北京大学数学物理方法典范课程教材二阶常微分方程

合集下载

pku二阶常系数非齐次特解求法之二

二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x)
解法待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型 0 不是根
设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 , 2 是重根
1/14
(2) f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x] 型
11/14
特征根 r 2 (二重)
求微分方程 y 4 y 4 y eax 的通解.
(2) 求非齐次方程旳特解 (m 0, a)
◆ 当a 2时，即 2 不是特征根.
设特解 y x 0A eax Aeax 且
y Aaeax , y Aa2eax , 将y, y, y
代入方程,
t) f
(t
1)
)dt ,得
初始条件 f (0) 0,即y(0) 0;
又由f (0x) cos 0x 0x f (t)dt,得 0
初始条件 f (0) 1, 即y(0) 1.
8/14
初始条件 y(0) 0, y(0) 1. y y sin x ( 0, 1, Pl ( x) 0, Pn( x) 1)
2/14
f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设 y py qy P ( x)e( i ) x , y2 xk Qme(i )x
y x kex[Qmeix Qmeix ] 欧拉公式
xkex[Qm (cosx i sinx) Qm (cosx i sinx)]
cos x 0 f (t)dt
积分方程
两端再对x求导,得 f ( x) sin x f ( x) 微分方程
即 f ( x) f ( x) sin x 即 y y sin x

数学物理方法课件：二阶常微分方程级数解法

）R
0
（ k2 2）
当： 0 （欧拉型常微分方程）
2
d2R
d 2
dR
d
m2R
0
R（）
E F ln E m F m
（m 0）（m 0）
当： 0
（m 阶贝塞尔方程）（x ）
x2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
m 2）R
0
§9·2 常点邻域上的级数解法
讨论用级数解法求解带初始条件的
d2Z dz 2
Z
0
d2R
d 2
1
dR
d
（
m2
2
）R
0
Z（z） Ce z De z
对R（）作变量代换：x dR dR dx dR
dx d
d dx d
dx
d 2R
d 2
d（ dR ）
d d
d（ dx
dR ）dx
dx d
d 2R dx2
m
阶贝塞尔方程：
x
2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
0
同乘 2 移项：
RZ
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
2
Z
d2Z dz 2
k2 2
1
d 2
d 2
分解成两个方程：
d 2
d 2
0
构成本征值问题
（ 2）（）（自然周期条件）
本征值： m2 （m 0，1，2，3，）
本征函数：（） Acos m B sinm
2
R
d2R
d 2
R
dR
d

二阶常微分

第三章二階常微分方程式3.1 二階齊性常係數方程式二階線性微分方程式之通式如下式:(3.1) )()()(x r y x g y x f y =+′+′′式中，f 、g 及r 為x 之任意已知函數，若r (x )=0時，稱為二階齊性微分方程式:(3.2) 0)()(=+′+′′y x g y x f y 若f 及g 均為一常數(實數)，則稱之為二階齊性常係數微分方程式:(3.3) 0=+′+′′by y a y 其解可藉其特性方程式(characteristic equation ，或補助方程式)求解:(3.4) 02=++b a λλ(3.4)式之兩根為:)4(2121b a a −+−=λ )4(2122b a a −−−=λ (3.5) 狀況1. λ有兩相異實根λ1，λ2，則其通解為:(3.6) x x e C e C y 2.121λλ+=狀況2. λ有兩共軛複數根λ1，λ2，故λ1，λ2可分別表成:iq p iq p −=+=21,λλ二式中p 及q 為實數且q ≠0，故其基本解系(basis)為:x iq p x iq p e y e y )(2)(1,−+==由Euler 公式:θθθθθθsin cos ,sin cos i e i e i i −=+=−故:)sin (cos )sin (cos 21qx i qx e y qx i qx e y px px −=+=因此: qx e y y iqx e y y px px sin )(21,cos )(212121=+=+ 上二函數之右端均為實數，故由齊性線性微分方程式之基本定理，可知上二式為(3.3)微分方程式之兩解，而且由於其商數並非常數，故之於任意區間內均為線性獨立，故其通解為:(3.7) )sin cos (qx B qx A e y px +=狀況3.λ有一重根，即λ1=λ2，或a 2-4b =0，b = (1/4)a 2代回(3.3)式而得:0412=+′+′′y a y a y (3.8) 其一解答為y 1=e -ax/2，應用參數變化法，令:)()()(212x u ex u x y y x a −== 代入(3.8)式:0)2()41(1111211=′′++′′++′+″y u ay y u y a ay y u 或: 0)(122=′′++−′−−y u ae aeu x a x a故:0=′′u 因u=x 為上式解答之一，故可得另一解為:)2(2a xey x −==λλ 因y 2/y 1=x 不為常數，故y 1及y 2於任何區間均為線性獨立，因此其通解為: )2()(21a e C C y x −=+=λλ (3.9)3.3生物膜擴散模式如圖3.2所示之生物膜處理污水示意圖，污水中之基質(substrate)濃度為S 0，經擴散層質傳至生物膜表面為S S ，若此擴散層質傳為整個處理程序之控制因素，則S S ≦0.2 S 0;而若生物分解作用為整個處理程序之控制條件時，S S ≦0.8 S 0，基質於膜中之分子擴散係數(moleculardiffusion coefficient)為D f ，膜中微生物細胞密度為X f ，若k 為基質S f 被微生物利用之最大速率，K S 為半速率係數。

二阶常微分方程的级数解法本征值问题3-1精品PPT课件

k 0
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解：这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式，称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!

二阶微分方程(PPT课件)

积分，得

例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）

积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,

二阶及高阶常微分方程式

靜平衡時 F0 +W= -ks0 + mg = 0 (y=0) 當彈簧由靜平衡再往下拉時(必為外力)，y>0 此時，彈簧上將產生額外之回復力 (restoring force) ， F1 =-ky
24
(無阻尼系統) Undamped system F1 = -ky = my〃 → my〃 + ky =0 y〃 + (k/m)y = 0 → y〃+[√(k/m)]2y=0 →y〃+w02y=0
3
21
Bounday value problem 邊界值問題 y(p1) = k1，y(p2) = k2 p1，p2 邊界點
Example 4
22
自由振盪 (Free Oscillation)
Mass-Spring system 質量-彈簧系統 (模型) 未拉伸靜平衡
運動中
23
假設彈簧質量未考慮彈簧係數 k - spring const. Newton’s 2nd law F=my〃， y〃=d2y/dt2 Hook’s law (虎克定律) F0= -ks0 (彈簧向上回復原始之彈力)
Example 7
但不等於 cnost
方可形成basis
9
常係數知齊次線性二階ODE
y'‘ + ay‘ +by = 0 with a,b = const
對於前述常係數知齊次一階ODE
y‘ + k y = 0
Test y = e
λx
y =e
-kx
代入上式(二階ODE)
基底
10
y' = λeλx y'' = λ2eλx
Example1,2(p73)

数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题

2R' 'R'm2R 0
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解

6.数学物理方法讲义课件-第六章二阶线性常微分方程的幂级数解法

0
标准形式为
d2 dt
w
2
2 t
1 t2
p
1 t
dw dt
1 t4
q
1 t
w
0
若 t = 0 是常点/奇点，则 z = ∞ 就是常点/奇点。
t = 0 ( z = ∞ )为方程常点的条件
2 t
1 t2
p
1 t
和
1 t4
q
1 t
不含
t
负幂项
p
1 t
2t
a2t
2
a3t
3
q
1 t
dt
dt t 2 dz
t
dw dw dt t 2 dw
dz dt dz
dt
d 2w
dz2
d dz
dw dz
d dz
t2
dw dt
d dz
t2
dw dt
t2
d dw dz dt
d
dz
t2
d dz
1 z2
2 z3
2t 3
d dw
dz dt
k0
k0
k0
ck2 (k 2)(k 1)z k ck2 (k 2)(k 1)z k2 2ck1(k 1) z k1 l(l 1)ck z k 0
k0
zk 同次幂合并后，得 ck2 (k 2)(k 1) ck k(k 1) 2ck k l(l 1)ck z k 0 k0
解 z = 0 为常点，有 w(z) ck zk , z 1 k0
代入方程得
(1 z 2 ) ck k(k 1)z k2 2z ck k z k1 l(l 1) ck z k 0

北京大学数学物理方法(上)课件_6 二阶线性常微分方程的幂级数解法

∞
w1(z) = (z − z0)ρ1
ck(z −gw1(z) ln(z − z0)
∞
+ (z − z0)ρ2
dk(z − z0)k
k=−∞
(10) (11)
其中 ρ1, ρ2 和 g 为复常数.
Proof 为简单起见, 假设奇点为 z0 = 0. 方程的两个线性无关的解为 w1(z), w2(z). 不失一般性, 设解为多值函数, z0 = 0 为枝点. 沿正实轴方向作割线, 规定割线上岸的辐角值为 arg z = 0.
即
正是我们要证的形式. 下面来构造 w(z), 设
b1, b2 为待定系数. 则
∞
w(z) = zρ
cnzn
n=−∞
w = b1w1 + b2w2
w(ze2πi) = b1w1(ze2πi) + b2w2(ze2πi) = (b1a11 + b2a21)w1(z) + (b1a12 + b2a22)w2(z) = λw(z) = λb1w1(z) + λb2w2(z)
=0
如果 z0 是方程的奇点, 则 z0 点可能是方程的解的奇点: 可能为解的极点, 本性奇点; 如果解为多值函数, 还可以是解的枝点.
Theorem 6.3. 如果 z0 是二阶线性微分方程的孤立奇点, p(z), q(z) 在区域 0 < |z − z0| < R 内解析, 则在环形区域 0 < |z − z0| < R 内, 方程有两个线性无关的解.
w1(ze2πi) = a11w1(z) + a12w2(z) w2(ze2πi) = a21w1(z) + a22w2(z)

北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程

dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件 3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量
1 (r2 u) 1 (sin u ) 1 2u 0
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
令 u(r, ,) R(r)Y( ,)
4
Y r2
r
(r2
R) r
R
r2 sin
(sin
Y
u f ( ,)
u
ra r0
有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标： 2 2 2
x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l1m2 1 x2 Nhomakorabeay
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法

二阶微分方程教学课件

（9)
(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，此时 y1 er1x 和 y2 xer1x方程(2)的特解，且线性无关，所以方程(6)的通解为：
y (C1 C2 ,2=α±βi ，这时y1 e(i)x
和 y2 e(i)x 是方程(6)的两个特解，但这两个解含有复数，
y ( sin x Cx C2 )dx cosx C1x2 C2 x C3
C
(C1
) 2
这就是所求方程的通解．
4
2. y f (x, y)型
方程
y f ( x, y)
(3)
的右边不显含未知函数 y ．如果设y p( x) ,那么
y dp p, dx
因而方程(3)就变为
p f ( x, p)
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2 ；
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程 (6)的通解：
特征方程 r2 pr q 0 的根
两个不相等的实根r1 r2 两个相等的实根r1 r2 r
一对共轭复根 r1,2 i
方程 y py qy 0 通解
y C1er1x C2er2x
两端积分并进行化简，得 p C1 y 或 y C1 y
再一次分离变量并积分，得
ln y C1x lnC2 或 y C2eC1x
如果P = 0，那么立刻可得 y = C，显然它也满足原方程．但 y =C
已被包含在解 y C2eC1x 中了 (令C1 0就可得到它).
所以方程的通解为 y C2eC1x
因为，erx 0 所以上式要成立就必须有
r2 pr q 0
(8)
这就是说，如果函数 y erx 是方程(6)的解，那么 r 必须满

二阶常微分方程

( n) ( n1)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0 p, q 为常数；
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x ) p, q 为常数。
7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法
y py qy 0
可设 y x vn ( x )e
m
,
x
n次多项式
0 不是根 m 1 是单根 2 是重根
22
代入原方程用待定系数法求得特解。
3 y 5 y 6 y x 2 x 1 通解。例6、求
例7、求 y 2 y 3 y (3 4 x )e x 通解。
例2、求 y 6 y 9 y 0 通解。
例3、求 y 4 y 0 满足 y(0) 0 y(0) 1 特解。
13
n 阶常系数齐次线性微分方程解法
标准形式
y( n) p1 y( n1)
其特征方程为
pn1 y pn y 0
p1 , p2 , , pn 为常数,

5
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程
d2y dy p( x ) q( x ) y f1 ( x ) 2 dx dx 的解, 2 d y dy p( x ) q( x ) y f 2 ( x ) 2 dx dx 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是线性微分方程
pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x )
1
二阶线性微分方程解的结构:
1、二阶齐次线性微分方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0

数学物理方法_第3章二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题

y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1

n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0

可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0

y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0

n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!

二阶常系数线性微分方程的解法-19页PPT文档资料

是特征方程的重根
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
机动目录上页下页返回结束
3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
机动目录上页下页返回结束
定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
机动目录上页下页返回结束
小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
机动目录上页下页返回结束
(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
复习目录上页下页返回结束
故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有

二阶常微分方程Second-OrderDifferentialEquations

Chapter 2 Second-Order Differential Equations2.1Preliminary Concepts常微分方程式之階數為2或者2以上，為高階常微分方程式(,,','')0F x y y y=3=''y xxy y e-=''cos()x-+=y xy y''4'2y x x x=-is a solution of()6cos(4)17sin(4)y y+= for all real x''1603=is a solution of()cos(ln())y x x x2''5'100x>-+= for0x y xy y++=R x y P x y Q x y S x()''()'()()++=''()'()()y p x y q x y f x2.2 Theory of Solutions of ''()'()()++=y p x y q x y f x''120y x-=''12=y x2⎰⎰===+y y x dx xdx x C'''()12623⎰⎰==+=++()'()(6)2y x y x dx x C dx x Cx KFor any choice of C and K, we can graph the integral curves 3=++as curves in the plane2y x Cx KIf initial conditions (0)3y=，'(0)1y=-y K==(0)33=++()23y x x CxC=-.y x x C'()6=+, this requites that 13y x x x=-+()23The curve passes (0,3) and has slope -1 at this point2.2.1 The Homogeneous Equation ()()"'0y p x y q x y ++= ◆ ''()'()()y p x y q x y f x ++=; 0()y x A =,0'()y x B =When()f x is zero, the resulting equation()()"'0y p x y q x y ++= is called homogeneous◆ A linear combination of solutions ()1y x and ()2y x()()1122c y x c y x +(Thm 2.2)Let ()1y x and ()2y x be solutions of ()()"'0y p x y q x y ++= on an interval I . Then any linear combination of these solutions is also a solution.[Proof]: Let 1c and 2cbe real numbers. Substituting ()()()1122y x c y x c y x =+ into the differential equation, weobtain()()()()()()()()()()()()()11221122112211221122112211112222"'""''"'"'000c y c y p x c y c y q x c y c y c y c y c p x y c p x y c q x y c q x y c y p x y q x y c y p x y q x y +++++=+++++=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=because of the assumption that 1y and 2y areboth solutions.(Def 2.1) Linear Dependence, IndependenceTwo functions f and g are linearly dependent on an open interval I if, for some constant c , ()()f x cg x = for all x in I . If f and g are not linearly dependent on an open interval I , then they are said to be linearly independent on the intervalA simple test to tell whether two solutions of equation arelinearly independentDefine the Wronskian of solutions 1y and 2y to be()()()()1212''W x y x y x y y x =-. This is the 22⨯ determinant ()()()()()1212''y x y x W x y x y x =Ex27:()()()()()cos sin sin cos x x W x x x =-()()22cos sin 10x x =+=≠.(Thm 2.4)Let 1y and 2y be linearly independent solutions of()()"'0y p x y q x y ++= on an open interval I . Then, everysolution of this differential equation on I is a linear combination of 1y and 2y()()"'0y p x y q x y ++=; ()0y x A =, ()0'y x B =.()()101202y x c y x c A += ()()101202''y x c y x c B +=Cramer’s Rule()()()202010'Ay x By x c W x -=, ()()()101020'By x Ay x c W x -=2.2.2 The Nonhomogeneous Equation ''()'()()y p x y q x y f x ++= (Thm 2.5)1y and 2y be a fundamental set of solutions of''()'()0y p x y q x y ++= on an open interval I . Let p y be anysolution of equation ''()'()()y p x y q x y f x ++=. Then, for any solution ϕ of equation ''()'()()y p x y q x y f x ++=, there exist numbers 1c and 2c suchthat 1122p c y c y y ϕ=++ [Proof]: Since ϕ and p y are both solutions of equation''()'()()y p x y q x y f x ++=()''''''0p p p p q y py qy f f ϕϕϕ++-++=-=()()()'''0pppy p y q y ϕϕϕ-+-+-=p y ϕ- is a solution of '''0y py qy ++=. 1122p y c y c y ϕ-=+, 1122p c y c y y ϕ=++Exercise L :In each problem, (a) verify that 1y and 2y are solutions of the differential equation, (b) show that their Wronskian is not zero, (c) write the general solution of the differential equation, and (d) find the solution of the initial value problem. 1. ()()''90;30,'31y y y y ππ+=== ()()()()12cos 3,sin 3y x x y x x == {(b) ()()()()cos 3sin 333sin 33cos 3x x W x x ==-(c) ()()12cos 3sin 3y c x c x =+ (d) ()1sin 33y x =-}2. ()()''11'240;01,'04y y y y y ++=== ()()3812,x x y x e y x e --== {(b) 381138538xx xxxe e W e e e-----==--- (c) 3812x x y c e c e --=+ (d) 3812755x xy e e --=-}◆ 高階線性常微分方程式()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++= 可根據其()R x 是否出現分成兩類()R x 不出現:稱其為齊性方程式(homogeneous equation ) ()R x 出現:稱其為非齊性方程式(nonhomogeneous equation )◆ 求解壹n 階線性非齊性O.D.E.()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++=有三步驟 (1)求Homogeneous solution h y :()()()()()1110....'0n n n y a x y a x y a x y --++++=之通解 11....h n n y c y c y =++ (其中()1,,0n W y y ≠ ) (2)求Particular solution p y :()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++= 之任一個特解p y(3) 原O.D.E.之通解為h p y y y =+常見高階線性O.D.E. 可分為3類: (1)高階線性常係數O.D.E.()()10....'n n a y a y a y R x +++=(2)高階等維線性O.D.E.()()10....'n n n a x y a xy a y R x +++=(3)高階一般變係數之線性O.D.E.()()()()()10....'n n a x y a x y a x y R x +++=2.4 The Constant Coefficient Homogeneous Linear Equation 常係數線性常微分方程式：首先考慮2n =時，即求解10'''0y a y a y ++=之通解1. 設解為mx y e =，則得'mx y me =，2''mx y m e =2. 將y ，'y ，''y 代入得：2100m a m a ++=(稱為characteristic equation, 特徵方程式)3. (1). 21040a a ->時，可得兩相異實根1m ，2m 11m x y e =，22m x y e =均為解 ()12,0m x m x W e e ≠ 1212m x m x y c e c e =+(2). 21040a a -=，兩實重根12m m = 11m x y e =要找到兩個滿足線性獨立之解故此時，缺少一個線性獨立解可令12m x y xe = 因()11,0m x m x W e xe ≠ ()112m x y c c x e =+(3). 21040a a -<時，兩共軛複根 1,2m m i αβ=± ()1i xy e αβ+=，()2i xy e αβ-=均為其解()()(),0i x i x W e e αβαβ+-≠ ()()12i xi xy c e c e αβαβ+-=+Ex28：求下列O.D.E之通解：'''4''-3'-180y y y y+= [解]:◆求任意特解()y x，方法有兩種:p(1) 待定係數法(2) 參數變易法◆待定係數法僅適用於常係數線性O.D.ER x之型式如下：待定係數法限制()A（常數），ax e，cos bx，sin bx，x之多項式(表二)()R x ()p y x 之假設型式k A ax eA ax e cos ax cos sin A axB ax + sin axcos sin A ax B ax + 10...n n a x a x a +++ 1-110...n n n n A x A x A x A -++++cos ax e bx or sin ax e bx(cos sin )ax e A bx B bx + 10(...)ax n n e a x a x a +++ 10(...)ax n n e A x A x A +++ 10cos (...)n n bx a x a x a +++10(...)cos n n A x A x A bx +++ 10(...)sin n n B x B x B bx ++++10cos (...)ax n n e bx a x a x a +++ 10(...)cos ax n n e A x A x A bx+++10(...)sin ax n n e B x B x B bx++++Ex29：求下列O.D.E 之通解：3''-'-2x y y y e = [解]:Ex30：求下列O.D.E之通解：''2'-34sin(2)+=y y y t [解]:[解]:1.設齊性解mx h y e ≡，代入得特徵方程式：2-560m m +=, ∴2,3m =故2312x x h y c e c e =+2.利用(表二)，可令3x p y Ae = 得3'3x p y Ae =，3''9x p y Ae = 則代入原式得：33(9-5(3)6)x x A A A e e +=∴330 x x e e = (矛盾)故(表二)之假設方式不適用於本題之()p y x 的求解當()p y x 之假設項與()h y x 所含n 個線性獨立齊性解產生重複時，我們必須做修正結論:當使用待定係數法求p y 時，p y 之假設項中與h y 產生重複，則可乘以()m x (m 為正整數)於p y 之假設項中與h y 產生重複者，其中m 為使其不產生重複之最小正整數[解]:[解]:[解]:參數變易法 (Variation Parameter Method)利用此法求()(1)110()...()'()()n n n y a x y a x y a x y R x --++++=之特解p y ，其主要先決條件為原O.D.E 之相應齊性O.D.E.的n 個線性獨立解已經求得。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
l-阶缔合勒让德方程 x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2] 0
d 2 0 d 2
Z '' 2Z 0
d 2 R 1 dR (k 2 2 )R 0
d2 d
2
齐次边界条件，本征值问题 () Am cos m Bm sin m
2 0 k2 2 0
m2 m 0,1, 2,
d2R
d2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
x
d2R dx2
1 x
k 1
k 0
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
[l(l 1)ak 2kak k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 ]xk 0
20
k2
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
{[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2}xk 0 k2
dR dx
(1
m2 x2
)R
0
m阶贝塞耳方程
14
分离变数结果
方程
球坐标系
柱坐标系
拉普拉斯方程
u 0
(
)
cos sin
m m
rl
R(r
)
1
/
r
l
1
( xl)-阶连带勒让德方程
(
)
cos sin
m m
0
2 0
Z
(z)
e
z
e z
R() m-阶
贝赛尔方程
Z
(
z)
cos sin
本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。
的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数． 3. 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借
助于解析函数的理论进行讨论． 4. 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 5. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的
求解问题中．
19
（三）勒让德方程的级数解法 (1 x2 ) y '' 2xy ' l(l 1) y 0
dr dr
x kr
d
(x2
dR )
[
x2
l(l
1)]R
0
dx dx
12
d (x2 dR) [x2 l(l 1)]R 0 dx dx
R(r) x1/ 2 y( x)
R ' 1 x3/ 2 y x1/ 2 y ' 2
[ x2 R ']' [ 1 x1/ 2 y x3/ 2 y ']' 1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y ''
y ''( x) k(k 1)ak xk2 k2
代入方程
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1 l(l 1) ak xk 0
k2
k 1
k 0
或
k(k 1)ak xk2 k(k 1)ak xk 2 kak xk l(l 1) ak xk 0
k2
k2
欧拉形式方程
对欧拉形式方程作变量代换
t lnr
dR = dR dt = 1 dR , dr dt dr r dt
d2R dr 2
=
1 r2
d2R dt 2
dR dt
,
5
d 2 R dR dt 2 dt l(l 1)R 0
因式分解
d dt
l
1
d dt
l
R
0
解为：
R(r )
Cr l
对于复变函数：
d2w
dw
p(z) q(z)w 0
dz 2
dz
（一）定义
y(x0 ) C0 ,
w(z0 ) C0
y '(x0 ) C1
w '(z0 ) C1
方程的常点 z0 ：p(z) 和 q(z) 在其邻域解析。否则为奇点。
（二）常点邻域的级数解
定理：方程的常点 z0的邻域 z z0 R中 p(z) 和 q(z) 解析，则
z z
R( )
m-阶虚宗量贝赛 0 尔方程
Z(
z
)
1 z
R0
(
)
1
ln
Rm (
m0
)
m
m
15
三类数学物理方程
分离时间空间变量
Helmholtz方程
分离空间坐标变量
连带Legendre方程、Bessel方程
16
m 阶 Bessel 方程
x2 y '' xy ' x2 m2 y 0
l(l 1)a0 2a2 0
l(l 1)a1 2a1 6a3 0
[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2 0
递推公式
k(k 1) l(l 1) (k l)(k l 1) ak2 (k 2)(k 1) ak (k 2)(k 1) ak
系数的两个序列
x
x
1
l
l
3!
2
x3
.
R lim k
k l k l 1
1
所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。
可以证明 Legendre 方程的级数解在 x 1 处发散。
（Gauss判别法）
22
2. x=1解的收敛性
可以证明，当解 y(x) ak xk 是无穷级数时，不可能在两
T '' a2k2T 0 振动方程 v k2v 0 亥姆霍兹方程
（三）输运方程的分离变量
ut a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T 'v a2Tv 0
T' a2T
v v
0
T ' a2k2T 0 增长或衰变的方程
v k2v 0 亥姆霍兹方程
11
（四）亥姆霍兹方程
1. 球坐标 1 (r2 v ) 1 (sin v ) 1 2v k2v 0
2
4
1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y '' [ x2 l(l 1)]x1/ 2 y 0 4
x2 y '' xy '[x2 (l 1)2 ]y 0 2
l 1 阶贝塞耳方程
2
13
2. 柱坐标
1
(
v )
1
2
2v
2
z
(v ) k2v z
0
v(,, z) R()()Z(z)
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
m2 1 x2
y
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法
解析函
线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。数理论
y '' p(x) y ' q(x) y 0
v2
上下低面的齐次边界条件
x v
虚宗量贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
的可能数值 v 的可能数值
10
（二）波动方程的分离变量
utt a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T ''v a2Tv 0
T '' a2T
v v
0
T '' v k2 a2T v
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件
3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程
（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u ( 2 2 2 )u 0 x2 y2 z2
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
球域内Laplace方程的边值问题
d2Z
Z d 2
d
2
d 2
R
dz 2
0
2 d 2 R dR 2 d 2 Z R d 2 R d Z dz2
2
RZ
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
1 R
d2R
d2
1
R
dR
d
m2
2
Z Z
9
Z '' Z 0
d 2 R 1 dR
m2
+ + (μ - )R = 0
1.级数解
化为标准形式：
y
''