线性代数习题集(带答案)
线性代数习题集带答案
线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是().(A ) 24315 (B ) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A )k (B)k n - (C)k n -2! (D )k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 25. =0001100000100100()。
(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是()。
(A ) 0 (B)1- (C ) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D (). (A ) 4 (B) 4- (C) 2 (D ) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A )ka (B )ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9.已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-,则=x ( )。
(A) 0 (B )3- (C) 3 (D ) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( )。
(A)1- (B )2- (C )3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为().(A)1- (B )2- (C )3- (D )012。
最全线性代数习题及参考答案
第一章:一、填空题:1、若a a D ij n ==||,则=-=||ij a D ;解:a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根,则行列式132213321x x x x x x x x x = ; 解:方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为:a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为:q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ;解:原式按第1999行展开:原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ; 解:原式按第一行展开:原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4,则44342414A A A A +++= ;解:44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式,44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ;解:n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(,其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号,为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ; 解:根据行列式结构,可知3x 须由a 11=2x ,a 33=x 和第二行的一个元素构成,但此时第三个元素只能取a 22(行、列数均不可重复),所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-,系数为-2。
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14.11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16.在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ,则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ,则128.若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3.四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4.若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06.行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7.行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128.如果D a a a M21 22 23 ,则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329.已知某5 阶行列式的值为5,将其第一行与第 5 行交换并转置,再用 2 乘所有元素,则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110.行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111.n 阶行列式.1 1 112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.1 2 3 413.设行列式5 6 7 8D ,A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式,4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14.已知c b a bD , D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ,A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式,则15.设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ,A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016.已知行列式D 1 0 3 0 ,D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317.齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318.若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解,则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2.xyxyxyxyxyxy1.;x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3.解方程0x 1 1 0 ;4.a1a2x an21;1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n);1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2;8.a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011.D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1.设abcd 1,证明:021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12. a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3. 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4.2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15.设a, b, c两两不等,证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B二.填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三.计算题3 y3 1.(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ; 2. 2(x ) ;n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( ) 。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题(每题4分,共40分)1. 矩阵A和矩阵B相乘,得到的结果矩阵的行列数为()。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案:D解析:矩阵乘法中,结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关,则下列说法正确的是()。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案:D解析:线性相关意味着存在不全为零的系数,使得这些系数乘以对应的向量和为零向量,因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A,下列说法不正确的是()。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案:D解析:方阵的行列式可以是正数、负数或0,因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等,当且仅当()。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案:A解析:两个矩阵相等,必须满足它们具有相同的行数和列数,并且对应元素相等。
5. 向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是()。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案:C解析:向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解,即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是()。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案:A解析:矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是()。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案:D解析:矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1,α2,⋯, αs 和β 1,β2,⋯, βs 均线性相关,则()A. 有不全为 0 的数λ 1,λ2,⋯,λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ 1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+⋯+λs ( α s + β s )=0C. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ1(α 1- β1)+λ2(α2- β2)+⋯+λs (αs - βs )=0D.有不全为 0的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 和不全为 0的数μ 1,μ 2,⋯,μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ,则 A 中( )A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组, η1,η2是其任意 2 个解,则下列结论错误的是( )A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ,a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于(2.设矩阵 A=0 ,则 A - 1 等于( 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ,A *是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于 41,2)的元素是(A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有( A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩( A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ,则行列式10.设 A 是一个 n (≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα,则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α,使(λE- A )α=0,则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1,λ 2,λ 3是A 的 3个互不相同的特征值, α1,α2,α3依次是 A 的属于λ 1,λ2, λ3的特征向量,则 α 1,α 2, α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根, A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ,则必有( )222(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23) +(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23) +(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23) =.18. 设向量( 2, -3, 5)与向量( -4, 6, a )线性相关,则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵,其秩为 3,若η1,η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解,则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵, A 的秩为 r (<n ) ,则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有(A. 秩 (A )<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是(A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵, C 是实可逆矩阵,A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为()23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 )B.|A|必为 1D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则( ) 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题(共 72 分)2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 , |A|=2 , A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α- β)=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8,已知 A 有 2个特征值 -1和 4,则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ,已知 α = 1 是它的一个特征向量,则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6分,共 42分)26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110, 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1,3 α2=, α=, α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1, α2,α3 的线性组合;若是, 则求出组合系数。
线性代数习题集及其答案
第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“-”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n -1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n -1)=n(n -1)/2次对换后变成排列i n i n -1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“-”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=-2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二.计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i -j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起,)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=-n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=-n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111-nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A -3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=-3-12+8+8+6-6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A -B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)-E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT -2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(-A )*等于(A)-A *(B)A *(C)(-1)n A *(D)(-1)n -1A *解.(-A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB -BA ii.A 2-B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A -E 可逆,且(A -E )-1=(B -E )T ,求证A 可逆.解.因为(A -E )-1=(B -E )T ,所以(A -E )(B -E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ,存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )-1=A-1+B -1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )-1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )-1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221)(所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A -B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A -B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =-8.当k =-8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1-α2,α2-α3,α3-α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A -B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A -B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A -B ≠0,则r (A -B )≠0.排除(A);(B)取A =-B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A -B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m -1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i -1αi -1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m -1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i -1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k -1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A -E 的秩为n -r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A -E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3-2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(-2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵:(1)⎩⎨⎧==011y x x ; (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵,定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时,求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O,则A= O.(2) 若A2= A,则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆,并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ,求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ,矩阵B 满足AB =A+2B ,求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵,且ABC =E ,则必有( ). (A) ACB =E ; (B) CBA =E ; (C) BAC =E ; (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ,则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ; (B )AP 2P 1=B ; (C) P 1P 2A =B ; (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵,将A 的第1列与第4列交换得B ,再把B 的第2列与第3列交换得C ,设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ,则C -1=( ). (A) A -1P 1P 2; (B)P 1A -1P 2; (C) P 2P 1A -1; (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,则下列结论中一定正确的是( ). (A) A -E 不可逆 ; (B) A -2E 不可逆 ; (C) A -3E 可逆; (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3),B =(1,1/2,1/3),令C =A T B ,求.6. 证明:如果A k =O ,则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1,k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ,求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X (021≠n a a a ),求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时,0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数:(1) 315624; (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明:3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x(5)nn a a a D +++=11111111121,其中021≠n a a a .7.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *,证明: |A *|=|A |n-1,(n ≥2)...8. 设A ,B 都是三阶矩阵,A *为A 的伴随矩阵,且|A |=2,|B |=1,计算 |-2A *B -1|.9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ,利用公式求A -1. 复习题二1.设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,其伴随矩阵分别为A *、B *,证明:(AB )*=B *A *.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ,求A -1.3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵,设A =( A 1, A 2, B 1,),B =( A 1, A 2, B 2),|A |=2,|B |=3,求|A+2B |...4.设A ,B 都是n 阶方阵,试证:AB E E A BE -=.第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ,计算3α1-2α2+α3.2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ;(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3,且向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组β1, β2, β3线性无关.5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3,证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明:α1, α2,…,αn线性无关.8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5,其中α1, α2, α3线性无关,α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数),求向量组α1, α3,α4, α5的秩.9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1),求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ,求A 的秩,并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ,若A 的秩R (A )=2,求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ,求A 的列向量组的秩,并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,证明:如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n .14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β, 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ,已知A 的秩为3,求k 的值.2.设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ,若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )=(α1, …,αs )K ,其中K 为r s ⨯矩阵, 试证:B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r ...3.设有三个n 维向量组A :α1, α2, α3;B :α1, α2, α3, α4;C :α1, α2, α3, α5.若A 组和C 组都线性无关,而B 组线性相关,证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关.4.设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明:A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基;(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵;(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标.第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ,讨论当k 为何值时, (1)有唯一解?(2)有无穷多解?(3)无解?5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1, η2, η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ,求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A :12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα,3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 问向量β能否由向量组A 线性表示?. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解,ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系,证明:(1)η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关.复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ,且方程组AX =θ的解空间的维数为2,则a =.2.设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零,则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π:α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ,问a , b 为何值时,(1)向量β不能由向量组π线性表示;(2)向量β能由向量组π线性表示,且表示式唯一;(3)向量β能由向量组π线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.4.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x (Ⅱ)⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系;(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.5.设矩阵A =(α1, α2, α3, α4),其中α2, α3, α4线性无关,α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齐次线性方程组Ax=β的通解.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关,且向量组γβα,,线性相关.第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ,试求两个向量α2, α3,使α1, α2, α3为R 3的一组正交基.2.设A , B 都是n 阶正交矩阵,证明AB 也是正交矩阵...3. 设A 是n 阶正交矩阵,且|A |=-1,证明:-1是A 的一个特征值.4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,计算行列式|A 3-5A 2+7E |.6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似,求y x ,;并求一个正交矩阵P ,使P -1AP =Λ.7.将下列对称矩阵相似对角化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004.8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值,证明:(1)λA是A *的特征值.(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时,求A *的特征值.9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3,属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ,求矩阵A .复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是.2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆,则行列式|A +E |=.3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ,已知A 与B 相似,则a , b 满足. 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量,A α1=0, A α2=2α1+, α2,则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,证明A 的特征值只能是1或2.7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量. (1) 求参数a , b 及特征值λ; (2) 问A 能否相似对角化?说明理由.8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ,求φ(A )=A 10-5A 9. 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式:42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型.3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为2,求a 的值.4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形.5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形,并写出所用的可逆线性变换.6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ,若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=,求a 的值.7. 判别下列二次型的正定性:(1)312123222122462x x x x x x x f ++---=(2)4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型,求a 的取值X 围.复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵,B =λE +A T A ,试证:λ>0时,矩阵B 为正定矩阵.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ,通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ,求b a ,的值.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,2)(A E B +=k ,其中k 为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似,并讨论k 为何值时,B 为正定矩阵.测试题一一、计算题:1.计算行列式111131112+=n D n .2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ,计算T B A 3.3.设A 、B 都是四阶正交矩阵,且0<B ,*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -.4.设三阶矩阵A 与B 相似,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ,计算行列式E B 22-. 5.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ,且A 的秩为2,求常数b a ,的值. 二、解答题: 6.设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α,其中4321,,,t t t t 是各不相同的数,问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示?说明理由.7.求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.8.问k 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.9.已知四阶方阵A =(4321,,,αααα),其中321,,ααα线性无关,3243ααα-=,求方程组4321αααα+++=Ax 的通解.10.三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11.设2112ααβ+=,32223ααβ+=,13334ααβ+=,且321,,ααα线性无关,证明:321,,βββ也线性无关.12.设A 为实对称矩阵,且满足O E A A =--22,证明E A 2+为正定矩阵. 测试题二一、填空题:1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序,则排列134782695的逆序数为;2、已知A 为三阶正交矩阵,且A <0,则*AA =;3、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ,若A 不可逆,则=x ; 4、设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001,则6A =; 5、“若向量组321,,ααα线性无关,向量组432,,ααα线性相关,则4α一定能由32,αα线性表示”.该命题正确吗? 。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14.设矩阵 A= 0 2 0 ,矩阵 B A E ,则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__. 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ,r(B)=2. 0 0 0
15.向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__. 16.设向量 (1,2,3) , (3,2,1) ,则向量 , 的内积 ( , ) =__10__. 17.设 A 是 4×3 矩阵,若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解,则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__. 18 . 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 :
三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21.计算 3 阶行列式 249 49 9 . 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解: 249 49 9 200 40 9 0 . 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案(一)
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
1.设 A 为 3 阶方阵,且 | A | 2 ,则 | 2 A 1 | ( D A.-4 B.-1 C. 1 ) D.4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4. 2
)
1 2 3 1 2 2. 设矩阵 A= (1, 2) , B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 ( B 4 5 6 , 3 4 ,
行成比例值为零.
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
(A) 24315 (B ) 14325 (C ) 41523 (D )24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( )。
(A )k (B)k n - (C )k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A ) 0 (B )2-n (C ) )!2(-n (D) )!1(-n4.=001001001001000( )。
(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 25.=001100000100100( )。
(A) 0 (B )1- (C ) 1 (D) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B ) 4- (C) 2 (D) 2-8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A )ka (B)ka - (C )a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B )3- (C ) 3 (D ) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A )1- (B)2- (C )3- (D )011。
若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B )2- (C)3- (D )012。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题(完整试题与详细答案)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( )A .-2B .-1C .1D .22.设A 为2阶矩阵,若A 3=3,则=A 2( ) A .21 B .1 C .34 D .23.设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =,则=-1C ( ) A .AB B .BA C .11--B AD .11--A B4.已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ,则=-1*)(A ( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5.向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是( ) A .s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B .s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C .s ααα,,,21 全是非零向量D .s ααα,,,21 全是零向量6.设A 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是( )A .n r =)(AB .m r =)(AC .n r <)(AD .m r <)(A 7.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( ) A .A B .AE - C .A E -- D .A E -2 8.下列矩阵中不是..初等矩阵的为( )A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019.4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为( ) A .1B .2C .3D .410.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ,则二次型Ax x T 的规范形为( )A .232221z z z ++ B .232221z z z ---C .232221z z z --D .232221z z z -+二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数试题(试题与答案)
线性代数试题(试题与答案)一、选择题(每题5分,共25分)1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \),则 \( A^2 \) 的特征值是()A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组,则下列向量组线性无关的是()A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵,则 \( A^{-1} \) 的行列式等于()A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵,则下列结论正确的是()A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵,且 \( A \) 的秩为\( n \),则下列结论正确的是()A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题(每题5分,共25分)6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵,且 \( |A| = 0 \),则称 \( A \) 为________矩阵。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集(含答案)线性代数习题集第一章【1】填空题(1)二阶行列式a2babb=___________。
cos?(2)二阶行列式sin?(3)二阶行列式?sin?=___________。
cos?a?bib=___________。
2aa?bixyxzzy=___________。
xcb?cbca=___________。
c?a2(4)三阶行列式zya?b(5)三阶行列式ab答案:1.ab(a-b);2.1;3.?a?b?;4.x?y?z?3xyz;5.4abc。
333【2】选择题12(1)若行列式153?2=0,则x=()。
25xA-3; B-2; C2; D3。
x11(2)若行列式1x1?0,则x=()。
11xA -1,?2; B 0,?2; C 1,?2; D 2,?2。
第1页共35页线性代数习题集?2(3)三阶行列式503315202198=()。
23A -70; B -63; C 70; D 82。
a0(4)行列式0b440ab020ba022b0=()。
0a;Cb?a;Dab。
44Aa?b;Ba?b??44010002(5)n阶行列式00=()。
000n00A0;Bn!;C(-1)・n!;D??1?n?1n?10?n!。
答案:1.D;2.C;3.A;4.B;5.D。
【3】证明by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性:(1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。
答案:(1)?(134782695)=10,此排列为偶排列。
(2)?(217986354)=18,此排列为偶排列。
(3)?(987654321)=36,此排列为偶排列。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数试题和答案(精选版)线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003,则A-1等于()A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题,每题2分,共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ,a a a a 13112321=n ,那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,A *是A の伴随矩阵,那么A *中位于〔1,2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关,那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,那么〔 〕A.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 和不全为0の数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ,那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆,那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵,以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα,那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE -A )α=0,那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A の3个互不一样の特征值,α1,α2,α3依次是A の属于λ1,λ2,λ3の特征向量,那么α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根,A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ,那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵,那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题,每题2分,共20分〕不写解答过程,将正确の答案写在每题の空格。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于 DA. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于 BA.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是 BA. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 DA. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于 CA. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则 DA.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中 CA.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 AA.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有 AA.秩A<nB.秩A=n-1 =0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是 BA.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 AA. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是 BA.|A|2必为1B.|A |必为1 =A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C TAC .则 D与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为 CA.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= 6 .16.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B = 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪ .17.设A =a ij3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= 4 . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= -10 .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= -5 . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242++- .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T;2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数;29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求:1秩A ;2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解;2η0,η1,η2线性无关;答案:一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分 二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 616. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪ 17. 4 18. –10 19. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪103501120088001414135011200110000,0000110010102001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B . 1秩B =3,所以秩A =秩B =3.2由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组; A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T , ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx 1,x 2,x 3=x 1+2x 2-2x 32-2x 22+4x 2x 3-7x 32=x 1+2x 2-2x 32-2x 2-x 32-5x 32.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y y x y y x y 112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx 1,x 2,x 3的标准形y 12-2y 22-5y 32.四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证 由于E -AE +A +A 2=E -A 3=E ,所以E -A 可逆,且E -A -1= E +A +A 2.33.证 由假设A η0=b ,A ξ1=0,A ξ2=0.1A η1=A η0+ξ1=A η0+A ξ1=b ,同理A η2= b , 所以η1,η2是Ax =b 的2个解; 2考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0,即 l 0+l 1+l 2η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.则l 0+l 1+l 2=0,否则η0将是Ax =0的解,矛盾;所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
考研线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-0100002000010 n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001031002112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211.aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题(1) 二阶行列式2a abbb=___________。
(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。
【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。
A -3;B -2;C 2;D 3。
(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。
A -1,; B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。
A -70;B -63;C 70;D 82。
(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。
(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。
A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-∙。
答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。
答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
______________________________________________________________________________________________________________第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若22351011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).______________________________________________________________________________________________________________(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .______________________________________________________________________________________________________________14.已知db c a cc a b b a b c a c b a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠);6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;______________________________________________________________________________________________________________9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题______________________________________________________________________________________________________________1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
(a)22A A =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时,B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ( )。
(a)A k (b) A k (c)Ak n (d) A k n4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ,B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。
(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)((c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。
(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( )。