直线与园圆与圆的位置关系知识点及习题

直线与圆、圆与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离⇒d r

>⇒无交点；

2、直线与圆相切⇒d r

=⇒有一个交点(切点）；

3、直线与圆相交⇒d r

<⇒有两个交点；

d

r d=r r d

二、切线的判定定理与性质

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN OA

⊥且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线

经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）

①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°∴

在中，∠C=45°

∴ CD=AD

∵ BC=6cm ∴

∴

N M

O

B

O

B

A

C

D

O

∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当

时，⊙A 与BC 相交；

当

时，⊙A 与BC 相离。

例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．

解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30°

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．

三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，

P

O D

C B

A B

O

∴PA PB PC PD ⋅=⋅ （相似）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2

CE AE BE =⋅

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到

割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2

PA PC PB =⋅

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 五、三角形的内切圆

（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点） （2）内心、外切三角形

例1：如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο

90，AO 的延长线交BC 于点D ，

AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

1、如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心、21BO 长为半

径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 度时与⊙0相切．

六、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；

O E

D

C

B

A

D

C

B P

A

O

D

C

B

P

A

O

内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r

=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r

<-；

r

R

d

图3

r

R

d

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1）(2) 解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，

求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

r

R

d

图4

r

R

d

图5

r

R

d