现代控制理论状态反馈与状态观测器
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
现代控制理论(II)-讲稿-课件-ppt--3
现代控制工程基础 这种输出反馈系统的状态方程为 dX(t)/dt=AX(t)+Bu(t)=(A+BHC)X(t)+BGr(t) or X(k+1)=AX(k)+Bu(k)=(A+BHC)X(k)+BGr(k)
从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为 从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为(D=0)
GH ( s ) = C ( sI − ( A + BHC )) −1 BG
现代控制工程基础
例：设系统（A,B,C）为 设系统（ ）
0 1 A= , 1 0 0 B = , 1 C = [0 1]
试分析采用状态反馈K=[k1 k2]后的可控性和可观性。 后的可控性和可观性。 试分析采用状态反馈 后的可控性和可观性 解：容易验证原系统具有可控性和可观性，因为 容易验证原系统具有可控性和可观性，
*证明参见郭雷主编《控制理论导论》p51-55。 证明参见郭雷主编《控制理论导论》 证明参见郭雷主编 。
现代控制工程基础
（2）状态反馈保持系统的输入解耦零点不变 ） 证明：设原系统不完全可控， 是系统的一个不可控振型（ 证明：设原系统不完全可控，so是系统的一个不可控振型（系统的一 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点， 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点，就有 ），即它是系统的一个输入解耦零点 rank[soI-A B]<n 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质， 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质，就有 rank[soI- (A+BK) BG]=rank[soI-A B] <n 也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。 即 so也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。证毕
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
现控实验一 状态反馈与状态观测器
状态反馈与状态观测器一、实验目的1．掌握状态反馈极点配置的设计方法。
2．研究不同极点配置对系统动态性能的影响。
3．掌握全维观测器的构成及设计方法。
4．研究观测器在状态反馈极点配置中的应用。
二、实验仪器1．EL-AT-III 型自动控制系统实验箱一台2．计算机一台三、实验内容1． 被控对象模拟电路图如图7-1。
图7-1 被控对象模拟电路2． 系统数学模型Wn=10.176 f=0.1929 tp=（1）被控对象传递函数为Gp （s ）=Y （s ）/U （s ）=100/(s 2+3.928s+103.57)（2）被控对象状态方程 X=Ax+BuY=Cx 式中 C=[100 0]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10928.357.10310BA1.带有状态观测器的状况反馈系统方框图示于图7-2。
图7-2 系统方框图图中 G=e ATH=⎰0Tϕ(t)dtBϕ(t)=e AtK −1×2维状态反馈系统矩阵，由计算机算出。
L−2×1维观测器的反馈矩阵，由计算机算出。
Kr −为使y(t)跟踪r(t)乘的比例系数，它由计算机自动地递推算出。
4．希望的系数极点（参考值）：S1,S2=-7.35±j7.5,它对应在Z平面上应为Z1,Z2=0.712±j0.221.观测器极点参考值：Z1,Z2=0.1±j0四、实验步骤1.连接被测量典型环节的模拟电路。
电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。
检查无误后接通电源。
2.启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
3.测试计算机与实验箱的通信是否正常,通信正常继续。
如通信不正常查找原因使通信正常后才可以继续进行实验。
阶跃响应4. 在实验项目的下拉列表中选择实验七[七、状态反馈和状态观测器] 。
5. 鼠标单击按钮，弹出实验课题参数设置对话框。
在参数设置对话框中设置相应的实验参数后鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果。
现代控制理论-第六章_状态反馈与状态观测器-562
6.2 极点配置问题
例6.3 考虑线性定常系统
x = Ax + Bu
0
1
0
0
A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u = v - Kx
希望使该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试设计状态反馈增益矩阵K。
24
6.2 极点配置问题
0 1
0
0
A 0
0
1
,
2、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。
22
6.2 极点配置问题
3、对于低阶系统（n≤3），求解状态反馈
阵K时，并不一定要进行能控标准型的变 换； 可以直接计算状态反馈后的特征多项式 （其系数均为k的函数），然后与闭环系 统希望的特征多项式的系数相比较，确定 出矩阵K——另一种解题思路
状态微分 x 处
u
B
x
x
y
1/s
C
-+
.
x
A
.
x
h
.
x Ax Bu hy, y Cx
.
x (A hC)x Bu, y Cx 28
6.2 极点配置问题
2. 输出反馈至参考输入的极点配置：
v
u B
x
x
1/s
C
y
-
+
A
f
引入输出反馈：
x (A BfC)x Bv, y Cx
29
6.2 极点配置问题 注意：关于输出反馈，有如下定理： • 定理：对单入单出系统，即使完全能控，
f () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 19
现代控制理论-第六章
• 新系统的状态方程为
x1 0 x 0 2 x3 10000 y 1 0 0x 1 0 1510 x1 0 1 x2 0 u 114 .1 x3 10000 0
x Ax Bu
• 新系统
y Cx v Hy u x ( A BHC ) x Bv y Cx
2.输出反馈到状态微
• 原系统 • 完全可观 • 新系统
x Ax Bu y Cx
x Ax Bu Hy y Cx x ( A HC ) x Bu y Cx
• 新系统的方框图
第三节 全维状态观测器
•一.定义：若系统是完全可观的，但因种种原因，如空间 不足、成本较高等，无法将状态量测到，可人为建立全部 状态，使构建的状态变量无限接近原系统的状态变量，称 为全维状态观测器，简称状态观测器。 •二.实现条件：系统完全可观 •三.实现方法： •1.原系统 x Ax Bu, y Cx
1 S 3 114 .1S 2 1510 S lim 0.151 0.2 S 0 S S 3 114 .1S 2 1510 S 10000
• 新系统的传递函数为
G(S ) k 10000 3 ( S 100 )( S 7.07 j 7.07 )( S 7.07 j 7.07 ) S 114 .1S 2 1510 S 10000
2
• 3.利用状态反馈实现极点配置： I ( A BHC ) • 4.利用状态反馈实现极点配置： I ( A HC )
2
h
h1 h2
现代控制理论之状态反馈与状态观测器介绍课件
状态反馈的设计方法
确定系统状态方程
设计状态反馈控制器
计算状态反馈增益矩阵
验证状态反馈控制器的性能
状态反馈的优缺点
优点：能够有效地减小系统的动态响应时间，提高系统的稳定性和动态性能。
优点：可以实现对系统的解耦控制，使得系统的控制更加简单和直观。
现代控制理论之状态反馈与状态观测器介绍课件
演讲人
01.
状态反馈
02.
03.
目录
状态观测器
状态反馈与状态观测器的关系
状态反馈
状态反馈的基本概念
状态反馈是一种控制策略，通过调整系统的状态来达到控制目标。
状态反馈控制器的设计基于系统的状态方程，通过调整输入信号来影响系统的状态。
状态反馈控制器可以改善系统的动态性能，提高系统的稳定性和鲁棒性。
04
状态反馈与状态观测器的区别
状态反馈需要知道系统的模型，状态观测器不需要知道系统的模型
04
状态反馈用于控制系统，状态观测器用于估计系统状态
03
状态观测器：通过观测系统的输出，估计系统的状态
02
状态反馈：通过调整系统的输入，使系统达到期望的状态
01
状态反馈与状态观测器在实际应用中的选择
状态反馈适用于系统模型已知且可控的情况，能够实现最优控制。
02
状态观测器通过测量系统的输入和输出，利用数学模型来估计系统的内部状态。
04
状态观测器在现代控制理论中具有重要地位，广泛应用于各种控制系统的设计与实现。
状态观测器的设计方法
状态观测器性能评估：通过仿真或实验，评估观测器的性能，如观测精度、响应速度等
现代控制理论实验 状态控制器
状态反馈与状态观测器一、 实验目的1. 研究现代控制理论中用状态反馈配置极点的方法。
2. 研究状态观测器的设计方法。
二、 实验内容1. 被控对象模拟电路图如下：2. 系统数学模型：（1）被控对象传递函数为：2()100()() 2.928103.57Y s Gp s U s s s ==++ （2）被控对象状态方程 xA xB u =+ YC x = 式中1103.57 3.928A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]1000C =（3）图中AT G e =()TH t dtB ϕ=⎰其中()At t e ϕ=K ——1*2维状态反馈系统矩阵，由计算机推出 L ——2*1维观测器的反馈矩阵，有计算机推出Kr ——为使y(t)跟踪r(t)乘的比例系数，由计算机自动递推算出（4）希望的系统极点（参考值）：1,27.357.5S j =-± 它对应在Z 平面上应为：1,20.7120.22Z j =± （5）观测点极点参考值：1,20.10Z j =±三、 实验结果分析： 1. 无状态反馈系统输入输出响应如图所示：输入 阶跃信号 Ui=3V输出 百分超调量 PO = 100*(4.23-2.89)/2.89 = 46 稳态误差 e ss (t) = (3-2.89)/3 = 3.67% 上升时间 Tr = 190 ms 峰值时间 Ts = 340 ms 使用 Matlab 仿真，输入：a=[0 1;-103.57 -3.928];b=[0 1]';c=[100 0];d=0; step(a,b,c,d,1,t) 得到输出曲线：如图所示：百分超调量PO = 53.3 稳态误差 ess(t) = 3.4% 上升时间 Tr = 178 ms 峰值时间 Ts = 300 ms与实验结果基本相符。
2. 有状态反馈Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e0123456789100.511.5系统极点和观测器极点均根据参考值设置，其中系统极点：1,27.357.5S j =-±，对应Z 平面：1,20.7120.22Z j =± 观测器极点：1,20.10Z j =±所得输入输出波形如图：输入阶跃信号Ui=2V输出百分超调量PO = 100*(2.09-2)/2 = 4.5 稳态误差e ss(t) = 0 峰值时间Ts = 328 ms通过Matlab 计算系统状态反馈矩阵和观测器反馈矩阵并仿真：1.判断系统能控性、能观性：a=[0 1;-103.57 -3.928];b=[0 1]';c=[100 0];d=0;ro=rank(obsv(a,c))rc=rank(ctrb(a,b))得：ro = 2 rc = 2，所以系统既能控又能观2.计算开环特征值：eol=eig(a)得：eol =-1.9640 + 9.9856i-1.9640 - 9.9856i3.配置观测器极点，计算观测器反馈增益：dpo=[-57.56+0*i -57.56-0*i];k=acker(a',c',dpo)得：k =1.1119 27.72824.配置期望闭环极点，计算系统状态反馈：dpp=[-7.35+7.5*i -7.35-7.5*i];g=acker(a,b,dpp)得：g =6.7025 10.77205.仿真：t=[0:0.05:10.0];step(a,b,c,d,1,t)hold onacl=[a-b*g b*g;[0 0;0 0] a-k'*c]bcl=[b;0;0];ccl=[c 0 0];dcl=d;step(acl,bcl,ccl,dcl,1,t)hold off所得波形如图：如图所示，蓝色波形为未加状态反馈的系统，其仿真波形上文已经分析过：百分超调量PO = 53.3 峰值时间 Tp = 300 ms 2%调节时间 Ts=1950ms 绿色为加了观测器的系统： 百分超调量PO = 4.5 峰值时间 Ts =400 ms 2%调节时间 Ts=570ms 与实验所得数据基本相符，由于仿真时输入没有乘Kr ，故不做稳态误差的比较。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器现代控制理论中，线性定常系统的反馈结构及状态观测器是控制系统中的关键部分。
反馈结构和状态观测器的设计对于控制系统的性能和稳定性有着重要的影响。
本文将从反馈结构和状态观测器的定义、功能和设计方法等方面进行详细介绍。
首先，我们来介绍反馈结构。
反馈结构是控制系统中最常见的一种控制方式，通过将系统的输出信号与期望值进行比较，计算出控制量，并作为输入信号对系统进行控制，以实现对系统输出的调节。
在线性定常系统中，反馈结构一般由比例控制器、积分控制器和微分控制器组成，通过调节这些控制器的参数，可以实现对系统性能的优化。
其中，比例控制器用于调节系统的过渡过程，积分控制器用于消除系统的稳态误差，微分控制器用于抑制系统的振荡和提高系统的动态响应速度。
通过适当选择和调节这些控制器的参数，可以使系统的性能指标如超调量、响应时间等得到满足。
接下来我们来介绍状态观测器。
状态观测器是用于估计和反馈系统状态的一种装置，通过测量系统的输出信号和输入信号，以及系统的数学模型，来估计系统的状态。
状态观测器在控制系统中起到了关键的作用，可以实现对系统状态的估计和补偿，从而提高系统的稳定性和性能。
在线性定常系统中，状态观测器一般由状态估计器和状态补偿器组成。
状态估计器根据系统的输出信号和输入信号，以及系统的数学模型，通过运算得到系统的状态估计值，以反馈给系统进行控制。
状态补偿器则根据系统的状态估计值和期望值，以及系统的数学模型，通过运算得到控制量，以控制系统的输出。
关于反馈结构和状态观测器的设计方法，一般可以采用经典控制理论方法和现代控制理论方法。
经典控制理论方法主要包括根轨迹法、频率响应法等。
根轨迹法可以通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性和性能，并通过调节控制器参数来满足系统的性能指标。
频率响应法则通过分析系统的频率特性来设计合适的频率补偿器，以达到系统的优化。
现代控制理论方法则主要包括状态空间法和最优控制方法。
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告本次实验是关于现代控制理论中状态反馈与状态观测器的设计与实现。
本次实验采用MATLAB进行模拟与仿真，并通过实验数据进行验证。
一、实验目的1、学习状态反馈控制的概念、设计方法及其在实际工程中的应用。
3、掌握MATLAB软件的使用方法。
二、实验原理1、状态反馈控制状态反馈控制是指将系统状态作为反馈控制的输出，通过对状态反馈控制器参数的设计，使系统的状态响应满足一定的性能指标。
状态反馈控制的设计步骤如下：(1) 确定系统的状态方程，即确定系统的状态矢量、状态方程矩阵和输出矩阵；(2) 设计状态反馈控制器的反馈矩阵，即确定反馈增益矩阵K；(3) 检验状态反馈控制器性能是否满足要求。
2、状态观测器(1) 确定系统的状态方程；(2) 设计观测器的状态估计矩阵和输出矩阵；(3) 检验观测器的状态估计精度是否符合标准。
三、实验内容将简谐信号加入单个质点振动系统，并对状态反馈控制器和状态观测器进行设计与实现。
具体实验步骤如下：1、建立系统状态方程：（1）根据系统的物理特性可得单自由度振动系统的运动方程为：m¨+kx=0（2）考虑到系统存在误差、干扰等因素，引入干扰项，得到系统状态方程：（3）得到系统状态方程为：（1）观察系统状态方程，可以发现系统状态量只存在于 m 行 m 到 m 行 n 之间，而控制量只存在于 m 行 1 到 m 行 n 之间，满足可控性条件。
（2）本次实验并未给出状态变量的全部信息，只给出了系统的一维输出，因此需要设计状态反馈器。
（3）我们采用极点配置法进行状态反馈器设计。
采用 MATLAB 工具箱函数，计算出极点：(4) 根据极点求解反馈矩阵，得到状态反馈增益矩阵K：（1）通过矩阵计算得到系统的可观性矩阵：（2）由若干个实测输出建立观测器，可将观测器矩阵与可观测性矩阵组合成 Hankel 矩阵，求解出状态观测器系数矩阵：（3）根据系统的状态方程和输出方程，设计观测方程和状态估计方程，如下：4、调试控制器和观测器（1）经过上述设计步骤，将反馈矩阵和观测矩阵带入 MATLAB 工具箱函数进行仿真。
现代控制实验--状态反馈器和状态观测器的设计
状态反馈器与状态观测器得设计一、实验设备PC 计算机,MATLAB 软件,控制理论实验台,示波器二、实验目得（1）学习闭环系统极点配置定理及算法,学习全维状态观测器设计法;（2）掌握用极点配置得方法（3）掌握状态观测器设计方法（4）学会使用MATLAB工具进行初步得控制系统设计三、实验原理及相关知识(1)设系统得模型如式所示若系统可控,则必可用状态反馈得方法进行极点配置来改变系统性能。
引入状态反馈后系统模型如下式所示:(2)所给系统可观,则系统存在状态观测器四、实验内容(1)某系统状态方程如下理想闭环系统得极点为、(1)采用 Ackermann 公式计算法进行闭环系统极点配置; 代码:A=[0 1 0;0 0 1;4 3 2];B=[1; 3; 6];P=[1 2 3];K=acker(A,B,P)Ac=AB*Keig(Ac)(2)采用调用 place 函数法进行闭环系统极点配置; 代码:A=[0 1 0;0 0 1;4 3 2];B=[1;3;6];eig(A)'P=[1 2 3];K=place(A,B,P)eig(AB*K)'(3)设计全维状态观测器,要求状态观测器得极点为代码:a=[0 1 0;0 0 1;4 3 2];b=[1;3;6];c=[1 0 0];p=[1 2 3];a1=a';b1=c';c1=b';K=acker(a1,b1,p);h=(K)'ahc=ah*c(2)已知系统状态方程为:（1）求状态反馈增益阵K,使反馈后闭环特征值为[1 2 3]; 代码:A=[0 1 0;0 0 1;4 3 2];b=[1;3;6];p=[1 2 3];k=acker(A,b,p)Ab*keig(Ab*k)(2)检验引入状态反馈后得特征值与希望极点就是否一致。
（3）比较状态反馈前后得系统阶跃响应。
代码:A1=[0 1 0;0 0 1;4 3 2];B1=[1;3;6];C1=[1 0 0];D1=[0];G1=ss(A1,B1,C1,D1);[y1,t1,x1]=step(G1);P=[1 2 3];K=acker(A1,B1,P);abk=A1B1*K;A2=abk;B2=B1;C2=C1;D2=D1;G2=ss(A2,B2,C2,D2);[y2,t2,x2]=step(G2);hold onplot(t1,x1)plot(t2,x2)(4)设计全阶状态观测器,要求状态观测器得极点为[5 6 7]。
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第一节 状态反馈与极点配置
一、状态反馈系统的动态方程 以单输入-多输出受控对象动态方程为例：
x&Axbu
(5-1)
yCx
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵， 负反馈至系统的参考输入，于是存在
u v kx
(5-2)
状态反馈系统动态方程为：
x&
Axb
vkx
Abk
0 1 0 L
0 0 0 L
A
M
M
MO
0
0
0L
a0
a1
a2
L
0
0
M
1
an1
0
0
b M
0
1
10
C
20
M
q0
11 L
1,n1
21 L
2,n1
ML
M
q1
L
M
q,n1
若在变换后的状态空间内引1n维状态反馈矩阵 k ：
k
k0
k1 L
kn1
(5-5)
其中 k0，L ，kn1分别为由状态变量 x1，L ，xn 引出的反
选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动 态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非 离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
例5-1设受控对象传递函数为：
y u
s s
s
s
10
1
s
2
试用状态反馈使闭环极点配置在 2,1 j 。
解： 传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实 现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 pn 维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈 配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈 表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特 性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点 位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、 能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变 量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
x
bv
(5-10)
与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 k为：
k kP
(5-11)
需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并
不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态
反馈系统闭环特征多项式
I
A
bk
，这时，其系数为
k0,L , kn1
的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定k。
n1L
a2
k2
2
a1
k1
1
a0
k0
0
(5-9)
显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0，L ，kn1，可使特征方程的 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
将逆变换 x Px 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反 馈系统状态方程：
x&
A
bkP
(a1
k1)s
a0
k0
q,,n1sn1
M L
q1s
q0
（5-13）
显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到， 闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点 时，必须充分考虑零点的影响。
状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不 难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有 的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测 性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能 保持原有能观测性。
x& 1 0
x& 0
2
x& 0
3
1 0 2
x 0 1 0
1 x 0 u 2
3 1 x
3
y 10
0
0
xbv
(5-3)
y Cx
(5-4)
式中v为纯量，x 为 n1 维向量，A为nn 维矩阵，b 为n1
维矩项向阵式量。。，Ak为bk1为n维闭行环矩状阵态，阵y为，Iq1 A 维b向k量 为，C闭为环特q征n多维
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控
证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装 置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参 数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈 也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状 态变量是需要克服的障碍。
三、状态反馈系统的其它特性
单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后， 系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多 输出系统。如式(5-1)所示对象经 P1 变换后传递矩阵 为：
G1
C
sI
A
1b
10
11 L
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q0
M
q1
L L
1 1,n1 s M M
q,n1 sn1
1,,n1sn1L
11s 10
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q,,n1sn1L
q1s
q0
(5-12)
而引入状态反馈阵k 后的传递函数阵G2为：
G1C[sI (Abk )n1L
M
(a1
k1)s
a0
k0
q0
M
q1
L L
1,n1
M
q,n1
1
s
M
sn1
1,,n1sn1L
11s 10
1 sn (an1kn1)sn1L
馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为 ：
式中：
x&
A
bk
xbv
y Cx
0
1
0L
0
0
1L
A
bk
M
M
MO
0
0
0L
a0
k0
a1 k1
a2 k2
L
(5-6)
(5-7)
0
0
M
1
an1 kn1
该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不 变。特征方程为：
I
A
bk
n
an1
kn1
第五章 状态反馈与状态观测器
闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论 经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希 望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内 部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点， 显出更多的优越性。
为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状 态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系 统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在 许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。