化归与转化思想在解题中的重要性

化归与转化思想在解中学数学习题时的重要性大理一中雷蕾摘要：“数学是使人变聪明的一门学科”.数学思想方法是数学的灵魂,是数学精神和科学世界观的重要组成部分,而化归与转化思想又是数学思想的核心和精髓,真正的数学高手过招,比拼的往往就是数学思想.本文根据前人的研究成果,首先概述了化归与转化思想的含义、联系、区别,使用化归与转化思想所遵循的原则、及化归与转化的几种常见形式；然后结合自己的实习经验探讨怎样实施化归与转化思想在教学中的渗透,最后通过例题分析浅谈自身学习化归与转化思想的经验.关键词：数学思想；化归与转化；化归与转化思想；化归思想；转化思想1引言数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程,是知识转化为能力的桥梁,是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式.数学思想和数学方法是密不可分的.化归与转化思想方法是最基本、最常用的两大数学思想方法之一.1.1化归与转化的含义转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想.转化有等价转化和非等价转化.化归是“转化归结”的简称,是转化的一种.简单的化归思想就是把那些陌生的或不易解决的问题转化成熟悉、易解决的问题的思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,遵循简单化、熟悉化、具体化、和谐化的原则选择恰当的方法进行变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题是上去,最终解决原问题的解决问题的思想,称为化归思想.两者基本上是同一个东西,只是侧重点有一些细微的差异而已.化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去,而转化一般是把较难解决的问题转化为相对比较容易解决的问题上去.化归是找到我们研究的问题是属于哪一类型,属于哪一个知识范围.转化是我们找到解题的思路之后所进行的有目的的一项工作.化归与转化思想是解决数学问题的基本且典型的数学思想.解题的过程实际上就是化归与转化的过程.几乎所有问题的解决都离不开化归与转化,我认为运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确：(1) 化归的对象：解题中需要变更的部分；(2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的问题；(3) 化归的途径[1]：从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维道低维,从复杂到简单.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.它不仅需要有敏锐的洞察力和观察力,更需要有丰富的知识储备.1.2化归与转化在解题时应遵循的原则(1)熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决待解决的问题[2]；(2)简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则 通过化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.和谐统一性原则是化归与转化思想的一项重要原则；(4)回归原则 无论怎么化归与转化,无论转化为什么新的问题,都是手段,不是目的.最终的目的是解决原始问题.因而,最后都要回归到原始问题上来；(5)具体化原则 化归的方向一般应由抽象到具体,即分析问题和解决问题时,应着力将问题向较具体的问题转化,以使其中的数量关系更易把握,如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示,以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确；(6)标准形式化原则 将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归,标准形式是指已经建立起来的数学模式；(7)低层次原则 解决数学问题时,应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题,高次数的问题化归成低次数的问题,多元问题化归为少元问题解决,这是因为低层次问题比高层次问题更直观,更简单.1.3化归与转化的几种常见策略1.3.1陌生向熟悉的转化[3]例1 函数()f x ＝11(1)x x --的最大值是( ). A 、 45 B 、 54 C 、 34 D 、 43分析 该题学生比较陌生,我们应该“化生为熟”.首先讨论分母1(1)x x --的取值范围221331(1)1244x x x x x ⎛⎫--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭.∴有1401(1)3x x <≤--, 所以 ()f x 的最大值是43,故应选（D ）.1.3.2数形结合 把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数以数论形.著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：数形结合百般好,两家分离万事休.这一句话道出了数形结合的重要性.例2 如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ,那么x y 的最大值是( ). A.21 B.33 C.23 D.3 分析 由于方程3)2(22=+-y x 表示的曲线以)0,2(A 为圆心,以3为半径的圆(如图1所示),满足方程的y x ,是圆上的点),(y x P ；而xy 是坐标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率,所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各点连线的斜率的最大值.结合图像,易知直线kx y =与圆3)2(22=+-y x 相切的时候,直线OP 的斜率 k 就是所求斜率的最大值.图1解 32||,3||π=∠⇒==POA OP AP∴tan 3POA ∠=即所求xy 的最大值是3,故选D. 1.3.3特殊和一般之间的转化例3 求证995099!<（一般到特殊）分析 本题直接证明显然不易,若将其看作特殊形式,观察可知,一般性的结论为：21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>,这个结论一旦证明了,原题自然获解. 证明 先证一般性的结论：当11,!2n n n n +⎛⎫>> ⎪⎝⎭时,有：()1122n n n n++=>= 即 21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>成立.所以,当99n =时,有995099!<. 1.3.4正难则反易原则（反证法） 当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解[3]；例4 设三个方程22x 4mx 4m 2m 30++++=,22x (2m 1)x m 0+++=,()2m 1x 2mx m 10-++-=,中至少有一个方程有实数根,求m 的取值范围.分析 题设中给了三个方程,并且其中至少有一个方程有实数根,要求m 的取值范围,可以根据题意将满足条件的情况分别讨论,以求出相应的m 的取值范围,最后加以归纳、总结.但是,通过进一步分析,我们却发现“三个方程中至少有一个方程有实数根”具体应分为七种情况加以讨论,其中步骤的烦琐可想而知,因此可否换一个角度来思考呢？如从“三个方程中至少有一个方程有实数根”的反面考虑,即“三个方程都没有实数根”时求出m 的取值范围,然后再从实数中排除它,就是所要求的取值范围.解 (1)当m 1=时,方程()2m 1x 2mx m 10-++-=化为一次方程20x =,它有一个实数根x 0=,故m 1=符合题意.(2)当m 1≠时,若三个方程都没有实数根,则有： △22116m 4(4m 2m 3)0=-++<△222(2m 1)4m 0=+-<△()2234m 4m 10=--<解得31<m<24--.从m 1≠的实数中除去31<m<24--,即得31m m 24≤-≥-或,且m 1≠.综上所述,得31m m 24≤-≥-或. 1.3.5空间向平面的转化[4] 在数学解题中,对立体几何问题常常需要化归到熟知的平面几何问题,化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等.例5 设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱1,A A a =11,A B b =11A D c =,,,M N ,P Q 分别是1111,,,A B A D BC CD 的中点.求AMN ∆和CPQ ∆的重心间的距离.1D1HG1C1图2(a) 图2(b)分析这是一个空间距离问题,直接求解可能有一些困难,我们试图把空间距离转化为平面距离.解设长方体的对角面1AC分别与平面AMN∆,CPQ∆交于1,AE C F,则,AE 1C F分别是AMN∆和CPQ∆的中线,如图2(a).设AMN∆,CPQ∆的重心分别为,G H.于是空间的问题转化为平面1AC的问题.如图2(b),只要求出矩形11AAC C中, ,G H的距离即可.设,G H在1,AC C C上的射影是1122,,,G H G H,则2211133G H A A a==,111143G H AC CH G A AC CF=--=-.因为AC14CF AC=.于是11412333G H AC CF AC AC AC=-=-==所以GH==.1.3.6高次与低次的转化（因式分解）在解高次方程时,一般都是设法将未知数的次数降低,以达到便于求解的目的.1.3.7命题的等价转化例7 已知f(x)为定义在实数R 上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数.当02πθ≤≤时,是否存在这样的实数m,使(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的[0,]2πθ∈均成立？若存在,求出所有适合条件的实数m ；若不存在,请说明理由.分析 由奇偶性及单调性→f(x)单调性→关于cos θ的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m 的范围.解 由f(x)是R 上的奇函数可得f(0)=0.又在[0,+∞)上是增函数,故f(x)在R 上为增函数.由题设条件可得(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->.又由f(x)为奇函数,可得(cos 23)(2cos 4)f f m m θθ->-.∵f(x)在R 上为增函数,∴cos232cos 4m m θθ->-,即2cos cos 220m m θθ-+->.令cos t θ=,∵02πθ≤≤,∴01t ≤≤.于是问题转化为:对一切0≤t ≤1,不等式t 2-mt+2m-2＞0恒成立. 又∵222(2)442222t t t t -=-++≤---∴422m >-. ∴存在实数m 满足题设的条件422m >-1.3.8函数与方程例8 （1997年理科24题）设二次函数()f x ＝a 2x 十bx 十c （a >0）,方程()f x －x =0的两个根满足0<1x <2x <a1.(1)当1(0,)x x ∈时,证明：1()x f x x <<；(2) 设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明102x x <. 分析 本例要分清函数()f x 与方程()0f x x -=是两个不同的条件,0x x =是函数()f x 的对称轴,1x ,2x 则是方程()0f x x -=的根,它们之间的联系通过a ,b ,c 隐蔽地给出,因而充分利用二次函数的性质,引进辅助函数()()g x f x x =-,凸现已知条件的联系,是解题的关键.证明 (1)令()()g x f x x =-,因为1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,所以不妨设12()()()g x a x x x x =--.当(0,)x a ∈时,由于12x x <,∴ 12()()0x x x x -->.又0a >, ∴12()()()0g x a x x x x =-->,即()x f x <,而：111()()()x f x x x x f x x x g x -=-+-=--112()()x x a x x x x =----12()[1()]x x a x x =-+- 又∵1210x x x a<<<< ∴ 10x x ->, 2221()110a x x ax ax ax +-=+->->, 得1()0x f x ->. ∴ 1()f x x <即1()x f x x <<；(2)由题意知 0x =－ab 2.∵ 1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,即 1x ,2x 是方程2(1)20ax b x +-+=的根.则：121b x x a-+=,12012()1111()2222a x x b x x x a a a +-=-==+-. ∵ 21x a<, ∴ 102x x <. 1.3.9多元向一元的转化（消元法）例9 已知123,,a a a 成等差数列()10a ≠,234,,a a a 成等比数列,345,,a a a 的倒数也成等差数列,问135,,a a a 之间有什么关系？分析 题目中有5个元素12345,,,,a a a a a ,而解题目标是探讨135,,a a a 之间有什么关系,因此24,a a 对求解目标是多余的,需要从多元向少元化归,即在解题时,设法把24,a a 消去.解 由题设1322324435,2,211.a a a a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 为消去24,a a ,从方程组中解出1322a a a +=和354352a a a a a =+,代入2324a a a =得2133533522a a a a a a a +=⋅+.因为30a ≠,则 ()135335a a a a a a +=+, 整理得2315a a a =.因此135,,a a a 成等比数列. 1.3.10语言的转化例10 对任意函数()f x , x D ∈,可按右图构造一个数列发生器,其工作原理如下：①输入数据0x D ∈,经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉,则数列发生器结束工作；若1x D ∈,则将1x 反馈回输入端,再输出21()x f x =,并依此规律继续下去.现定义 42()1x f x x -=+,(1)若输入04965x =,则由数列发生器产生数列{}n x ,请写出{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据0x 的值；(3)若输入0x 时,产生的无穷数列{}n x ,满足对任意正整数n 均 图3 有1n n x x +<；求0x 的取值范围.分析 本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言,函数求值的简单运算、方程思想的应用,解不等式及化归转化思想的应用.解 (1)∵()f x 的定义域为(,1)(1,)D =-∞-⋃-+∞∴数列{}n x 只有三项, 123111,,1195x x x ===-. (2)∵42()1x f x x x -==+,即2320X X -+=.∴1X =或2X =.即01x =或2时,有1421n n n n x x x x +-==+.故当01x =时,1n x =；当02x =时,2n x =*()n N ∈.(3)解不等式421x x x -<+,得1X <-或12X <<.要使12X X <,则21X <-或 112X <<.对于函数426()411x f x x x -==-++, 若11X <-,21()4x f x =>,322()X f X X =<；若112X <<时,211()X f X X =>且112X <<.依次类推可得数列{}n x 的所有项均满足：1n n x x +<*()n N ∈.综上所述,1(1,2)X ∈,由10()X f X =,得0(1,2)X ∈.1.3.11合与分的转化（分论讨论）例11 已知集合2{,1,3},M a a =+-2{3,21,1},N a a a =--+ 若{3}M N ⋂=-,则a 的值为（ ）.分析 该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性.解 ∵{3}M N ⋂=-,∴23{3,21,1}N a a a -∈=--+.若33a -=-, 则a=0,此时{0,1,3}M =-,{3,1,1}N =--,则：{3,1}M N ⋂=-,故不符合集合元素的互异性.若213a -=-,则1a =-,此时{0,1,3}M =-,{4,3,2}N =--.若213a +=-,此方程无实数解.1.3.12复数与实数的转化例12 已知复数z ,解方程_313z i z i -⋅=+.分析 设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件,建立实数方程,化虚为实,解方程组,可以求出复数.解 设(,)z x yi x y R =+∈,则方程可化为(3)(3)13x y y x i i -+-=+.由复数相等,有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩,解得5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴z=－54－34i . 1.3.13常量与变量的转化例13 已知2()log f t t =,t ∈.对于()f t 值域内的所有实数m ,不等式2424x mx m x ++>+恒成立,x 的取值范围是________.分析 根据已知条件,建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想,通过转化就可利用一次函数()g m 的单调性通过数形结合解决问题,体现了函数与不等式之间的转化关系.解∵t ∈,∴1()[,3]2f t ∈,原题转化为：(2)(2)0m x x -+->恒成立,为m 的一次函数.当2x =时,不等式不成立.∴2x ≠.令2()(2)(2)g m m x x =-+-,1[,3]2m ∈,问题转化为： ()g m 在1[,3]2m ∈上恒大于0,则1()0,(3)02g g >>,解得2x >或1x <-. 1.3.14 等与不等的转化 相等与不等是数学解题中矛盾的两方面,但是它们在一定的条件下可以互相转化,例如有些题目,表面看来似乎只具有相等的数量关系,根据这些相等关系又难以解决问题,但若能挖掘其中的不等关系,建立不等式（组）去转化,往往能获得简捷求解的效果.例14 已知b a ,都是实数,且11122=-+-a b b a ,求证：122=+b a .分析 利用均值不等式先得到一个不等关系,再结合已知中的相等关系寻求a 与b 之间的关系.利用等与不等之间的辩证关系,相互转化,往往可以使问题得到有效解决.解 ∵,2)1(1222b a b a -+≤-2)1(1222a b a b -+≤-, ∴11122≤-+-a b b a .又11122=-+-a b b a ,21b a -=且21a b -=,即122=+b a .1.3.15 整体与局部的转化例15 函数()f x 满足对任意x ,y 都有()()()1x y f x f y f xy++=+,且当x <0时,都有()f x >0,求证211()()232f f n n >++. 分析 观察对应法则的结构特征,局部对通项变形.整体把握不等式左端数列和“裂项相消法求和”化简,创造使用题设完成证明.解 赋值易知f(x)为奇函数,且当x >0时,都有()f x <0. 由于211(1)(2)32n n n n =++++且()()()1x y f x f y f xy ++=+,故有： 211111211(1)(2)321()12n n n n n n n n -++==+++++-++. 所以局部处理通项逆用对应法则有2111()()()1232f f f n n n n =-++++,整体处理 不等式左端数列和有：2111()()()51132f f f n n ++⋅⋅⋅+++ 111111(()())(()())(()())233512f f f f f f n n =-+-+⋅⋅⋅+-++ 11()()22f f n =-+. 由题设102n >+, 恒有1()02f n <+,则111()()()222f f f n ->+. 故所证不等式211()()232f f n n >++成立.2运用化归思想的经验(1)熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是化归与转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙[5].(2)有目的的实施有效的化归与转化思想,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.(3)注意紧盯化归与转化目标,保证化归与转化的有效性、规范性.化归与转化作为一种思想方法,应包括化归与转化的对象、目标、途径三个要素.因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键.在解题过程中,必须始终紧紧盯住化归的目标,即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.(4)转化的等价性,确保逻辑上的正确.转化包括等价转化和非等价转化,等价转化后的新问题与原问题实质是一样的,不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正.高中数学中的转化大多要求等价转化,等价转化要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果.如果在解题过程中没有注意转化的等价性,就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误.数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的,化归与转化也不例外.学生在解题过程中,必须根据问题本身提供的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程,分析解题思维,回味解题中所使用的思想,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法.3结束语数学思想方法是数学的精髓,在中学数学中,化归与转化不仅是一种重要的解题思想,也是一种最基本的思维策略.知道了什么是化归与转化,了解化归与转化的实质,掌握如何进行化归与转化,那么,很多数学问题就迎刃而解了.对于即将毕业走上讲台的我来说,重要的不单是教授学生知识,而且要教会学生透过现象看本质,掌握了数学的思想方法,那么万变不离其宗,在教与学的过程中教师才能很好的把握教材,引导学生灵活处理数学问题,使学生轻松学习.参考文献[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M](1991年版).上海：东北师范大学出版社,1991,79～86.[2]张志淼.数学学习与数学思想方法[M](2006年版).郑州：郑州大学出版社,2006,21～35.[3]赵小云,叶立军.数学化归思维论[M](2001年版).北京：科学出版社,2006,91～100.[4]张青.谈中学数学中的构造性思维[J].邯郸师专学报,1996,1 (2):35-39.[5]黄文斐,徐凡等.思维点拔与能力训练[M](2000年版).辽宁：辽宁大学出版社 2000,16～28.。