2018中考数学知识点：几何变换法

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初中几何：几何变换知识点汇总

初中几何：几何变换知识点汇总平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

今天带大家学习的就是几何变换的相关知识，作为中考的重要组成部分，这块的分一定要抓牢。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

数学几何变换的方法

数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。

这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。

本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。

其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。

平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。

二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。

其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。

旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。

三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。

其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。

缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。

四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。

其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。

对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。

五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。

投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。

总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。

这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。

掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。

初中数学几何变换法总结

几何变换法在几何题或代数几何综合题的解题或证明过程中,经常会使用几何变换的观点来解决问题.从图形的特点出发,利用几何变换,可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置,构成一个新的关系,从而使问题获得解决.它们的理论依据是三种变换的定义及性质,具体如下:(一)平移变换1.定义:将图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定的距离形成图形F',则由F到F'的变换叫作平移变换.2.平移不改变图形的大小和形状.特点:(1)平移前后线段长度不变;(2)平移前后角的大小不变;(3)平移前后的对应线段保持平行或在同一直线上.3.在解决几何问题时,为了寻求解题途径,可以把题目中的某些线段平移到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得到解决.作平行线是平移变换的一种常见形式.(二)轴对称变换1.定义:把图形G沿着直线l折过来,如果和图形G'重合,那么我们称这两个图形关于直线l“对称”.两个对称图形中的对应点叫作关于直线l的对称点,直线l叫作对称轴.轴对称图形有以下两个性质:(1)对应点的连线被对称轴垂直平分;(2)对称轴上任一点到两对应点的距离相等.运用对称思想解几何问题的基本做法是把图形的全部或一部分做轴对称变换.2.常根据下面的一些特殊情况做轴对称变换:(1)与线段中点有关的问题,常取该线段的垂直平分线为对称轴做变换;(2)与角平分线有关的问题,常取角平分线所在的直线为对称轴做变换;(3)与等腰三角形有关的问题,常取底边的中垂线为对称轴做变换;(4)与正三角形或正方形有关的问题,常利用正三角形或正方形的特性做轴对称变换,等.(三)旋转变换1.定义:将图形G绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ,得到图形G',这样由G到G'的变换叫作旋转变换,点O叫作旋转中心,θ叫作旋转角.2.旋转不改变图形的大小和形状.特点:(1)旋转前后线段长度不变;(2)旋转前后角的大小不变;(3)旋转前后对应线段的夹角等于旋转角.3.在使用旋转变换解题时需具备图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,这种方法一般常用于等腰三角形、正方形图形中.几何变换法是数学中一种重要的方法.它的应用十分广泛,在解决几何问题时,平移、翻折、旋转是全等变换,它起到了将线段、角转移的作用,将分散的条件集中起来,从而达到完美的解题效果.（1）轴对称变换在解题中的应用【典型例题】如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边OB的中点.若E,F为边OA 上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E,F的坐标.【思路分析】由于CD 和EF 是两定长线段,因此,四边形CDEF的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.动点E在F 左侧,且EF=2(定值),点E 确定点F 随之确定,反之亦然.通过平移点F让F,E重合,可将“双动点”转化成“单动点”,点C随之向右平移长度2,这就转化成了最基本的“将军饮马”模型.【答案解析】（2）平移变换在解题中的应用【典型例题】如图,在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN,CM 交于点P,求∠APM 的度数.【思路分析】本题要求∠APM,通过猜测∠APM=45°,可联想到将其置于直角三角形中,于是将∠APM 的顶点向边上或者顶点处转移,考虑平移AN 或MC,由平行线的移角功能可以实现.连接KM,出现了直角三角形KMC.本题解法不唯一,将顶点转移到点A,C,M处均可得证.【答案解析】（3）旋转变换在解题中的应用【典型例题】如图,以△ABC的AB,AC边为边向形外作正方形ABDE与正方形CAFG,连接EF,过A作BC的垂线,分别交EF,BC于M,H.求证:EM=FM.【思路分析】本题要证EM=FM,只需使MA成为某个三角形的中位线即可,于是考虑构造这个三角形,构造后发现,由于AB,AC向外作正方形,由“等线段、共顶点”,其实构造的部分就是将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到的. 【答案解析】。

2018广东省中考专题——几何变换

几何变换问题初中几何三大变换——平移、折叠、旋转，关键是要抓住两个特性：1、变：边、角的位置发生了改变。

2、不变：前后的对应边、对应角的大小是相等的。

一、教材中的折叠问题：1、把长方形ABCD 沿对角线AC 折叠，得到如图所示的图形。

已知∠BAO=300，求∠AOC 和∠BAC 的大小。

分析：①利用外角∠AOC =∠BAO+∠B=300+900=1200。

②由折叠可知，∠B′CA=∠BCA。

③矩形对边平行得到角动∠DAC=∠B′CA。

④∠DAC==∠BCA =300，得到∠BAC=600。

2、如图（1），ABCD 是一张正方形纸片，E，F 分别为AB，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上（如图（2）），折痕交AE 于点G，那么∠ADG 等于多少度？你能证明你的结论吗？分析：①由折叠可知，AD=BC=CD，∠ADG=21∠ADA’。

②由F 为CD 中点可知，FD=21CD。

→③FD=21AD，得到∠FAD=300。

④根据EF//A’D，得到∠ADA’=∠FAD =300，从而得到∠ADG =21∠ADA’=150。

3、在如图所示的三角形纸片ABC 中，∠C=900，∠B=300，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）。

①先将点B 对折到点A，②将对折后图形再沿AD 对折。

（1）由步骤①可以得到哪些等量关系？（2）请证明△ACD≌△AED。

（3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形?分析：（1）DB=DA，BE=AE，∠B=∠DAB，∠BDE=∠ADE，∠BED=∠AED。

（2）由折叠可知，∠CAD=∠DAB=∠B=300，∠C=∠AED=900。

加上AD =AD（公共边），由AAS 得到△ACD≌△AED。

（3）按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形。

4、如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由。

初中数学知识归纳几何变换与共线性质

初中数学知识归纳几何变换与共线性质初中数学知识归纳：几何变换与共线性质几何变换和共线性质是初中数学中的重要内容。

几何变换是指通过平移、旋转、翻折和拉伸等方式改变几何图形的位置、形状和方向；而共线性质则涉及到点、线和平面在空间中的相互关系。

本文将对初中数学中的几何变换和共线性质进行归纳和总结。

一、平移变换平移变换是指保持图形形状不变，仅改变图形在平面内的位置。

假设ABCD为一个平面图形，平移变换可由以下步骤实现：1. 选择一个平移向量，表示平移的方向和距离；2. 将平移向量的起点与图形的一个顶点对齐；3. 沿着平移向量的方向将图形的所有点平移相同的距离；4. 连接平移前后对应点，得到平移后的图形。

二、旋转变换旋转变换是指围绕一个中心点按照一定的角度将图形旋转。

旋转变换可由以下步骤实现：1. 选择一个旋转中心，通常为图形的一个顶点；2. 选择一个旋转角度，正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转；3. 将旋转中心与图形的某一顶点重合；4. 沿着旋转方向将图形的每个点旋转对应的角度；5. 连接旋转后的对应点，得到旋转后的图形。

三、翻折变换翻折变换是指将图形关于一条直线对称翻转。

翻折变换可由以下步骤实现：1. 选择一条直线作为翻折轴；2. 将翻折轴与图形上的某一点对齐；3. 沿着翻折轴将图形的每个点翻折到对称位置；4. 连接翻折前后的对应点，得到翻折后的图形。

四、拉伸变换拉伸变换是指将图形在一个方向上按比例改变大小。

拉伸变换可由以下步骤实现：1. 选择一个拉伸中心，通常为图形的一个顶点；2. 选择一个拉伸比例，大于1表示放大，小于1表示缩小；3. 将拉伸中心与图形的某一顶点重合；4. 沿着拉伸方向将图形的每个点按照比例进行拉伸；5. 连接拉伸前后的对应点，得到拉伸后的图形。

五、共线性质共线性质是指点、线、面在几何图形中的关联关系。

以下是常见的共线性质：1. 过两点必存在一条直线；2. 三点共线的充分必要条件是它们不在同一条直线上；3. 三线共点的充分必要条件是它们不平行且不共线；4. 两条相交直线的交点与另外一条直线的交点连线必共线。

专题11 几何图形的三大变换问题-2018版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(原卷版)

【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材，可以对函数图象进行平移，可以对几何图形进行平移、旋转，考查学生的数学综合应用能力．在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用．只要抓住全等变换的特点，找到变与不变的量就可以解决问题．预计在2018年中考中仍会在压轴部分渗透变换，但是会有新情境的渗透．【方法揭秘】1.平移的性质(1)平移前后，对应线段平行、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等；(3)平移前后的图形全等，注意：平移不改变图形的形状和大小.平移的作图步骤：(1)根据题意，确定平移方向和平移距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.旋转的作图步骤：(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角度；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角度将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．3.中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分_．成中心对称的两个图形全等.中心对称的作图步骤：(1)找出图形的关键点；(2)作出关键点关于对称中心的对称点；(3)按原图形依次连接得到的各关键点的对称点．【典例分析】例1 如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转,则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).A. πB. 13πC. 25πD. 25 例2如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上,与点B'重合,AE 为折痕,则EB'= .例3如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE .（1）求证：CDE ∆是等边三角形；（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以,,D E B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.例4如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，54）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作P A⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；（3）求证：△DPE∽△P AM，并求出当它们的相似比为3时的点P的坐标．例5如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数ƒ的图象．（1）若点A的坐标为（1，0）．①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；②如图2，若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．【变式训练】1．(2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为120︒的扇形OAB绕点A逆时针旋转60︒，点O，B的BB，则图中阴影部分的面积是（）对应点分别为'O，'B，连接'A ．23πB ．233π- C.2233π- D ．2433π- 2. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn 的值为（） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化3. 2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 .4. （2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点,A C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点,B D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是．5. (2017山东潍坊第18题)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在D 上，记为B '，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在C B '上，记为D '，折痕为CG ,2=''D B ，BC BE 31=.则矩形纸片ABCD 的面积为 .6. (2017辽宁营口第9题)如图，在ABC ∆中，0,90AC BC ACB =∠=，点D 在BC 上，3,1BD DC ==，点P 是AB 上的动点，则PC PD +的最小值为（）A ． 4B ．5 C. 6 D ．77.（2017贵州遵义第26题）边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ=AP ；（2）设AP=x ，CE=y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE=38BC ；（3）猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．8. （2017年山东省泰安市第29题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD AC =，AD AC ⊥，E 是AB 的中点，F 是AC 延长线上一点．（1）若ED EF ⊥，求证：ED EF =；（2）在（1）的条件下，若DC 的延长线与FB 交于点P ，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；（3）若ED EF =，ED 与EF 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．9. (2017吉林第26题)《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．10.（2017江苏南通市第28题）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．。

几何变换的基本概念知识点总结

几何变换的基本概念知识点总结几何变换是几何学中非常重要的概念，用于描述图形在平面上的变化。

在学习几何变换的过程中，我们需要了解一些基本的概念和知识点。

本文将对几何变换的基本概念进行总结，并介绍其常见的几种类型。

一、几何变换的基本概念1. 点：几何变换的基本元素，是平面上最简单的图形表示。

2. 直线：由无数个点组成，是平面上最基本的线段。

3. 线段：由两个不同的点组成的线段。

4. 角度：由两条射线（直线的一种特殊情况）共享一个端点构成，用来描述两条直线之间的偏转程度。

5. 相似：指两个图形的形状相同，但大小可能不同。

6. 共线：指多个点位于同一条直线上。

7. 垂直：指两条直线或线段之间的夹角为90度。

8. 平行：指两条直线永远不会相交。

二、基本几何变换类型几何变换包括平移、旋转、缩放和翻转等。

下面将对这几种常见的几何变换类型进行介绍。

1. 平移：是指图形沿着平面上的平行线进行移动，保持形状和大小不变。

平移可以通过向量来描述，即将图形中的每个点按照给定的向量进行移动。

2. 旋转：是指图形绕着某个中心点进行旋转，保持形状和大小不变。

旋转可以通过角度来描述，即将图形中的每个点按照给定的角度和中心点进行旋转。

3. 缩放：是指按照比例因子，改变图形的大小。

缩放可以分为放大和缩小两种方式，分别通过比例因子大于1和小于1来实现。

4. 翻转：是指将图形沿着一条直线对称交换位置，保持形状不变，但是可能改变大小。

翻转可以分为水平翻转和垂直翻转两种方式。

三、几何变换的性质在进行几何变换时，有一些重要的性质需要我们了解。

1. 保持相似性：几何变换通常都会保持图形的相似性，即形状不变，只是发生了平移、旋转、缩放或翻转等变化。

2. 保持相对位置：几何变换会保持图形中各个点之间的相对位置关系不变，即平行线仍然平行，相交的角度不变。

3. 保持面积比例：几何变换通常会保持图形的面积比例不变，即如果一个图形的面积是另一个图形的两倍，那么经过几何变换后，面积比例仍然保持不变。

几何形的变换知识点总结

几何形的变换知识点总结几何形的变换是几何学中一项重要的内容，它涉及了平移、旋转、缩放和对称等多种变换方式。

在几何学中，通过对几何形进行变换，我们可以探索和理解形状的特性以及它们之间的关系。

本文将对几何形的变换知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用几何学知识。

一、平移平移是指将几何形在平面上沿着指定的方向移动一定的距离，但保持形状和大小不变。

平移可以通过指定的向量来描述，向量的长度表示平移的距离，而向量的方向表示平移的方向。

对于平移而言，其关键点在于每个点在平移后的位置保持不变。

平移可以用于解决诸如图形重叠、图形位置转换等问题。

二、旋转旋转是指将几何形绕着一个中心点按照规定的角度进行旋转，从而改变其方向和位置。

旋转可以通过指定的角度和旋转中心来描述，旋转角度可以是正数表示逆时针旋转，也可以是负数表示顺时针旋转。

对于旋转而言，其关键点在于保持旋转后每个点到旋转中心的距离不变。

旋转可以用于解决诸如图形对称、图形角度转换等问题。

三、缩放缩放是指将几何形按照一定的比例进行放大或者缩小，改变其大小而保持形状不变。

缩放可以通过指定的缩放因子来描述，缩放因子大于1表示放大，小于1表示缩小。

对于缩放而言，其关键点在于保持缩放后每个点到缩放中心的距离与缩放因子成正比。

缩放可以用于解决诸如图形相似、图形比例转换等问题。

四、对称对称是指将几何形按照某个轴或者点进行镜像反转，从而得到一个关于该轴或者点对称的图形。

对称可以通过指定的轴线或者对称中心来描述，轴线可以是水平线、垂直线或者其他任意线，对称中心可以是任意点。

对于对称而言，其关键点在于对称前后的每个点关于轴线或者对称中心对称。

对称可以用于解决诸如图形镜像、图形位置转换等问题。

综上所述，几何形的变换涉及平移、旋转、缩放和对称等多种方式。

通过了解和掌握这些变换知识点，我们可以更好地理解和运用几何学中的概念和方法。

几何形的变换不仅仅是在学科中的重要内容，也在实际生活中有着广泛的应用，比如建筑设计、电子游戏等领域都离不开几何形的变换。

中考数学复习考点知识专题讲解---利用几何变换解题

中考数学复习考点知识专题讲解利用几何变换解题全日制义务教育数学新课程标准顺应几何推理要求发生的变化，将以往的“几何”拓广到“空间与图形”，增加了图形与变换的内容，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，图形与变换的内容主要包括图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换以及图形的相似变换．前三种变换本质是保持两点间的距离不变，从而使变换图形的大小和形状不改变；而相似变换会改变图形的大小，但不改变形状利用变换解决问题，关键就是利用变换的不变性优化问题隐含的条件，给问题的求解带来机遇，本文举例说明，希望对同学们的学习有启迪作用．一、旋转变换例1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB 边上，连CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连结AE．(1)求证：AE⊥AB；(2)若BC＝AD．AB，求证：四边形ADCE为正方形．解 (1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知∠CAB＝∠CBA＝45°，且线段BC绕点C顺时针旋转90°至AC；又CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，故△BCD绕点C顺时针旋转90°得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°．∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°，即AE⊥AB．(2)略．点评对题设中含有等腰三角形、正方形的几何问题，常采用旋转变换考察，本题第(1)小题也可以用全等三角形论证，但论述不如从变换的角度考察问题来得方便．例2 探究如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．拓展如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为_______．解探究因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以Rt△AED绕点A顺时针旋转90°得△AFB，AF＝AE，∠EAF＝90°，∠AFB＝∠AED＝90°．又∠ABF＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABC＝180°．得点F在CB的延长线上，所以，四边形AECF为正方形．∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝102＝100．拓展将△ACD绕点A顺时针旋转∠BAC得△AFB，则∠ABF＝∠ADC．由∠ABC＋∠ADC＝180°，得∠ABF＋∠ABC＝180°．点F在CB的延长线上，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ABF＋S△ABC×(10＋6)×19＝S△ACF＝12＝152．点评例1是在题设中给出变换，探究生成图形的性质；例2则需要我们根据问题的特征主动出击，创造性地设计和利用适当的变换解决问题，难度有所提升．二、平移变换例3 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝3，AC＝3，BD＝6，求此梯形的面积．解将BD沿BC方向平移到CE，则四边形BCED为平行四边形，且由AD∥BC知，点E在AD的延长线上，于是，CE＝BD＝6，AE＝AD＋DE＝AD＋BC＝3．又AC＝3，有AC2＋CE2＝AE2，∴AC⊥CE．设点C到直线AD的距离为h，则例4 如图5，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点G，且AD＝15，BE ＝9，CF＝12，求BC边的长．解将BC沿GC平移到HC，则四边形BGCH为平行四边形．连HD，由D是BC的中点，知G、D、H三点共线，且DH＝DG．由G为△ABC的重心，可得CD＝13AD＝5，BC＝23BE＝6，CG＝23CF＝8，于是，GH＝2DC＝10．CG＝8，CH＝BC＝6．从而GH2＝CG2＋CH2，得CG⊥CH．由CD为Rt△GCH斜边上的中线，得CD＝12GH＝5，BC＝2CD＝10．点评平移变换常与平行线、中线等问题有关，例3、例4都是利用平移变换将已知条件适当集中，使隐含条件得到充分展示，方便了问题的解决；例4还利用了三角形重心的基本性质，具有一定的综合性．三、轴对称变换例5 如图6，在等腰Rt△ABC中，D、E是斜边AC上两点，满足∠DBE＝45°，求证：DE2＝AD2＋CE2．分析结论提醒AD、CE、DE首尾相连可构成直角三角形，我们可通过变换达到证明的目的．证明如图6，作AB关于AD的对称线段BF，连DF、EF，则∠DFB＝∠DAB＝45°，OF＝AD．BF＝BA＝BC．又∠EBF＝45°－∠DBF＝45°－∠DBA＝∠DBC．BE＝BE．∴△BEF≌△BEC，∵EF＝EC，∠BFE＝∠BCE＝45°．∠BFE＋∠BFD＝90°．∴DE2＝DF2＋EF2．即DE 2＝AD 2＋CE 2，得证．点评本题亦可用旋转变换来证明，具体过程请读者自己考虑，例6 如图7，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，D 是BC 的中点，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，且DF ∥AE ．试求CF 的长．分析由AE 为∠BAC 的角平分线，可考虑用轴对称变换优化条件，降低问题处理的难度．解作C 关于AE 的对称点G ，则由AE 平分∠BAC ，知点G 在AB 的延长线上，连CB 、CG ，并延长AE 、FD 交CG 于点H 、Q ，作BP ∥AE 交CG 于点P由于GB ＝AB ＝1，GH ＝HC ，GP ＝PH ，PQ ＝QC ，设GC ＝4a ，则 PC ＝3a ，HC ＝2a ．QC ＝12PC ＝32a ．由平行线的性质，得34CF CQ CA CH ==， ∴CF ＝34CA ＝32．三、相似变换例7如图8，P是等腰Rt△ABC内一点，已知∠B＝90°，∠APB ＝135°，PA：PC＝1：3，则PA：PB＝( )(A)1：2(B)1：2(C)3：2 (D)1：3解如图8，作△ACQ∽△ABP，连PQ，则故选B．综上可见，利用几何变换解决平面几何问题，是初中几何问题中一种重要的思想和方法，也是近年来中考命题的热点问题．各种变换都有其自身的优点和局限性，解题时需要我们根据问题的特征，选用合适的方法．。

初中数学几何变换的知识点的梳理

初中数学几何变换的知识点的梳理几何变换是数学中重要的概念，它涉及到图形的移动、旋转、翻折和放缩。

对于初中数学的学习来说，几何变换是一个重要的知识点。

本文将对初中数学几何变换的知识点进行梳理，包括平移、旋转、翻折和放缩。

一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定距离而不改变其形状和大小。

在平移变换中，图形的各点都按照同样的方向和距离进行移动。

平移的基本要素包括平移向量、平移前后图形的对应关系和平移的性质。

平移的性质：1. 平移前后的图形形状相同；2. 平移前后的图形大小相同；3. 平移不改变图形的内角度和边长；4. 平移不改变图形的对称性。

二、旋转旋转是指将图形绕一个固定点旋转一定角度，使得图形的各点在旋转过程中保持与该点的距离不变。

在旋转变换中，旋转中心和旋转角度是旋转操作的主要要素。

旋转的性质：1. 旋转前后的图形形状相同；2. 旋转前后的图形大小相同；3. 旋转不改变图形的内角度和边长；4. 旋转保持图形的对称性。

三、翻折翻折是指将图形绕一个直线或点对称，使得图形在翻折过程中的各点与对称中心点的位置关系对称。

在翻折变换中，翻折轴线（或镜像线）和对称关系是翻折操作的主要要素。

翻折的性质：1. 翻折前后的图形形状相同；2. 翻折前后的图形大小相同；3. 翻折不改变图形的内角度和边长；4. 翻折保持图形的对称性。

四、放缩放缩是指将图形按照一定比例进行扩大或缩小，使得图形的各点的位置与原图形的对应位置保持不变。

在放缩变换中，比例因子是放缩操作的主要要素。

放缩的性质：1. 放缩前后的图形形状相似；2. 放缩前后的图形大小比例相同；3. 放缩改变了图形的内角度和边长；4. 放缩保持图形的对称性。

综上所述，初中数学几何变换的知识点主要包括平移、旋转、翻折和放缩。

这些变换在数学中具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和分析图形的形状和性质。

通过学习这些知识点，我们可以提高我们的空间思维能力和几何问题求解的能力。

[中考解题技巧,：几何变换法]中考几何题解题技巧

[中考解题技巧,：几何变换法]中考几何题解题技巧中考解题技巧：几何变换法中考解题技巧：几何变换法几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

1.平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。

一般有2种方法：(1)平移已知条件(2)平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。

几何题多数都是逆向思考的。

例：在三角形ABC中，BD=CE,求证：AB+AC大于AD+AE。

这是典型的平移条件问题。

解：我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。

这里用了BD=EC 的条件。

设AB与FD交于P 这样，容易构造两个全等的三角形AEC,FBD 由于PA+PD大于AD PF+PB大于BF 两式相加PA+PB+PD+PF大于AD+BF 又因为BF= AE，AC= FD 所以AB+AC大于AD+AE 2.旋转变换把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 例：如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90,M,N为斜边BC上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2解：要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。

考虑到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM 绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到△ACD，则△NCD 为直角三角形只需证明MN=ND即可因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45 又因为AM=AD 所以△AND≌△AMN 所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2 3.对称变换通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。

当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。

几何变换知识点总结

几何变换知识点总结几何变换是数学中一个重要的研究领域，它涉及到几何图形在平面上的移动、旋转、缩放和翻转等操作。

在这篇文章中，我将对几何变换相关的知识点进行总结和介绍。

一、平移变换平移是指将一个几何图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，保持图形的形状和大小不变。

平移变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行平移变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = x + ay' = y + b其中a和b分别为平移的位移量。

二、旋转变换旋转是指将一个几何图形围绕某个点或者某条轴线进行旋转。

旋转变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，绕原点进行逆时针旋转θ度，则旋转后的坐标为P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这是一个二维的旋转变换，需要注意的是，参数θ的单位为弧度。

三、缩放变换缩放是指改变几何图形的大小，使其变大或者变小。

缩放变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行缩放变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = kxy' = ky其中k为缩放的比例因子，当k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。

四、翻转变换翻转是指将几何图形以某条轴线或者某个点进行对称镜像。

翻转变换分为水平翻转和垂直翻转两种类型。

1. 水平翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行水平翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = -xy' = y即原来的x坐标变为相反数，而y坐标保持不变。

2. 垂直翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行垂直翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = xy' = -y即原来的y坐标变为相反数，而x坐标保持不变。

几何变换

专题几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角. 旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.图2图1MA B BA能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题）4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADD A'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A B C D''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '1. 其中正确的结论有（）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A.x y < B. x y = C. x y > D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）B10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）A B C A'B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B。

初三数学总复习几何变换王浩

初三数学总复习——平移、轴对称与旋转变换图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变. 通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化，分散条件集中化的目的. 从图形变换的角度思考问题，可以整体把握图形的性质，特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用，使问题解决更加简洁明确.当图形运动变化的时候，从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形.一、图形变换在考试中的呈现方式：显性：题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.隐性：在解决动手操作问题或几何计算证明题时利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造所需图形解决问题.二、对图形变换的认识过程：1•掌握图形变换的概念和性质；2•对已学图形和常用辅助线的再认识：(1)从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性，以及由图形变换决定的图形的特殊性质.(2)从图形变换的角度分析添加平行线、倍长中线、截长补短等辅助线后构造出的图形的变换性质，以及辅助线的添加条件.3.能根据特定条件或图形特点形成图形变换的条件反射：(1)中点、中线——中心对称——倍长中线；(2)等腰三角形、角平分线、垂直平分线一一轴对称一一截长补短一一(边+边=边);(3)平行四边形、梯形一一平移；(4)正多边形、共端点的相等线段一一旋转；(5)半角一一轴对称或旋转一一角的截长补短.4•禾U用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.5•用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题，用变换的观点研究函数的平移和对称.三、分类整理：(一)平移变换•中考题(07北京)如图，已知△ ABC .(1)请你在BC边上分别取两点D, E ( BC的中点除外)，连结AD, AE ,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB AC AD AE .（11北京）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在梯形 ABCD 中，AD // BC ,对角线AC 、BD 相交于点0 .若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC 的长度为三边长的三角形的面积.小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段,三角形，再计算其面积即可•他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题•他的方法是过点 D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC 、BD AD BC 的长度为三边长的三角形（如图2）. 请你回答：图2中厶BDE 的面积等于 __________ .参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3,A ABC 的三条中线分别为 AD 、BE 、CF .（1）在图3中利用图形变换画出并指明以 AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若厶ABC 的面积为1，则以 AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 .构造一个图图•平移边，构造特殊图形1我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形•请解答下列问题：(1) 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.2•如图，线段 AB 、CD 相交于 0点，若AB=CD 且AB 丄CD •求证：AC BD V2AB4.在△ ABC 中，AB =AC , D 、E 是 AB 、AC 上的点且 AD=CE • 求证：2DE > BC.3.已知，正方形 (1) 求证:FG=DE⑵求证：FD+EG >v2FG ABCD 中，点E 是AB 上一点,G 是BC 上一点，FG 丄DE在氐AB C中”点P^BC的中点*m 如国—求证：九P＜丄2(2)5S长朋剰6 使得BXC*延长:月C到。

初中数学解题技巧—几何变换法

例题 1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
例题 6
例题 7
例题 8
例题1
例题2
说明：对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。
例题3
例题4
说明：
X 2 X' Y 3 Y'
例 7-2
第二节对称变换
对称变换就是将某一图形变到关于直线对称的另一图形的过程，称为该图形关于直线的对称变换。变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，对称图形上每一对对称点的连线被对称轴垂直平分。对称变换经常用于等腰三角形、等边三角形、特殊平行四边形、梯形及圆等图形中。
例题1
例题 2
例题 3-1
例题 3-2
例题 3-3
例题 4
第三节
旋转变换
在平面内，某一图形绕一个中心旋转若干角度后得到另一个图形，这种变换称为旋转变换。旋转后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等，任意两条对应线段的夹角等于旋转角。旋转变换法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为解题创造条件，旋转变换法经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
第一节平移变换
所谓“平移变换”是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。图形平移的主要因素是平移方向和平移距离。平移变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。平移变换法通常用于等腰梯形、正方形、矩形中平行线的辅助线作法及简单图形的平移以及函数图象的平移等有关知识巾，特别是进行图案设计及日常生活问题的解决中。
初中数学解题方法

几何变换的基本概念与方法

几何变换的基本概念与方法几何变换是指通过一定的操作将图形或空间中的点、线、面等按照一定规律进行改变的过程。

几何变换在数学、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。

下面将介绍几何变换的基本概念和常用的方法。

一、基本概念1. 平移变换：平移变换是指通过平移向量对图形中的每个点进行位移，使得整个图形整体移动到新的位置上，而形状和大小不变。

平移变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) + (dx, dy)其中，(x, y)是原始点的坐标，(dx, dy)是平移向量，(x', y')是平移后点的坐标。

2. 旋转变换：旋转变换是指通过旋转中心和旋转角度对图形中的每个点进行旋转，使得整个图形绕着旋转中心进行旋转。

旋转变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * R其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是旋转后点的坐标，R是旋转矩阵，可以通过求解得到。

3. 缩放变换：缩放变换是指通过缩放因子对图形中的每个点进行缩放，使得整个图形按照一定比例进行放大或缩小。

缩放变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * S其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是缩放后点的坐标，S是缩放矩阵，可以通过求解得到。

4. 对称变换：对称变换是指通过对称轴将图形中的每个点映射到对称位置，使得整个图形关于对称轴对称。

对称变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * M其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是对称后点的坐标，M是对称矩阵，可以通过求解得到。

二、常用方法1. 坐标变换法：将原始图形的每个点的坐标进行变换，根据不同的变换方式，选择相应的变换矩阵进行计算，得到变换后的图形。

2. 向量变换法：将原始图形看作由线段或向量组成，通过对每个线段或向量进行变换，得到变换后的线段或向量，并重新组合为变换后的图形。

几何变换的认识与计算方法

几何变换的认识与计算方法几何变换是指通过一系列的转换操作对几何图形进行位置、形状或大小的改变。

在计算机图形学和计算机视觉中，对几何图形进行变换是非常重要的。

本文将介绍几何变换的基本认识和常用的计算方法。

一、几何变换的基本认识1. 平移变换：平移变换是将图形沿着平行于原来位置的方向移动，只改变了图形的位置不改变其形状和大小。

平移变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都加上一个平移向量来实现。

2. 旋转变换：旋转变换是将图形绕某个旋转中心按一定角度进行旋转，改变了图形的位置和形状。

旋转变换的计算方法可以使用旋转矩阵或三角函数来实现。

3. 缩放变换：缩放变换是通过改变图形的大小实现的。

缩放变换可以按照比例进行放大或缩小，也可以按照不同方向进行不等比例变换。

缩放变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都乘上一个缩放因子来实现。

4. 对称变换：对称变换是通过图形的镜像对称来实现的。

对称变换可以是关于一个点、一条直线或一个平面的对称。

对称变换的计算方法是将图形的每个点的坐标按照对称轴进行变换来实现。

二、几何变换的计算方法1. 点的表示：在进行几何变换计算时，需要使用点的坐标来表示图形的位置。

通常使用二维坐标系中的(x, y)来表示点的位置，或者使用齐次坐标来表示点的位置。

2. 矩阵表示：几何变换可以通过矩阵的形式来表示和计算。

不同的几何变换对应着不同的变换矩阵，通过将变换矩阵与点的坐标进行相乘，可以得到变换后的点的坐标。

3. 坐标变换：在进行几何变换计算时，需要将图形的坐标系进行变换，使得变换后的点和变换前的点保持相对位置不变。

常见的坐标变换包括平移变换、旋转变换和缩放变换。

4. 变换顺序：多个几何变换可以按照不同的顺序进行组合，得到不同的效果。

在进行几何变换时，需要注意变换的顺序对最终结果的影响。

5. 变换矩阵的求解：针对不同的几何变换，可以通过数学方法求解得到相应的变换矩阵。

例如，对于平移变换，只需要将平移向量作为变换矩阵的一部分；对于旋转变换，可以使用旋转矩阵或三角函数来求解变换矩阵。