第4章 插值法作业

第4章 插值法

2．证明：n 次拉格朗日插值多项式为：

0()()()()

n

n n j n k k k k k j k j j k

x x L x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏

————（1）

现令

()()

n

j j x x x ω==-∏，则

00

'()()

n

n

j

m j j m

x x x ω==≠=-∑

∏，————2（）

将

k x 代入

'()()

n

n

j

m j j m

x x x ω==≠=-∑

∏，可得

0'()()

n

k k j j j m

x x x ω=≠=-∏————————（3）

将（3）和（2）代入（1）中命题可证。

5．证明提示：利用线性插值余项可以推出命题。

6．证明：由题意可知，()f x 是n 次多项式并有n 个互异的实根，可令

12()()()......()()n n n n f x a x x x x x x a x ω=---=

再令()j

g x x = 则

j

n

k k=11()'()'()

n

k k k n n k g x x f x a x ω==∑

∑

利用均差性质：则

[]121()1

......'()n

k n k n n k n

g x g x x x a x a ω==∑ 又由均差与导数的性质可证命题成立。 7．算法提示：利用差商表可求。 8．算法提示：利用求牛顿插值公式。

12．证明提示：参考拉格朗日插值余项的证明方法。

14．算法提示：参考三对角方程组的样条函数的求解过程及例11。

补充习题解题思路

1． 设)(x l k (k= 0, 1, 2, …,n)是n 次拉格朗日插值基函数，

试证：

∑==n

k j k

j

k x x l

x 0

)( 。

（j = 0, 1, 2, …, n ） 证明：记n k x k

k ...2,1,0,==ϕ，

则为插值接点的拉格朗日以n k x x x x ,...,,)(10ϕ插值多项式为

∑=n

i i i k

x l x 0

)()(ϕ

。

插值余项的导数项为0，因此余项为0。 所以得证。

第5章 函数逼近与曲线拟合

1、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以23{1,,,}x x x 为基函数的最佳均

方逼近多项式。首先，列出法方程并求解*

(0,1,2,3)i

a i =；其次，

3

*0

i i

i a x

=∑即位所求。

2、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以24{1,,}x x 为基函数的最佳均方

逼近多项式，思路同上。

3、 求解思路：()f x 与()g x 在[0，1]上带权()1x ρ=正交，内积为0即可；求得1/2a =-。 5、求解思路：首先线性化模型方程，然后求解关于,a b 的法方程即可确定,a b .

补充习题解题思路

1、确定参数c b a ,,，使积分

dx x

x c bx ax c b a I 2

2

1

1

2211]1[),,(---++=⎰-取得最小值。

求解思路：等价于求()f x =

()x ρ=，以2

{1,,}x x 为基的最佳均方

逼近多项式。、

第6章 数值积分

1、 求解思路：利用代数精度确定求积系数，然后再确定公式的达到的最高代数精度. 3、 求解思路：确定机械求积公式是否为插值型有两种方法：利用插值型公式的定义或插值型

公式的充要条件.

补充习题解题思路

1、 确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式

⎰++-=-)()0()()(11

ααCf Bf Af dx x f 为高斯求积公式。

解：令432,,,,1)(x x x x x f =分别代入，令两边相等联立方程组，即可解得：

A=C=5/9, B=8/9, 5

15

=

a 由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。

然后由于5)(x x f =带入也相等，因此有5次代数精度，由定义所求即是高斯求积公式。

2、 设2

3)(x x f = ，若用复化梯形求积公式求

⎰-0

1

)(dx x f 的近似值，要求准确到小数点后第4

位，问步长h 应如何取值？

求解思路：利用复化梯形余项公式即可。 3、已知下面公式为高斯求积公式：

⎰+=--)()(1)(1

1

212

x Bf x Af dx x

x f

试求出A ，B ，及21,x x 。 解：在区间[1,1]-

上关于()x ρ=的正交多项实为切比雪夫多项式；

二次切比雪夫多项式的零点为：

2

2

0=x ，2

2

1-=x 即为高斯点。

把x x f ,1)(=代入，令其准确成立；得2

π

=

=B A 。

第7章 矩阵特征值和特征向量的计算

1、 求解思路：利用幂法算法过程即可. 9、求解思路：

因为x ,λ是A 的一个特征值及其相应的特征向量，则x x A λ=。 已知T

A A =，T P P

=-1

P P PAP λ=-1，再有1e P P PAP T λλ==

利用上述关系得证。

补充习题解题思路

1、 设有向量T

x )2,1,2(=→

，试构造初等反射阵H ，使T

x H )0,0,3(=→