九年级数学下册第二章二次函数与一元二次方程--
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程课后练习
第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为()A．1B．2C．3D．42．二次函数y=x2+bx–1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2–2x–1–t=0（t为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t的取值范围是A．t≥–2B．–2≤t<7C．–2≤t<2D．2<t<73．如图，二次函数2y ax bx c=++的最大值为3，一元二次方程20ax bx c m++-=有实数根，则m的取值范围是A．m≥3B．m≥-3C．m≤3D．m≤-34．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：①abc>0；①2a-b=0；①一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1；①当y>0时，-4<x<2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是() A．k≤2且k≠1B．k<2且k≠1C．k=2D．k=2或1 6．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是()A．(12，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)7．二次函数y＝x2+bx﹣t的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A．﹣4≤t＜5B．﹣4≤t＜﹣3C．t≥﹣4D．﹣3＜t＜5 8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是()A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜19．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（）评卷人得分二、填空题 11．如图所示是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①二次三项式2ax bx c ++的最大值为4；②使3y ≤成立的x 的取值范围是2x -≤；③一元二次方程2ax bx c k ++=，当4k <时，方程总有两个不相等的实数根；④该抛物线的对称轴是直线1x =-；420a b c -+<⑤其中正确的结论有______________ (把所有正确结论的序号都填在横线上) 12．关于x 的一元二次方程a （x-h ）2+k=x+n 两根为x 1=-1，x 2=3，则方程a （x-h-3）2+k+3=x+n 的两根为___________________.13．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，则关于x 的方程kx +n ＝ax 2+bx +c 的解为_____．14．“若抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个不等实根。
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
九年级数学下第2章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系习题北师大
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
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1D 2A 3C 4B
5C 6D 7C 8A
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提示：点击 进入习题
9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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1．【2020·成都】关于二次函数 y＝x2＋2x－8，下列说法正确的 是( D ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为(0，8) C．图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y 的最小值为－9
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交
点，则 b 的取值范围是( A )
A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b
＞0，解得 b＜1.但本题易忽略与 x 轴的交点不能在原点上，即 b
【答案】D
7．【2020·遵义】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－2. 抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其 部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个 不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】①∵对称轴在 y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，
∵c＜0，∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，故②正确； ③∵2a＋b＝0，∴a＝－12b，∵当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＞0， ∴－12b－b＋c＞0，∴3b－2c＜0，故③正确；
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
-例如：“已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该二次函数的解析式。”
4.小组合作探究题：这部分作业要求学生在小组内共同完成，培养学生的合作精神和探究能力。
（三）学生小组讨论
在讲授新知之后，我会组织学生进行小组讨论。我将设计一些具有探究性的问题，如：“二次函数的开口方向和顶点坐标是如何影响一元二次方程的解的？”、“在实际问题中，如何运用二次函数的性质求解一元二次方程？”等。学生通过小组合作，共同探讨这些问题，培养他们的合作精神和探究能力。
（四）课堂练习
-教师设计具有现实背景的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析和解决。
-学生在解决问题的过程中，掌握数学建模、问题求解等数学方法。
3.通过对二次函数图像的观察与分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与学习的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，提高学生的应用能力和解决问题的策略，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：这部分作业主要针对课堂所学的基本概念和性质进行设计，包括填空题、选择题和简答题，旨在帮助学生巩固二次函数与一元二次方程的基本知识。
-填空题：如“二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a<0时，图像开口______。”
2.掌握一元二次方程的求解方法，了解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能运用二次函数解决实际问题。
-学生能够运用直接开平方法、配方法、求根公式等求解一元二次方程。
2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程
用函数观点看一元二次方程【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-0a <△＜00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）0a <要点进阶：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点进阶：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点进阶： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点进阶：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．举一反三：【变式】二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集； （3）求y 的取值范围．类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2. 利用函数的图象，求方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．举一反三：【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．例4.如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【巩固练习】 一、选择题1. 若二次函数241y ax x a =++-的最大值为2，则a 的值是（ ）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜0B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33．方程2123x x x++=的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图所示的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)240b ac ->；(2)1c >；(3)20a b -<；(4)0a b c ++<．你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个5．方程2252x x x-++=的正根的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题7． 已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为 ．8．如图所示，函数y ＝(k-8)x 2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．第8题 第9题9．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为1 1.3x =和2x =________．10．已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B 、C 构成的△ABC 的面积是________．11．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．12．如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是 ．三、解答题 13．已知抛物线212y x x k =-+与x 轴有两个不同的交点． (1)求k 的取值范围；(2)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．14．如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案、教学设计
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）求解以下一元二次方程，并分析解的性质：
① 2x^2 - 5x + 3 = 0
② x^2 - 4 = 0
③ 3x^2 + 4x - 1 = 0
（2）根据题目要求，绘制相应二次函数的图像，并观察图像与x轴的交点。
2.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学习的积极性。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习对个人成长和国家发展的重要性，激发学生的社会责任感。
教学设计：
一、导入新课
1.复习二次函数的基本概念、性质和图像特点。
2.提问：一元二次方程的解与二次函数图像有什么联系？
二、新课讲解
（三）学生小组讨论
在这一环节，我会将学生分成若干小组，让他们针对以下问题进行讨论：
1.二次函数图像与一元二次方程解的关系是什么？
2.如何利用二次函数求解一元二次方程？
3.在解决实际问题时，如何运用二次函数与一元二次方程的知识？
在讨论过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问，并引导学生从不同角度分析问题。讨论结束后，每组选派一名代表分享本组的讨论成果。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.对于基础巩固题，要求每个同学都必须掌握，做到熟练解题。
3.能力提升题和拓展探究题可根据自己的实际情况选择完成，鼓励同学们挑战更高难度的题目，培养自己的创新思维能力。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保解答正确，并对疑难问题进行标注，以便在课堂上提问和讨论。
2.根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》说课稿
湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程的联系和区别》是湘教版数学九年级下册1.4的内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，掌握由二次函数求一元二次方程的方法，以及一元二次方程的解法。
教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象和性质，以及一元二次方程的基本概念和解法。
但学生对于二次函数与一元二次方程之间的联系和区别可能还不太清楚，需要通过实例和讲解让学生加深理解。
此外，学生可能对由二次函数求一元二次方程的方法还不够熟练，需要通过练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，掌握由二次函数求一元二次方程的方法，以及一元二次方程的解法。
2.过程与方法目标：通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，由二次函数求一元二次方程的方法，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别的理解，由二次函数求一元二次方程的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，以及网络资源和学生自主学习平台。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次函数与一元二次方程的话题，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，通过实例引导学生探究。
3.练习：让学生通过练习由二次函数求一元二次方程的方法，巩固所学知识。
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根
二次函数与一元二次方程 说课
2
4
6
8
t
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
预习生疑
x= -x²+4x-3
y= -x²+4x-3
合作辨疑
探究释疑
y=x
在函数y= -x²+4x-3上求满足y=x的点的横坐标
教法与学法分析
以学生为主体，以问题为主线，以质疑为特征
动手
操作
启发
发现
讨论
小组
合作
【合作辩疑】
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
小组讨论要求
时间：5分钟；小组长组织本组组员进行合作交流；
证、说明推理，有效地突破了难点；及时小结，注重升华；
紧密链接中考，注意拓展延伸和上下链接。
教材分析 学情分析 教学目标 教法与学法分析 教学过程 特色说明
数学是思维的体操。怎样培养学生的核心素
养，我认为目标就是：即便学生将来忘记了所学
的知识，却会在将来感激数学课堂带来的思维灵
动。
这就是我们数学教师的使命与价值。
解方程得 =
+
,
−
=
∴ 两图像有两个交点
+
−
九年级数学下册二次函数 . 二次函数与一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
2021/12/11
第二十四页，共二十五页。
内容(nèiróng)总结
5 二次函数与一元二次方程(fāngchéng)。第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程(fāngchéng)的近似根。(1)方程(fāngchéng) －2x2＋8x－6＝0的解是什么。解：函数y＝－2x2＋8x－6的图象如图．。x3－x－2＝0的解(结果精确到0.1)．。[解析] 由题意可知点A
2021/12/11
第十页，共二十五页。
图K－18－3
第2课时 利用(lìyòng)二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] 由图象可知当x＝2时，y＜0；当x＝3时，y＞0.由于直线x＝1是它的对称 轴，则由二次函数图象的对称性可知：当x＝0时，y＜0；当x＝－1时，y＞0.所以另 一个根x2的取值范围为－1＜x2＜0.故答案为－1＜x2＜0.
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
2021/12/11
图K－18－1
第五页，共二十五页。
第2课时 利用二次函数(hánshù)的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] C 由图象可知其对称轴为直线x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线 与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是 x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
北师大版九年级下册数学《二次函数与一元二次方程》二次函数教学课件说课研讨复习
ax2+bx+c = 0 的根
✓有b2两– 4个ac根> 0 ✓有b2一– 4个ac根=（0两个相同的根） ✓没b2有– 4根ac < 0
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 __b_2_–_4_a_c_≥__0______ 。
△ = b2 – 4ac
y △＜0
△=0
△＞0
o
x
课堂小结
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
则 c =＿16＿.
标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
y 3
-1
. o 1.3
x
x=－1
9.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
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想一想
由上抛小球落地的时间想到
我们知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s) 的关系可用公式h= -5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时 的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时 间t(s)的关系如图所示,那么
议一议 二次函数与一元二次方程
结论1
若一元二次方程ax2+bx+c=0的
两个根是x1 、x2， 则抛物线
y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标
y
x1 OA
x2 B
x
分别是 A（ x1，0 ）
B（ x2 ，0 ）
想一想 二次函数与一元二次方程
结论2 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次 方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
二次函数
一元二次方程 一元二次方程
y=ax2+bx+c的图 ax2+bx+c=0的 ax2+bx+c=0根的
象和x轴交点
根
判别式Δ=b2-4acFra bibliotek有两个交点有两个不相 等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等 的实数根
b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0
知识应用 业精于勤荒于嬉
1.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上， 则a= 9 ；若抛物线与x轴有两个交点， 则a的范围是 a<9 ；
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴
下方的条件是（ D）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
2个不等实根，2个相等实根，无实数根
议一议 二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有 什么关系?
例题讲解
y
2 y = x2 x 6
1
x –3 –2 –1 O 1 2 3
–1
（1）已知二次函数y=x2-x-6的图象如图所示： –2
–3
图象与x轴有 2 个交点，交点的横坐标是 -2和3 ,–4
则方程x2-x-6=0有 2 个根，方程的根是x=-2和x=3,
（2）方程x2-5x+6=0有 2 个根，它们是 x=2和x=3 。
所以,函数y= x2-5x+6的图象与x轴有 2 个交点,其交点 坐标为（2，0）和（3，0）。
想一想 二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中 ,何时小球离地面的高度是60m?你是 如何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
小试牛刀 业精于勤荒于嬉
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
方程根的关系:
函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
方程
ax2+bx+c=0(a ≠0)
横坐标的值
图象与x轴交点
根
个数
两种思想：函数与方程互相转化的思
想；数形结合思想。
作业
课本P53页习题2.10 第3、4题
请各位专家、同仁 批评指正
h=80 h=60
(1) h和t的关系式是什么？
解 : 1.h 5t 2 40t.
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
九年级数学下册第二章 二次函数与一元二次方
程--
2020/8/28
知识回顾 1、二次函数的形式有哪些？
一般式：y=ax²+bx+c (a≠ 0) 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠ 0) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0)
2、一元二次方程的一般形式是什么样的？
一般形式：ax²+bx+c =0(a≠ 0)
y=x2-2x+2
勇于开始，才能找到成 功的路
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1).2个,1个,0个.
议一议 二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
能力提升 业精于勤荒于嬉
已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交 点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只 有一个交点，求m的值。