化归与转化思想在解题中的重要性

化归与转化思想在解中学数学习题时的重要性

大理一中雷蕾摘要：“数学是使人变聪明的一门学科”.数学思想方法是数学的灵魂,是数学精神和科学世界观的重要组成部分,而化归与转化思想又是数学思想的核心和精髓,真正的数学高手过招,比拼的往往就是数学思想.本文根据前人的研究成果,首先概述了化归与转化思想的含义、联系、区别,使用化归与转化思想所遵循的原则、及化归与转化的几种常见形式；然后结合自己的实习经验探讨怎样实施化归与转化思想在教学中的渗透,最后通过例题分析浅谈自身学习化归与转化思想的经验.

关键词：数学思想；化归与转化；化归与转化思想；化归思想；转化思想

1引言

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程,是知识转化为能力的桥梁,是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式.数学思想和数学方法是密不可分的.化归与转化思想方法是最基本、最常用的两大数学思想方法之一.

1.1化归与转化的含义

转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想.转化有等价转化和非等价转化.

化归是“转化归结”的简称,是转化的一种.简单的化归思想就是把那些陌生的或不易解决的问题转化成熟悉、易解决的问题的思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,遵循简单化、熟悉化、具体化、和谐化的原则选择恰当的方法进行变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题是上去,最终解决原问题的解决问题的思想,称为化归思想.

两者基本上是同一个东西,只是侧重点有一些细微的差异而已.化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去,而转化一般是把较难解决的问题转化为相对比较容易解决的问题上去.化归是找到我们研究的问题是属于哪一类型,属于哪一个知识范围.转化是我们找到解题的思路之后所进行的有目的的一项工作.

化归与转化思想是解决数学问题的基本且典型的数学思想.解题的过程实际上就是化归与转化的过程.几乎所有问题的解决都离不开化归与转化,我认为运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确：(1) 化归的对象：解题中需要变更的部分；(2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的

问题；(3) 化归的途径[1]：从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维道低维,从复杂到简单.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.它不仅需要有敏锐的洞察力和观察力,更需要有丰富的知识储备.

1.2化归与转化在解题时应遵循的原则

(1)熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决待解决的问题[2]；

(2)简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；

(3)和谐化原则 通过化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.和谐统一性原则是化归与转化思想的一项重要原则；

(4)回归原则 无论怎么化归与转化,无论转化为什么新的问题,都是手段,不是目的.最终的目的是解决原始问题.因而,最后都要回归到原始问题上来；

(5)具体化原则 化归的方向一般应由抽象到具体,即分析问题和解决问题时,应着力将问题向较具体的问题转化,以使其中的数量关系更易把握,如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示,以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确；

(6)标准形式化原则 将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归,标准形式是指已经建立起来的数学模式；

(7)低层次原则 解决数学问题时,应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题,高次数的问题化归成低次数的问题,多元问题化归为少元问题解决,这是因为低层次问题比高层次问题更直观,更简单.

1.3化归与转化的几种常见策略

1.3.1陌生向熟悉的转化[3]

例1 函数()f x ＝11(1)

x x --的最大值是( ). A 、 45 B 、 54 C 、 34 D 、 43

分析 该题学生比较陌生,我们应该“化生为熟”.首先讨论分母1(1)x x --的取值范围2

21331(1)1244x x x x x ⎛⎫--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭.∴有1401(1)3x x <≤--, 所以 ()f x 的最大值是43

,故应选（D ）.

1.3.2数形结合 把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数以数论形.著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：数形结合百般好,两家分离万事休.这一句话道出了数形结合的重要性.

例2 如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ,那么x y 的最大值是( ). A.2

1 B.33 C.23 D.3 分析 由于方程3)2(22=+-y x 表示的曲线以)0,2(A 为圆心,以3为半径的圆(如图1所示),满足方程的y x ,是圆上的点),(y x P ；而x

y 是坐标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率,所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各点连线的斜率的最大值.结合图像,易知直线kx y =与圆3)2(22=+-y x 相切的时候,直线OP 的斜率 k 就是所求斜率的最大值.

图1

解 32||,3||π

=∠⇒==POA OP AP

∴tan 3POA ∠=即所求x

y 的最大值是3,故选D. 1.3.3特殊和一般之间的转化

例3 求证995099!<（一般到特殊）

分析 本题直接证明显然不易,若将其看作特殊形式,观察可知,一般性的结论为：2

1!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭

(),1n N n ∈>,这个结论一旦证明了,原题自然获解. 证明 先证一般性的结论：当11,!2n n n n +⎛⎫>> ⎪⎝⎭

时,有：