2008年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)

B C A ∴O′E= a.∴sin∠O′AE= . 12、答案： B 解析:方法一:4种花都种有 =24种;只种其中3种花: · · · =48种;
只种其中2种花: · =12种. ∴共有种法24+48+12=84种. 方法二:A有4种选择,B有3种选择,C可与A相同,则D有3种选择,若C与A不 同,则C有2种选择,D也有2种选择. ∴共有4×3×(3+2×2)=84. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中 横线上． 13．答案： 9 解析:由题意得可行域如图中阴影部分所示,则由图可得目标函数z=2x-y 的最大值为y=2x-z,过点(3,-3)时,此时z=9.
∴a=-1. 5、答案： C 解析:∵a2+a4=4=2a3,∴a3=2. 又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5. ∴公差d=a4-a3=3,a1=-4. ∴S10=10×(-4)+ ×3=95. 6、答案： B 解析:由题意y=f(x-1)与y=ln +1互为反函数, ∴f(x-1)=e2(x-1). ∴f(x)=e2x. 7、答案： D 解析:y′= , ∴曲线在(3,2)处的切线斜率为y′|x=3=. ∵·(-a)=-1,∴a=-2. 8、答案： A 解析:y=cos(2x+ )=sin(2x+
=
. 16． 答案：
解析:取AB中点G,连结GC,过G作GF∥BD,则GF交DE于F,F为DE中点. 点C在面ABCD内的射影在GF上, 设为H. ∴∠CGH为二面角CABD的平面角. ∴ = .设AB=a,则CG= a. ∴GH= ,即H为正方形中心. 连结CD、CE,则四棱锥C—ABDE为正四棱锥. 又连结NF、MN,∵MN
+ ), 即y=sin(2x+ )=sin2(x+ ). ∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移 个单位长度即得函数y=cos(2x+ )的图像,选A. 9、答案： D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 且f(-1)=-f(1)=0. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴当x＜-1或0＜x＜1时,f(x)＜0, 当-1＜x＜0或x＞1时,f(x)＞0. 又不等式 ＜0, ∴解集为(-1,0)∪(0,1). 10、答案： D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上, 所以直线 + =1过点M,只需保证原点到直线的距离
19.解： （Ⅰ）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式Δ=4(a2-3) （i）若a>或a<，则在上f´(x)>0，f(x)是增函数； 在 内f´(x)<0，f(x)是减函数； 在上f´(x)>0，f(x)是增函数。 （ii）若<a<，则对所有x∈R都有f´(x)>0，故此时f(x)在R上是增函 数。 （iii）若a=，则f´()=0，且对所有的x≠都有f´(x)>0，故当a=时，f(x) 在R上是增函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>或a<时，f(x)在内是减函数。 因此 ≤ ① 且 ≥ ② 当|a|>时，由①、②解得a≥2 因此a的取值范围是[2,+∞）。 （20）解： 记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题 意知A2与B2独立。 （Ⅰ） ，，。 P()=P(A1+A2·B2) =P(A1)+P(A2·B2) =P(A1)+P(A2)·P(B2) = = 所以 P(A)=1-P()==0.72 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3. P(B1)=，P(B2)=，P(ξ=2)=P(B1)=，P(ξ=3)=P(B2)= ， 所以Eξ=（次）。 （21）解： （Ⅰ）设双曲线方程为(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c2=a2+b2 不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0
≤， 且当tanB=时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为 18．解： (I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O 为BC中点，
由知，Rt△OCD∽Rt△CDE， 从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD， 由三垂线定理知，AD⊥CE （II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧 面ABE⊥侧面ABC。 作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE 故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE=，得CF= 又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。 由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C， 故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。 CG= GE=
B C A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中 横线上．
13．13．若满足约束条件则的最大值为 ． 14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点 为顶点的三角形面积为 ． 15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别 是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设的内角所对的边长分别为a、b、c，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值．
18．（本小题满分12分） 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小． C D E A B 19．（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病 的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下
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cos∠CGE= 所以二面角C-AD-E为arccos()
解法二： （I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以 O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A（0,0,t），由已知条件有 C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0), 所以，得AD⊥CE （II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE， 设F（x,0,z）则=(x-1,0,z), 故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE， ∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE=，得CF= 又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，） 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD| 故G[] 又 所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。 由cos()= 知二面角C-AD-E为arccos()
答案解析
一、选择题 1、答案： C 解析:
∴原函数的定义域为{x|x≥1或x=0}. 2、答案： A 解析:由题意,汽车在匀速行驶前速度加快,而之后速度减小,故曲线切线 斜率先增大后不变,再后减小,选A. 3、答案： A 解析:如图,
=c+
=c+ (b-c) = b+ c,故选A. 4、答案： D 解析: (a+i)2i=(a2-1+2ai)i =-2a+(a2-1)i. ∵(a+i)2i为正实数,∴
则
， 。 因为2+2=2，且 =2-， 所以2+2=(2-)2， 于是得tan∠AOB=。 又与同向，故∠AOF=∠AOB， 所以 解得 tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。 因此 。 所以双曲线的离心率e== （Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 ① 由l1的斜率为，c=b知，直线AB的方程为 y=-2(x-b) ② 将②代入①并化简，得 15x2-32bx+84b2=0 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则 x1+x2=，x1·x2= ③ AB被双曲线所截得的线段长 l= ④
AB, ∴MN EF. ∴四边形EMNF为平行四边形,EM NF. ∴∠ANF为异面直线EM、AN所成的角. 又EM= a,AN= a,AF= a, ∴cos∠ANF= = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 a= acosB-bcosA=()c = = = 依题设得 解得tanAcotB=4 (II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)= =
4．设，且为正实数，则（ ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ） A．138 B．135 C．95 D．23 6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ） A．e2x-1 B．e2x C．e2x+1 D． e2x+2 7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A．2 B． C． D． 8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 10．若直线通过点，则（ ） A． B． C． D． 11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心， 则与底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每 块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 D
≤1,即 + ≥1. 11、答案： B 解析:如图,连结A1B和AB1交于点O′,取OB中点E,连O′E,则O′E
A1O,
∴O′E⊥面ABC.连结AE, ∴∠O′AE即为AB1与面ABC所成的角. ∵AO=BO,又∵A1A=AB, 设A1A=a,则AO′= a. 又AO= ·
a= a, ∴A1O= a. D
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 卷） 理科数学（必修+选修Ⅰ） 第Ⅰ卷
参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这 一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D． 3．在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D．
14．答案： 2 解析:y=ax2-1,即x2= (y+1), ∵原点为抛物线焦点,∴ =1,即a= . ∴抛物线为y=
x2-1,顶点为(0,-1),与x轴两交点为(-2,0)和(2,0). ∴S△= ×4×1=2. 15．答案：
解析:∵以A、B为焦点的椭圆过点C, ∴椭圆的离心率e= . ∵AB=BC,∴e= . 又∵cosB= , 即 ,得AC2= AB2, ∴AC= AB.∴e=
面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性 则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动 物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概 率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分12分） 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂 直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分） 设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：．