精品解析：人教版数学七年级下册5.3 平行线的性质 达标训练(解析版)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5-3平行线的性质》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5.3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）1．如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝．又∵∠1＝70°，∠D＝110°（已知），∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．∴∠C+∠D＝180°．∴∥．∴∠B＝．∴∠B＝70°．2．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又，∵∠1＝∠B（已知）∴（同位角相等，两直线平行）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）3．如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．4．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数，请将解题过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝（），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥DG（）∴∠BAC+＝180°（），∵∠BAC＝70°（已知），∴∠AGD＝110°5．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．6．如图，BC∥DE，∠E+∠B＝180°，则AB和EF的位置关系是什么？请说明理由．7．填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（），∴∠2＝∠3（等量代换）．∴BD∥CE（）．∴∠D＝∠（）．又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C＝∠（等量代换）．∴∥（）．∴∠A＝∠F（）．8．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC ＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（），∴EF∥AD（），∴+∠2＝180°（）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠GDC＝∠B（）．9．如图，若∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．解：理由如下：∵∠DAE＝∠E，（）∴∥BE，（）∴∠D＝∠DCE．（）又∵∠B＝∠D，（）∴∠B＝．（等量代换）∴∥，（同位角相等，两直线平行）10．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）求证：AD∥BC；（2）求证：AB∥EF；（3）若AF平分∠BAD，求证：∠E+∠F＝90°．11．已知：如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝∠AEG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠1＝40°，求∠2的度数．12．已知AB∥CD，直线CG交AB，CD于A，C，AF为∠GAB的角平分线，CE为∠ACD 的角平分线，证明：AF∥CE．13．如图，AC与AB、CD相交于点A、C，AE平分∠CAB交CD于点E，∠ACD＝40°，∠BAE＝70°．试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．14．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点G，F在CB上，连接ED，EF，GD．∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．15．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？试说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥F A于点A，∠1＝82°，试求∠F AB的度数．16．如图，直线AC分别与直线MN、直线GH相交于点A、C，AB平分∠NAC，CD平分∠ACG，且AB∥CD．求证：MN∥GH．17．如图，在三角形ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．（1）AF与BC平行吗？为什么？（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度数．18．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．求证：（1）EH∥AD；（2）∠BAD＝∠H．19．如图，已知AB∥CD∥EF．（1）∠x＝60°，∠y＝150°，求∠z的度数．（2）猜想∠x、∠y、∠z三者之间的关系并加说明．20．已知直线BC∥ED．（1）如图1，若点A在直线DE上，且∠B＝44°，∠EAC＝57°，求∠BAC的度数；（2）如图2，若点A是直线DE的上方一点，点G在BC的延长线上，求证：∠ACG＝∠BAC+∠ABC；（3）如图3，FH平分∠AFE，CH平分∠ACG，且∠FHC比∠A的2倍少60°，直接写出∠A的度数．参考答案1．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠C．又∵∠1＝70°，∠D＝110°（已知），∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．∴∠C+∠D＝180°（等量代换），∴AC∥BD，∴∠B＝∠1，∴∠B＝70°，故答案为：∠C，（等量代换），AC，BD，∠1．2．证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝90°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．3．（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，∴FG∥CB，∴∠1＝∠3，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠3＝180°，∴DE∥BF；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵DE∥BF，∴∠BF A＝∠DEA＝90°，∵AF＝3，AB＝4，∴BF＝＝＝．4．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°（已知），∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．5．（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D与∠1互余，∴∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB；（2）解：如图，∵ED∥AB，∠OFD＝65°，∴∠AOF＝∠OFD＝65°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOF＝130°，∵∠COD＝90°，∠AOD＝∠1+∠COD，∴∠1＝40°．6．解：AB∥EF，理由如下：∵BC∥DE，∴∠E+∠BFE＝180°，∵∠E+∠B＝180°，∴∠B＝∠BFE，∴AB∥EF．7．证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2＝∠3（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4 （两直线平行，同位角相等），又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C＝∠4（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．8．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．9．解：∵∠DAE＝∠E，（已知）∴AD∥BE，（内错角相等，两直线平行）∴∠D＝∠DCE．（两直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝DCE．（等量代换）∴AB∥DC，（同位角相等，两直线平行）故答案为：已知；AD，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠DCE；AB，DC．10．证明：（1）∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．11．（1）证明：∵∠1＝∠AEG，∴AB∥CD；（2）解：∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∵∠1＝∠AEG，∠1＝40°，∴∠AEF＝2∠1＝80°，∵AB CD，∴∠2＝∠AEF＝80°．12．证明：∵AB∥CD，∴∠GAB＝∠ACD，∵AF为∠GAB的角平分线，CE为∠ACD的角平分线，∴，∴∠GAF＝∠ACE，∴AF∥CE．13．解：AB∥CD，理由如下：∵AE平分∠CAB，∠BAE＝70°，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×70°＝140°，∵∠ACD＝40°，∴∠BAC+∠ACD＝140°+40°＝180°，∴AB∥CD．14．（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴∠1+∠4＝180°，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝38°，∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，∴∠CEF＝180°﹣∠C﹣∠3＝180°﹣76°﹣38°＝66°．15．（1）解：AD与EC平行，理由如下：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝82°，∴∠BDC＝82°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝41°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝41°（已证），又∵DA⊥F A，∴∠F AD＝90°（垂直定义），∴∠F AB＝∠F AD﹣∠2＝90°﹣41°＝49°．16．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AB平分∠NAC，CD平分∠ACG，∴∠CAN＝2∠BAC，∠ACG＝2∠ACD，∴∠CAN＝∠ACG，∴MN∥GH．17．解：（1）AF∥BC，理由如下：∵DE∥AC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2，∴AF∥BC；（2）∵AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝36°，∴∠BAF＝144°，∵AC平分∠BAF，∴，∵∠1＝∠2，∴∠1＝72°．18．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，∴DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠FEA＝180°，∴∠BAD+∠FEA＝180°，∴EH∥AD；（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，∴∠1＝∠H，∴∠BAD＝∠H．19．解：（1）∵CD∥EF，∠y＝150°，∴∠CEF＝180°﹣∠y＝30°，∵AB∥EF，∴∠x＝∠AEF＝∠z+∠CEF，∵∠CEF＝30°，∠x＝60°，∴∠z+30°＝60°，∴∠z＝30°，∴∠z的度数为30°；（2）∠x+∠y﹣∠z＝180°，理由如下：由（1）可知，∠CEF＝180°﹣∠y，∠x＝∠AEF＝∠z+∠CEF，即∠CEF＝∠x﹣∠z，∴180°﹣∠y＝∠x﹣∠z，整理得：∠x+∠y﹣∠z＝180°．20．解：（1）∵BC∥ED，∠B＝44°，∴∠DAB＝∠B＝44°，∵∠BAC＝180°﹣∠DAB﹣∠EAC∴∠BAC＝180°﹣44°﹣57°＝79°．（2）过点A作MN∥BG，∴∠ACG＝∠MAC，∠ABC＝∠MAB而∠MAC＝∠MAB+∠BAC∴∠ACG＝∠MAB+∠BAC＝∠ABC+∠BAC．（3）如图，设AC与FH交于点P∵FH平分∠AFE，CH平分∠ACG∴∠AFH＝∠EFH＝∠AFE，∠ACH＝∠HCG＝∠ACG ∵BC∥ED∴∠AFE＝∠B∴∠AFH＝∠B∵∠A+∠B＝∠ACG∴∠ACH＝∠ACG＝∠A+∠B在△APF和△CPH中∵∠APF＝∠CPH∴∠A+∠B＝∠A+∠B+∠FHC∴∠FHC＝∠A∵∠FHC＝2∠A﹣60°∴∠A＝2∠A﹣60°∴∠A＝40°．。
七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
人教版七年级数学下册 5.3 平行线的性质 同步测试题(有答案)
5.3 平行线的性质同步测试题班级：_____________姓名：_____________一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分）1. 如图，AB // CD // EF，AF // CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2. 如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（）A.两直线平行，同位角相等B.同位角相等，两直线平行C.两直线平行，内错角相等D.内错角相等，两直线平行3. 下列命题中错误的是()A.任何一个命题都有逆命题B.一个真命题的逆命题可能是真命题C.一个定理不一定有逆定理D.任何一个定理都没有逆定理4. 师范大学学生张丽、王云、李玲三人一起去银行柜员机取钱，张丽取款一次，王云取款两次，李玲取款三次，假设每取款一次所用时间相同，请问她们三人按什么样的顺序取款，才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）（）A.张丽，王云，李玲B.李玲，张丽，王云C.张丽，李玲，王云D.王云，李玲，张丽5. 甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练．每局两人单打比赛，另一人当裁判．每一局输者当下一局的裁判，而原来的裁判与赢者比赛．一天训练结束时，统计甲共打12局，乙共打21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛中第10局的输者（）A.必是甲B.必是乙C.必是丙D.不能确定6. 如图，直线l // m，将含有45∘角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=20∘，则∠2的度数为()A.20∘B.25∘C.30∘D.35∘7. 下列语句是命题的是()A.对角线相等吗？B.作线段AB=10cmC.若a=b，则−a=−bD.连接A，B两点8. 下列句子是命题的是()A.求1+2+3+4+5+6的值B.过点P作PC//OAC. 能根据等式的性质解方程吗D. 房屋顶棚是彩钢做的二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分）9. 如图，a // b，∠1+∠2=70∘，则∠3+∠4=________∘．10. 如图，若l1 // l2，∠1=50∘，则∠2=________∘．11. 如图，直线a // b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35∘，则∠2=________．12. 如图，直线a // b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直角边分别交直线b于B，C两点．若∠1=50∘，则∠2的度数是________∘．13. 写出命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题是________．14. 把“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是________，________，是________命题．15. 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式________16. 命题“两个锐角的和是钝角”是________命题(填“真”或“假”).17. 如图，直线AB // CD，BC平分∠ABD，∠1＝65∘，求∠2的度数________．三、解答题（本题共计7 小题，共计69分）18. 如图，AB // CD，点P在AB，CD内部，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？证明你的结论19. 已知如图：AD // BC，E、F分别在DC、AB延长线上.∠DCB=∠DAB，AE⊥EF，∠DEA=30∘.（1）求证：DC//AB.（2）求∠AFE的大小20. 如图，已知：AB // CD，不添加辅助线，试再添加一个条件，使∠1=∠2成立．(1)写出两个合适的条件；(2)选择其中一个加以证明．21. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，求证：DE // AC．22. 已知AB // DE，∠B=60∘，且CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数．23. 如图所示，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；①DE=CF；①BE // AF.(1)请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗）(2)说明你写的一个命题的正确性．24. 如图，已知AM // BN，∠A＝60∘．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠________的度数是________；①① ________ // ________，① ∠________＝∠________；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．参考答案一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】D【解答】解：ABICD，∠A=∠ADCABIIEF，∴ A=∠AFEAFCGEE=∠AFE=E=：CDIEF，加EGC=∠DCG=∠A所以与2A相等的角有∠ADC.∠AFE,∠EGC.2GCD四个，故选：D2.【答案】D【解答】解：如图所示，根据图中直线a、b被c所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行．故选D3.【答案】D【解答】解：A、任何一个命题都有逆命题，所以A选项的说法正确；B、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能为假命题，所以B选项的说法正确；C、一个定理不一定有逆定理，所以C选项的说法正确；D、有的定理有逆定理，有的定理不一定有逆定理，所以D选项的说法错误．故选D．4.【答案】A【解答】解：设取款一次时间为t，根据题意可得出ABCD四种取款相对取款时间及等待时间之和，则：A、张丽，王云，李玲，张丽取款时间为t，王云等待时间为t、取款时间为2t，李玲等待时间为2t、取款时间为3t，即总时间为：t+t+2t+2t+3t=9t；B、李玲，张丽，王云，李玲取款时间为3t，张丽等待时间为3t、取款时间为t，王云等待时间为t、取款时间为2t，即总时间为：3t+3t+t+t+2t=10t；C、张丽，李玲，王云，张丽取款时间为t，李玲等待时间为t、取款时间为3t，王云等待时间为3t、取款时间为2t，即总时间为：t+t+3t+3t+2t=10t；D、王云，李玲，张丽，王云取款时间为2t，李玲等待时间为2t、取款时间为3t，张丽等待时间为3t、取款时间为t，即总时间为：2t+2t3t+3t+t=11t；所以按A、张丽，王云，李玲顺序取款才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）；故选：A．5.【答案】A【解答】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三个人之间总共打了(8+4+13)=25局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次．所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲．故选：A．6.【答案】B【解答】解：如图，过点B作BD // l，① 直线l // m，① BD // l // m，① ∠3=∠1=20∘，① △ABC是有一个角是45∘的直角三角板，① ∠4=45∘−∠3=45∘−24∘=25∘，① ∠2=∠4=25∘．故选B．7.【答案】C【解答】解：A，对角线相等吗？是疑问句，不符合命题的定义，不是命题；B，作线段AB=10cm，这是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C，若a=b，则−a=−b符合命题的定义，是命题；D，连接A，B两点，这是作图语言，不符合命题的定义，不是命题.故选C.8.【答案】D【解答】解：A，求1+2+3+4+5+6的值，不是命题，故A错误；B，过点P作PC//OA，不是命题，故B错误；C，能根据等式的性质解方程吗，不是命题，故C错误；D，房屋顶棚是彩钢做的，是命题，故D正确.故选D.二、填空题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）9.【答案】110【解答】解：如图，① a // b，① ∠3=∠5．① ∠1+∠2=70∘，① ∠6=110∘，① ∠3+∠4=∠4+∠5=∠6=110∘.故答案为：110．10.【答案】130【解答】解：① l1 // l2，∠1=50∘，① ∠2=180∘−∠1=180∘−50∘=130∘，故答案为：130．11.【答案】55∘【解答】解：如图，① ∠1=35∘，① ∠3=180∘−35∘−90∘=55∘，① a // b，① ∠2=∠3=55∘．故答案为：55∘．12.【答案】40【解答】解：如图：① ∠BAC=90∘，∠1=50∘，① ∠3=90∘−∠1=90∘−50∘=40∘．① 直线a // b，① ∠2=∠3=40∘．故答案为：40．13.【答案】到角的两边距离相等的点在角平分线上【解答】解：命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边距离相等的点在角平分线上”．14.【答案】如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等；,如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等；,真.【解答】解：“对顶角相等”改写成“如果...，那么...”的形式是“如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等”；这种命题是成立的，故这是真命题.故答案为：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等；真.15.【答案】如果两个角相等，那么它们的余角也相等；【解答】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”，故答案为如果两个角相等，那么它们的余角也相等．16.【答案】假【解答】解：两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是钝角是假命题.故答案为：假.17.【答案】50∘【解答】① AB // CD，① ∠ABC＝∠1＝65∘（两直线平行，同位角相等），∠ABD+∠BDC＝180∘（两直线平行，同旁内角互补），① BC平分∠ABD，① ∠ABD＝2∠ABC＝130∘（角平分线定义）① ∠BDC＝180∘−∠ABD＝50∘，① ∠2＝∠BDC＝50∘（对顶角相等）．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）18.【答案】∠B+∠D＝∠BPD．理由如下：作PQ // AB，如图，① AB // CD，① AB // PQ，① ∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，① ∠B+∠D＝∠BPQ+∠DPQ＝∠BPD．【解答】∠B+∠D＝∠BPD．理由如下：作PQ // AB，如图，① AB // CD，① AB // PQ，① ∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，① ∠B+∠D＝∠BPQ+∠DPQ＝∠BPD．19.【答案】（1）证明见解析，（2） 60∘【解答】（1）∵ AD/BCC&（2）:AEE, △AEF=90∘,∠DEA=30∘ ∴ DEF=30∘+90∘=120∘⋅DC/AB ∠DEF+∠F=180∘ △AFE=60∘20.【答案】解：(1)AE // FH；∠EAH=∠FHA；∠E=∠F（写出两个即可）.(2)选择：AE // FH．证明：因为AB // CD，所以∠BAH=∠CHA，又因为AE // FH，所以∠EAH=∠FHA，所以∠BAH−∠EAH=∠CHA−∠FHA，即∠1=∠2．【解答】解：(1)AE // FH；∠EAH=∠FHA；∠E=∠F（写出两个即可）.(2)选择：AE // FH．证明：因为AB // CD，所以∠BAH=∠CHA，又因为AE // FH，所以∠EAH=∠FHA，所以∠BAH−∠EAH=∠CHA−∠FHA，即∠1=∠2．21.【答案】证明：① AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，① AD // EF．① ∠1=∠3．① ∠1=∠2，① ∠2=∠3．① DE // AC．【解答】证明：① AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，① AD // EF．① ∠1=∠3．① ∠1=∠2，① ∠2=∠3．① DE // AC．22.【答案】解：① AB // DE，∠B=60∘，① ∠BCD=120∘．① CM平分∠DCB，∠DCB=60∘．① ∠DCM=12① CM⊥CN，① ∠MCN=90∘，① ∠DCM+∠NCE=90∘，① ∠NCE=90∘−60∘=30∘．【解答】解：① AB // DE，∠B=60∘，① ∠BCD=120∘．① CM平分∠DCB，∠DCB=60∘．① ∠DCM=12① CM⊥CN，① ∠MCN=90∘，① ∠DCM+∠NCE=90∘，① ∠NCE=90∘−60∘=30∘．23.【答案】解：(1)如果①，①，那么①；如果①，①，那么①；(2)对于命题“如果①，①，那么①”证明如下：① BE // AF，① ∠AFD=∠BEC．① AD=BC，∠A=∠B，① △ADF≅△BCE，① DF=CE．① DF−EF=CE−EF，即DE=CF；对于命题“如果①，①，那么①”证明如下：① BE // AF，① ∠AFD=∠BEC．① DE=CF，① DE+EF=CF+EF，即DF=CE．① ∠A=∠B，① △ADF≅△BCE，① AD=BC．【解答】解：(1)如果①，①，那么①；如果①，①，那么①；(2)对于命题“如果①，①，那么①”证明如下：① BE // AF，① ∠AFD=∠BEC．① AD=BC，∠A=∠B，① △ADF≅△BCE，① DF=CE．① DF−EF=CE−EF，即DE=CF；对于命题“如果①，①，那么①”证明如下：① BE // AF，① ∠AFD=∠BEC．① DE=CF，① DE+EF=CF+EF，即DF=CE．① ∠A=∠B，① △ADF≅△BCE，① AD=BC．24.【答案】ABN,120∘,AM,BN,ACB,CBN① AM // BN，① ∠ABN+∠A＝180∘，① ∠ABN＝180∘−60∘＝120∘，① ∠ABP+∠PBN＝120∘，① BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，① ∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，① 2∠CBP+2∠DBP＝120∘，① ∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60∘；不变，∠APB:∠ADB＝2:1．① AM // BN，① ∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，① BD平分∠PBN，① ∠PBN＝2∠DBN，① ∠APB:∠ADB＝2:1．【解答】①① AM // BN，∠A＝60∘，① ∠A+∠ABN＝180∘，① ∠ABN＝120∘；①① AM // BN，① ∠ACB＝∠CBN，故答案为：120∘，CBN；① AM // BN，① ∠ABN+∠A＝180∘，① ∠ABN＝180∘−60∘＝120∘，① ∠ABP+∠PBN＝120∘，① BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，① ∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，① 2∠CBP+2∠DBP＝120∘，① ∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60∘；不变，∠APB:∠ADB＝2:1．① AM // BN，① ∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，① BD平分∠PBN，① ∠PBN＝2∠DBN，① ∠APB:∠ADB＝2:1．。
人教版七年级数学下册《5.3 平行线的性质》同步练习-附答案
人教版七年级数学下册《5.3 平行线的性质》同步练习-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列角的平分线中，互相垂直的是（）A．平行线的同旁内角的平分线B．平行线的同位角的平分线C．平行线的内错角的平分线D．对顶角的平分线2．如图，已知∠1=70°，CD∥BE，则∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°3．下列命题中，是真命题的是（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．三角形一个外角大于它的任何一个内角C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．135°B．130°C．45°D．35°5．如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC则下列说法正确的是（）A．AB//CD B．AC⊥CD C．∠D=60°D．AD//BC 6．如图，直线l1//l2，则∠α为（）A．150°B．140°C．130°D．120°7．如图，下列结论中不正确的是（）A．若AD∥BC，则∠1=∠B B．若∠1=∠2，则AD∥BCC．若∠2=∠C，则AE∥CD D．若AE∥CD，则∠1+∠3=180°8．如图AB//EF，∠ABD=13∠ABC，∠EFD=13∠EFC若∠BCF=120°，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．90°D．100°二、填空题9．命题“如果x2=9，那么x=3”是命题(填“真”或“假”).10．如图，AB∥CD，∠C=55°，则∠1的度数是.11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为．12．如图AB∥CD，∠A=24°，∠C=55°则∠E=°．13．如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数等于.14．如图，点E在DF上，点B在AC上∠1=∠2，∠C=∠D若∠A=45°，试求∠F的度数．15．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠B=∠3若∠1+∠2= 180°，∠C=60°．（1）判断线段DE和BC的位置关系，并说明理由；（2）求∠DEC的度数．16．如图∠BCD=∠BFE，∠1+∠2=180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA⊥AB，∠1−∠2=80°求∠BEF的度数．1．A2．C3．A4．D5．D6．D7．A8．B9．假10．125°11．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等12．3113．25°14．解：∵∠1=∠2，∠2=∠ANC∴∠1=∠ANC∴DB//EC∴∠ABD=∠C∵∠C=∠D∴∠D=∠ABD∴DF//AC∴∠A=∠F=45°∴∠F的度数为45°．15．（1）解：DE与BC平行，理由如下：∵∠1+∠2=180°∴BD∥EF∴∠B=∠OFC∵∠3=∠B∴∠OFC=∠3∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC∴∠DEC+∠C=180°又∵∠C=60°∴∠DEC=180°−∠C=180°−60°=120°．16．（1）证明：∵∠BCD=∠BFE∴CD∥EF∴∠2=∠DCE∵∠1+∠2=180°∴∠1+∠DCE=180°∴AD∥CE；（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠1−∠2=80°∴∠2=50°∵AD∥CE，DA⊥AB∴∠CEB=∠DAB=90°∴∠BEF=90°−∠2=40°。
七年级数学人教版下册 5.3平行线的性质作业(含答案)
人教版七年级数学下册 5.3平行线的性质一、选择题1．如图，已知直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别交于点A ，B ．若∥1＝54°，则∥2等于（ ）A ．126°B ．134°C ．136°D ．144°2．如图，有,,A B C 三个地点，且AB BC ⊥，从A 地测得B 地的方位角是北偏东43︒，那么从C 地测B 地的方位角是（ ）A ．南偏东47︒B ．南偏西43︒C ．北偏东43︒D ．北偏西47︒3．如图，AB ∥CD ，∥1＝∥2，∥3＝130°，则∥2等于（ ）A ．30°B ．25°C ．35°D ．40°4．如图，//AB CD ，EC 分别交,AB CD 于点,F C ，链接DF ，点G 是线段CD 上的点，连接FG ，若13∠=∠，24∠∠=，则结论∥C D ∠=∠，∥FG CD ⊥，∥EC FD ⊥，正确的是（ ）A ．∥∥B ．∥∥C ．∥∥D ．∥∥∥5．已知，如图，点D 是射线AB 上一动点，连接CD ，过点D 作//DE BC 交直线AC 于点E ，若84ABC ∠=︒，20CDE ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．104︒B ．76︒C ．104︒或76︒D ．104︒或64︒6．一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（ ）A ．北偏东30°B ．北偏东60°C ．南偏西30°D ．南偏西60°7．如图，a ，b 是两条平行的小路，小何沿与小路b 的夹角为55°的方向前进，到点O 处时，向左拐60°继续前进，则他拐弯后的路线与小路a 的夹角（∥1）的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．小明和小亮在研究一道数学题，如图EF AB ⊥，CD AB ⊥，垂足分别为E 、D ，G 在AC 上．小明说：“如果CDG BFE ∠=∠，则能得到AGD ACB ∠=∠”；小亮说：“连接FG ，如果//FG AB ，则能得到GFC ADG ∠=∠”．则下列判断正确的是（ ）A ．小明说法正确，小亮说法错误B ．小明说法正确，小亮说法正确C ．小明说法错误，小亮说法正确D ．小明说法错误，小亮说法错误9．已知，//AB CD ，且2CD AB =，ABE △和CDE △的面积分别为2和8，则ACE △的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．下列命题中，真命题是（ ）A ．同位角相等B ．同旁内角相等的两直线平行C ．同旁内角互补D ．平行于同一条直线的两直线平行二、填空题11．如图，直线//AB CD ，BC 平分ABD ∠，若162∠=︒，则2∠=________．12．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则下列结论：（1）'32C EF ∠=︒；（2）148AEC ∠=︒；（3）64BGE ∠=︒；（4）116BFD ∠=︒．正确的有________个．13．一副直角三角板叠放如图∥，90C E ∠=∠=︒．现将含45︒角的三角板ADE 固定不动，把含30角的三角板ABC（其中30CAB ∠=︒）绕顶点A 顺时针旋转角()0180αα︒<<︒．（1）如图∥，当α=______度时，边BC 和边AE 所在的直线互相垂直；（2）当旋转角α在30180α︒<<︒的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的α=______．14．如图，a ∥b ，∥1＝68°，∥2＝42°，则∥3＝_____________．15．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，且60ABO ∠=︒，射线BA 以每秒9︒的速度绕B 点顺时针方向旋转至射线1BA ，M 为x 轴正半轴上一点，射线MO 以每秒6︒的速度绕M 点逆时针方向旋转至射线1MO ，设运动时间为t 秒()030t <<，当t =______秒时，11//BA MO ．三、解答题16．如图，已知∥1=∥2，AD =2BC ，三角形ABC 的面积为3，求三角形CAD 的面积．17．如图，已知//AD EF ，250∠=︒．（1）求3∠的度数：（2）若12∠=∠，问：//DG BA 吗？请说明理由；（3）若12∠=∠，且20DAG ∠=︒，求AGD ∠的度数．18．如图，已知直线AB //EF ，AB //CD ，∥ABE =50°，EC 平分∥BEF ，求∥DCE 的度数．19．如图，13180∠+∠=︒，CD AD ⊥于D ，CM 平分DCE ∠．求4∠的度数．20．如图，AE BC ⊥，DF BC ⊥，且12∠=∠．（1）判断AB 与CD 是否平行，并请说明理由；（2）若BC 平分ABD ∠，且390BDC ∠=∠+︒，求C ∠的度数．21．如图，AB//CD ，点M 为两直线之间一点．（1）如图1，若∥AEM 与∥CFM 的平分线交于点N ，若∥EMF=88°，求∥ENF 的度数．（2）如图2，若∥AEM 与∥CFM 的平分线交于点N ，∥EMF 与∥ENF 有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若∥AEM 的平分线与∥DFM 的平分线所在的直线交于点N ，请直接写出∥EMF 与∥ENF 之间的数量关系： ．22．如图，已知直线//AB CD ，100A C ∠=∠=︒，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE ∠的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB ∠=∠的情况，求ADB ∠的度数．23．为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交又照射巡视．若灯A 转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即//PQ MN ，且:3:2BAM BAN ∠∠=．（1）填空：BAN ∠=_________；（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作ACD ∠交PQ 于点D ，且126ACD ∠=︒，则在转动过程中，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【参考答案】1．A 2．A 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D11．56°12．313．15 60°或105°或135°14．110°15．2秒或14秒或26秒16．617．（1）50°；（2）平行；（3）110°18．∥DCE =155°19．45°20．（1）平行；（2）30C ∠=︒．21．（1）44°；（2）∥EMF +2∥ENF =360°；（3）∥ENF +12EMF ∠=90°． 22．（1）直线AD 与BC 互相平行；（2）40DBE ∴∠=︒（3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒． 23．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∥BAC =2∥BCD。
七年级数学下册53平行线的性质教材习题解析素材(新版)新人教版.docx
平行线的性质教材习题解析习题5・3（P22）1.解析：本题考查平行线的性质2.解答木题的关键是，要理解“两次转弯后，和原来的方向相同“的意义，即两次转弯前后的公路所在的直线平行，根据“两直线平行，内错角相等”得，第二次的拐角ZB应等于135*.2.解析：本题考查平行线的性质3.已知AD〃BC,厶・fiT,根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，^B-I8（r-Z4-12T;不用度量方法，仅根据平行线的性质，不能求得ZD的度数.因为ZD 与ZA是同旁内角，而直线AB与CD是否平行不得而知，因此不能用平行线的性质來求解.3.解析：本题考查了平行线的三个性质.解题时要弄清楚直线和角的位置关系.（1）由4・1师，根据平行线的性质2 “两直线平行，内错角相等”得，乂2・11叭（2）由zi・mr,根据平行线的性质1 “两直线平行，同位角相等”得，（3）由，根据平行线的性质3“两直线平行，同旁内角互补”得，z<-i8（r-ii（r-7r■4.解析：本题考查平行线的性质2,性质3及性质1（或邻补角定义）.由性质2可求得Z2,由性质3可求得Z3,由性质1（或邻补角定义）可求得Z4.因为。
〃内，根据“两直线平行，内错角相等”，可得因为根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得Z3=i8（r-Z5=iior;因为Z4与Z5互为邻补角，所以&・wr-z5・iir （或根据“两直线平行，同位角相等”，可得Z4-Z3-UF）.5.解析：本题考查平行线的性质3的应用.木题求解时，可以把公路两侧的管道看成平行线，对接的管道看作截线，应用“两直线平行，同旁内角互补”可得，另一侧应以iar-iar=«r 的角铺设.6.解析：本题考查平行线的性质和判定的综合应用，以及分析推理能力.解题时，应对照图形区分每一步推理是使用平行线的判定，还是使用平行线的性质，然后再填写理由.答案依次是:内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.7.解析：本题考查平行线的性质2和性质3•第（1）题关键是寻找其中的同位角或内错角.注意到AB〃CD, AC是截线，因此只有Z1和Z4是内错角，它们相等；其他角中没有同位角，不存在相等的关系；第（2）题屮ZACE被CD分为ZACD和ZECD两个角，运用平行线的性质3,由AB〃CD 得到ZBAC+ZACD--W,由CD〃EF 得到ZECD+ZCEF-IW ,所以ZBAC+ ZACE+ ZCEF= ZBAC+ ZACD+ ZECD+ ZCEF-3HT ,本题答案应为（1） C；（2） C.8.解析：本题考查平行线的性质1和性质3的实际运用.解答本题的关键是已知光线平行，同吋水面与水底面也是平行的，然后根据平行线的性质可以求出各角.由“两直线平行，同位角相等”得，Z4-Z2-m.由“两直线平行，同旁内角互补”得，心・1抄-/4・瑚，Z7-18T -Zl-137 , ZB-I80T -0・BT9.解析：本题考查文字语言与符号语言的互相转化，及平行线的判定与性质.用式子表示一些三段论推理的句子，一方面可以培养学生儿何不同语言相互转化的能力，另一方面, 通过用符号表示一些简单的推理过程，为后面学习证明做准备.（1） VZ1=Z2（已知），・・・AB〃EF（内错角相等，两直线平行）；（2）・・・DE〃BC（已知）,AZ1=ZB, Z3=ZC（两直线平行，同位角相等）.10.解析：本题考查平行线、垂线在生活中的运用，涉及如何画平行线、垂线的问题.答案略.11.解析：本题考查相交线、垂线、平行线在生活中的应用.画好一个篮球场地，需要用到许多垂线、平行线的知识，通过解决这样一个问题，让学生感受到平行线知识在实际生活中的应用.第（1）题答案不唯一，比如操场上的单杠与立柱垂直，双杠中的两根杠子平行等等；第（2）题在纸上画篮球场地，可以用直角三角板或平行线的性质来保证垂直.画平行线可以用推三角尺的方法或用平行线的判定方法来操作.画图略.12.解析：本题考查真、假命题的概念和判断，以及如何说明一个命题是假命题，体会反例的作用.（1）假命题，比如：冊和70•都是锐角，但它们的和1处不是锐角;(2)真命题；(3)假命题，只要作出一对不互补的同旁内角即可，例如一个三角形中，任意两个内角都可以看作是同旁内角，但它们不互补.13.解析：本题考查分析推理能力和对证明过程的理解，主要是填写证明过程川的关键步骤和理由，涉及平行线的性质、角平分线的定义、等量代换等知识.答案依次是：(1)ZC；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.(2)2 ；角平分线的定义；等量代换(或等式的性质).14.解析：本题考查平行线的性质、平角的定义等.本题是证明三角形内角和定理的另一种方法.(1)ZDAB二44°,因为DE〃BC,根据“两直线平行,内错角相等”可得,ZDAB=ZB=44°；(2)ZEAC=57°,因为DE〃BC,根据“两直线平行，内错角相等”可得,ZEAC=ZC=57°；(3)ZBAC=79°，因为ZDAE 是平角，所以ZBAC=180° -ZDAB-ZEAC=180° -44° -57° =79°・由以上结论可得：ZB+ZC+ZBAC二180°,这实际上说明了三角形三个内角和为180° .15.解析：本题考查平角的定义、平行线的性质和判定的综合应用等•解答时关键要认识到两面镜子是平行的，从而Z2与Z3是一对内错角，所以它们相等.本题要求说明两条光线平行，需要分析这两条光线是被哪一条直线所截，形成了哪些角？这些角有什么数量关系，进而发现形成的Z5与Z6是一对内错角，只要Z5与Z6相等，就能说明这两条光线平行.因为两而镜子是平行放置的，根据“两直线平行，内错角相等”可得，由平角等于1ST 可得，Z5-IW-Z1-Z2 , ZB-l8(r-z3-Z4 .因为Z1-Z2,厶所以又由“内错角相等，两直线平行”可以判断，进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是平行的.。
七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明课时练习(pdf,含解析人教版
初中数学·人教版·七年级下册——第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明测试时间:30分钟一、选择题1.下列说法正确的是()A.“作线段CD=AB”是一个命题B.过一点作已知直线的平行线有且只有一条C.命题“若x=1,则x2=1”是真命题D.“具有相同字母的项称为同类项”是同类项的定义2.下列命题中,是真命题的是()A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等B.邻补角互补C.相等的角是对顶角D.两个锐角的和是钝角3.如图,下列命题错误的是()A.如果AB∥CD,那么∠1=∠4B.如果AB∥CD,那么∠1=∠3C.如果AD∥BC,那么∠3=∠4D.如果AD∥BC,那么∠3+∠2=180°4.下列命题中,是真命题的有()①两条直线被第三条直线所截,同位角的平分线平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④对顶角相等,邻补角互补.A.1个B.2个C.3个D.4个5.把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式,正确的是()A.如果是同角,那么余角相等B.如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的余角C.如果是同角的余角,那么相等D.如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等6.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a>0,b>0,则a+b>0B.直角都相等C.同位角相等,两直线平行D.若a=b,则|a|=|b|7.下列命题中,是假命题的是()A.对顶角相等B.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补C.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行D.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补二、填空题8.“直角都相等”的题设是,结论是.9.命题“互补的两个角不能都是锐角”是命题(填“真”或“假”).10.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是.11.命题“若a>b,则|a|>|b|”是假命题,请举出一个反例加以说明:.12.“若实数a,b,c满足a<b<c,则a+b<c”,能够说明该命题是假命题的一组a,b,c的值可以依次为.13.如图,请在AB∥CD,∠A=30°,∠CDA=30°三项中选择两个作为条件,一个作为结论,写一个真命题:如果且,那么.三、解答题14.把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并判断其真假.(1)等角的补角相等;(2)不相等的角不是对顶角;(3)相等的角是内错角.15.(1)完成下面的推理说明:已知:如图,BE∥CF,BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD.求证:AB∥CD.证明:∵BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD(已知),∴∠1=12∠,∠2=12∠().∵BE∥CF(),∴∠1=∠2().∴12∠ABC=12∠BCD().∴∠ABC=∠BCD().∴AB∥CD().(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.一、选择题1.答案C“作线段CD=AB”不是判断事情的语句,故A错误;过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条,故B错误;命题“若x=1,则x2=1”是真命题,故C正确;具有相同字母且相同字母的指数也相同的项称为同类项,故D错误.2.答案B两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,故A选项错误,是假命题;邻补角互补,故B选项正确,是真命题;相等的角不一定是对顶角,故C选项错误,是假命题;两个锐角的和不一定是钝角,故D选项错误,是假命题,故选B.3.答案B如果AB∥CD,那么∠1=∠4,故A选项正确;由AB∥CD,不能得出∠1=∠3,故B选项错误;如果AD∥BC,那么∠3=∠4,故C选项正确;如果AD∥BC,那么∠3+∠2=180°,故D选项正确.故选B.4.答案A两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线平行,故①是假命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故②是假命题;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故③是假命题;对顶角相等,邻补角互补,故④是真命题.故选A.5.答案D命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.故选D.6.答案C A.若a>0,b>0,则a+b>0的逆命题为若a+b>0,则a>0,b>0,逆命题错误,为假命题;B.直角都相等的逆命题为相等的角都是直角,逆命题错误,为假命题;C.同位角相等,两直线平行的逆命题为两直线平行,同位角相等,逆命题正确,为真命题;D.若a=b,则|a|=|b|的逆命题为若|a|=|b|,则a=b,逆命题错误,为假命题,故选C.7.答案B对顶角相等,故A选项中是真命题;两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,故B选项中是假命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故C选项中是真命题;若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补,故D选项中是真命题,故选B.二、填空题8.答案n个角是直角;这n个角相等9.答案真解析根据锐角的定义得出,互补的两个角不能都是锐角,此命题是真命题.10.答案如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行11.答案a=1,b=-2(答案不唯一)解析当a=1,b=-2时,满足a>b,但不满足|a|>|b|(答案不唯一).12.答案1,2,3(答案不唯一)解析当a=1,b=2,c=3时,满足a<b<c,不满足a+b<c(答案不唯一),所以能够说明原命题是假命题的一组a,b,c的值可以依次为1,2,3.13.答案AB∥CD;∠A=30°;∠CDA=30°(答案不唯一)解析根据两直线平行,内错角相等可直接写出一个真命题.三、解答题14.解析(1)如果两个角分别是两个相等的角的补角,那么这两个角相等.是真命题.(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.是真命题.(3)如果两个角相等,那么这两个角是内错角.是假命题.15.解析(1)∵BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD(已知),∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠BCD(角平分线的定义).∵BE∥CF(已知),∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).∴12∠ABC=12∠BCD(等量代换).∴∠ABC=∠BCD(等式的性质).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).(2)①两直线平行,内错角相等;②内错角相等,两直线平行.。
人教版七年级下册数学 5.3.1平行线的性质 同步练习(含解析)
5.3.1平行线的性质同步练习一．选择题1．如图，若直线l1∥l2，则下列各式成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠5C．∠2+∠5＝180°D．∠1+∠3＝180°2．如图，下列推理错误的是（）A．∵∠1＝∠2，∴a∥b B．∵b∥c，∴∠2＝∠4C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c D．∵∠2+∠3＝180°，∴a∥c3．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝62°，则∠2的度数为（）A．28°B．30°C．38°D．62°4．如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知AB∥CD，∠1＝113°，∠2＝63°，则∠C的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．如图，直线AB∥DE，AB与DF相交于点C，CE⊥DF，∠FCB＝33°，则∠E的度数是（）A．33°B．47°C．53°D．57°7．下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（）A．B．C．D．8．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（）A．180°+∠1﹣∠2B．∠1+∠2C．∠2﹣∠1D．180°+∠2﹣2∠19．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（）A．30°B．25°C．35°D．40°10．如图，将长方形纸片ABCD进行折叠，如果∠BHG＝82°，那么∠BHE的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．59°二．填空题（共5小题）11．如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是．12．如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为．13．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为．14．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝．15．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为．三．解答题（共3小题）16．阅读理解填空，并在括号内填注理由．如图，已知AB∥CD，M，N分别交AB，CD于点E，F，∠1＝∠2，求证：EP∥FQ．证明：∵AB∥CD（）∴∠MEB＝∠MFD（）．又∵∠1＝∠2（）∠MEB﹣∠1＝∠MFD﹣∠2（）即：∠MEP＝∠EP∥．（）17．如图，已知AD∥BC，AE平分∠BAD交BC延长线于点E，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E，求证：AB∥DC．18．如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（）∴AD∥BC（）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（）∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°∵AB∥EF（）∴∠BAF＝∠F（）∵∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（）参考答案一．选择题1．解：∵直线l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，故选：D．2．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，选项A正确；∵b∥c，∴∠2＝∠4，选项B正确；∵a∥b，b∥c，∴a∥c，选项C正确；∵∠2+∠3＝180°，∴b∥c，选项D错误；故选：D．3．解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝62°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣62°＝28°，故选：A．4．解：∵a∥b，c∥d，∴∠2＝∠3，∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠3＝180°，∵∠3＝∠4，∠2＝∠5，∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠5＝180°，故选：D．5．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠FGD＝113°，∴∠C＝∠FGD﹣∠2＝113°﹣63°＝50°，故选：C．6．解：∵AB∥DE，∠FCB＝33°，∴∠D＝∠FCB＝33°，又∵CE⊥DF，∴∠DCE＝90°，∴∠D+∠E＝90°，则∠E＝90°﹣∠D＝57°，故选：D．7．解：A、∵∠1和∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故本选项不合题意；B、如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2，故本选项不合题意；C、∵a∥b，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故本选项不合题意；D、∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），不能判断∠1＝∠2，故本选项符合题意；故选：D．8．解：过点C作CF∥AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．故选：A．9．解：∵AB∥CD，∠3＝130°，∴∠GAB＝∠3＝130°，∵∠BAE+∠GAB＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAE＝×50°＝25°．故选：B．10．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEH＝∠BHE，∠DEH+∠EHC＝180°，根据折叠可知：∠CHE＝∠EHG，∵∠EHC＝∠BHE+∠BHG，∴∠BHE+∠BHE+∠BHG＝180°，∴2∠BHE＝180°﹣82°＝98°，∴∠BHE＝49°．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，∵∠2＝95°，∠3＝150°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，故答案为：115°．12．解：∵AB∥MN，∴∠A+∠ACN＝180°，又∵∠A＝40°，∴∠ACN＝180°﹣∠A＝140°，∵CB平分∠ACN，∴∠ACB＝∠ACN＝70°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，故答案为：70°．13．解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°．14．解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．15．解：∵CB平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，则∠D的度数为100°．故答案为：100°．三．解答题（共3小题）16．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠MEB＝∠MFD（两直线平行同位角相等）．又∵∠1＝∠2（已知）∠MEB﹣∠1＝∠MFD﹣∠2（角的和差定义）即：∠MEP＝∠MFQEP∥FQ．（同位角相等两直线平行）故答案为：已知，两直线平行同位角相等，已知，角的和差定义，MFQ，FQ，同位角相等两直线平行．17．证明：∵AD∥BC，∴∠2＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∵∠CFE＝∠E，百度文库精品文档∴∠1＝∠CFE，∴AB∥DC．18．证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）BE平分∠ABC，AE平分∠BAD∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°∵AB∥EF（己证）∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（等量代换）。
人教版七年级下数学《5.3平行线的性质》同步练习含试卷分析答题技巧
七年级下册5.3平行线的性质同步练习1.如图，直线a,b被c,d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是( B )A.∠1=∠2 C.∠3+∠4=180°B.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°A.如果a＞b，那么b＜aB.同位角相等C.垂线段最短D.反向延长射线OA3.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于( C )A.120°B.130°C.140°D.40°A.在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cB.在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥cC.在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cD.在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c5.如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=(A )A.60°B.65°C.50°D.45°6.下列说法正确的是( A )7.如图，点A在直线BG上,AD∥BC，AE平分∠GAD，若∠CBA=80°,则( B )A.60°B.50°C.40°D.30°8.如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D.求证：AB∥CD.证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD( ).又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD( )，∴∠A=∠BFD( ).∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D( )，AB∥CD( ).【答案】对顶角相等同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等等量代换内错角相等，两直线平行9.如图AC∥DF,AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上，若∠2=50°，则∠1的度数为 .【答案】50°10. 如图，已知AB//DE，∠ABC=75°，∠CDE=150°，则∠BCD的度数为．【答案】45°【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等12.如图，AD∥BC，∠C =30°，∠ADB:∠BDC= 1:2，则∠DBC的度数是【答案】50°13.如图，点0是直线AB上一点.∠AOE=∠FOD=90∘，OD平分∠EOC，(1)图中与∠DOE互余的角有______ ．(2)图中与∠DOE互补的角有______ ．【答案】∠EOF，∠DOB；∠BOF14.如图，已知直线AB∥DF,∠D+∠B=180°.(1)试说明DE∥BC；(2)若∠AMD=75°，求∠AGC的度数.解析：(1)∵AB∥DF,∴∠D+∠BHD= 180°,∵∠D+∠B=∠DHB,∴DE∥BC.(2)由（1)知DE∥BC,∴∠AGB=∠AMD=75°,∴AGC=180°-∠AGB =180°-75°= 105°.15.如图，已知∠BEF+∠EFD=180°，EM 平分∠BEF,FN平分∠EFC.求证：∠M=∠N.解析：BEF EFD=180AB CD,BEF=EFC.EM BEF FN EFC,11MEF=BEF EFN EFC,22MEF EFN,EM FN,M N.∠+∠︒∴∴∠∠∴∠∠∴∠∠∠=∠∴∠=∠∴∴∠=∠， ∥平分，平分，∥ 16.小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB ∥CD ，∠BAE ＝35°，∠AED ＝90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE ＝35°，∠AED ＝90°后，又量了∠EDC ＝55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？解：过点E 作EF ∥AB.∵EF ∥AB ，∴∠AEF ＝∠BAE.∵∠BAE ＝35°，∴∠AEF ＝35°.∵∠AED ＝90°，∴∠DEF ＝∠AED －∠AEF ＝90°－35°＝55°.∵∠EDC ＝55°，∴∠EDC＝∠DEF. ∴EF∥CD.∴AB∥CD.。
人教版七年级数学下册《5.3.1平行线的性质》同步练习(含答案)
5.3 平行线的性质5.3.1平行线的性质关键问答①“三线八角”图形中，有些角不是同位角、内错角、同旁内角，那么可以通过什么方法把它们转化成同位角、内错角或同旁内角？②由平行线可以得到哪些角的数量关系？1．①如图5－3－1，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝56°，则∠2等于()图5－3－1A．24°B．34°C．56°D．124°2．2018·黔南州如图5－3－2，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为()图5－3－2A．30°B．60°C．90°D．120°3．②如图5－3－3，BD平分∠ABC，点E在BC上且EF∥AB，若∠FEB＝80°，则∠ABD的度数为()图5－3－3A．50°B．65°C．30°D．80°命题点1两直线平行，同位角相等[热度：92%]4．2018·襄阳如图5－3－4，把一个三角尺的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为()A．55°B．50°C．45°D．40°图5－3－4 图5－3－55.③如图5－3－5，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.解题突破③在能用图中字母表示的角中，∠1的同位角是哪个角？∠2的同位角是哪个角？它们之间有什么关系？命题点2两直线平行，内错角相等[热度：92%]6．2018·自贡在平面内，将一个直角三角尺按如图5－3－6所示方式摆放在一组平行线上．若∠1＝55°，则∠2的度数是()A．50°B．45°C．40°D．35°图5－3－6 图5－3－77．如图5－3－7，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________°.命题点3两直线平行，同旁内角互补[热度：92%]8．2018·临沂如图5－3－8，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是()A．42°B．64°C．74°D．106°图5－3－8 图5－3－99.④将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图5－3－9所示的方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．解题突破④∠ABD，∠CDB分别是多少度？∠1，∠ABD和∠CDB是“三线八角”中的角吗？如果不是，如何添加辅助线可以使这些角成为“三线八角”中的角？10．⑤如图5－3－10，AB∥DE∥GF，∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠1的度数．图5－3－10方法点拨⑤有关角的比例问题，先设每一份为x，然后根据题意，转化为方程求解.命题点4平行线的性质与判定的综合应用[热度：96%]11．已知：如图5－3－11，∠B＝∠C，∠1＝∠2.BE与CF平行吗？请说明理由．图5－3－1112.⑥已知：如图5－3－12，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠C.DE与BF平行吗？请说明理由．图5－3－12解题突破⑥(1)已知条件给出多对相等的角，可先判断这些角中是否存在同位角或内错角，若存在，则可得两直线平行；(2)利用平行线的性质时，尽可能得到与已知条件相关的角的数量关系.13．平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图5－3－13①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2.如图②所示，AB，CD为两面平面镜，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，请你计算：图②中，当两平面镜AB，CD的夹角∠ABC是多少度时，可以使入射光线m与反射光线n 平行但方向相反．图5－3－13典题讲评与答案详析1．C 2.B 3.A 4.D5．72[解析] 如图，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝54°，∠2＝∠3.∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD.∵∠ABC＋∠CBD＋∠3＝180°，∴∠3＝72°，∴∠2＝∠3＝72°.6．D[解析] 由题意可得：∠3＝∠1＝55°，∠2＝∠4＝90°－55°＝35°.7．15[解析]∵AB∥EF，∴∠AFE＝∠A＝30°.∵∠AFC＝15°，∴∠EFC＝15°.∵CD∥EF，∴∠C＝∠EFC＝15°.8．C[解析]∵AB∥CD，∴∠ABD＝180°－∠D＝138.∵∠CBA＝64°，∴∠CBD＝∠ABD－∠CBA＝74°. 9．15°[解析] 过点B作BE∥AF，点E在点B的左侧，∴∠ABE＝∠1.∵AF∥CD，∴BE∥CD，∴∠EBC＝∠BCD＝30°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝45°－30°＝15°，∴∠1＝∠ABE＝15°.10．解：∵∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，∴设∠1＝(2x)°，∠D＝(3x)°，∠B＝(4x)°.∵AB∥GF，∴∠GCB＝(180－4x)°.∵DE∥GF，∴∠FCD＝(180－3x)°.∵∠1＋∠GCB＋∠FCD＝180°，∴2x＋180－4x＋180－3x＝180，解得x＝36，∴∠1＝72°.11．解：BE∥CF.理由如下：∵∠1＝∠2，∠2＝∠EHB，∴∠1＝∠EHB，∴AC∥BD，∴∠B＋∠BAC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠B＝∠C，∴∠C＋∠BAC＝180°(等量代换)，∴BE∥CF(同旁内角互补，两直线平行)．12．解：DE∥BF.理由如下：∵∠3＝∠4，∴BD∥CF，∴∠C＋∠CDB＝180°.又∵∠5＝∠C，∴∠CDB＋∠5＝180°，∴AB∥CD，∴∠2＝∠BGD.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BGD，∴DE∥BF.13．解：由题意可知∠1＝∠2，∠3＝∠4.若使入射光线m与反射光线n平行，则∠5＋∠6＝180°.∵∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴在三角形ABC中，∠ABC＝90°.【关键问答】①通过对顶角相等、邻补角互补等进行转化．②两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．。
七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质习题含解析新版新人教版20200528347
5.3.1 平行线的性质1. （3分）（2019·河南省3/23）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°2. （3分）（2018·赤峰8/26）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°3. （3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//∠∠=︒，则FAAB CD，70∠=︒，40C的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒4. （3分）（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．5. （3分）（2015•盐城6/28）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．85° B．75° C．60° D．45°6. （3分）（2015•赤峰4/26）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10° B．20° C．30° D．50°7. （3分）（2015•鄂尔多斯4/24）如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（）第4题图A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′8. （3分）（2015•随州2/25）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°9. （3分）（2015•沈阳4/25）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．70°10. （3分）（2015•呼和浩特3/25）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°11. （3分）（2015•通辽8/26）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°12. （3分）（2015•陕西4/26）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A．43°30′ B．53°30′ C．133°30′ D．153°30′（2014•南宁14/26）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是°．13. （3分）14. （3分）（2014•贵港14/26）如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．15. （3分）（2015•云南11/23）如图，直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，则∠α=．16. （3分）（2014•仙桃3/25）如图，已知a ∥b ，小华把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析●（3分）（2019·河南省3/23）如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．58°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，l 1l 2l 3l 4 56°120° α∴∠B ＝∠1，∵∠1＝∠D +∠E ，∴∠D ＝∠B ﹣∠E ＝75°﹣27°＝48°，故选：B ．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．●（3分）（2018·赤峰8/26）已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠EGB ＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【考点】平行线的性质．【分析】依据AB ∥CD ，可得∠EHD ＝∠EGB ＝25°，再根据∠PHD ＝60°，即可得到∠PHG ＝60°﹣25°＝35°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EHD ＝∠EGB ＝25°，又∵∠PHD ＝60°，∴∠PHG ＝60°﹣25°＝35°，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． ●（3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//AB CD ，70C ∠=︒，40A ∠=︒，则F ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出BEF ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：//AB CD Q ，70C ∠=︒，70BEF C ∴∠=∠=︒．40A ∠=︒Q ，704030F ∴∠=︒-︒=︒． 故选：A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2018·通辽12/26）如图，∠AOB 的一边OA 为平面镜，∠AOB ＝37°45′，在OB 边上有一点E ，从点E 射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是 75°30′（或75.5°） ．【考点】度分秒的换算；平行线的性质．【分析】首先证明∠EDO ＝∠AOB ＝37°45′，根据∠DEB ＝∠AOB +∠EDO 计算即可解决问题；【解答】解：∵CD ∥OB ，∴∠ADC ＝∠AOB ，∵∠EDO ＝∠CDA ，∴∠EDO ＝∠AOB ＝37°45′，∴∠DEB ＝∠AOB +∠EDO ＝2×37°45′＝75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．【点评】本题考查平行线的性质、度分秒的换算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．●（3分）（2015•盐城6/28）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．85° B．75° C．60° D．45°考点：平行线的性质．分析：首先根据∠1=60°，判断出∠3=∠1=60°，进而求出∠4的度数；然后对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2=∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可．解答：解：如图1，，∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°，∵∠5=∠4，∴∠5=30°，∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°．故选：B．点评：此题主要考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．●（3分）（2015•赤峰4/26）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10° B．20° C．30° D．50°考点：平行线的性质．分析：先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．解答：解：∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，∴∠AKG=∠XKG=50°．∵∠CKG是△KMG的外角，∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．∵∠KMG与∠FMD是对顶角，∴∠FMD=∠KMG=20°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2015•鄂尔多斯4/24）如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（）第4题图A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′答案：A●（3分）（2015•随州2/25）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°考点：平行线的性质．.分析：由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．解答：解：如图：∵AB∥CD，∴∠A+∠2=180°，∴∠2=130°，∴∠1=∠2=130°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等分析．●（3分）（2015•沈阳4/25）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．70°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=60°，∵∠B=40°，∴∠A=180°﹣∠C ﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C 的度数是解答此题的关键．●（3分）（2015•云南11/23）如图，直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，则∠α= ．解法一：∵ 直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，∴ ∠α+56°=120°，∠α=120°-56°=64°.故答案：64°.解法二：如图，∵ ∠1+56°=120°，∴∠1=120°-56°=64°, ∵直线l 1∥l 2，∴ ∠α=∠1==64°.故答案：64°.考点：平行线的性质.解题分析：本题关键是准确找出“两直线平行，内错角相等”，即∠α+56°=120°；或是根据三角形外角的性质，求出∠1的度数，再由直线l 1∥l 2，可得∠α=∠1即可. 答题分析：考生答错原因：（1）不会运用平行线的性质定理；（2）三角形外角的概念不清楚；（3）角度的计算出现错误，如640，74°等；（4）结果中遗漏角的单位符号.●（3分）（2015•呼和浩特3/25）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．.专题：计算题．分析：先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．解答：解：如图，∵∠1=70°，l 1l 2l 3l 4 56°120° α∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C．点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．●（3分）（2015•通辽8/26）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°【答案】B【解析】试题分析：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB=∠A+∠E=25°+40°=65°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=65°，【考点】平行线的性质●（3分）（2015•陕西4/26）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A．43°30′ B．53°30′ C．133°30′ D．153°30′考点：平行线的性质．.分析：先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再根据补角的定义即可得出结论．解答：解：∵AB∥CD，∠1=46°30′，∴∠EFD=∠1=46°30′，∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．●（3分）（2014•南宁14/26）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是°．考点：平行线的性质．分析：求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，∵a∥b，∴∠2=∠3=60°，故答案为：60．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2014•贵港14/26）如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．【分析】先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．【解答】解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．●（3分）（2014•仙桃3/25）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】先根据互余计算出∠3=90°﹣40°=50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣40°=50°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°．∴∠2=180°﹣50°=130°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．。
七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质课时练习(pdf,含解析)人教版
一、选择题
1.答案 A 如图,∵∠2+∠5=180°,∠1+∠2=180°, ∴∠1=∠5, ∴a∥b, ∴∠4=∠6, ∵∠3=124°, ∴∠6=180°-∠3=56°, ∴∠4=56°. 故选 A.
2.答案 B 如图,∵a∥b,∴∠3=∠4, ∵∠3=∠1,∴∠1=∠4, ∵∠5+∠4=90°,且∠5=∠2,∴∠1+∠2=90°, ∵∠1=35°,∴∠2=55°.故选 B.
2
∴∠EGF=34°. 9.答案 35° 解析 如图,∠3=180°-∠1=180°-55°=125°, ∵直尺对边互相平行, ∴∠2+90°=∠3, ∴∠2=∠3-90°=125°-90°=35°.
6
10.答案 90 解析 如图,AB∥CD,∠AEC=90°, 作 EF∥AB,则∠1=∠AEF,EF∥CD. 所以∠2=∠CEF, 所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.
5.答案 B 如图,过 B 作 BE∥m,过 C 作 CF∥n, ∵m∥n, ∴m∥BE∥CF∥n, ∴∠ABE=∠1=35°,∠DCF=∠2=62°,
5
又∵AB⊥BC, ∴∠ABC=90°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°, ∴∠BCF=∠EBC=55°, ∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=55°+62°=117°. 故选 B.
2
12.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED 与∠ACB 的大小,并说明理由.
13.如图,AD∥BC,∠B=∠D,直线 EF 分别交 BA、DC 的延长线于 E、F.求证:∠E=∠F.
14.如图,AB∥CD,∠ABD 的平分线交 CD 于点 F,交∠BDC 的平分线于点 E. (1)求证:∠1+∠2=90°; (2)如果∠EDF=30°,那么∠BFC 等于多少度?
人教版 七年级数学 5.3 平行线的性质 同步训练(含答案)
人教版 七年级数学 5.3 平行线的性质 同步训练一、选择题（本大题共10道小题） 1. 如图，直线l 1∥l 2，则∠α为()A. 150°B. 140°C. 130°D. 120°2. （2020·河南）如图， 1l ∥2l ，3l ∥4l ，若∠1=70°，则∠2的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130°3. 如图，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°则3∠的度数为（） A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°mn1234. （2020·随州）2.如图，直线1l ∥2l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ） B.60° D.100°C.120°D.140°5. 如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ，若∠ADC ＝35°，则∠1的度数为( )A . 65°B . 55°C . 45°D . 35°6. （2020·常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是() A．30°B．40°C．50°D．60°7. 将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF//BC，则∠ADF等于（）A．70°B．75°C．80°D．85°EFAC BD8. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°9. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB 的度数是()A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′10. 如图所示，两直线AB CD、平行，则l23456∠+∠+∠+∠+∠+∠=( ) A．630︒B．720︒C．800︒D．900︒65HG 4321DCFEBA二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．图221bal12. 如图，已知a b∥，170∠=︒，240∠=︒，则3∠=__________．ba321CBA13. 有一直的纸带，如图折叠时，α∠=_________．α30°E DCBA14. （2020·黄冈）已知：AB∥EF，∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD=________度．135°75°A BE FD15. （2019·上海）如图，已知直线l1∥l2，含90°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．16. （2020·恩施）如图，直线12//l l，点A在直线1l上，点B在直线2l上，AB BC=，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．17. （2020·永州）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．18. （2020·新疆）如图，若AB ∥CD ，∠A ＝110°，则∠1＝________°．三、解答题（本大题共3道小题）19. 已知如图所示，AB DE ∥,116D ∠=︒，93DCB ∠=︒，求B ∠的度数.D CEBA20. 如下图所示，已知AB CD ∥，分别探讨下面四个图形中BPD ∠与B ∠，D ∠的关系.PPPDC BA(1) (2) (3) (4)DD CC BBAA A BCD P21. 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.（1）如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： . （2）如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠， CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： . （3）如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠， CNE ∠，相交与点O .求证：MG NH ⊥. 从本题我能得到的结论是： . （4）如图⑷，已知：AB ，CD 相交于O ，OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠.求证：F ，O ，E 三点共线.从本题我能得到的结论是： .(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O (4)A BCD E F O人教版 七年级数学 5.3 平行线的性质 同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D 【解析】α＝70°＋(180°－130°)＝120°.2. 【答案】B【解析】如图，∵直线l1∥l2，∴∠3＝∠1＝70°，∵3l ∥4l，∴∠3＋∠2＝180°，∴ ∠2＝110°．3. 【答案】C ．4. 【答案】C【解析】本题考查了平行线的性质、邻补角的性质，解答过程如下：如图所示，∵1l ∥2l ，∴∠3=∠1=60°， ∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°.因此本题选C ．5. 【答案】B【解析】∵DA ⊥AC ，∠ADC ＝35°，∴∠ACD ＝90°－∠ADC ＝90°－35°＝55°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ＝55°，故选B.6. 【答案】B【解析】本题考查了平行线的性质，如图，由于a ∥b ，所以∠3＝∠2，又由于∠1＋∠3＝180°，∠1＝140°，所以∠2＝40°．7. 【答案】B，【解析】本题考查平行线的性质． 解：∵EF //BC ，∴∠CGD ＝∠E ＝45°，3∵∠CGD 是△GDB 的外角，∴∠GDB ＝∠CGD －∠B ＝45°－30°＝15°． ∵∠EDF ＝90°，∴∠ADF ＝180°－15°－90°＝75°．故选B.GE F ACBD8. 【答案】C【解析】∵AB ∥CD ， ∴∠3＝∠1＝20°，∵三角形是等腰直角三角形，∴∠2＝45°﹣∠3＝25°．9. 【答案】B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC ＝∠ODE ，∵DC ∥OB ，∴∠ADC ＝∠AOE ，∴∠ODE ＝∠AOE ＝37°36′，∴∠DEB ＝∠ODE ＋∠AOE ＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.10. 【答案】D.【解析】分别过E F C H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】110°．12. 【答案】70︒13. 【答案】75︒【解析】∵AC BD ∥ ∴30CBE ∠=︒由折叠问题可知：ABC ABD ∠=∠∴()118030752ABD ∠=︒-︒=︒∵AC BD ∥∴75ABD α∠=∠=︒14. 【答案】30【解析】本题考查了平行线的性质，对顶角以及三角形外角等知识．如答题所示，由AB ∥EF 可得∠B+∠1=180°，而∠B=75°，则∠1=105°；有对顶角相等可得∠1=∠2=105°；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得∠2+∠C=135°，进而求出∠C=30°，因此本题答案为30．21135°75°A BEFCD15. 【答案】120【解析】∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠2＝∠DCA ＋∠DAC ＝60°，∵11∥l2，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－60°＝120°．16. 【答案】40°【解析】∵AB =BC ，∠C =30︒， ∴∠CAB =30︒，∴∠CBA =120︒， ∵∠1=80︒， ∴∠EBA =40︒， ∵12//l l∴240EBA ∠∠==︒，故答案为：40︒．17. 【答案】35°【详解】如图，标注字母，延长ED 交a 于C ， 由题意得：30,90,B DEB ∠=︒∠=︒ 60,BDE ∴∠=︒//,a b 2,DCA ∴∠=∠1,125,BDE DCA ∠=∠+∠∠=︒602535,DCA ∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒故答案为：35.︒18. 【答案】70【解析】本题考查了平行线的性质以及对顶角的性质．如答图，因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠A ＝180°－110°＝70°．因为∠1＝∠2，所以∠1＝70°．三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】29︒【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，DCFEBA因为116D ∠=︒，18011664DCF ∠=︒︒=︒-因为93C ∠=︒，所以936429BCF ∠=︒-︒=︒， 因为B BCF ∠=∠，所以29B ∠=︒．20. 【答案】过P 做AB 、CD 的平行线，即可得如下结论： ⑴360BPD B D ∠+∠+∠= ； ⑵BPD D B ∠=∠-∠ ； ⑶BPD B D ∠=∠+∠ ； ⑷BPD B D ∠=∠-∠ .21. 【答案】（1） 两直线平行，同位角的角平分线平行. （2）证明：∵AB ∥CD ，∴BMF CNE ∠=∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠∴1122GMF BMF CNE HNM ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，内错角的角平分线平行. （3）证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠= 又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠∴119022GMF HNE AMF CNE ∠+∠=∠+∠=∴18090MON GMF HNE ∠=-∠-∠=，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，同旁内角的角平分线垂直. （4）证明：∵AB ，CD 相交于O ，∴AOC BOD ∠=∠ ∵OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠∴12AOF AOC ∠=∠，12DOE BOD ∠=∠∵180AOC AOD ∠+∠=，∴180AOF AOD DOE ∠+∠+∠=即F ，O ，E 三点共线从本题我能得到的结论是： 对顶角的平分线，在一条直线上. 要证明三点共线 ，我们可以通过证明这三点所成的角为180.。
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5-3平行线的性质》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5.3平行线的性质》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．要说明命题“若|a|＞5，则a＞5”是假命题，可以举的一个反例是（）A．a＝5B．a＝﹣5C．a＝6D．a＝﹣62．如图．AB∥CD，∠1＝115°，则∠2的度数是（）A．65°B．75°C．115°D．85°3．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．58°B．42°C．32°D．30°4．如图，AF与BD相交于点C，下列推理错误的是（）A．∵∠1+∠3＝90°，∴AF⊥BDB．∵CE∥FD，∴∠3+∠4+∠F＝180°C．∵AB∥CE，CE∥FD，∴AB∥FDD．∵∠2＝∠3，∴AB∥CE5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确7．如图，直线AB∥CD，点E、M分别为直线AB、CD上的点，点N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM，交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝θ（90°＜θ＜180°），则∠NGD﹣∠MNF的角度等于（）A．90°B．270°﹣θC．90°+θD．2θ﹣270°二．填空题（共8小题，满分32分）8．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：．9．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝22°，则∠1的度数是．10．如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是．11．如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的度数为．12．如图，AB∥CD，∠A＝∠D，有下列结论：①∠B＝∠C；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND．其中正确的有．（只填序号）13．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝°．14．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACF＝°．15．如图，已知∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，∠CDB＝∠CBD，BE平分∠CBF，若∠DBE＝59°，则∠DFB＝．三．解答题（共7小题，满分60分）16．如图，已知AD∥BC，∠B＝25°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．17．如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．18．已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠BFD＝∠ABC；（2）若∠ABC＝40°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．19．如图，AF∥BC，∠F AC＝72°，CD平分△ACB，∠CDE＝4∠BCD．（1）求∠CDE的度数．（2）求证：∠AED＝∠B．20．如图，AB和CD交于点O，EF∥AB，∠C＝∠D．（1）求证：∠A＝∠F；（2）若∠A＝70°，∠C＝∠COA，求∠D的度数．21．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．22．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．（1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由；（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；（3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：a＝﹣6时，满足|a|＞5，但﹣6＜5，故选：D．2．解：如图：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝115°，∴∠2＝180°﹣∠3＝65°．故选：A．3．解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故选：C．4．解：A．∵∠1+∠3＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AF⊥BD，故A正确，不符合题意；B．∵CE∥FD，∴∠ECF+∠F＝180°，∵∠3+∠4＝∠ECF，∴∠3+∠4+∠F＝180°，故B正确，不符合题意；C．∵AB∥CE，CE∥FD，∴AB∥FD，故C正确，不符合题意；D．∵∠2与∠3不是关于AB和CE的同位角，也不是关于AB和CE的内错角，∴∠2＝∠3不一定能判定AB∥CE，故D错误，符合题意，故选：D．5．解：∵a∥b，∴∠1+45°+60°＝180°，∴∠1＝75°．故选：A．6．解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正确；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正确；故选：A．7．解：过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，∴∠BEN+∠ENH＝∠HNF+∠NFG＝180°，∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°，∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，∵∠BEN＝θ，∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°﹣θ，∵NG平分∠ENM，∴∠ENG＝∠GNM，∴∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°﹣θ，∵NF⊥NG，∴∠GNM+∠MNF＝∠GNF＝90°，∴∠GNM+90°+∠NFG＝360°﹣θ，∴∠GNM+∠NFG＝270°﹣θ，∵∠NGD＝∠GNM+∠MNF+∠NFG，∴∠NGD﹣∠MNF＝∠GNM+∠NFG＝270°﹣θ，故选：B．二．填空题（共8小题，满分32分）8．解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．9．解：∵AB∥CD，∠B＝22°，∴∠BCD＝∠B＝22°，∵CB平分∠ECD，∴∠ECD＝2∠BCD＝44°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ECD＝44°．故答案为：44°．10．解：∵BD∥AC，∴∠2＝∠C＝75°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣38°﹣75°＝67°．11．解：如图，过点C作CM∥AB，∵AB∥ED，∴CM∥AB∥ED，∴∠B+∠BCM＝180°，∠D+∠DCM＝180°，∵∠B＝115°，∠D＝120°，∴∠BCM＝65°，∠DCM＝60°，∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝125°，故答案为：125°．12．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠AEC，又∵∠A＝∠D，∴∠AEC＝∠D，∴AE∥DF，∴∠AMC＝∠FNM，又∵∠BND＝∠FNM，∴∠AMC＝∠BND，故①②④正确，由条件不能得出∠AMC＝90°，故③不一定正确；故答案为：①②④．13．解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．14．解：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠CBD＝180°，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝∠CBD，∴CF∥DB，∵∠1＝66°，∴∠ABD＝66°，又∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝33°，∴∠2＝∠DBC＝33°，又∵BC⊥AG，∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣33°＝57°，故答案为：57．15．解：∵∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，∴∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BE平分∠CBF，∴∠EBF＝∠EBC，设∠EBF＝∠EBC＝α，∵∠DBE＝59°，∴∠DBF＝59°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC＝59°+α，∴∠ABF＝∠ABD+∠DBF＝59°+α+59°﹣α＝118°，∵AB∥CD，∴∠DFB＝180°﹣∠ABF＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．三．解答题（共7小题，满分60分）16．解：∵AD∥BC，∠B＝25°，∴∠ADB＝∠B＝25°．∵DB平分∠ADE，∴∠ADE＝2∠ADB＝50°，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE＝50°．17．解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，∴∠BEG＝∠EGC＝58°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．18．解：（1）∵∠BFD是△ABF的外角，∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABF＝∠EBC+∠ABF，即∠BFD＝∠ABC；（2）∵∠ABC＝40°，∠BFD＝∠ABC，∴∠BFD＝40°，∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG，∴∠BEG＝40°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝50°．19．（1）解：∵AF∥BC，∠F AC＝72°，∴∠ACB＝∠F AC＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝ACB＝36°，∵∠CDE＝4∠BCD，∴∠CDE＝4×36°＝144°；（2）证明：∵∠CDE＝144°，∠BCD＝36°，∴∠CDE+∠BCD＝180°，∴ED∥BC，∴∠AED＝∠B．20．（1）证明：∵∠C＝∠D（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．∴∠A＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）．∵EF∥AB，∴∠F＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），∴∠A＝∠F；（2）解：∵∠A+∠C+∠COA＝180°，∠A＝70°，∴∠C+∠COA＝110°．∵∠C＝∠COA，∴∠C＝55°．∵∠C＝∠D，∴∠D＝55°．21．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABP+∠PBN＝100°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，∴∠ABC+∠DBN＝50°，∴∠ABC＝25°．22．解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，理由如下：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DCG，∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECF＝∠DCG，∴∠D＝∠ECF，∵AB∥DC，∴∠DCG＝∠B，∴∠B＝∠D，∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B；（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，∴∠FCD＝65°，又∵∠BCF＝90°，∴∠BCD＝65°+90°＝155°；（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝25°；如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，∵∠B＝25°，AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．。
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人教版数学七年级下册5.3 平行线的性质达标训练一、选择题1. 如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝60°，则∠4的度数等于( )A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°【答案】C【解析】【分析】先根据：∠1=70°，∠2=70°，判定AB∥CD，再根据平行线的性质，求得∠4的度数．【详解】∵∠1=70°，∠2=70°，∴AB∥CD，∴∠3=∠4，又∵∠3=60°，∴∠4的度数等于60°．故选C．【点睛】本题考查了平行线点性质与判定，解题的关键是掌握：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．2. 下列命题是假命题的是( )A. 等角的补角相等B. 内错角相等C. 两点之间，线段最短D. 两点确定一条直线【答案】B【解析】因为两直线平行,内错角相等,如果两直线不平行,内错角不相等,故选B.3. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（）A. 23°B. 22°C. 37°D. 67°【答案】C【解析】 试题分析：：∵直尺的两边互相平行，∠1=23°，∴∠3=∠1=23°，∴∠2=60°-∠3=60°-23°=37°．故选C ．考点：平行线的性质．4. 如图所示，下列说法不正确的是（ ）A. ABD ∠与ECF ∠是同位角B. ABC ∠与FCG ∠是同位角C. DBC ∠与ECG ∠是同位角D. FCG ∠与DBC ∠是同位角【答案】A【解析】【分析】【详解】解:选项A ，∠ABD 与∠ECF 不是同位角；选项B ，∠ABC 与∠FCG 是是同位角；选项C ，∠DBC 与∠ECG 是同位角；选项D ，∠FCG 与∠DBC 是同位角；故选A．5. 如图所示，BE平分∠ABC，DE//BC，图中相等的角共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】【分析】由DE∥BC可得∠DEB=∠EBC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，再由角平分线知∠ABE=∠EBC，进行等量代换，即可得到所有相等的角.【详解】∵ DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，又∵ BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，即∠ABE=∠DEB，所以图中相等的角共有5对，故选C．【点睛】主要考查了平行线的性质及角平分线的定义.6. 下列语句中，不是命题的是（）A. 内错角相等B. 如果a+b=0，那么a、b互为相反数C. 已知a2=4，求a的值D. 玫瑰花是红的【答案】C【解析】试题分析：A，B，D都是判断一件事情的语句，并且由题设和结论构成．C不是判断一件事情的语句．故选C．考点：命题与定理．7. 下列语句中，是命题的是( )①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A. ①④⑤B. ①②④C. ①②⑤D. ②③④⑤【答案】A【解析】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①正确；②对顶角相等吗？不是命题，故②错误；③画线段AB＝CD，不是命题，故③错误；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④正确；⑤直角都相等，是命题，故⑤正确．故选A．8. 如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若∠1=135°，则∠2的度数为（）A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°【答案】C【解析】试题分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠2=180°-∠1=180°-135°=45°．故选C．考点：平行线的性质．9. 命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线两条直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】分析：根据对顶角的定义判断①③；②要注意“在同一平面内”是前提条件；④需要条件“两直线平行”.详解：由对顶角的定义可知，①正确；③错误；③当两条垂线不在同一平面内时，命题错误；④只有两直线平行时，同位角才相等，则④错误.故选C.点睛：判断一个命题是假命题，只需要举一个反例，命题垂直于同一条直线的两条直线平行，这两条直线一定要在同一平面内.10. 如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )A. ∠1=∠3B. ∠2=∠3C. ∠1=∠4D. ∠3=∠4【答案】C【解析】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD. 故选C.二、填空题11. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.【解析】分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 12. 如图，直线a 、b 被第三条直线c 所截，如果a ∥b ，∠1=70°，那么∠3的度数是_____．【答案】70°．【解析】试题分析：∵a∥b ，∴∠2=∠1=70°，∴∠3=∠2=70°（对顶角相等）．故答案是70°．考点：平行线的性质．13. 对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．(1)“如果ac ＝bc ，那么a ＝b”是一个假命题．反例：_________________；(2)“如果a 2＝b 2，则a ＝b”是一个假命题．反例：_____________．【答案】 (1). 3×0＝(－2)×0 (2). 32＝(－3)2【解析】试题解析：()1.30(2)0,⨯=-⨯ 3 2.≠-(2). 223(3),=- 3 3.≠-故答案为()1.30(2)0,⨯=-⨯()2223(3).=- 14. 下列语句∶①对顶角相等；②OA 是∠BOC 的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.【答案】④【解析】本题考查了命题的定义一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，所以需要找到可以判断真假的语句，对各个选项各个分析即可．①对顶角相等，是判断真假的语句，是命题；②OA 是∠BOC 的平分线，是判断真假的语句，是命题；③相等的角都是直角，是判断真假的语句，是命题；④线段AB ，不是判断真假的语句，不是命题；所以不是命题的是④．15. 如图，一只船从点A 出发沿北偏东60°方向航行到点B ，再以南偏西25°方向返回，则∠ABC ＝_______．【答案】35°【解析】试题解析：由图可知：602535.ABC ∠=-=故答案为35.16. 如图，已知AD ∥BE ，∠DAC=29°，∠EBC=45°，则∠ACB= ______°．【答案】74.【解析】试题分析：根据平行线的性质得出∠DAC+∠CAB+∠ABC+∠EBC=180°，求出∠CAB+∠ABC=106°，根据三角形内角和定理得出∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC），代入求出即可：∵AD∥BE，∴∠DAC+∠CAB+∠ABC+∠EBC=180°.∵∠DAC=29°，∠EBC=45°，∴∠CAB+∠ABC=106°.∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-106°=74°.考点：平行线的性质．三、解答题17. 已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°．求证：AE∥FD．【答案】见解析【解析】试题分析:先根据两直线平行同旁内角互补可得: ∠EAB+∠FDC=180°,再根据同角的补角相等可得: ∠AGD=∠EAB,再根据内错角相等,两直线平行可得: AE∥FD.试题解析:∵AB∥CD,∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行,同旁内角互补）, ∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）,∴∠AGD=∠EAB（同角的补角相等）, ∴AE∥FD（内错角相等,两直线平行）. 18. 如图，某次考古发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A＝115°，∠D＝100°，已知梯形的两底AD∥BC，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．【答案】∠B=65°，∠C=70°【解析】试题分析：本题主要利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．试题解析：∵AD ∥BC ，∠A=115°，∠D=100°， ∴∠B=180°-∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80°. 19. 命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．【答案】是真命题，证明见解析【解析】试题分析：如图, AB ∥CD ，EM 平分∠AEF ，FN 平分∠DFE ，先根据平行线的性质得∠AEF =∠DFE ，根据角平分线定义得到111,222AEF DFE ∠=∠∠=∠，则∠1=∠2， 然后根据平行线的判定可判断 EM ∥FN ，于是可判断“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题． 试题解析：命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．证明如下：如图, AB ∥CD ，EM 平分∠AEF ，FN 平分∠DFE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF =∠DFE ，∵EM 平分∠AEF ，FN 平分∠DFE ，111,222AEF DFE ∴∠=∠∠=∠， ∴∠1=∠2， ∴EM ∥FN ，即两直线平行，内错角的平分线互相平行.20. 已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．【答案】见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠B+∠BCE=180°，∠B=∠BCD，再根据CM平分∠BCE可知∠1=∠2，再由CN⊥CM可知，∠2+∠3=90°，故∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4，故可得出结论．【详解】∵AB∥DE，∴∠B+∠BCE=180°，∠B=∠BCD，∵CM平分∠BCE，∴∠1=∠2，∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠3+∠4=∠BCD，∴∠B=2∠DCN．。