固体物理考试_复习

1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢

k

j i a a a a a a

321

)

(2/)(2/)

(2/321k j i a a k j i a a k j i a a

)(2/)(2/)

(2/a 3

21j i a a i k a a k j a

2、试证面心立方的倒格子是体心立方

证：设与晶轴a 、b 、c 平行的单位矢量分别为i 、j 、k 。面心立方正格子的原胞基矢可取为

)(2),(2),(2321j i a a i k a a k j a a

由倒格子公式得

]

[2,][2,][2213132321a a b a a b a a b 可得倒格基矢为： ),(2),(2),(2321k j i a

b k j i a b k j i a b

3、考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb u r r r r 垂直于这个晶面；

(b ) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hkl h

d G

u r

；(c ) 对于简单立方晶格有

22

222

a d h k l 。 证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321a a a 、　、　

上的截距为l

a k a h a 32

1、　、　。作矢量： k a h a m 211

，l a k a m 322 ，h

a l a m 1

33 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且

0222321321321213

21211

a a a a a l a a a a a k a a a a a h k a h a

b l b k b h k a h a G m h

同理，有02 h G m ，03 h G m 所以，倒格矢 hkl G h 晶面。 （b ）晶面族（hkl ）的面间距为：

hkl h a h a d 11

（c ）对于简单立方晶格：

2

1

2

222l

k h a

2

222

2

l k h a d

4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限。

解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq 。由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对应两个同样大小的波矢区间dq 。a /2 对应L/a 个振动模式，单位波矢区间对应有 2/L 个

振动模式，dw 围则包含

dqL

dqL dz

22个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据此定义可得模式密度为：v

L

dw dq L dw dz w D

)(再利用 a L N dw w D w 00

)(式中N 为原子数，a 为晶格常数，得a

v

w 0 由公式

2//2

1)(

T

k w T k w B w B v B B m

e

dw w D e T k w k C 得其热熔量为

m

B B w T k w T

k w B B v e dw

e T k w v L k C 0

2//2

1

作变量变换T k w x B 得

T

z

x

x B v D e

dx

x e v

T Lk C /0

22

1 其中B D k w 0

在高温时x 是小量，上式被积分函数

11

2

z

x

x e

x e

因此，晶格的高温热熔量B B V Nk k a

L

C

在低温时V D C T ,/ 中的被积函数按二项式展开成级数

1

2

2

1

n nx

z

x

x ne

x

e

x e 则积分

3

1

2

2

z

x

x e

dx

x e 此时期热熔量v T

k L C B V 32

5、模式密度计算

模式密度的一般表达式：

3

2q

V dS

g q

① 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q 。即c q

代入①式，容易得到：

23

231422V

V

g c c c

（1） 三维情况模式密度 对于三维情况， ω=c 2

q ②

在q 空间等频率面为球面，半径为：

q

在球面上，

()22q d q Cq dq

是一个常数，且球面积分为：24ds q

，因此：

2

1333232111422222q q V

ds V V V g ds q cq c

③ （2）二维情况模式密度

对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：

q

二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2π)2

，（这里A 为二维晶格的面积），而且有：

()222q d q Cq dq dL q

所以对于ω=c 2

q ，二维情况的模式密度为：

2

2

2()(2)(2)24()q dn A dL A q A

g d Cq C

q

④ （3）一维情况模式密度

同理，在一维情况下，q 空间有两个等频点+q 和-q 。仿上面的方法可以得到：

1()2(2)(2)2()q dn L dq L g d Cq q

⑤ 总之，色散关系为ω=c 2

q 的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率ω的½，0，-½次方成比例。