16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录

1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)

10. 2χ分布（卡方分布） (7)

11. t 分布

......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15.

对数正态分布 .......................................................................................

11

1. 均匀分布

均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1

()f x b a

=-

()2

a b

E X +=

2

()()12

b a Var X -=

2. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布

2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

22

()21

()2x f x e μσπσ

--

=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。

(),0

x f x e x λλ-=>

1

()E X λ

=

2

1

()Var X λ

=

4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。

10()x t x t e dt ∞

--Γ=⎰

1

1()()(1)()()

a b a b f x x x a b --Γ+=

-ΓΓ ()a E X a b

=+ 2

()()(1)

ab

Var X a b a b =

+++ 5. Gamma 分布

Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n 个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为~(,)X Ga a b 。其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。

1(),0

()a a bx

b f x x e x a --=>Γ

()a

E X b =

2()a

Var X b =