第4章 插值法作业
建筑材料第04章 混凝土配合比设计作业及答案解析
试设计该混凝土的初步配合比。
解：（1）确定配制强度
当fcu,k C60时
fcu,0 fcu,k 1.645 40 1.645 5 48.23MPa
（2）确定水胶比
对于碎石混凝土： a 0.53,b 0.20
查附表4，当水胶比为0.4时，砂率为31.5%；当水胶比为0.5时，砂率为34.5%。 采用插值法计算得出当水胶比为0.48时，砂率为33.9%
（6）采用质量法计算砂石用量
C0 S0 G0 W0 0c
S0 S0 G0
SP
406
S0
G0
195
2400
S0 S0 G0
33.9%
Mx ＝3.1～3.7粗砂； Mx ＝2.3～3.0中砂； Mx ＝1.6～2.2细砂； 该砂为中砂，级配不合格
2.采用32.5级普通硅酸盐水泥、碎石和天然砂配制混凝土， 制作3块标准立方体试块，养护28d，测得的破坏荷载分别 是140kN、135kN、142kN。试求该混凝土28d的立方体 抗压强度。（提示：荷载需要求平均值）
S0 610 Kg, G0 1189 Kg
（7）确定配合比 质量表示：水泥406kg、砂610kg、石子1189kg、水195kg 质量比：水泥：砂：石子：水=1:1.5:2.93:0.48
a3 47 / 500 100 9.4
a2 43 / 500 100 8.6 a4 191 / 500 100 38.2
a5 102 / 500 100 20.4
a6 82 / 500 100 16.4
（2）累计筛余计算：
A1 a1 5.4
A2 a1 a2 14
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
《计算方法》第四章 插值方法
满足插值条件
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
Pn(xi)yi
Return 13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x)= a0 +a1x使得 L1( x0 ) y0 , L1( x1) y1
R n(x)f(x)L n(x)
24
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
计算方法
第四章 插值方法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
2
§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：
y0 = f (x0) , …, yn = f (xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数
p(x) f(x)，满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?
第4章 插值法(3)
第4章 插值逼近
相应也要求样条插值函数s(x)也具有周期性,故在端 点要求满足条件
《 数 值 分 析 》
s′( x0 ) = s′( xn ), s′′( x0 ) = s′′( xn )
(4―50)
第4章 插值逼近
hk uk = hk −1 + hk
《 数 值 分 析 》
6 yk +1 + yk yk − yk −1 λk = ( − ) hk −1 + hk hk hk −1
那么
hk −1 1 − uk = hk −1 + hk
(1 − uk )mk −1 + 2mk Байду номын сангаас uk mk +1 = λk k = 1, 2,L , n − 1
(4―44)
第4章 插值逼近
从而解出Ak和Bk,即
yk +1 − yk hk Ak = − ( mk +1 − mk ) hk 6
《 数 值 分 析 》
(4―45)
hk2 Bk = yk − mk 6
(4―46)
由式(4―43)可看出三次样条插值函数s(x)仅与 mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区 间［xk,x k+1］上的三次样条函数也就确定了。下面 介绍求mk的方法。
① 函数y=f(x)在两端点x0及xn处的导数y′0和y′n为已 知。此时要求
′ s′( x0 ) = y0 ,
′ s′( xn ) = yn
由式(4―48)和(4―49)得到
第4章插值法第2讲
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程摘要：1.插值法的基本概念和应用场景2.插值法的计算步骤和注意事项3.插值法在财务管理中的实际运用案例4.插值法在实际问题中的优缺点分析正文：插值法是一种数学方法，通过在已知数据点之间构建插值函数来逼近或预测未知数据。
在财务管理等领域具有广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍插值法的计算步骤，并通过一个实际案例来说明其应用。
一、插值法的基本概念和应用场景插值法是基于已有的数据点（如(x1, y1)，(x2, y2)，(xn, yn)）来构造一个插值函数，以便在未知点处预测函数值。
插值法可以应用于诸如财务管理等领域，解决诸如净现值计算等问题。
二、插值法的计算步骤和注意事项1.确定插值函数：根据已知数据点选择合适的插值函数，如线性插值、二次插值等。
2.构建插值表：将已知数据点代入插值函数，计算出对应的函数值，并构建插值表。
3.插入未知点：将要求的点的横坐标x代入插值函数，得到所求的函数值。
4.注意事项：在选择插值函数时，应注意数据的分布情况，避免出现龙格现象；同时，插值表的密度和精度也直接影响插值结果的准确性。
三、插值法在财务管理中的实际运用案例假设我们有一个投资项目，其净现值随折现率变化而变化。
已知当折现率为12%时，净现值为116530；当折现率为10%时，净现值为121765。
我们可以使用插值法来计算其他折现率下的净现值。
四、插值法在实际问题中的优缺点分析优点：插值法简单易行，计算速度快，适用于大量数据处理。
缺点：插值法的精度受限于已知数据点的质量和分布，以及所选插值函数的类型。
在某些情况下，插值法可能无法很好地逼近真实函数。
总之，插值法作为一种有效的数学方法，在财务管理等领域具有广泛的应用。
通过掌握插值法的计算步骤和注意事项，我们可以更好地解决实际问题。
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
第四章___插值法
x xi 1 x xi
xi 1 x xi
max
x xi 1 x xi xi xi 1 2
解得 n 825
1 4
1 4n 2
1 1 e 1 R1 x e 106 2 4n2 8n2 2
实际误差sin500-L1(500) 0.00596479
n =2
利用 x0 ,x1 ,x2计算
5 sin50 ≈ L 2 18
0
0.76543
R2 x
0.000443048 R2 x 0.000767382
f x x x x 3! 6 4 3 cos x x x x 3! 6 4 3
-0.5 -5
例：设 f x e ，在[0，1]上给出 f x 的n+1个等距节点xi 处的函数 值表，这时， 1
x
0 x0 x1
xn 1,xi xi 1 ,i 1,2, ,n n
若想用所给函数表的函数值用线性插值求 e x 0 x 1的近似值，使得 误差不超过
| f (4) ( x) | 1
h4 12 24 104
h4 1 4 | Rh ( x ) | 10 4!24 2
h 3.8 101 最大步长h应取0.38.
50 = 0.7660444…
500-L1(500) 0.0100979
利用 x1 , x2 4 3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
数值计算方法第4章4-06反插值
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
1/ 3 2
1/ 3
4第四章图像的几何变换详述
j
'
i
sin
j
cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。
图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。
图像的旋转板例书：题计算像素（1，1）
的旋转新坐标
30
i ' 0.866i 0.5 j
例题: 缩小6×6的图像，设k1=2/3, k2=3/4;
原图像f（i, j)＝f i j
新图像大小：k1M×k2N ＝4×5
f11 f12 f13 f14 f15 ff1166
f21 f22 f23 f24 f25 ff2266 采样间隔： Δi=3/2， 新图像g（i, j）
f31 f32 f33 f34 f35 ff3366 Δj=4/3
subplot(2,2,1); % 将当前图像窗口划分为2行2列，即
4个子窗口，要显示的内容在第一个
子窗口中显示
例 如：
关于图像的函数和命令 (3)
im2double(F); %将图象数组F转换成double精度类型 im2uint8(F); %将图象数组F转换成unit8类型 im2uint16(F); %将图象数组F转换成unit16类型
根据：g(i,j)=f(Δi×i, Δj×j) 对于：i=1，j＝1 → g(1,1)=f (1×3/2, 1×4/3)＝f 21 对于：i=2，j＝1 → g(2,1)=f (2×3/2, 1×4/3)＝f 31
……………………………
注意：不按比例 缩小会导致几何 畸变。
二、基于局部均值的的图像缩小方法
该方法通过对原图像的均匀采样该方法通过对原图像的均匀采样等间隔等间隔地选取一部分像素地选取一部分像素从而获得小尺寸图像的数据从而获得小尺寸图像的数据并且尽量保持原有图像特征不丢失并且尽量保持原有图像特征不丢失
计算方法 第四章 插值方法
§4.2.2 插值多项式的构造
现在考虑一般情况。已知节点 (xi, yi), i=0,1,…,n, x0<x1<…<xn, 则
Ln ( x ) yi li ( x )
i 0 n
( x x0 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn ) yi i 0 ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn )
计算方法 (力学系本科生)
第四章 插值方法
(interpolation methods)
第四章插值方法
§4.1 问题的提出
§4.1 问题的提出
实际背景 • 实验和观察得到的一些离散数据点 ( xi , yi ), yi f ( xi ), i 0,1, 2,..., n, 需要 用这些离散数据点给出简单的函数表达 式 ( x)来近似原来函数 f ( x) 。
§4.2.2 插值多项式的构造
一般情形的拉格朗日插值多项式
设离散数据为(xk,δik), k=0,1,2,…,n, i 是固 定的非零整数 0 i n ,且 x0 x1 ... , n x δik是Kronecher记号
1, i k ik 0, i k
( n 1)
成立。
§4.2.3 拉格朗日插值余项
罗尔(Rolle)定理：若f(x)在[a,b]上连续,在 (a,b)上可导, 且f(a)=f(b), 则存在 (a, b) 满足 f ( ) 0 。
§4.2.3 拉格朗日插值余项
证明：∵ Rn(xi)=f(xi)-Ln(xi)=0, i=0,1,…,n
证明：由插值条件知
c x c x
第4章 插值和拟合
第4章 插值和拟合多项式插值
n x 因此，若以 i i 0 为插值节点，对函数f(x)=1构造插值多项式，
y0=y1==yn=1代入式(4.2.6)，得到插值基函数的另一个性质
lk( n ) ( x ) 1 因此插值基函数(4.2.4)是单位正交基。
插值函数，式(4.1.1)称为插值条件。
第4章 插值和拟合多项式插值 插值函数除代数多项式外，常用的还有三角多项式。插值条 件除(4.1.1)式外，还可以 (如Hermit插值 )加上导数条件。本课 程只介绍代数多项式插值。 函数插值是数值计算的基本工具，如本课程后面的数值微分、 数值积分、微分方程的数值解法等都要用到函数插值。插值 法在工程实际和许多学科的理论分析中有广泛的应用。 函数插值的基本问题有：存在唯一性、构造方法、截断误差 和收敛性，以及数值计算的稳定性等。
( n 1 ) f ( )n x R ( x ) f ( x ) L ( x ) ( x x ) n n i ( n 1 )! i 0
(4.2.9)
第4章 插值和拟合多项式插值 证 如果x是一个插值节点xi，定理命题显然为真，等式(4.2.9)
两边都是0。
如果x xi(i=0,1,,n) ，记 构造以t为自变量的辅助函数
代入式(4.2.6)，得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 L ( x ) 1 l ( x ) 5 l ( x ) ( 1 ) l ( x ) x 3 x 1 2 0 1 2
第4章 插值和拟合多项式插值
4.2.2 插值的余项(误差分析)
由定义4.1.1定义的插值多项式在插值节点与被插函数严格相等，
第4章_插值与拟合-牛顿法
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程插值法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于一维和二维数据的拟合、数值分析、计算机图形学以及物理与工程问题的求解等领域。
本文将从插值法的基本概念、计算过程、例题解析、误差与改进以及实际工程应用等方面进行阐述。
首先，我们来了解插值法的基本概念。
插值法是通过在已知数据点之间构造插值函数，拟合数据点的一种方法。
根据插值函数的次数，插值法可以分为一维插值法和二维插值法。
一维插值法主要包括线性插值法、二次插值法和三次插值法等；二维插值法主要包括双线性插值法、三次样条插值法等。
接下来，我们介绍插值法的计算过程。
首先，选择合适的插值函数。
常用的插值函数有拉格朗日基函数、牛顿基函数、三次样条函数等。
然后，根据插值函数的性质，计算插值基函数。
在此基础上，求解插值系数，从而得到插值函数。
最后，利用插值函数的导数求解微分方程。
本文将重点分析一维和二维插值法的例题。
在一维情况下，我们可以通过线性插值法、二次插值法和三次插值法拟合数据点。
在线性插值法中，通过两个已知数据点的坐标和斜率来计算插值函数。
在二次插值法中，采用三次样条函数拟合数据点。
在三次插值法中，通过三次多项式拟合数据点。
在二维情况下，我们可以采用双线性插值法和三次样条插值法进行插值。
双线性插值法通过四个已知数据点的坐标来计算插值函数。
三次样条插值法在二维空间中采用三次样条函数拟合数据点。
插值法在实际应用中存在一定的误差，主要来源于插值基函数的选择、插值函数的求导过程等。
为了改进插值法的精度，我们可以采用更高次数的插值函数、分段插值法等方法。
同时，高精度插值法在数值分析、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
最后，本文将简要介绍插值法在实际工程中的应用。
插值法在数值分析、计算机图形学、物理与工程问题求解等领域具有重要意义。
例如，在计算机图形学中，插值法可以用于生成平滑的曲线和曲面；在物理问题中，插值法可以用于求解偏微分方程；在工程领域，插值法可以用于预测未来趋势等。
第4章-多项式插值方法
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
计算方法第四章函数插值
第四章函数插值§1 引言§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段插值§7 三次样条插值西北工业大学理学院欧阳洁1§1 引言问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
西北工业大学理学院欧阳洁2西北工业大学理学院欧阳洁4二插值多项式的存在唯一性⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210210212110200n n n n n n n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故得到：{}ni i x 0=定理满足插值条件的不超过n 次的插值多项式存在唯一。
n n xa x a x a a x ++++=L 2210)(ϕ设求多项式函数ϕ(x )，满足，等价于确定多项式ϕ(x )的系数，使得满足n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ⎪⎩⎪⎨⎧=++++==++++=)()()()(2210002020100n n n n n n nn n x f x a x a x a a x x f x a x a x a a x L L L L L ϕϕ即西北工业大学理学院欧阳洁18§3 Newton 插值法Lagrange 插值公式的特点：1+n M 当未知，无法估计误差。
当增加插值节点时，在实际计算中不方便(当需要增加插值节点时, 拉格朗日插值基函数都要随之发生变化)。
形式对称；0⇐A )()(00x l x f A A +⇐)()(11x l x f A A +⇐)()(x l x f A A n n +⇐LL 通常用于理论分析；∑==ni i i n x l x f x L 0)()()(Hermite插值多项式的构造给定m+1个插值条件，构造次数不超过m次的插值多项式。
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第4章 插值法2．证明：n 次拉格朗日插值多项式为：0()()()()nn n j n k k k k k j k j j kx x L x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏————（1）现令()()nj j x x x ω==-∏，则00'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，————2（）将k x 代入'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，可得0'()()nk k j j j mx x x ω=≠=-∏————————（3）将（3）和（2）代入（1）中命题可证。
5．证明提示：利用线性插值余项可以推出命题。
6．证明：由题意可知，()f x 是n 次多项式并有n 个互异的实根，可令12()()()......()()n n n n f x a x x x x x x a x ω=---=再令()jg x x = 则jnk k=11()'()'()nk k k n n k g x x f x a x ω==∑∑利用均差性质：则[]121()1......'()nk n k n n k ng x g x x x a x a ω==∑ 又由均差与导数的性质可证命题成立。
7．算法提示：利用差商表可求。
8．算法提示：利用求牛顿插值公式。
12．证明提示：参考拉格朗日插值余项的证明方法。
14．算法提示：参考三对角方程组的样条函数的求解过程及例11。
补充习题解题思路1． 设)(x l k (k= 0, 1, 2, …,n)是n 次拉格朗日插值基函数，试证：∑==nk j kjk x x lx 0)( 。
（j = 0, 1, 2, …, n ） 证明：记n k x kk ...2,1,0,==ϕ，则为插值接点的拉格朗日以n k x x x x ,...,,)(10ϕ插值多项式为∑=ni i i kx l x 0)()(ϕ。
插值余项的导数项为0，因此余项为0。
所以得证。
第5章 函数逼近与曲线拟合1、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以23{1,,,}x x x 为基函数的最佳均方逼近多项式。
首先，列出法方程并求解*(0,1,2,3)ia i =；其次，3*0i ii a x=∑即位所求。
2、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以24{1,,}x x 为基函数的最佳均方逼近多项式，思路同上。
3、 求解思路：()f x 与()g x 在[0，1]上带权()1x ρ=正交，内积为0即可；求得1/2a =-。
5、求解思路：首先线性化模型方程，然后求解关于,a b 的法方程即可确定,a b .补充习题解题思路1、确定参数c b a ,,，使积分dx xx c bx ax c b a I 22112211]1[),,(---++=⎰-取得最小值。
求解思路：等价于求()f x =()x ρ=，以2{1,,}x x 为基的最佳均方逼近多项式。
、第6章 数值积分1、 求解思路：利用代数精度确定求积系数，然后再确定公式的达到的最高代数精度. 3、 求解思路：确定机械求积公式是否为插值型有两种方法：利用插值型公式的定义或插值型公式的充要条件.补充习题解题思路1、 确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式⎰++-=-)()0()()(11ααCf Bf Af dx x f 为高斯求积公式。
解：令432,,,,1)(x x x x x f =分别代入，令两边相等联立方程组，即可解得：A=C=5/9, B=8/9, 515=a 由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。
然后由于5)(x x f =带入也相等，因此有5次代数精度，由定义所求即是高斯求积公式。
2、 设23)(x x f = ，若用复化梯形求积公式求⎰-01)(dx x f 的近似值，要求准确到小数点后第4位，问步长h 应如何取值？求解思路：利用复化梯形余项公式即可。
3、已知下面公式为高斯求积公式：⎰+=--)()(1)(11212x Bf x Af dx xx f试求出A ，B ，及21,x x 。
解：在区间[1,1]-上关于()x ρ=的正交多项实为切比雪夫多项式；二次切比雪夫多项式的零点为：220=x ，221-=x 即为高斯点。
把x x f ,1)(=代入，令其准确成立；得2π==B A 。
第7章 矩阵特征值和特征向量的计算1、 求解思路：利用幂法算法过程即可. 9、求解思路：因为x ,λ是A 的一个特征值及其相应的特征向量，则x x A λ=。
已知TA A =，T P P=-1P P PAP λ=-1，再有1e P P PAP T λλ==利用上述关系得证。
补充习题解题思路1、 设有向量Tx )2,1,2(=→，试构造初等反射阵H ，使Tx H )0,0,3(=→解：和H 为两个不相等的向量，且2-范数相等，则令向量2=，所求初等反射阵为Tww E H 2-=.2、 设→→y x ,是n 维列向量，Q 为n 阶正交矩阵，且=→y Q →x=解：矩阵范数1)(||||max 2==Q Q Q T λ由矩阵算子范数相容性条件可得2222||||||||y Qx x ≤≤同理，y Q x 1-=（其中1-Q 为正交阵），可得22||||||||x y ≤ 当0=x 时，显然。
3、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212240130A ，试求其QR 分解。
解：把一个矩阵进行QR 分解，一般有3种方法：用平面旋转变换、反射变换以及线性代数中的斯密特正交化方法；如果分解要求R 的对角线元素大于0，则分解唯一。
4、 证明：当||B||<1时，E+B 是可逆矩阵，且||||11||)(||1B B E -≤+- 。
其中||||⋅是指矩阵的算子范数。
证明提示：证明可逆，利用反证法；求证||||11||)(||1B B E -≤+-需要利用矩阵算子范数的相容性条件和矩阵范数的定义。
第8章 常微分方程的数值解法3、求解思路：考察二阶龙格-库塔公式的增量函数满足李普希茨条件即可。
5、解：解初值问题的梯形公式为)],(),([1+1+1++2+=n n n n n n y x f y x f hy yy y x f -=),(][1+1+--2+=∴n n n n y y hy y整理成显式n n y h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=1+反复迭代，得到 01+2-31-21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2==⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=y h h y h h y h h y h h y n n n n n ...nn h h y y ⎪⎭⎫⎝⎛+2-2=∴1=0若x >0, 为求y (x )的近似值，用梯形公式以步长h 经过n 步计算得到x ，故x =nh ，有)(e ee //)(/2/2-//0→=→⎪⎭⎫⎝⎛2+12-1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=≈-22h h h h h y x y x x x h x hxn8、证明：多次利用Taylor 展开式即可。
...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1++++≈+=+n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1+-+-≈-=-n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y代入原式得局部误差：)34(4)(211111-+++'+'-'-+-n n nn n n y y y hy y y =（)()8321121("'3n x y h -++…根据定义，所以为二阶方法。
补充习题解题思路1、 用尤拉方法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=<<-='1)0()10(2y x yx y y 步长取0.2,迭代2次。
解：依显式尤拉公式有：)2(1nnn n n y x y h y y -+=+ 取h=0.22、求系数b a ,，使求解常微分方程的初值问题的数值解公式)('1'1-+++=n n n n by ay h y y 的局部截断误差为311()()n n y x y O h ++-=。
解：利用泰勒公式以h 的次数从低到高展开，令常数项、h 和2h 系数为0求得b a ,.。