DBA ＝12∠BDC＝15°.12．[答案] 3[解析] 如图，过点P 作PC ⊥MN 于点C.∵PM ＝PN ，∴C 为MN 的中点，即MC ＝NC ＝12MN ＝1.∵在Rt △OPC 中，∠AOB ＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC ＝12OP ＝4，则OM ＝OC －MC ＝4－1＝3.13．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°. ∵EF ∥AB ，∴∠BEF ＝∠ABC ＝60°. ∵BF ∥AC ，∴∠EBF ＝∠C ＝90°， ∴∠F ＝30°.(2)∵∠EBF ＝90°，∠F ＝30°，EF ＝4 cm ， ∴BE ＝12EF ＝2 cm.∵E 是边BC 的中点，∴BC ＝4 cm. ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝8 cm. 14．解：CE ＝14AC.理由：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C ＝60°，BC ＝AC. ∵D 是△ABC 中BC 边的中点， ∴BD ＝CD.又∵∠C ＝60°，DE ⊥AC ， ∴∠CDE ＝30°， ∴CE ＝12CD ＝14BC ＝14AC.即CE ＝14AC.15．证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BA ＝AC ，∠CAB ＝∠C ＝60°. 又∵AE ＝CD ， ∴△ABE ≌△CAD ， ∴∠ABE ＝∠CAD.(2)∵∠BPH ＝∠BAD ＋∠ABP ＝∠BAD ＋∠CAD ＝60°，BH ⊥AD 于点H ，∴∠EBH ＝30°，∴在Rt △PBH 中，PB ＝2PH.16．解：过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，则∠PQO ＝∠PDO ＝90°. ∵∠DOP ＝∠QOP ＝15°，∠PDO ＝∠PQO ＝90°，OP ＝OP ，∴△OPD ≌△OPQ ，∴PD ＝PQ.∵PC ∥OA ，∴∠QCP ＝∠BOD ＝∠AOP ＋∠BOP ＝30°， ∴PQ ＝12PC ＝2.故PD ＝2.素养提升1．解：分两种情况讨论．(1)如图①，当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，则AD ＝12AB ＝5 cm ，∴CD ＝AC －AD ＝5 cm.(2)如图②，当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝30°，∴AD ＝12AB ＝5 cm ，∴CD ＝AC ＋AD ＝15 cm.2．解：(1)∵在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠CBA ＝45°. ∵∠ACD ＝15°，∴∠CDB＝∠ACD＋∠CAD＝60°.∵点B，E关于CD对称，∴∠EDC＝∠CDB＝60°，∴∠ADF＝180°－60°－60°＝60°.(2)证明：如图，过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M，则∠FAM＝90°＝∠GCB，∠MAD＝90°－45°＝45°＝∠CAD.∵∠MAD＝45°，∠ADF＝60°，∴∠M＝60°－45°＝15°＝∠ACD.∵点B，E关于CD对称，∴CD⊥BE，∴∠CHG＝90°，∴∠CGB＋∠ACD＝90°.∵∠GCB＝90°，∴∠CGB＋∠CBG＝90°，∴∠CBG＝∠ACD＝15°＝∠M.在△ACD和△AMD中，∵∠CAD＝∠MAD，∠ACD＝∠M，AD＝AD，∴△ACD≌△AMD，∴AC＝AM.又∵AC＝BC，∴AM＝BC.在△FAM和△GCB中，∵∠M＝∠CBG，AM＝CB，∠FAM＝∠GCB，∴△FAM≌△GCB，∴AF＝CG.1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ课时练习含答案(3课时)[1.2 第1课时勾股定理]一、选择题1．2018·滨州在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( ) A．5 B．6C．7 D．82．如图K－3－1，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图K－3－1A．5 B．6 C．7 D．253．如图K－3－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若CE＝5，AC＝12，则BE的长是( )A．5 B．10 C．12 D．134．如图K－3－3，长方形OABC的边OA的长为3，边AB的长为2，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )图K－3－3A．3.5 B．2 2 C. 5 D.135．2018·泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图K－3－4所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ( )图K－3－4A．9 B．6C．4 D．36．2017·大连如图K－3－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A ．2aB ．2 2aC ．3a D.4 33 a二、填空题7．若直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是__________．8．如图K －3－6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD ＝________．图K －3－69．直角三角形斜边长是5，一条直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．10．如图K －3－7，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为________.链接听课例3归纳总结图K －3－711．2017·徐州如图K －3－8，已知OB ＝1，以OB 为直角边作等腰直角三角形A 1BO ，再以OA 1为直角边作等腰直角三角形A 2A 1O ……如此下去，则线段OA n 的长度为________．图K－3－812．2017·黑龙江在△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是________．13．如图K－3－9，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，则△ABC的周长是________(结果保留根号)．图K－3－9三、解答题14．如图K－3－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长.链接听课例2归纳总结图K－3－1015．如图K－3－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，DE＝1.(1)求∠A的度数；(2)求AB的长度．图K－3－1116．2017·徐州如图K－3－12，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图K－3－1217. 如图K－3－13，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，一个动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动，同时另一个动点Q 从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段AQ和CP的长．(2)当t为何值时，AP＝AQ?(3)是否存在某一个t值，使AP＝BP？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图K－3－13数形结合题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图K－3－14所示，过点C作CH⊥AB于点H，延长CH交MN 于点I.(1)若AC＝3 2，BC＝2 3，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积；(2)请结合图形，证明勾股定理：AC2＋BC2＝AB2.链接听课例3归纳总结图K－3－14详解详析课堂达标1．[解析] A 根据勾股定理直接求得弦长为32＋42＝5.2．[解析] A 如图，AB＝AC2＋BC2＝5.故选A.3．[解析] D 在Rt△CAE中，CE＝5，AC＝12，由勾股定理，得AE＝CE2＋AC2＝52＋122＝13.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝13.4．[解析] D 由勾股定理可知OB ＝32＋22＝13，∴这个点表示的实数是13.5．[解析] D 设直角三角形斜边长为c ，根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.∵大正方形的面积为25，∴c 2＝25，即a 2＋b 2＝25.∵ab ＝8，∴(a －b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝25－2×8＝9，即a －b ＝3，即小正方形的边长为3.6．[解析] B 因为CD ⊥AB ，CD ＝DE ＝a ，所以CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a.又△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，所以AE ＝BE ＝CE ，所以AB ＝2CE ＝2 2a.7．[答案] 5[解析] 已知直角三角形的两直角边长分别为6，8，则斜边长为62＋82＝10，故斜边的中线长为12×10＝5.故答案为5.8．[答案] 8[解析] 因为CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，且DE ＝5，所以AC ＝10.在Rt △ADC 中，CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.9．[答案] 6[解析] ∵直角三角形的斜边长是5，一条直角边的长是3，∴另一条直角边的长为52－32＝4，∴该直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.10．[答案] 16[解析] ∵a ，b ，c 都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DCE.又∵∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB＝CE，BC＝ED.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋ED2，即S b＝S a＋S c＝5＋11＝16.11．[答案] 2n[解析] ∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，∴A1B＝OB＝1，OA1＝2OB＝ 2.∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝2，OA2＝2OA1＝2.∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝2OA2＝2 2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2 2，OA4＝2OA3＝4……∴OA n的长度为2n.12．21 3或15 313．[答案] 6＋2 3[解析] ∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝2 3，∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝2 3＋4＋2＝6＋2 3.14．解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8. ∵AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴AB ＝10.∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ＝12×6×8，∴CD ＝6×810＝4.8.15．解：(1)由DE 垂直平分AB ， 得AD ＝BD ，从而得∠A ＝∠DBE. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBE ＝∠DBC ＝∠A. 又∵∠C ＝90°， ∴∠A ＝30°.(2)∵DE ＝1，DE ⊥AB ，∠A ＝30°， ∴AD ＝2DE ＝2， ∴AE ＝AD 2－DE 2＝3， ∴AB ＝2AE ＝2 3. 16．解：(1)4(2)过点D 作DE ⊥BC 于E. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形， ∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°. ∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°.在Rt △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， ∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝ 3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.17．解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∴AQ ＝10－2t ，CP ＝8－t. (2)AP ＝t ，AQ ＝10－2t ， 令t ＝10－2t ，解得t ＝103.故当t 为103时，AP ＝AQ.(3)不存在．理由：在Rt △PCB 中，∠PCB ＝90°， ∴CP 2＋BC 2＝BP 2.∵CP ＝8－t ，BC ＝6，BP ＝AP ＝t ，∴(8－t)2＋62＝t 2，解得t ＝254.∵254>10÷2＝5， ∴不存在使AP ＝BP 成立的t 值． 素养提升证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3 2，BC ＝2 3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（3 2）2＋（2 3）2＝30， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CH ，即12×3 2×2 3＝12×30CH ， ∴CH ＝6 55，∴AH ＝AC 2－CH 2＝3 305.∵四边形ABMN 为正方形， ∴AN ＝AB ＝30.∵S 四边形AHIN ＝AH ·AN ＝3 305×30＝18，S 四边形AEFC ＝AC 2＝(3 2)2＝18，∴四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积． (2)∵四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积， ∴AC 2＝AH ·AB ， 同理可得BC 2＝BH ·AB ，∴AC 2＋BC 2＝AH ·AB ＋BH ·AB ＝AB 2.课时作业(四)[1.2 第2课时勾股定理的应用]一、选择题1．如图K－4－1所示，一文物C被探明位于点A地下24 m处，由于点A地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点A 10 m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖( )链接听课例1归纳总结图K－4－1A．20 m B．24 m C．26 m D．34 m2．2017·绍兴如图K－4－2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )图K－4－2A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米3．如图K－4－3，将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水桶中．设筷子露在水桶外面的长度为h cm，则h的最小值是( )图K－4－3A．13 cm B．12 cmC．11 cm D．9 cm4．自动门开启的联动装置如图K－4－4所示，∠AOB为直角，滑竿AB为定长100 cm，端点A，B可分别在OA，OB上滑动，当滑竿AB的位置如图所示时，OA＝80 cm.若端点A向上滑动10 cm，则端点B滑动的距离( )图K－4－4A．大于10 cm B．等于10 cmC．小于10 cm D．不能确定二、填空题5．如图K－4－5，一条公路的两边AB∥CD，在AB上有两棵树M，N，在另一边CD上有一棵树P，测得M，N相距50 m，∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，则公路的宽度为________m.图K－4－56．如图K－4－6是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．图K－4－67．2018·黄冈如图K－4－7，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计).链接听课例2归纳总结图K－4－7三、解答题8．如图K－4－8，甲、乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去，乙船沿南偏东55°方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达目的地．若C，B两岛的距离为30海里，则乙船的航速是多少？图K－4－89．如图K－4－9，在长为12 cm，宽为10 cm的长方形零件上钻两个半径为1 cm的孔，孔心离零件边沿的距离都是2 cm，求两个孔心之间的距离．图K－4－910．如图K－4－10，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？图K－4－1011．如图K－4－11所示，一根长2.5米的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的长为0.7米，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少米？(2)请判断木棍滑动过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．(3)在木棍滑动过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？请简述理由，并求出面积的最大值.链接听课例1归纳总结图K－4－11构造法的应用如图K－4－12，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．若受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受噪声影响的时间为多少秒？图K－4－12详解详析课堂达标1．[解析] C 在Rt△ABC中，BC＝AB2＋AC2＝102＋242＝26(m)．2．[解析] C 如图，由题意，得AC＝2.4米，BC＝0.7米，在Rt△ABC中，AB＝ 2.42＋0.72＝2.5米，又因为AB＝BD，所以在Rt △BDE中，BE＝BD2－DE2＝ 2.52－22＝1.5(米)，则小巷的宽度为BC ＋BE＝0.7＋1.5＝2.2(米)．3．C4．[解析] A 如图，在Rt△AOB中，已知∠AOB＝90°，AB＝100 cm，OA＝80 cm，根据勾股定理，得OB＝60 cm.若端点A向上滑动10 cm，则OA′＝90 cm.在Rt△OA′B′中，已知A′B′＝100 cm，OA′＝90 cm，则根据勾股定理，得OB′＝1900 cm＜50 cm，故BB′＝OB－OB′＞10 cm.5．[答案] 25[解析] 过点M作ME⊥CD于点E.∵∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，∴∠MPN ＝75°.∵AB ∥CD ，∴∠MNP ＝∠NPD ＝75°，∴∠MPN ＝∠MNP ，∴MP ＝MN ＝50 m.在Rt △MPE 中，∵∠MPC ＝30°，∴ME ＝12MP ＝25 m. 故答案为25.6．[答案] 2.9[解析] ∵AM ＝4米，∠MAD ＝45°，∴DM ＝4米．∵AM ＝4米，AB ＝8米，∴MB ＝12米．∵在Rt △MBC 中，∠MBC ＝30°，∴BC ＝2MC ，∴MC 2＋MB 2＝(2MC)2，即MC 2＋122＝(2MC)2，∴MC ＝4 3，则DC ＝4 3－4≈2.9(米)．7．[答案] 20[解析] 如图，将该圆柱的侧面展开，由题意得BC ＝32÷2＝16，A ′C ＝14－5＋3＝12，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝162＋122＝20，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.8．解：根据题意，得AB＝12×2＝24(海里)，BC＝30海里，∠BAC＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2，∴AC2＝BC2－AB2＝302－242＝324，∴AC＝18海里．故乙船的航速为18÷2＝9(海里/时)．答：乙船的航速为9海里/时．9．解：如图，过圆心O作BC的平行线，过圆心E作CD的平行线，两线相交于点F，则OF⊥EF.∵长方形的长为12 cm，宽为10 cm，两圆的半径均为1 cm，孔心离零件边沿都是2 cm，∴EF＝CD－2－2＝12－2－2＝8(cm)，OF＝BC－2－2＝10－2－2＝6(cm)．在Rt△EOF中，OE＝OF2＋EF2＝62＋82＝10(cm)．答：两个孔心之间的距离为10 cm.10．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝AC.设AC＝x cm，则BC＝x cm，OC＝(45－x)cm.由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25.答：机器人行走的路程BC是25 cm.11．解：(1)如图①，设顶端A下滑至C处，顶端B向外移至D 处．在Rt△ABO中，已知AB＝2.5米，OB＝0.7米，则AO＝ 2.52－0.72＝2.4(米)．∵AO＝AC＋OC，AC＝0.4米，∴OC＝2米．∵在Rt△CDO中，CD＝AB＝2.5米，∴OD＝CD2－OC2＝1.5米，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．答：木棍的底端B向外移动0.8米．(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由于斜边AB的长度不变，故斜边上的中线OP的长度不变．(3)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大．如图②，若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形的面积公式，可知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，此时S△AOB＝12 AB·h＝12×2.5×1.25＝1.5625(米2)． 故△AOB 的最大面积为1.5625米2.素养提升解： 如图所示，过点A 作AB ⊥MN ，B 为垂足．在Rt △ABP 中，∵∠APB ＝30°，AP ＝160 m ，∴AB ＝12AP ＝80 m. ∵点A 到直线MN 的距离小于100 m ，∴这所中学会受到噪声的影响．假设拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶到点C 处时，学校开始受到噪声影响，那么AC ＝100 m.由勾股定理，得BC ＝60 m.同理，假设拖拉机行驶到点D 处时，学校开始脱离噪声影响，则AD ＝100 m ，∴BD ＝60 m ，∴CD ＝120 m.18 km/h ＝5 m/s ，120÷5＝24(s)．即学校受噪声影响的时间为24 s.课时作业(五)[1.2 第3课时勾股定理的逆定理]一、选择题1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．若△ABC的三边a，b，c满足(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC 是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图K－5－1，其中正确的是 ( )图K－5－14．如图K－5－2，在正方形网格中有一个△ABC，若小方格的边长均为1，则△ABC是 ( )图K－5－2A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不正确5．2018·长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米二、填空题6．2017·益阳如图K－5－3，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB ＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝________．图K－5－3。
北师大版数学八年级下册全册同步练习附答案
3．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）
（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．
23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
∴BD=CD，
在△A BD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
（其他正确证法同样给分）…（4分）
21、解：OE⊥AB．
22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO ；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角 形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．
八年级下册数学课时练答案
⼋年级下册数学课时练答案 勤奋做⼋年级数学的课时练习题的同学⼀定会获得成绩上的提升，店铺为⼤家整理了⼋年级下册数学课时练的答案，欢迎⼤家阅读! ⼋年级下册数学课时练答案(⼀) 矩形的判定 【优效⾃主初探】 ⾃主学习 (1)①证明：在□ABCD中，AB=CD. 因为AC= BD，BC=CB， 所以△ABC≌△DCB. ②在平⾏四边形ABCD中，AB∥CD， 所以∠ABC+∠DCB=180°. 因为△ABC≌△DCB， 所以∠ABC=∠DCB， 所以∠ABC=90°. ③在平⾏四边形ABCD中，因为∠ABC=90°， 所以四边形ABCD是矩形. (2)①90° ②平⾏ ③是矩形，由矩形的定义可得. 归纳：矩形的判定⽅法。
(1)有⼀个⾓是直⾓的四边形是平⾏四边形。
(2)对⾓线相等的四边形是平⾏四边形。
(3)有三个⾓是直⾓的四边形是矩形。
【⾼效合作交流】 [例1]思路探究： (1)因为∠BAD=∠CAE， 所以∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC， 所以∠BAE=∠CAD. ⼜因为AE=AD.AB=AC， 所以△BAE≌△CA D. (2)因为△BAE≌△CAD， 所以BE=CD. ⼜因为DE=BC， 所以四边形BCDE是平⾏四边形. (3)因为△BAE≌△CAD， 所以∠BEA=∠CDA. 因为AE=AD， 所以∠AED=∠ADE. 所以∠BED=∠CDE. 证明：因为∠BAD=∠CAE， 所以∠BAD =BAC=∠CAE -∠BAC， 所以∠BAE=∠CAD. 因为AE=AD，AB=AC， 所以△BAE≌△CAD(SAS). 所以∠BEA=∠CDA，BE =CD. ⼜因为DE=BC， 所以四边形BCDE是平⾏四边形. 因为AE=AD， 所以∠AED=∠ADE. 因为∠BEA =∠CDA， 所以∠BED=∠CDE. 因为四边形BCDE是平⾏四边形， 所以BE∥CD， 所以∠BED+∠CDE= 180°， 所以∠BED =∠CDE=90°， 所以四边形BCDE是矩形. [针对训练]1 (1)证明：因为BE⊥AC，DF⊥AC， 所以∠BEO-∠DF0=90°. 因为点O是EF的中点， 所以OE=OF. ⼜因为∠DOF=∠BOE， 所以△BOE≌△DOF (ASA). (2)解：四边形ABCD是矩形，理由如下： 因为△BOE≌△DOF， 所以OB=OD. ⼜因为OA=OC， 所以四边形ABCD是平⾏四边形. 因为OA=1/2BD,OA=1/2AC， 所以BD=AC， 所以平⾏四边形ABCD是矩形. [例2]思路探究： (1)直⾓ (2)⊥ (3)因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线， 所以BD=DC==6×1/2=3，AD⊥BC. 在Rt△ACD中， (1)证明：因为AB=AC，AD是BC边上的中线， 所以AD⊥3C， 所以∠ADB=90°， 因为四边形ADBE是平⾏四边形， 所以平⾏四边形ADBE是矩形. (2)解：因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线， 所以BD=DC=6×1/2=3. 在Rt△ACD中. 所以S矩形ADBE=BD·AD=3×4=12. [针对训练]2、6 达标检测 1、D 2、D 3、(2，) 4、证明：因为四边形ABDE是平⾏四边形， 所以AE∥BD，AB=DF，AE=BD. 因为D是BC的中点， 所以CD=BD， 所以CD∥AE，CD=AE， 所以四边形ADCF是平⾏四边形. 因为AB=AC.D为BC的中点， 所以AD⊥BC，即∠ADC=90°， 所以平⾏四边形ADCE是矩形. 【增效提能演练】 1、D 2、C 3、AB=AD 4、证明： (1)因为BE=CF，BF =BE+EF .CE=CF+EF， 所以BF=CE. 因为四边形ABCD是平⾏四边形， 所以AB=DC,⼜因为AF=DE. 所以△ABF≌△DCE( SSS). (2)因为△ABF≌△DCF,所以∠B=∠C. 因为四边形ABCD是平⾏四边形.所以AB∥CD. 所以∠B=∠C=180°. 所以∠B=∠C=90°， 所以四边形ABCD是矩形. 5、解答。
全国2022年八年级下册数学课时练习试卷带答案和解析
全国2022年八年级下册数学课时练习试卷带答案和解析选择题如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是（）A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°【答案】C【解析】试题根据题意可得：∠AEF=90°－25°=65°，根据AD∥BC可得∠AEF+∠2=180°，则∠2=115°．选择题对角线相等且互相平分的四边形是（）A. 一般四边形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形【答案】C【解析】由对角线互相平分，可得此四边形是平行四边形；又由对角线相等，可得是矩形；∵四边形的对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形；又∵对角线相等，∴此四边形是矩形；故选：B.选择题如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,CF⊥BE,垂足为点F,若BF=EF,AE=1,则AB边的长为（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】利用线段垂直平分线的性质得出EC=BC，再利用矩形的性质结合勾股定理得出AB的长．解：连接EC，∵CF⊥BE，垂足为点F，BF=EF，∴BC=EC，∵E是AD边的中点，AE=1，∴AE=ED=1，∴BC=AD=2，在矩形ABCD中, ∠D=90∴AB=DC= =．故选：C．选择题如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（）A. 11B. 16C. 19D. 22【答案】D【解析】阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长．（3）阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，=3+8+8+3=22．故选D．选择题如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°【答案】A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．选择题已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A. 6cm2B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm2【答案】A【解析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选A．“点睛”本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．选择题如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是( )A. 4≥x＞2.4B. 4≥x≥2.4C. 4＞x＞2.4D. 4＞x≥2.4【答案】D【解析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF= AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．解：连接AP．∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC=×6×8=×10×AP，AP=4.8，即AP的范围是AP≥4.8，∴2AM≥4.8，∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，∵P和B、C不重合，∴x＜4，综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．故选：D．选择题如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A. 1.8B. 2.4C. 3.2D. 3.6【答案】D【解析】试题解析：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH= ，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF=．故选D．填空题如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1__S2；（填“＞”或“＜”或“=”）【答案】=【解析】∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴S△ABD =S△CDB，S△MBK =S△QKB，S△PKD =S△NDK，∴S△ABD -S△MBK -S△PKD =S△CDB -S△QKB -S△NDK，∴S 1 =S 2 ，故答案为：=.填空题如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=_________度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．填空题如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为___________．【答案】70【解析】试题分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．试题解析：∵矩形的长和宽分别为a，b，周长为14，面积为10，∴a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．填空题如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是__．【答案】12【解析】易证△AOE≌△COF，则阴影部分的面积为△CDO的面积，根据矩形对角线分成的四部分面积相等，即可计算阴影部分的面积．解：在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，∴阴影部分的面积为=12，故答案为 12．填空题将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为____度．【答案】30【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E．∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），∴当AE=AB，则符合要求，此时∠B=30°，即这个平行四边形的最小内角为：30度．故答案为：30．填空题如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．【答案】（0，）．【解析】试题分析：过D作DE⊥AC于E，∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠CCOA=90°，∵AD平分∠OAC，∴OD=DE，由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2，∴OA=AE=4，由勾股定理得：AC=5，在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2，即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2，解得：OD=，所以D的坐标为（0，）．解答题如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．【答案】（1）60°（2）【解析】（1）根据AD∥BC，∠1与∠2是内错角，因而就可以求得∠2，根据图形的折叠的定义，可以得到∠4=∠2，进而可以求得∠3的度数；（2）已知AE=2，在Rt△ABE中，根据直角三角形的性质就可以求出AB、BE的长，BE=DE，则可以求出AD的长，就可以得到矩形的面积．解：（1）∵AD∥BC，∴∠2=∠1=60°，又∵∠4=∠2=60°，∴∠3=180°-60°-60°=60°．（2）在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，∴∠5=90°-60°=30°；∴BE=2AE=4，∴AB=2∴AD=AE+DE=AE+BE=2+4=6，∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD=2×6=12．解答题如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（1）根据翻折的性质得出,利用三角形全等的判定得,即可得出答案；（2）设GC为，表示AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理计算即可得解试题解析：（1）连接GE，证明:得，设，则，，故有，解得解答题将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；（1）求点E的坐标及折痕DB的长；（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标。
八年级下数学课时练答案
八年级下数学课时练答案做八年级数学课时练习题的勤奋和智慧是双胞胎，懒惰和愚蠢是亲兄弟。
小编整理了关于八年级数学下课时练的答案，希望对大家有帮助!八年级下数学课时练答案(一)平行四边形的性质【优效自主初探】自主学习1、平行、平行四边形ABCD2、(1)180°、180°、B、D(2)课本上是通过添加辅助线，构造两个三角形，利用三角形全等进行证明的.归纳：(1)平行四边形的对边相等 ;(2)平行四边形得到对角相等3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
4、45°、135° 、45°【高效合作交流】[例l]思路探究：(1)AD=DE.理由如下：因为平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且.AB=CD =EF，所以AD=DE.(2)因为∠BAD=60°，∠F=110°，所以∠ADC=120°，∠F=ll0°，所以∠ADE=360°-120°-110°=130°，答案：25°[针对训练]1、B[例2]思路探究：CD、CD、△CDF、△BEF证明：因为F是BC边的中点，所以BF=CF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠C=∠FBL.∠CDF=∠E.在△CDF和△BEF中，所以△CDF≌△BEF (AAS)，所以CD= BE.因为AB=CD，所以AB=BE.[针对训练]2证明：在平行四边形ABCD中，因为AD=BC，AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD.因为AF⊥BD，CF⊥BD，所以∠AED=∠CFB =90°.在△ADE和△CBF中.所以△ADE≌△CBF(AAS)，所以∠DAE=∠BCF.达标检测1、B2、B3、D4、70°5、证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC.AB∥DC，所以∠B=∠DCF.在△ABE和△DCF中，所以△ABE≌△DCF(SAS).所以∠BAE=∠CDF.【增效提能演练】1、D2、B3、B4、25°5、150°6、证明：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AD=EF，AD∥EF，所以∠ACB=∠FEB.因为AB=AC，所以∠ACB =∠B.所以∠FEB=∠B，所以EF=BF，所以AD=BF.7.解答。
(完整版)人教八年级数学下册同步练习题及答案
1第十六章、分式 16.1.1从分数到分式（第一课时）一、课前小测：1、________________________统称为整式．2、23表示_______÷______的商，那么（2a+b ）÷（m+n ）可以表示为________． 3、甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________．二、基础训练：1、分式24x x -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零； 当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负． 2、有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④23、使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1三、综合训练：1、当x______时，分式2134x x +-无意义． 2、当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零． 3、当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2）2323x x +-16.1.2分式的基本性质(第二课时)一、课前小测：23+x31.如果分式x211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21<x C.21≥x D.21>x 2. 当_____时,分式4312-+x x 无意义.当______时,分式68-x x 有意义 二、基础训练：1、分式的基本性质为：_________ ___．用字母表示为：_____________________．2、判断下列约分是否正确：（1）c b c a ++=b a ， （2）22y x y x --=y x +1， （3）nm n m ++=0。
3、根据分式的基本性质，分式a a b --可变形为（ ） A ．a a b-- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a a b + 4、填空：4 (1) x x x 3222+= ()3+x ， (2) 32386b b a =()33a ， 5、约分：（1）c ab b a 2263 （2）532164xyz yz x - 三、综合训练：1、通分：（1）231ab 和b a 272 （2）xx x --21和x x x +-21 2、若a ＝23，则2223712aa a a ---+的值等于______。
人教版八年级下册数学课时练《19.1.2 函数的图像》(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！人教版八年级数学下册第十九章一次函数《19.1.2函数的图像》课时练一、选择题1．已知点P （x ，y ）在函数212y x x =+-的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下面哪个点不在函数23y x =-+的图像上（）A ．（3，0）B ．（0.5，2）C ．（-5，13）D ．（1，1）3．某地区植树造林2007年达到2万公顷，预计从2008年开始以后每年比前一年多植树1万公顷（2008年为第一年），则年植树面积y （万亩）与年数x （年）的关系是（）A ．20.5y x =+B ．2y x =+C ．22y x =+D ．2y x=4．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则图中当0y >时，自变量x 的取值范围是（）A ．0x <B ．11x -<<或3x >C ．1x >-D ．1x <-或13x <<5．如图，是A 市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）A ．4℃B ．8℃C ．12℃D ．16℃6．小强每天从家到学校上学行走的路程为900m ，某天他从家去上学时以每分30m 的速度行走了450m ，为了不迟到他加快了速度，以每分45m 的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s （m ）与他行走的时间t （min ）之间的函数关系用图象表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．下列图象不能反映y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．8．下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．9．表示皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系如下表所示：则d 与b 之间的关系式为（）下落高度d…80100150…弹跳高度b …405075…A ．b ＝d －40B ．b ＝2dC ．b ＝d 2D ．b ＝2d10．周末，小明骑自行车从家里出发去游玩。
2018年初二数学八年级下册全册课时作业同步练习含答案(人教版)
人教版八年级数学下册全册课时作业目录第十六章二次根式 (1)16．1二次根式 (1)第1课时二次根式的概念 (1)第2课时二次根式的性质 (4)16.2二次根式的乘除 (8)第1课时二次根式的乘法 (8)第2课时二次根式的除法 (12)16.3二次根式的加减 (17)第1课时二次根式的加减 (17)第2课时二次根式的混合运算 (21)小专题(一)二次根式的运算 (25)章末复习(一)二次根式 (29)第十七章勾股定理 (33)17．1勾股定理 (33)第1课时勾股定理 (33)第2课时勾股定理的应用 (37)第3课时利用勾股定理作图 (42)小专题(二)巧用勾股定理解决折叠与展开问题 (45)17.2勾股定理的逆定理 (48)章末复习(二)勾股定理 (52)第十八章平行四边形 (56)18．1平行四边形 (56)18．1.1平行四边形的性质 (56)18.1.2平行四边形的判定 (64)小专题(三)平行四边形的证明思路 (74)周周练(18.1) (79)18.2特殊的平行四边形 (84)18．2.1矩形 (84)18.2.2菱形 (93)18.2.3正方形 (103)小专题(四)特殊平行四边形的性质与判定 (108)小专题(五)四边形中的折叠问题 (113)小专题(六)四边形中的动点问题 (116)章末复习(三)平行四边形 (119)第十九章一次函数 (124)19．1函数 (124)19．1.1变量与函数 (124)19.1.2函数的图象 (128)19.2一次函数 (140)19．2.1正比例函数 (140)周周练(19.1～19.2.1) (145)19.2.2一次函数 (149)19.2.3一次函数与方程、不等式 (165)小专题(七)一次函数与坐标轴围成的三角形 (170)小专题(八)一次函数与方程、不等式的综合应用 (175)周周练(19.2.2～19.2.3) (179)19.3课题学习选择方案 (184)章末复习(四)一次函数 (188)第二十章数据的分析 (192)20．1数据的集中趋势 (192)20．1.1平均数 (192)20.1.2中位数和众数 (200)20.2数据的波动程度 (208)20.3课题学习体质健康测试中的数据分析 (212)章末复习(五)数据的分析 (216)第十六章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念01基础题知识点1二次根式的定义1．下列式子不是二次根式的是(B)A.5B.3－πC.0.5D.132．下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.－7B.3 mC.1＋x2D.2x3．已知a是二次根式，则a的值可以是(C)A．－2B．－1C．2D．－54．若－3x是二次根式，则x的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．知识点2二次根式有意义的条件5．x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义(D)A．－2B．0C．2D．46．(2017·广安)要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是(B) A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x＝27．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)－x；解：由－x≥0，得x≤0.(2)2x＋6；解：由2x＋6≥0，得x≥－3.(3)x2；解：由x2≥0，得x为全体实数．4－3x解：由4－3x>0，得x<4 3 .(5)x－4x－3.－4≥0，－3≠0得x≥4.知识点3二次根式的实际应用8．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A．1dm B.2dmC.6dm D．3dm9．若一个长方形的面积为10cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为52cm，宽为2cm. 02中档题10．下列各式中：①12；②2x；③x3；④－5.其中，二次根式的个数有(A) A．1个B．2个C．3个D．4个11．(2017·济宁)若2x－1＋1－2x＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)A．x≥12B．x≤12C．x＝12D．x≠1212．使式子1x＋3＋4－3x在实数范围内有意义的整数x有(C)A．5个B．3个C．4个D．2个13．如果式子a＋1ab有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a，b)的位置在(A) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．使式子－（x－5）2有意义的未知数x的值有1个．15．若整数x满足|x|≤3，则使7－x为整数的x的值是3或－2．16．要使二次根式2－3x有意义，则x的最大值是23．17．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2x－1解：x>1 2 .(2)21－x；解：x≥0且x≠1.(3)1－|x|；解：－1≤x≤1.(4)x－3＋4－x.解：3≤x≤4.03综合题18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.∴此三角形的周长为10.第2课时二次根式的性质01基础题知识点1a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数m ，n 满足|n －2|＋m ＋1＝0，则m ＋2n 的值为3．2．当x ＝2__017时，式子2018－x －2017有最大值，且最大值为2__018．知识点2(a )2＝a (a ≥0)3．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2;__(2)3.4＝(3.4)2；(3)16＝(16)2;__(4)x ＝(x)2(x ≥0)．4．计算：(2018)2＝2__018．5．计算：(1)(0.8)2；解：原式＝0.8.(2)(－34)2；解：原式＝34.(3)(52)2；解：原式＝25×2＝50.(4)(－26)2.解：原式＝4×6＝24.知识点3a 2＝a (a ≥0)6．计算（－5）2的结果是(B )A ．－5B ．5C ．－25D ．257．已知二次根式x 2的值为3，那么x 的值是(D)A ．3B ．9C ．－3D ．3或－38．当a ≥0时，化简：9a 2＝3a ．9．计算：(1)49；解：原式＝7.(2)（－5）2；解：原式＝5.(3)（－13）2；解：原式＝13.(4)6－2.解：原式＝16.知识点4代数式10．下列式子不是代数式的是(C )A ．3xB .3xC ．x>3D ．x －311．下列式子中属于代数式的有(A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2.A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02中档题12．下列运算正确的是(A )A ．－（－6）2＝－6B ．(－3)2＝9C .（－16）2＝±16D ．－(－5)2＝－2513．若a ＜1，化简（a －1）2－1的结果是(D )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a14．(2017·枣庄)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a －b ）2的结果是(A )A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b15．已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，则m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616．化简：（2－5）2＝5－2．17．在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋5)(x －5)．18．若等式（x －2）2＝(x －2)2成立，则x 的取值范围是x ≥2．19．若a 2＝3，b ＝2，且ab ＜0，则a －b ＝－7．20．计算：(1)－2（－18）2；解：原式＝－2×18＝－14.(2)4×10－4；解：原式＝2×10－2.(3)(23)2－(42)2；解：原式＝12－32＝－20.(4)（213）2＋（－213）2.解：原式＝213＋213＝423.21．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，(35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.22．先化简a＋1＋2a＋a2，然后分别求出当a＝－2和a＝3时，原代数式的值．解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.03综合题23．有如下一串二次根式：①52－42；②172－82；③372－122；④652－162…(1)求①，②，③，④的值；(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简．解：(1)①原式＝9＝3.②原式＝225＝15.③原式＝1225＝35.④原式＝3969＝63.(2)第⑤个二次根式为1012－202＝99.(3)第个二次根式为（4n2＋1）2－（4n）2.化简：（4n2＋1）2－（4n）2＝（4n2－4n＋1）（4n2＋4n＋1）＝（2n－1）2（2n＋1）2＝(2n－1)(2n＋1)．16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法01基础题知识点1a·b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算2×3的结果是(B)A.5B.6C．23D．322．下列各等式成立的是(D)A．45×25＝85B．53×42＝205C．43×32＝75D．53×42＝2063．下列二次根式中，与2的积为无理数的是(B)A.12B.12C.18D.324．计算：8×12＝2．5．计算：26×(－36)＝－36．6．一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23cm，b＝36cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2.7．计算下列各题：(1)3×5；(2)125×15；解：原式＝15.解：原式＝25＝5.(3)(－32)×27；(4)3xy·1y.解：原式＝－62×7解：原式＝3x.＝－614.知识点2ab＝a·b(a≥0，b≥0)8．下列各式正确的是(D)A.（－4）×（－9）＝－4×－9B.16＋94＝16×9 4C.449＝4×4 9D.4×9＝4×99．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是32的结果是(C)A.6B.12C.18D.36 10．化简（－2）2×8×3的结果是(D) A．224B．－224C．－46D．46 11．化简：(1)100×36＝60；(2)2y3＝y2y．12．化简：(1)4×225；解：原式＝4×225＝2×15＝30.(2)300；解：原式＝10 3.(3)16y；解：原式＝4y.(4)9x2y5z.解：原式＝3xy2yz.13．计算：(1)36×212；解：原式＝662×2＝36 2.(2)15ab2·10ab.解：原式＝2a2b＝a2b.02中档题14.50·a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A．1B．2C．3D．5 15．已知m＝(－33)×(－221)，则有(A)A．5＜m＜6B．4＜m＜5C．－5＜m＜－4D．－6＜m＜－516．若点P(a，b)在第三象限内，化简a2b2的结果是ab．17．计算：(1)75×20×12；解：原式＝25×3×4×5×3×4＝60 5.(2)（－14）×（－112）；解：原式＝14×112＝2×72×42＝2×72×42＝28 2.(3)－32×45×2；解：原式＝－3×16×22＝－96 2.(4)200a5b4c3(a＞0，c＞0)．解：原式＝2×102·（a2）2·a·（b2）2·c2·c＝10a2b2c2ac.18．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20m，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到0.01km/h)解：当d＝20m，f＝1.2时，v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38.答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h.19．一个底面为30cm ×30cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为x cm ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝30×30×2，x ＝30×30×2＝302.答：铁桶的底面边长是302cm.03综合题20.(教材P 16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c.记：p ＝a ＋b ＋c 2，则三角形的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为“海伦公式”．思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB ＝7m ，AC ＝5m ，BC ＝8m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.解：∵AB ＝7m ，AC ＝5m ，BC ＝8m ，∴p ＝a ＋b ＋c 2＝7＋5＋82＝10.∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝10×（10－7）×（10－5）×（10－8）＝10×3×5×2＝10 3.∴李大爷这块菜地的面积为103m 2.第2课时二次根式的除法01基础题知识点1a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)1．计算：10÷2＝(A )A .5B ．5C .52D .1022．计算23÷32的结果是(B )A ．1B .23C .32D ．以上答案都不对3．下列运算正确的是(D )A .50÷5＝10B .10÷25＝22C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝34．计算：123＝2．5．计算：(1)40÷5；(2)322；解：原式＝8＝2 2.解：原式＝4.(3)45÷215；(4)2a 3b ab (a>0)．解：原式＝ 6.解：原式＝2a.知识点2a b ＝a b(a ≥0，b ＞0)6．下列各式成立的是(A )A .－3－5＝35＝35B .－7－6＝－7－6C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝3127．实数0.5的算术平方根等于(C )A ．2B .2C .22D .128．如果（x －1x －2）2＝x －1x －2，那么x 的取值范围是(D )A ．1≤x ≤2B ．1＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＞2或x ≤19．化简：(1)7100；解：原式＝7100＝710.(2)11549；解：原式＝6449＝6449＝87.(3)25a 49b 2(b>0)．解：原式＝25a 49b 2＝5a 23b .知识点3最简二次根式10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C )A .13B .0.3C .3D .2011．把下列二次根式化为最简二次根式：(1)2.5；解：原式＝52＝102.(2)85；解：原式＝2510.(3)122；解：原式＝232＝ 3.(4)2340.解：原式＝232×20＝13×20＝13×25＝530.02中档题12．下列各式计算正确的是(C )A .483＝16B .311÷323＝1C .3663＝22D .54a 2b 6a ＝9ab 13．计算113÷213÷125的结果是(A )A .275B .27C .2D .2714．在①14；②a 2＋b 2；③27；④m 2＋1中，最简二次根式有3个．15．如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为25．16．不等式22x －6＞0的解集是x ＞32．17．化简或计算：(1)0.9×121100×0.36；解：原式＝9×12136×10＝32×11262×10＝336110＝336×1010＝111020.(2)12÷27×(－18)；解：原式＝－12×1827＝－4×3×2×93×9＝－2 2.(3)27×123；解：原式＝3×9×123＝3×23＝6 3.(4)12x÷25y.解：原式＝(1÷25)12x÷y ＝5212xy y 2＝53xy y.18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝18cm 2，BC ＝3cm ，AB ＝33cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．解：∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12AB·CD ，∴AC ＝2S △ABC BC ＝2183＝26(cm )，CD ＝2S △ABC AB ＝21833＝236(cm )．03综合题19．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．化简：a b －a b 3－2ab 2＋a 2b a(b<a<0)．解：原式＝a b －a b （b －a ）2a ①＝a （b －a ）b －ab a ②＝a·1aab ③＝ab.④(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；(2)错误的原因是什么？(3)请你写出正确的解法．解：(2)∵b<a ，∴b －a<0.∴(b －a)2的算术平方根为a －b.(3)原式＝a b －ab （b －a ）2a ＝a b －a·(a －b)b a＝－a·(－1a ab)＝ab.16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减01基础题知识点1可以合并的二次根式1．(2016·巴中)下列二次根式中，与3可以合并的是(B )A .18B .13C .24D .0.32．下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B )A .12－2B .18－8C .8a 2＋2aD .x 2y ＋xy 23．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为(C )A ．－12B .34C ．2D ．54．若m 与18可以合并，则m 的最小正整数值是(D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2二次根式的加减5．(2016·桂林)计算35－25的结果是(A )A .5B ．25C ．35D ．66．下列计算正确的是(A )A .12－3＝3B .2＋3＝5C ．43－33＝1D ．3＋22＝527．计算27－1318－48的结果是(C )A ．1B ．－1C ．－3－2D .2－38．计算2＋(2－1)的结果是(A)A ．22－1B ．2－2C ．1－2D ．2＋29．长方形的一边长为8，另一边长为50，则长方形的周长为142．10．三角形的三边长分别为20cm ，40cm ，45cm ，这个三角形的周长是(55＋210)cm .11．计算：(1)23－32；解：原式＝(2－12)3＝332.(2)16x ＋64x ；解：原式＝4x ＋8x ＝(4＋8)x＝12x.(3)125－25＋45；解：原式＝55－25＋35＝6 5.(4)(2017·黄冈)27－6－13.解：原式＝33－6－33＝833－ 6.02中档题12．若x 与2可以合并，则x 可以是(A )A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.113．计算|2－5|＋|4－5|的值是(B )A ．－2B ．2C ．25－6D ．6－2514．计算412＋313－8的结果是(B)A.3＋2 B.3C.33D.3－215．若a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，则a ＝0，b ＝214.16．已知等腰三角形的两边长分别为27和55，则此等腰三角形的周长为27＋105．17．在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为4 2.2313626318.计算：(1)18＋12－8－27；解：原式＝32＋23－22－33＝(32－22)＋(23－33)＝2－ 3.(2)b 12b 3＋b 248b ；解：原式＝2b 23b ＋4b 23b＝6b 23b.(3)(45＋27)－(43＋125)；解：原式＝35＋33－233－55＝733－25.(4)34(2－27)－12(3－2)．解：原式＝342－943－123＋122＝(34＋12)2－(94＋12)3＝542－1143.19．已知3≈1.732，求(1327－413)－2(34－12)的近似值(结果保留小数点后两位)．解：原式＝3－433－3＋43＝833≈83×1.732≈4.62.03综合题20．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵a与b是可以合并的二次根式，a＋b＝75，∴a＋b＝75＝5 3.∵a<b，∴当a＝3，则b＝48；当a＝12，则b＝27.第2课时二次根式的混合运算01基础题知识点1二次根式的混合运算1．化简2(2＋2)的结果是(A)A．2＋22B．2＋2C．4D．322．计算(12－3)÷3的结果是(D)A．－1B．－3C.3D．13．(2017·南京)计算：12＋8×6的结果是63．4．(2017·青岛)计算：(24＋1)×6＝13．65．计算：40＋5＝22＋1．56．计算：(1)3(5－2)；解：原式＝15－ 6.(2)(24＋18)÷2；解：原式＝23＋3.(3)(2＋3)(2＋2)；解：原式＝8＋5 2.(4)(m＋2n)(m－3n)．解：原式＝m－mn－6n.知识点2二次根式与乘法公式7．(2017·天津)计算：(4＋7)(4－7)的结果等于9．8．(2016·包头)计算：613－(3＋1)2＝－4．9．计算：(1)(2－12)2；解：原式＝12.(2)(2＋3)(2－3)；解：原式＝－1.(3)(5＋32)2.解：原式＝23＋610.10．(2016·盐城)计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．解：原式＝9－7＋22－2＝2 2.02中档题11．已知a ＝5＋2，b ＝2－5，则a 2018b 2017的值为(B )A .5＋2B ．－5－2C ．1D ．－112．按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是(C )A ．14B ．16C ．8＋52D ．14＋213．计算：(1)(1－22)(22＋1)；解：原式＝－7.(2)12÷(34＋233)；解：原式＝12÷(3312＋8312)＝12÷11312＝23×12113＝2411.(3)(46－412＋38)÷22；解：原式＝(46－22＋62)÷22＝(46＋42)÷22＝23＋2.(4)24×13－4×18×(1－2)0.解：原式＝26×33－4×24×1＝22－2＝ 2.14．计算：(1)(1－5)(5＋1)＋(5－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－25＝2－2 5.(2)(3＋2－1)(3－2＋1)．解：原式＝(3)2－(2－1)2＝3－(2＋1－22)＝3－2－1＋22＝2 2.15.已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值：(1)ab 2＋ba 2；(2)a 2－2ab ＋b 2；(3)a 2－b 2.解：由题意得a ＋b ＝(7＋2)＋(7－2)＝27，a －b ＝(7＋2)－(7－2)＝4，ab ＝(7＋2)(7－2)＝(7)2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b ＋a)＝3×27＝67.(2)原式＝(a—b)2＝42＝16.(3)原式＝(a＋b)(a—b)＝27×4＝87. 03综合题16．观察下列运算：①由(2＋1)(2－1)＝1，得12＋1＝2－1；②由(3＋2)(3－2)＝1，得13＋2＝3－2；③由(4＋3)(4－3)＝1，得14＋3＝4－3；…(1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；(2)利用(1)中你发现的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12017＋2016＋12018＋2017)×(2018＋1)．解：(1)1n＋1＋n＝n＋1－n(n≥0)．(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋2017－2016＋2018－2017)×(2018＋1)＝(－1＋2018)(2018＋1)＝2017.小专题(一)二次根式的运算类型1与二次根式有关的计算1．计算：(1)62×136；解：原式＝(6×13)2×6＝212＝4 3.(2)(－45)÷5145；解：原式＝－45÷(5×355)＝－45÷35＝－43.(3)72－322＋218；解：原式＝62－322＋62＝122－322＝212 2.(4)(25＋3)×(25－3)．解：原式＝(25)2－(3)2＝20－3＝17.2．计算：(1)334÷(－12123)；解：原式＝[3÷(－12)]34÷53＝－6920＝－69×520×5＝－955.(2)(6＋10×15)×3；解：原式＝32＋56×3＝32＋152＝18 2.(3)354×(－89)÷7115；解：原式＝3×(－1)×54×89÷7115＝－348÷765＝－3748×56＝－6710.(4)(12－418)－(313－40.5);解：原式＝23－2－3＋22＝3＋ 2.(5)(32－6)2－(－32－6)2.解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2＝18＋6－123－(18＋6＋123)＝－24 3.3．计算：(1)(2018－3)0＋|3－12|－63；解：原式＝1＋23－3－23＝－2.(2)(2017·呼和浩特)|2－5|－2×(18－102)＋32.解：原式＝5－2－12＋5＋32＝25－1.类型2与二次根式有关的化简求值4．已知a＝3＋22，b＝3－22，求a2b－ab2的值．解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)．当a＝3＋22，b＝3－22时，原式＝(3＋22)(3－22)(3＋22－3＋22)＝4 2.5．已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：a★b ），a>b），求7★(2★3)的值．解：由题意，得2★3＝ 3.∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.6．已知x＝2＋3，求代数式(7－43)x2＋(2－3)x＋3的值．解：当x＝2＋3时，原式＝(7－43)×(2＋3)2＋(2－3)×(2＋3)＋3＝(7－43)×(7＋43)＋4－3＋3＝49－48＋1＋3＝2＋ 3.7．(2017·襄阳)先化简，再求值：(1x ＋y ＋1x －y )÷1xy ＋y 2，其中x ＝5＋2，y ＝5－2.解：原式＝2x （x ＋y ）（x －y ）·y(x ＋y)＝2xy x －y.当x ＝5＋2，y ＝5－2时，原式＝2（5＋2）（5－2）5＋2－5＋2＝12.8．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋23＝(1＋3)2；(答案不唯一)(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，＝m 2＋3n 2，＝2mn.∵2mn ＝4，且m ，n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2.∴a ＝7或13.章末复习(一)二次根式01基础题知识点1二次根式的概念及性质1．(2016·黄冈)在函数y ＝x ＋4x中，自变量x 的取值范围是(C)A ．x >0B ．x ≥－4C ．x ≥－4且x ≠0D ．x >0且x ≠－42．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A.10 B.8C.6D.23．若xy ＜0，则x 2y 化简后的结果是(D )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点2二次根式的运算4．与－5可以合并的二次根式的是(C )A .10B .15C .20D .255．(2017·十堰)下列运算正确的是(C )A .2＋3＝5B ．22×32＝62C .8÷2＝2D ．32－2＝36．计算5÷5×15所得的结果是1．7．计算：(1)(2017·湖州)2×(1－2)＋8；解：原式＝2－22＋22＝2.(2)(43＋36)÷23；解：原式＝43÷23＋36÷23＝2＋322.(3)1232－275＋0.5－3127；解：原式＝22－103＋22－33＝(2＋12)×2＋(－10－13)×3＝522－313 3.(4)(32－23)(32＋23)．解：原式＝(32)2－(23)2＝9×2－4×3＝6.知识点3二次根式的实际应用8．两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位)解：d ＝50.243.14－25.123.14＝16－8＝4－22≈1.17.答：圆环的宽度d 约为1.17.02中档题9．把－a －1a中根号外面的因式移到根号内的结果是(A )A .－a B ．－aC ．－－aD .a 10．已知x ＋1x ＝7，则x －1x的值为(C)A.3B ．±2C ．±3 D.711．在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简（a －5）2＋|a －2|的结果为3．12．(2016·青岛)计算：32－82＝2．13．计算：(3＋2)3×(3－2)3＝－1．14．已知x ＝5－12，则x 2＋x ＋1＝2．15．已知16－n 是整数，则自然数n 所有可能的值为0，7，12，15，16．16．计算：)－1；(1)(3＋1)(3－1)－16＋(12解：原式＝3－1－4＋2＝0.(2)(3＋2－6)2－(2－3＋6)2.解：原式＝(3＋2－6＋2－3＋6)×(3＋2－6－2＋3－6)＝22×(23－26)＝46－8 3.17．已知x＝3＋7，y＝3－7，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值．解：当x＝3＋7，y＝3－7时，3x2－5xy＋3y2＝3(x2－2xy＋y2)＋xy＝3(x－y)2＋xy＝3(3＋7－3＋7)2＋(3＋7)×(3－7)＝3×28－4＝80.18．教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为800cm，450cm.镶壁画所用的金彩带长为4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)．故还需买约78cm长的金彩带．03综合题19．已知a，b，c满足|a－8|＋b－5＋(c－18)2＝0.(1)求a，b，c的值；(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得a－8＝0，b－5＝0，c－18＝0，即a＝22，b＝5，c＝3 2.(2)∵22＋32＝52＞5，∴以a，b，c为边能构成三角形．三角形的周长为22＋32＋5＝52＋5.第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理01基础题知识点1勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab.∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B .5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是23cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4cmB ．43cmC ．6cmD ．63cm6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)a＝7，b＝24，求c；(2)a＝4，c＝7，求b.解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴72＋242＝c2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD ＝3，则BC的长为(C)A．5B．6C．8D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)A．48B．60C．76D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB ＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B′C 的长为(A )A ．33B ．6C ．32D .21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于(C )A ．10B ．8C ．6或10D ．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2.∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9.∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是(D)A．5m B．12m C．13m D．18m第1题图第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C，1.5h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的夹角为45°，∴∠ACB＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18.∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC ＝0.5，AB ＝2，OB ＝OC.设OA ＝x ，则OB ＝OA ＋AC ＝x ＋0.5.在Rt △OAB 中，OA 2＋AB 2＝OB 2，∴x 2＋22＝(x ＋0.5)2.解得x ＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10m 高处(B )有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m(C )的池塘，而另一只则爬到树顶(D )后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B 为猴子的初始位置，则AB ＝10m ，C 为池塘，则AC ＝20m.设BD ＝x m ，则树高AD ＝(10＋x )m.由题意知BD ＋CD ＝AB ＋AC ，∴x ＋CD ＝20＋10.∴CD ＝(30－x )m.在Rt △ACD 中，∠A ＝90°，由勾股定理得AC 2＋AD 2＝CD 2，∴202＋(10＋x )2＝(30－x )2.∴x ＝5.∴AD ＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15m 高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A 下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草(D) A．4B．6C．7D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO ＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此车超过每小时80千米的限制速度．03综合题15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4cm ，∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2.在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2.解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时利用勾股定理作图01基础题知识点1在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，BC ＝10cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ＝13cm ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02中档题4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12；OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22；OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32；…求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n ＝n 2(n 为正整数)．(2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2＝14＋24＋34＋…＋94＋104＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二)巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15cm.3．如图是一个高为10cm ，底面圆的半径为4cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图第4题图4．如图，在一个长为2m ，宽为1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01m )．5．如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是52cm.17.2勾股定理的逆定理01基础题知识点1互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题．(2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)A.3，4，5B ．1，2，3C ．6，7，8D ．2，3，44．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形。
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1. 一个长方体玻璃缸，从里面量，长、宽均为3分米，高10分米，向玻璃缸中倒入2
2.5L水，
再把一个钢球放入缸中，这是玻璃缸内的水深是35cm，这个钢球的体积是多少？
2. 要使“92□”既是2的倍数，又是3的倍数，“□”里有（）种填法。
3. 一个合数至少有（）个因数。
4. 三个连续奇数的和是63，这三个奇数分别是（）（）（）。
5. 把一根3m长的木条锯成同样长的5段，每段长（）m，每段是这根木条的（）。
6. 填单位。
小轿车油箱的容积是52（）游泳池可容纳水600（）
一瓶墨水大约有80（）鞋柜的体积是1200（）
7. 0.08dm2=( )cm2
8．把3个棱长2cm的正方体拼成一个长方体，拼成长方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
9. 家具厂买来一批木材，这些木材摆成一个底面积12平方米，高8分米的长方体，这些木材一
共有（）方。
10. 把一根长5米的长方体钢条锯成两段，表面积增加了80平方厘米，原来这根长方体钢条的体
积是（）cm3。
11．判断：表面积相等的正方体，体积也相等。
（）
12. 判断：底面积与高都相等的长方体，体积也相等。
（）
13. 由3个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了24平方厘米，这个长方体的表面积
是（）。
14.用直线上的点表示下面各数。
2
15.一块长方体木料，长8分米，宽6分米，高5分米，把这块长方体木料平均分成2 个长方体，它的表面积最多可增加（）。
16.明明买了2千克苹果，第一天吃了这些苹果的，第二天吃了这些苹果的，还剩下这些苹果的
几分之几？
17.0.25里面有25个（）分之一，化成分数是（）。
18.把2个苹果平均分成6份，每份是这些苹果的（），明明吃掉了其中的5份，他吃掉了这些
苹果的（）。
19.把3千克花生平均装在5个袋子里，每袋重千克。
20.在里，当a是（）时，这个分数是真分数；当a是（）时，这个分数是假分数；当a是（）时，这个分数正好等于3；当a是（）时，这个分数是一个分数单位。
21.判断：2m的和5m的一样长。
（）
22.判断：明明读一本书共30页，读了这本书的，还剩下这本书的没读。
（）
23.在下面的（）里填上适当的分数。
80cm=( )m 56dm2=( )m2 40ml=( )L
340cm3=( )dm3 18cm=( )dm 8dm=（）m
24.6以内所有偶数的积是（）；20以内所有的质数的和是（）。
25.做同一种零件，小张4小时做了26个，小刘3小时做了20个，谁做得快？
26.商场运来苹果吨，比运来的梨少吨，运来的香蕉比梨少吨，运来香蕉多少吨？
27.这是一个长方体纸盒的展开图，做这个纸盒需要多少材料？
28.一张长方形纸长16厘米，宽12厘米，把它裁成大小一样的正方形，而没有剩余，每个正方形的边长最长是多少厘米？可以裁成多少个这样的正方形？
29.一根长4米长的绳子，用去了全长的，还剩下全长的，还剩下（）米。
30.把一块长10.6米的长方体木材锯成两块完全相同的小长方体（如图），表面积增加了0.48平方分米，这根木材原来体积是多少？
31.一个长方体玻璃容器，从里面量长为5分米，宽为4.5分米，高为3分米，向容器里导入12.8升水，再把一个苹果放入水中，这是测得容器里的水面高度是6厘米，这个苹果的体积是多少？
32.写出两个合数，使他们只有公因数1：（）和（）。
33.做一个长方体玻璃缸，长5分米，宽4分米，高2分米，至少需要玻璃（）dm2。
34.把、1.2、、0.7按从小到大的顺序排列：（）<（）<（）<（）。
35．要使“□86”既是2的倍数，又是3的倍数，“□”里可以填（），要使86□既是2的倍数，又是3的倍数，“□”里可以填（）。
36．解方程：
6ⅹ—1.5ⅹ=18 3ⅹ+1.2=10.8 ⅹ+ =
37．公园前面有一个花坛，长5米，宽4.8米，高0.8米。
（1）这个花坛的占地多少平方米？
（2）在花坛里面填满土，需要多少方土？（花坛厚度不计）
（3）在花坛的四周贴上马赛克，需要马赛克多少平方米？
38．画出图A绕O点顺时针旋转90°后的图形，图B绕点A逆时针旋转90°后的图形，图C的轴对称图形。
39. 把2kg糖果平均分给10个小朋友，每人分得这些糖果的（），是（）kg。
40．分数单位是的所有最简真分数的和是（）。
41．如果 =4，（y≠0），那么x和y的最大公因数是（）。
42．老李6分钟加工8个零件，每分钟加工（）个零件；平均每个零件需要（）分钟。