山东单招数学模拟及答案.docx

2017 年山东单招数学模拟试题及答案一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 ．）1．已知集合A{ x | x 2x 2 ≤0 ， xZ}，则集合A 中所有元素之和为▲ ．2．如果实数p 和非零向量a 与b 满足pa( p1)b0，则向量a 和 b▲ ．（填“共线”或“不共线”）．3．△ABC中，若 sin A2sin B ，AC2 ，则BC▲．4．设f ( x)3ax2a1 ， a 为常数．若存在 x 0(0,1)，使得f (x 0 )0 ，则实数 a的取值范围是 ▲ ．5 ．若复数 z 11ai ， z 2b3i ， a, b R ，且 z 1 z 2 与 z 1 z 2 均为实数，则 z 1▲．z 26 ． 右边的流程图最后输出的n 的值是 ▲ ．7 ．若实数 m 、 n{ 1， 1 ， 2 ， 3} ，且 mn ，则曲线x 2 y 2 ▲．m1表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率是n8． 已知下列结论：① x 1 、 x 2 x 1x 2 0，都是正数x 1 x 2x 1 x 2 x 3 0② x 1 、 x 2 、 x 3 都是正数x 1 x 2 x 2 x 3x 3 x 1 0 ，x 1 x 2 x 3则由①②猜想：x 1、 x 2 、 x 3 、 x 4 都是正数9．某同学五次考试的数学成绩分别是120 ， 129 ， 121 ， 125 ，130 ，则这五次考试成绩的方差是▲．D C10 ．如图，在矩形ABCD 中， AB 3 ， BC 1 ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE上任取一点 P ，则直线 AP 与线段BC有公共点的概率是▲AEB第 10 题图11 ．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图 1 为其俯视图，图 2 为其主视图，则这个几何体的体积最大是▲cm 3．图 1（俯视图）图2（主视图）第11 题图12 ．下表是某厂1～4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份 x1234用水量 y 4.543 2.5由其散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是▲．13 ．已知xOy平面内一区域A，命题甲：点(a,b){( x, y) || x || y | 1} ；命题乙：点(a,b) A ．如果甲是乙的充分条件，那么区域 A 的面积的最小值是▲．14 ．设P是椭圆x2y 2 1 上任意一点，A和F分别是椭圆的左顶点和右焦点，2516则1PA AF 的最小值为▲．PA PF4二、解答题：（本大题共 6 小题 ,共 90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15 ．（本小题满分14 分）直三棱柱 ABC A1 B1C1中， AC BC BB1 1，AB1 3 ．（ 1）求证：平面 AB1C 平面 B1 CB ；（ 2）求三棱锥 A1AB1 C 的体积．16 ．（本小题满分14 分）某化工企业2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？17 ．（本小题满分14 分）y如图，已知圆心坐标为( 3,1) 的圆M与 x 轴及直线 y3x分别相切于 A 、 B 两点，另一圆N 与D圆 M 外切、且与x 轴及直线y3x 分别相切于 C 、ND两点．B（ 1）求圆M和圆N的方程；MxO A C （2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N 截得的弦的长度．18 ．（本小题满分14 分）已知函数 f (x) sin x cos x ，x R ．（ 1）求函数 f (x) 在 [0,2 ] 内的单调递增区间；（ 2）若函数 f (x) 在x x0处取到最大值，求 f ( x0 ) f (2x0 ) f (3x0 ) 的值；（ 3）若 g( x)e x（ x R ），求证：方程 f (x)g( x) 在0,内没有实数解．（参考数据：ln 2 0.69 ， 3.14 ）19 ．（本小题满分16 分）1 x32x23x（x R）的图象为曲线C．已知函数 f (x)3（ 1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（ 2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．20 ．（本小题满分18 分）已知数列 { a n } 的通项公式是a n2n 1，数列 { b n } 是等差数列，令集合A { a1 , a2 , ,a n , } ，B { b1 , b2 , , b n , } ，n N *．将集合 A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{ c n} ．（ 1）若c n n ，n N *，求数列{ b n }的通项公式；（ 2）若A B，数列{ c n}的前 5 项成等比数列，且c11， c98 ，求满足c n 15c n4的正整数 n 的个数．三、附加题部分（本大题共 6 小题 ,其中第 21 和第 22 题为必做题，第 23 ～ 26 题为选做题，请考生在第 23 ～26 题中任选 2 个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）21 ．（本小题为必做题，满分12分）．．．已知直线 y 2x k 被抛物线x24 y 截得的弦长A B 为20，O为坐标原点．（1）求实数k的值；（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？22 ．（本小题为必做题，满分12分）．．．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6 ， 0.5 ， 0.4，能通过面试的概率分别是0.5 ， 0.6 ， 0.75 ．（ 1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（ 2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E( ) ．23 ．（本小题为选做题，满分8分）．．．如图，在△ ABC 中，D是 AC 的中点，E是BD的中点，AE的延长线交 BC 于F .BF（ 1）求的值；FC（ 2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1: S2的值．A24 ．（本小题为选做题分）．．．，满分 8已知直线 l 的参数方程：x t（ t 为参数）和圆 C 的极坐标方程D：y12t E2 2 sin() ．B F C4（ 1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）判断直线l和圆C的位置关系．25 ．（本小题为选做题，满分8分）．．．试求曲线 y10sin x 在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=， N =0212．0126 ．（本小题为选做题，满分8分）．．．111L 11(n N 且n 1) ．用数学归纳法证明不等式：n 1n 2n2n参考答案一、填空题：（本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．）1．2 2 ．共线 3 ． 4 4 ．( , 1)( 1,) 5．1 3 i 2226． 57 ．18 ．x1x2x3x1x2 x4x1 x3 x4x2 x3 x409 ． 16.4 410．111 ． 712． ?0.7 x 5.2513 ． 214．9 3y二、解答题：（本大题共 6 小题 ,共 90 分．）15 ．（本小题满分 14 分）解：（ 1）直三棱柱ABC— A1 B1C1中， BB1⊥底面 ABC，则 BB1⊥ AB，BB1⊥ BC， ------------------------------------------------------------3 分又由于1，1 3 ，则AB= 2，AC=BC=BB =1AB =则由 AC2+BC 2=AB 2可知， AC⊥BC，--------------------------------------------6分又由上 BB ⊥底面 ABC 可知 BB ⊥AC，则 AC⊥平面 B CB，111所以有平面AB1 C⊥平面 B1 CB；--------------------------------------------------9分11AB1 C VB11111（ 2）三棱锥 A V A AC2． ----------1436分（注：还有其它转换方法）16 ．（本小题满分14 分）100 0.5x (2 4 62x)解：（ 1）yx即 y x 1001.5 （x 0）； ---------------------------------------------x---7 分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成x N *也行）（ 2）由均值不等式得：y x100 1.52x 100 1.5 21.5 （万元）-----------------------x x11 分当且仅当 x 100，即 x10时取到等号． ----------------------------------------13 x分答：该企业10 年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分17 ．（本小题满分14 分）解：（ 1）由于⊙ M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙ M 的半径，则 M 在∠BOA 的平分线上，同理， N 也在∠BOA 的平分线上，即O，M， N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线，∵M的坐标为(3,1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙ M 的方程为( x3)2( y1) 21，------------------------------------4分设⊙ N 的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接 MA、 MC，由Rt△OAM∽Rt △OCN 可知， OM： ON=MA ： NC，即r1r 3 ，3 r r则 OC= 3 3 ，则⊙N的方程为 (x 3 3) 2( y 3) 29 ；----------------8分（ 2）由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是 y 3( x3) ，即： x3 y 3 0 ，3圆心 N 到该直线的距离 d=3， --------------------- ------------------------2-11 分则弦长 = 2 r2 d 233 ．----------------------------------------------------14 分33另解：求得B（,），再得过 B 与 MN 平行的直线方程2 2x3y30 ，圆心 N 到该直线的距离 d =3，则弦长= 2 r2d233 ．2（也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离，进而求得弦长）18 ．（本小题满分14 分）解：（ 1）f ( x)sin x cos x 2 sin(x) ，4令 x4[ 2k,2k] （k Z ）22则 x[ 2k,2k3] ，------------------------------------------------2分44由于 x[0,2] ，则 f (x) 在 [0,2 ] 内的单调递增区间为 [ 0, 3] 和 [7,2 ] ；44---------------4 分（注：将单调递增区间写成[ 0,3][7,2 ] 的形式扣1分）44（2）依题意，x02k 3（k Z ），----------------------------------------4--6 分由周期性， f ( x0 ) f (2x0 ) f (3x0 )(sin 33(sin33992 1 ；-4cos)cos)(sin cos )42244----------------8 分（3）函数g (x)e x（ x R ）为单调增函数，且当 x[ 0,] 时， f (x)0 ，g( x)e x0 ，此时有f ( x)g ( x) ；---4----------10分当 x,时，由于 ln e40.785 ，而ln210.345 ，ln 2442则有 ln e 4ln 2 ，即g( ) e4 2 ，4又Q g ( x) 为增函数，当 x,时， g( x)2------12 分4而函数 f (x) 的最大值为2，即 f ( x)2，则当 x4,时，恒有 f (x) g( x) ，综上，在 0,恒有 f (x)g( x) ，即方程 f ( x)g ( x) 在0,内没有实数解． --------------------------------------------------------------------------------------------14 分19 ．（本小题满分 16 分）解：（ 1）f (x)x24x3，则 f( x) ( x2) 2 1 1，即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是1,；------------ 4 分（2）由（ 1）可知，分k111---------------------------------------------------------6 k解得 1 k0 或 k1，由1x2 4 x 3 0或 x24x 3 1得： x,22(1,3) 22,；-------------------------------9分（ 3）设存在过点 A (x1, y1)的切线曲线 C 同时切于两点，另一切点为 B (x2, y2)，x1x2，则切线方程是：1322y(3x12x13x1 ) ( x14x13)( x x1 ) ，化简得： y ( x124x13) x(2x13 2 x12 ) ，--------------------------11分3而过 B2232(x24x23) x (3x22x2 ) ，(x2 , y2 ) 的切线方程是y由于两切线是同一直线，24x1 324x2 3 ，得 x1 x2 4 ，----------------------13则有： x1x2分又由2x132x122x232x22，33即2( x1x2 )( x12x1 x2x22 ) 2( x1x2 )( x1 x2 ) 0 31( x12x1 x2 x22 ) 4 0 ，即x1( x1x2 ) x2212 03即 (4x2 ) 4x2212 0 ， x224x2 4 0得 x22，但当 x2 2 时，由 x1x2 4 得 x1 2 ，这与 x1x2矛盾。