微分几何13空间曲线
微分几何第一章曲线论第三节空间曲线
P
(C )
基本向量的计算公式 (1)若曲线(C ) : r r (t )， t为一般参数. r r r ; ; r r r r r r ( r r ) r r r r r r r (r r )r ( r r )r . r r r (2)若曲线(C ) : r r ( s )， s为自然参数. r r r r r ; . r ; r r r r
X 1 Y 0 1 1 0 Z 1 0, 即Y Z 0. 0 X 1 Y Z . 副法线的方程为： 0 1 1
3.2 空间曲线的基本三棱形
设曲线(C ) : r r ( s) C 2， P P( s) (C )是非逗留点， dr r 单位切向量, ds (C ) ， 1， 即r r ， r 主法向量, 副法向量, r 伏雷内标架 { P; , , }; 定义 (基本向量，， ；
P
T
定义 (密切平面) 切平面的极限位置
叫做曲线(C )在点的P密切平面.
Q
T
P
过点P与密切平面垂直的直线 r ( t 0 t ) 叫做曲线(C )在P点的副法线. (C ) O 方程 设曲线(C ) : r r (t ) C 2，
r (t0 )
O
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间中曲线和曲面的性质和变化规律。
在微分几何中，我们使用微积分的方法研究曲线和曲面上的切线、法线、曲率等概念，以及它们的几何性质。
下面是微分几何的一些重要知识点总结。
1.曲线的参数表示曲线是一些点的集合，我们可以用参数表示曲线上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
曲线的切向量是曲线上一点的导数。
2.曲线的切线和弧长曲线的切线是曲线在其中一点的切向量所确定的直线。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离。
我们可以通过弧长参数化来表示曲线。
3.曲线的速度和加速度曲线的速度是表示曲线上一点运动快慢和方向的向量，它的大小是曲线在这一点的切线向量的模，方向是切线的方向。
曲线的加速度是速度的导数。
4.曲线的曲率和挠率曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度，它是曲线的切线向量随曲长的变化率。
曲线的挠率描述了曲线的曲率随曲长的变化率，它是曲线的法向量随曲长的变化率。
5.曲率圆和曲率半径曲线的曲率圆是一条与曲线在其中一点相切且切向量方向相同的圆，曲率半径是曲率圆的半径。
6.空间曲线的切线、法线、副法线三向量空间曲线的切线是曲线上一点的速度向量，法线是曲线上一点的加速度向量的单位向量，副法线是切线和法线的叉积向量的单位向量。
7.曲面的参数表示曲面是三维空间中的二维平面，我们可以用参数表示曲面上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
8.曲面的切平面和法线曲面的切平面是曲面在其中一点的切向量所确定的平面，法线是切平面的法线向量。
9.曲面的曲率和高斯曲率曲面的曲率描述了曲面特定点附近的曲率变化，高斯曲率描述了曲面在其中一点附近的整体几何性质。
10.高斯曲率和平均曲率的关系高斯曲率和平均曲率是曲面上两个重要的曲率指标，它们之间存在一定的关系。
11.第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是描述曲面上两个切向量的内积，第二基本形式是描述曲面上一个切向量和一个法向量的内积。
大学课件高等数学空间曲线及其方程
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
微分几何论文——曲率
姓名： 学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。
半径小的圆的弯曲得厉害。
曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。
曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。
关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率1.空间曲线的曲率设给定的空间曲线)(:s r r=Γ是3C 类曲线，其中s 为曲线的自然参数，在其上赋予Frenet 标架[])(),(),();(s s s s r γβα，则参数s 的变化导致标架基本向量的变化，而标架的变化刻画出曲线Γ在一点邻近的形状[2]。
•••=rα是)(s α对s 的旋转速度，它刻画出Γ在s 点邻近的弯曲程度。
对于曲线)(:s r r=Γ，称)()(s r s k ••= 为曲线Γ在s 点的曲率，当0)(≠s k 时，其倒数)(1)(s k s =ρ称为曲线Γ在s 点的曲率半径。
注：曲率)(s k 为α 对s 的旋转速度，并且)()()(s s k s βα=•。
事实上，ββααk rrr r ====••••••••••.定理：空间曲线)(:s r r=Γ为直线的充分必要条件是其曲率0)(≡s k .证明：若Γ为直线b a s s r +=)(，其中a 和b 都是常量，并且1=a ，则0)()(==••s r s k；反之，若0)()(≡=••s r s k ，则o s r ≡••)(，两次积分后有b a s s r+=)(，所以该曲线是直线。
设曲线Γ的一般参数表示为)(t r r=，则有222"')()()(dts d r dt ds r t r dt ds r dt ds ds r d t r ••••+=== ， 于是3222"')()(dtds r r dt s d r dt ds r dt ds r r r •••••••⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=⨯3"')(,sin dtds r r r r r r ><=⨯•••••• 因为',,1r dtds r r r =⊥=••••，所以3'"'r k r r =⨯。
(整理)大学数学专业 微分几何复习题
一、 填空题：（每小题2分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。
⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。
⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面是曲线在P 点的_______________________。
⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。
⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=v 中，____________________是旋转曲面的经线。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。
⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v______________________。
11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。
12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。
13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。
15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是 。
微分几何练习题
微分几何练习题一 判断题1 曲线}sin ,cos ,{cos 2θθθ=r 不是正则曲线。
( )2 圆柱螺线},sin ,cos {θθθb a a r =的切线与z 轴成固定角。
( )3 空间曲线r = r (t), 当=)(t r 常数时,该空间曲线是圆。
( )4 若两个曲面间的变换是保角变换,则该变换也是等距变换。
( )5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,则曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。
( )6 2264dv dudv du +-可作为曲面的第一基本形式。
( )7 若0=⋅n dr δ则方向)();(δd 是正交方向。
( )8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。
( )9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是0φ=l 。
( ) 10 曲面的欧拉公式为θθ2221sin cos k k k n +=。
( ) 11 等距交换一定是保角变换。
( ) 12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。
( )13 曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。
( ) 14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。
( ) 15如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。
( )二 填空题1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值，)('t r 都与r (t)___________。
2 设r ( t )为可微分的向量函数，且a t r =)('（a 为常向量，0≠a ），则曲线r = r ( t )的图形是___________。
3 螺线r = { cost , sin t , t}上点（1，0，0）的切线方程是___________。
4 正螺线r = {u cos v , u sin v , b v }坐标曲线的方程是___________。
5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的___________性质。
第三节空间曲线
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置，设 空间 P0 点（即 r(s0 ) r0
）0，时并，且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明（1）以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面，又因为
和 都垂直于切向量 ，所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面， 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为： 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ，则
除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，
s 使得参数 是曲线的自然参数，并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知（P11） lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
微分几何读书报告 - 空间曲线在一点邻近的结构
3.4 空间曲线在一点临近的结构一、规范形为研究曲线在一点处的形状，最简单的想法是研究曲线在这点处的切线，不过二者只有切向量相同，近似程度较低。
随后我们考虑用这点处的曲率圆来近似这点处的形状，不过曲率圆是平面曲线，无法表示出曲线扭转的程度，近似程度也不高。
因此我们考虑能否用一条形式较简单的空间曲线来近似曲线在一点处的形状。
在3C 类曲线s r =r()上任取一点00P s r()：，为方便讨论，我们可以通过参数变换将这点变为弧长为0的点，即0=0s ，在这点处泰勒展开可得：233()(0)(0)(0)(0)()2!3!s s s s s =++++r r r r r o ，其中余项3()s o 是3s 的高阶无穷小量。
利用Frenet 公式进行化简，最终我们得到：()()()00023323333000000001111()(0)-++++6266s s s o s s s o s s o s αβγκκκκτ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r αβγ其中{}0000;,,r αβγ为0s=0处的Frenet 活动标架。
同时这个Frenet 活动标架也恰好构成一个笛卡尔直角标架，方便起见，我们直接记{}0000;,,r αβγ为一个新坐标系，并假设ξηζ，， 为曲线上点0s r()的邻近点的新坐标，则有：()()()00023302330033001=-+611=++261=+6s s o s s s o s s o s αβγξκηκκζκτ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 其中余项()()()000333o s o s o sαβγ，，分别是3s在000αβγ，，方向的高阶无穷小，此式称为曲线s r =r()在00P s r()：处的规范形。
二、近似曲线规范形的主要部分确定了一条三次多项式曲线，记为2300011(),,26s s s s κκτ⎛⎫= ⎪⎝⎭r 。
我们知道，曲线()s r 和()s r 在00=0P s r()：处具有相同的Frenet 标架，同时可进一步证明二者在0P 处的曲率值和挠率值也相同：这说明它们的几何行为在0P 附近也是很接近的，我们称曲线()s r 是()s r 在0P 处的近似曲线。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r ,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
微分几何_曲线的概念
a v (t t0) ．
2 2 2
点 t0 0 ，s(t) □
a2 2 v 2 t ．
参数变换 定义：对于曲线 : r r (to ), 给出函数 t (u) 如果 , (u) 0 ，则称 t (u ) 为曲线 的一个参数 变换，在次变换下曲线 的方程为 r r[ (u)]. 命题1：参数变换曲线的正则性和正向不变。 证： , (u) 0 t增加则u增加,故正向不变
切线的坐标式Βιβλιοθήκη 方程 设r(t0 ) {x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )}, r (t0 ) {x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )},
, , , ,
则切线方程消去
得到
X x(t0 ) Y y(t0 ) Z z (t0 ) , , , , x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )
dr dr dt , = =r(t) , (u ) 0 du dt du
故正则性不变
命题：曲线上两点间的弧长与参数的选取无关。 证：设 t (u) 为曲线 的一个参数变换且
u0 =u(t0 )
t ,
r=r(t)=r*(u)
t ,
dt s (t ) r (t ) dt r (t ) du t0 t0 du * u dr dt u dr | | du | | du s (u ) u0 dt du u0 du
例
2.3曲线的切线和法面
Q 给出曲线上一点 P 点 ， 是 P 邻近一点，把线 PQ 绕 P 点旋转，使 Q 点沿曲线趋近于 P 点，若割线 PQ 趋近于一定的位置，则我们把割线 PQ 的极限位 置称为曲线在 P 点的切线，定点 P 称为切点。
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
《微分几何》作业
《微分几何》作业一. 填空题1. 曲面的第一基本形式为（ I 222Gdv Fdudv Edu ++= ）。
2. 空间曲线的基本公式是（ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==τβγτγκαβκβα）。
3. 曲面),(v u r r=在任一点（u ，v ）的单位法向量公式为（vu vu r r r r ⨯⨯ ）4. 空间曲线)(s r r =的切向量为（ )(s r ）。
5. 曲线的主法向量β总是指向曲线（ 凹入方向 ）。
6. 曲面),(v u r r=上正常点满足的条件为（ v u r r ⨯0 ≠ ）7. 曲线的挠率表达式为（2)(),,(r r r r r ''⨯''''''' ）。
8. 曲面上曲率线满足的微分方程为（ 022=-GFEN M Ldu dudv dv ）。
9. 在曲面S: )(v u,r r =上，u 线的微分方程是( 0=dv )。
10.设}x ,62,{},31,0{-=-=b a ， 若a ∥b 则 ( 0=x )。
11.可展曲面上每一点都是 ( 抛物点或平点 )点。
12.曲线)(t r r =在0t t =点的切线方程为（ )()(00t r t r '+=λρ ）。
13． 设曲线C ：r =r (s), 则C 在s 0处的主法线方程是)()(00s s βr ρλ=-． 14． 设α，β，γ是曲线C ：r =r (s)的三个基本单位向量， 则α)βγ+(=0 ． 15． 设a =｛1，0， 0｝，b =｛0，2，0｝， c =｛0，0，6｝，则（a ，b ，2c ）= 24 ． 16 若向量函数r =r (t)的终点始终在中心为坐标原点, 半径为2的球面上， 则 r r '= 0 ． 17． 若曲线在一点的挠率τ＞0, 则曲线在该点是 右 旋的．18． 在曲面上一点，如果对于任意方向，法曲率都是零，则该点是曲面上的 平 点．19． 已知向量{}3 ,2 ,1=a , {}1 , ,1x -=b ．若a b ⊥,则=x 1- ． 20． 设n 是非零向量,且0===cn bn an , 则()c b a ⨯= 0 ． 21． 曲线)(s r r =在0s s =处的密切平面方程是 ()0)()(00=-s s γr ρ。
空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件
.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x
则
(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ，
ds
称
r r
空间曲线曲率和挠率的介绍优秀课件
时空的物理量（能量动量张量）
等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类d曲r线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ，
ds
称
rr
为曲线在 P 点的主法向量,
称
它垂直于单位切向量。
为曲线在P 点 的次法向量。
法平面
γ(s)
把两两正交的单位向量 , , 称为
C
r(s)
曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。
β(s)
密切平面
α(s)
从切平面 O
2) 对于曲线（C）的一般参数表示 rr(t),有
r r , r r r r , r 2 r r r (r r r )r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
γ(s) 法平面
分别叫做:
r(s)
密切平面： (Rr)0 (Rr,,)0密切平面
法平面： (Rr)0
从切平面： (Rr)0
α(s) 从切平面
C β(s)
O
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
4）由伏 定雷义内可 （得F ren et ) 公(式 s)
又 ( ) (s ) k (s )
Yr(t)
1
(t)
(t)
容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P 点的曲率相同
在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
例 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数) 的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
（整理）大学数学专业微分几何复习题.
（整理）⼤学数学专业微分⼏何复习题.⼀、填空题：（每⼩题2分）⒈向量{}(),3,r t t t a =具有固定⽅向，则a =_______________。
⒉⾮零向量()r t 满⾜(),,0r r r '''=的充要条件是__________________。
⒊设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平⾯是曲线在P 点的_______________________。
⒋曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平⾯⽅程是__________________________。
⒌曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。
⒏在旋转曲⾯{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=中，____________________是旋转曲⾯的经线。
⒐曲⾯(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线⽅程是_____________________。
⒑直纹⾯的参数表⽰总可以写成 r =______________________。
11、向量函数()r r t =使(,,)0r r r '''=的充要条件是()r r t = 。
12、若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平⾯⽅程是。
13、⼀曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ。
15、曲⾯上⼀族坐标曲线是测地线，另⼀族为它的正交轨线坐标⽹是16、已知曲⾯(,)r r u v =的第⼀类基本量为E 、F 、G ，则两⽅向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是。
17、对曲⾯(,)r r u v =有22243dr du dv =+，则曲⾯上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。
空间曲线——精选推荐
空间曲线本节内容：研究空间曲线的基本理论，研究刻画空间曲线在某一点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量——曲率和挠率，以及曲线在一点邻近的近似形状。
复习内容：切线、切向量；()r t 对自然参数的导矢是单位向量；()r t 具有固定长()()r t r t '⇔⊥ ；单位向量()r t 对于t 的旋转速度等于其微商的模。
一 空间曲线的密切平面、副法线1 密切平面、副法线的定义：过曲线上P 点的切线和P 点的邻近一点Q 可作一平面σ，当Q 点沿着曲线趋于P 点时平面σ的极限位置π 称为曲线在P点的密切平面。
密切平面在P 点的法线称为曲线在P 点的副法线。
2 密切平面、副法线的方程设曲线(c)为2C 类曲线，P 点的径矢00(),()r t Q r t t +∆ 点的径矢 2000001()()()(())(),lim 02t r t t r t r t t r t t εε∆→'''+∆-=∆++∆= PQ= 。
20001()()(())()2r t r t r t t ε''''⨯⨯+∆ PQ=‖00()(())r t r t ε'''⨯+ ，当Q P →时， 000,0,()()t r t r t ε'''∆→→→⨯这个矢积。
如果00()()0r t r t '''⨯≠ ，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P 点完全确定了密切平面，方程是：000(()()())0r t r t r t ρ'''-= ，，副法线方程：000()()())r t r t r t ρλ'''=⨯+( 副法线的标准方程是：000()()(),x x t y y t z z t X Y Z---== 00{,,}()()X Y Z r t r t '''=⨯ 其中。
曲线和曲面的微分几何
曲线和曲面的微分几何
微分几何是数学的一个领域，用于研究空间曲线以及曲面的几何特征。
它的研究改变了人们对于空间几何形态的理解，是促进曲线和曲面抽象研究的重要工具。
其中最基本、最直观的内容之一就是曲线和曲面的微分几何。
曲线的微分几何主要关注曲线的形状和定向性。
其中最重要的概念之一为曲线的曲率，可以用来计算曲线在指定点处的曲率半径和曲率方向。
另外，还涉及曲线的弯曲程度和直线弯曲角度的测量，以及曲线的三维延伸的概念。
曲面的微分几何关注曲面的弯曲和扭转特性，可以用数学度量来衡量曲面表达特性，例如曲率、扭转、弯曲程度、直线弯曲角度、圆曲率等等。
其中最重要的概念之一是曲率矩阵，可以用来计算曲面在指定点处的曲率矩阵和曲线的曲率。
曲线和曲面的微分几何是一门非常深入的数学课程，对对三维几何形态的研究有重要的意义。
它通过抽象的理论框架，来研究和度量曲线和曲面的几何特征，从而深入地理解曲线和曲面的几何,并且使用数学工具来推展空间形态的表达。
微分几何13空间曲线
7、几个例题 例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。 例2 曲率恒为零的曲线是直线。 例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。 例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。
解 由题意，可设曲线为园柱螺线
r {a cos , a sin ,b}
因此
a
b
4
25
得所求园柱螺a线2 为 b2 4 ,
a2 b2 5 a 41
P
P1
(s s)
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
3、挠率 与曲率类似有
lim
r r
k(s)
s0 s
(s s)
(s)
k(s)
,
(
)
(s s)
k
(s)
,
.(
1)
//
.
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
x(t0 )
y(t0 )
z(t0 )
平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
P
3、2 空间曲线的基本三棱形
1、给出 C类曲2 线
r得一r单(位s)向量
，称为曲
r
dr
ds
线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到
称
为曲线在 称
P
点为的曲主线法在向P量点,rr它的 垂付直法于向单量位。切向量。
,当
和
异向,
挠率的绝对值 (是s曲) 线的付法向量 ,对当于弧和长的旋同转向速.度。
4、由定义可得
(s)
又
(
)•
(s)
k(s)
于是有 k(s) (s)
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所以
r r r d d s t r d d s t2r d d22 st r r d d s t3,
微分几何13空间曲线
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
(s)
P
k(s) lim
s0 s
P1
(ss)
•
有 k(s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
3、6 一般螺线
1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。
2、性质：
（1）主法线与一个固定方向垂直。
证明：设 p是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固
定角
微商
，p 有0 p co p s0 p 0
（2）、副法线与一个固定向作固定角。
p
谢谢聆听
End
通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线 在一点邻近的近似形状：
1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。
2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的 几何意义。
3、挠率的符号对曲线的影响见表。
3、5 空间曲线论的基本定理
曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，
7、几个例题
例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。
例2 曲率恒为零的曲线是直线。
例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。
例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。
解
由题意，可设曲线为园柱螺线
r { a c,o a s, i s b } n
因此 a
b
4 25
a2 b 24,a2 b 25 a4,1b16 . 4
于是有
kk (((ss s))) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵
0 k(s) 0
k(s) 0 (s) 0 (s) 0
5、曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C 3 类r 的 r 曲 ( t 线)（,r C） ：d r d r s d s d r s .
但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 kk(s),(s)称为
空间曲线的自然方程。
空间曲线论基本定理
给出闭区间[s0,s1]上的两个连续函数 (s)0, (s) ,则除了空
间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线 的自然参数，并且 (s) 和 (s) 分别为曲线的曲率和挠率，即曲
线的自然方程为 k(s),(s)
则取有[rs(0s0)0, ;0 s,s0,。0]设为新,坐,标 系为，曲并线取上点r(s0r)(为s0)计的算邻弧近长点的的始新点坐，
标，则有
s
12 0s2 1 6 0 0 s 3
近似曲线在三个平面上的投影分别为
0,2920203，即在法平面上 半的 立投 方影 抛 ； 为 物
0,16003,在从切平面上物 为线 立 ； 方抛 0,1202,在密切平面上为。抛物线
3、挠率 与曲率类似有
r r
k(s)
k(s), ()
lim
s0
s
(ss)
(ss)
(s)
k(s)
, .( 1 ) / /.
定义 曲线（C）在P点,当 的挠和 率为异,向
(s) ,当 和 同.向
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得
(s)
又 ( )• (s ) k (s ) k (s ) (s )
因此 r r r r d 3 ssin kr 3(r 1 ,r r )
dt
r r
由此得到曲率的一般参数的表示式
k
r
3
由 0
( ) ( 1 )
( 1 ) (( 1 ) 1 )
( r 1 r )[( 1 ) r 1 r ]
( r , r, r ) 2
r 6 ( r , r , r ) ( r r ) 2
可得挠率公式为
((rr,rr,r)2)
6、密切园（曲率园）
过曲线（C）上一点 P 的主法线
P1
k
C•
的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以
C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
得所求园柱螺线为 r{4co ,s4sin ,25}
41 41 164
3、4 空间曲线在邻近一点的结构
给r1定6 (0(s0Cr s)0 ( 3 s 类020 ss 1曲 2 0 线11 022 s !) rr0 0 ((0s r 00 )s( r( s ) (( 0 2s0s ) s)) 0)2 2及 0其1 16 3上!()0 r一((0 s点s 00 ))( 3r (s s0) 3 ))(有s)3r(s0sO)r(s0)