2013年上海高一数学下期中试卷(有答案)

期中考试高一数学试题
班级 姓名 学号 成绩 2013.4.
一.填空题（本题满分44分,每小题4分）
1.化简2sin2cos21-的结果是 。

2. 如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。

3.若{}360
30,k k Z αα=
=⋅+∈，则其中在720
720-之间的角有 。

4. 若()1tan -=β+α，且3tan =α，则=βtan 。

5. 设02π
αβ<<
<
，则
()1
2
αβ-的取值范围是 。

6.已知,212tan =θ则()()()=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛π-θθ-πθ-ππ-θ12sin 2cos sin cos 。

7. 已知1sin sin 2
=+αα，则2
4
cos cos α+= 。

8.在ABC ∆中，若4
2
22c b a S -+=∆，则C ∠的大小是 。

9.已知y x y x sin cos ,2
1
cos sin 则=的取值范围是 .
10.在ABC ∆中，2cos sin 2=+B A ，3cos 2sin =+A B ，则∠C 的大小应为 。

11.函数()x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数()x f 在[]b a ,上的面积，已
知函数nx y sin =在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为()2n N n *
∈。

则函数x y 3sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π上的面积为 ，函数()13sin +-=πx y 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 . 二、选择题（本题满分12分,每小题3分）
12. 函数()sin()4
f x x π
=-
的图像的一条对称轴和一个对称中心是
（ ） .A 4
x π=
,,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
.B 2x π
=
, ,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.C 4x π
=-
, ,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
.D 2x π=- ,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
13.若5
4
2cos ,532sin
=θ=θ，则角θ的终边在 ( ) .A 第I 象限 .B 第II 象限 .C 第I 象限第III 象限 .D 第IV 象限
14. 若4
0π
βα<<<，b a =+=+ββααcos sin ,cos sin ,则 （ ）
.A a b < .B a b > .1C ab < .2D ab >
15. 在ABC ∆中，B A 2
2cos cos <是B A >的 （ ） A .充分条件但非必要条件 B .必要条件但非充分条件
C .充分必要条件
D .既非充分条件又非必要条件 三、解答题(本题满分44分)
16.（本题满分8分）已知一扇形的圆心角是α，所在的圆的半径为r 。

（1）若cm r 10,60==
α，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长是一定值()0>c c ，当扇形的圆心角为多少时，该扇形的面积最大。

17.（本题满分8分）证明下列问题
（1）(
)(
)
(
)
A A A A A 2
22
2
2
cot csc sin 1sec sin 1-=-- （2）22
sin 2tan()tan()cos sin x
x y x y x y
++-=-
18.（本题满分9分）已知()π∈βα,0、，3
4tan =
α。

（1）求α
+α
-α2cos 1cos 2sin 2的值;
（2）若()13
5
sin =β+α，求βcos 的值。

19. （本题满分9分）已知())0(cos sin 32sin 22
≠++-=a b a x x a x a x f 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π2
,0，值域为
[]1,5-。

（1） 求b a 、的值；
（2） 写出函数()f x 取得最大值时x 取值;
（3） 当0>a 时，讨论函数函数()x f 的单调性，并求出其单调区间。

20. （本题满分10分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

参考答案
1. 2cos 2sin -
2. 二
3. 690,330,30,390--
4. 2
5. ⎪⎭
⎫
⎝⎛π-
0,4 6. 2- 7. 1 8.
4π 9.]2
1
,21[- 10.6π 11. 4,332+π
12.C 13.A 14.A 15.C
16. 解：（1）cm r l 3
10103π
=⨯π=α=
（2）c l r =+2 ，16
2241241212
2
c l r rl rl S =
⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅==， 当且仅当r l 2=时，等号成立，即22===αr
r
r l 时，162max c S =。

17. (1) ()()()22222221sin sec 1cos tan sin csc cot A A A A A A A --=⋅=- (2)
18. 解：（1）α+α-α2cos 1cos 2sin 265
213421tan cos 2cos 2sin 22
2=-=-α=α
α-α=
（2）24,134tan π<α<π∴>=α ，()21125sin <=β+α ，π<β+α<π∴65， ()13
12
cos ,53cos ,54sin -=β+α-=α=α∴，
()[]()()αβ+α+αβ+α=α-β+α=β∴sin sin cos cos cos cos =65
16
-。

19. 解：（1）()b a x a x f ++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+-=262sin 2
当0>a 时，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈2,0x ，得67626π≤π+≤πx ，则162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+≤-x ，
a x a a ≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+-≤-62sin 22，
由题意得⎩
⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧-=++-=+.5,
252213b a b a a b a 当0<a 时，有a x a a 262sin 2-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+-≤，
由题意得352,
221 1.
a b a a a b b +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨
-++==⎩⎩ （2）当12
x π
=
时, ()f x 取得最大值.
(3)当0>a 时，()162sin 4-⎪⎭
⎫
⎝⎛π+
-=x x f ， 当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π∈2,0x ，得67626π
≤π+≤πx ，
当
2626π≤π
+≤πx ，即60π
≤≤x 时，函数()x f 的单调递减； 当676
26π≤π+≤πx ，即2
6π
≤≤πx 时，函数()x f 的单调递增。

因此，函数()x f 的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π6,0；函数()x f 的单调递增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ2,6；
20. 解：方案一：①需要测量的数据有：A
点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，
N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分
②第一步：计算AM . 由正弦定理2
12sin sin()d AM ααα=+ ；
第二步：计算AN . 由正弦定理2
21sin sin()
d AN βββ=- ；
第三步：计算MN.
由余弦定理MN =
.
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；
B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理1
12sin sin()d BM ααα=
+ ；
第二步：计算BN . 由正弦定理1
21sin sin()
d BN βββ=- ；
11
,αβ
第三步：计算MN . 由余弦定理MN=。