离散数学课件第二章(第1讲)

讨论： （a）当简单命题函数仅有一个客体变元时，称为一元简单命 题函数； （b）若用某一特定客体去取代客体变元之后，则命题函数 就变为命题；
（c）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述域）。
（d）个体域（论述域）:用特定的集合表示的客体变元的取 值范围。
例：P(x)表示x是素数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。
个体域的给定形式有二种： ①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：将各种个体域综合在一起作为论述
范围的域称全总个体域。 命题函数可以转变为命题，有两种方法： a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x)
3.量词
（1）全称量词 “”为全称量词符号，读作“所有的”，“任意的”，
(2)自由变元与约束变元 约束变元：位于量词的辖域内，并且与量词下标相同的变元。
自由变元：当且仅当不受量词约束的变元。
例： xP(x,y) , xP(x) Q(y) 在谓词公式 xP(x,y)中，x是约束变元，y 是自由变元。 在谓词公式 xP(x) Q(y)中， x是约束变元，y 是自 由变元。
H作为“谓词”用大写英文字母表示，j,m称为“客体” 或称“个体”。客体一般用小写的英文字母表示。
分析：
（1）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母 联系着n个客体，则称作n元谓词。
（2）客体的次序必须是有规定的。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
2. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“是有颜色的。”
g：水果；y：树叶；f：衣服。 则C(g), C(y), C(f)都是命题。 在上例中，如果用x表达任意的客体，则x表示客体变元， C(x)表示“x是有颜色的”，则称C(x)为命题函数。 《定义》由一个谓词字母和一些非空的客体变元的集合所组 成的表达式，称为简单命题函数。
注：自由变元可以位于量词的辖域内，也可以不在量 词的辖域内。
(3) 区别是命题还是命题函数的方法
（a）若谓词公式中有自由变元，则该公式为命题函数；
（b）若谓词公式中的变元都是约束变元，则该公式 为命题。 或者说若谓词公式中没有自由变元出现， 则该公式是一个命题。
都是谓词公式； ⑷若A是谓词公式，x是任何变元，则xA, xA也都是谓
词公式； ⑸当且仅当有限次地应用⑴-⑷所求得的那些公式才是谓
词公式。
5.自由变元与约束变元
(1) 辖域：紧跟在量词后面括号内的谓词公式，叫做相 应量词的作用域或辖域。
例： x(P(x)) , x(P(x) Q(x)) P(x)是全称量词的辖域，P(x) Q(x)是存在量词的辖域。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
“每个” 。
例：“这里所有的都是苹果” 可写成： xA(x)或(x)A(x)
全称量词的几种形式的读法：
· xP(x)：
“对所有的x，x是…”；
· x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”；
· ¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”；
· ¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
例： x(P(x)) xP(x)
辖域举例
①在xP(x)Q(x)中, x的辖域是P(x);
②在y(C(y)∧x(T(x)uQ(x,u)))中, u的辖域是：Q(x,u); x的辖域是：T(x)uQ(x,u); y的辖域是： C(y)∧x(T(x)uQ(x,u)).
{15,30} F F
注：个体域不同，则表示同一命题的值不同。
4.谓词公式
原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称 为原子谓词公式，并用P(x1…xn)来表示。（P称为n元谓词， x1…xn称为客体变元）。
《定义》（谓词公式的归纳法定义） ⑴原子谓词公式是谓词公式； ⑵若A是谓词公式，则¬A也是谓词公式； ⑶若A, B都是谓词公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)
第二章 谓词逻辑
§1 基本概念 §2 谓词逻辑的翻译 §3 谓词公式的解释 §4 谓词演算的等价式与蕴含式 §5 前束范式 §6谓词逻辑演的推理理论
§1 基本概念
在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的 单位，不再对原子命题进行分解.
这样会产生二大缺点： （1）不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征； （2）也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征， 甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过 程。
例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理
规则推导出来。
“所有的人总是要死的。
P
“苏格拉底是人。
Q
“所以苏格拉底是要死的。” R
1.谓词
《定义》：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。
我们可把原子命题分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”， 则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
例：将“对于所有x和所有y，如果x高于y，那么y不高 于x”写成命题表达形式。 解： G(x,y)：x高于y x y(G(x,y) ¬ G(y,x))
（2）存在量词 “”为存在量词符号，读作“存在一个”，“有些”， “某些”，“至少存在一个” 等等。
存在量词的几种形式的读法： · x A(x) ：存在x,使x是…； · x¬A(x) ：存在x, 使x不是…； · ¬ x A(x) ：不存在x, 使x是…； · ¬ x¬A(x) ：不存在x, 使x不是…。
为什么将谓词量化，命题函数可以转变为命题？
设给定个体域：{a1…an},以{a1…an}中的每一个个体代入 则：xP(x)P(a1)… P(an) xQ(x)Q(a1)… Q(an)
例如：Q(x)表示: x<5
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xQ(x) xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T