《控制工程基础》第五章 控制系统的稳定性分析

传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。
劳斯稳定性判据
这一判据是基于方程式的根与系数的关 系而建立的。设系统特征方程为
a0 s n a1s n1 an1s an
a0 s n
a1 a0
s n1
an1 a0
s
an a0
a0 s s1 s s2 s sn
0 式中， s1, s2 , , sn 为系统的特征根。
b0sm b1sm1 bm1s bm N s
撤除扰动，即
a0 s n a1s n1 an1s an X o s 0
a0 xon t a1xon1 t an1xo t an xo t 0
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按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间
趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于
b2
a1a4 a0 a5 a1
b3
a1a6
a0a7 a1
系数的计算，一直进行到其余的值都等于 零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘 的方法，可以计算c，d, e等各行的系数，
c1
b1a3 a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。系 数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵 列中，为了简化其后的数值计算，可用一 个正整数去除或乘某一整个行。这时，并 不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实 部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一 列的系数符号改变的次数。
ss
K
1s
2
K
特征方程为
ss 1s 2 K s3 3s2 2s K 0
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、 Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判 据） 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的 稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法
例: 设控制系统的特征方程式为
s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的 必要条件。其次，排劳斯阵列
s 4 1 17 5 s3 8 16 s 2 15 5 s1 40 / 3 s0 5
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符 号全为正值，所以控制系统稳定。
零，即
k
r
xo t Dieit eit E j cos jt Fj sin jt
i 1
j 1
xo t 0
t
当 i 0, j 0 时，上式成立，以上条 件形成系统稳定的充分必要条件之一。
i , j对应闭环系统特征根的实部，因此 对于定常线性系统，若系统所有特征根的 实部均为负值，则零输入响应最终将衰减 到零，这样的系统就是稳定的。反之，若 特征根中有一个或多个根具有正实部时， 则零输入响应将随时间的推移而发散，这 样的系统就是不稳定的。由此，可得出控 制系统稳定的另一充分必要条件是：系统 特征方程式的根全部具有负实部。系统特 征方程式的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传 递函数的极点全部具有负实部，或说闭环
对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯
判据可化为如下简单形式，以便于应用。
二阶系统特征式为 a0 s2 a1s a2，劳斯
表为
s2
a0
a2
s1
a1
s0
a2
故二阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0
三阶系统特征式为 a0 s3 a1s2 a2 s a3 ，
劳斯表为
同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为 正号，则系统一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
s 2 u1 u2 s1 v1 s 0 w1
其中系数根据下列公式计算：
b1
a1a2 a0 a3 a1
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0 a3 a0
s0
a3
故三阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3
例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算 使系统稳定的K值范围。
X i s
K
X o s
ss 1s 2
解：系统闭环传递函数为
X o s X i s
• 见光盘课件（第五章第一节）
系统稳定的充要条件
X i s
+ -
G1s G1s
N(s) +
G2 s
H s
X o s
对于 上图所示控制系统，有
X o s N s
G2 s 1 G1sG2 sH s
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
a0sn a1sn1 an1s an X o s
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必 要条件。其次，排劳斯阵列
s4 1 3 3
s3 2 4
s2 1 3
s1 2
s0 3 第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统 有两个正实部的根，控制系统不稳定。
由根与系数的关系可求得
a1
a0
s1
s2
sn ;
a2
a0
s1s2
s1s3
sn1sn ;
a3 a0
s1s2 s3
s1s2 s4
sn2 sn1sn
;
an
a0
1 n
s1s2 s3
sn2 sn1sn
从上式可知，要使全部特征根均具有负实部， 就必须满足以下两个条件。
（1）特征方程的各项系数 2，…，n) 都 不 等 于 零 。 因 为 若
a有i(一i=个0，系1数，
为零，则必出现实部为零的特征根或实部有
正有负的特征根，才能满足上式；此时系统
为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的
实部为正）。
（2）特征方程的各项系数的符号都相同， 才上能述满两足个上条式件，可按归照结惯为例系，统稳定一的般ai 一取个正必值要， 条既件使，上即述条件＞已0a。i 满但足这，只系是统一仍个可必能要不条稳件定,， 因为它不是充分条件。