1. 矢量及其运算
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例4. 求证以 M 1 ( 4 , 3 ,1) , M 2 (7 ,1, 2) , M 3 (5 , 2 , 3) 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 ( 2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 ( 2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
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D b a M B
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C
A MB 1 ( b a ) 2
结束
注: (1)以空间所有有向线段为一集合, (2)引入加法和数乘运算且满足一些规律 这样有向线段集合对于加法和数乘形成一个线性空间 可以证明不共面三个有向线段线性无关， 且任何有向线段 都能被给定不共面三个有向线段线性表示。 有向线段形成的线性空间是三维的； 即： 且任何三个不共面有向线段是线性空间一组基
说明: 由
( x , y , z)
中点公式:
x1 x2 x , 2
y1 y2 z1 z 2 z y , 2 2
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B M
21
结束
五、矢量的模、方向角、投影
1. 矢量的模与两点间的距离公式 则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR 由勾股定理得 2 2 r OM OP OQ OR
12
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ • 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
面 x o z
yoz 面 y
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
o xoy面
x轴(横轴) Ⅷ
x
y轴(纵轴) Ⅵ
Ⅴ
A M B
o
( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x , y2 y , z2 z ) 即
x x1 x2 x
y y1 y2 y
z z1 z2 z
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1 (x x , y y , z z ) ( x , y , z ) 得 2 1 2 1 2 1 1
b a
a b
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
而 a 0 , 故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 当 0 时, b＝0 当 0 时, a , b 同向
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在直角坐标系下
(0, 0, z ) R
z
z
( x , o, z ) C x
( x, y , z )
o
M y
B (0, y , z ) y
x P ( x, 0, 0)
A ( x, y, 0)
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Q (0, y , 0)
1 1 点 M 有序数组 ( x, y , z ) 在直角坐标系下:
yo z 面 x 0 zo x 面 y 0
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2. 矢量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意矢量 r 可用矢径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴的单位矢量
(x , y , z ) OM ON NM OA OB OC M r k j OA xi , OB y j , OC z k B O y i r x i y j z k (x , y , z ) A N x 此式称为矢量 r 的坐标分解式 , 并称 ( x , y , z )为矢量的坐标
三角不等式
a b a
ba
ab a b a b a b
8
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是一个数 , 与 a 的乘积是一个新矢量, 记作 a . a 与a 同向， a a ; 0时， 规定 : 0时, a 与a 反向， a a ; 0时, a 0 . 可见 总之: a a 1a a ; 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ; 运算律 : a a ( ) a 分配律 (a b ) a b 1 0 若a 0, 则有单位矢量 a a . 因此 a a a
R z M Q y N
2 2 2
O
P x
2
x y z B
对两点 A( x1 , y1 , z1 ) 与 B ( x2 , y 2 , z 2 ) , 因
A B OB OA ( x2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) A 得两点间的距离公式: 2 2 2 AB AB ( x2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )
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矢量 a 的负矢量: 与矢量a 的模相同, 但方向相反的矢量
3
结束
2 一些特殊的矢量 矢径 (向径): 起点为原点的矢量. 自由矢量: 与起点无关的矢量.
单位矢量: 模为 1 的矢量,计作 a 或a 或e.
零矢量: 模为 0 的矢量, 记作 0， 或0.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b ( a x bx , a y b y , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
a
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3. 矢量与数的乘法
定理1. 设 a 为非零矢量 , 则 a∥ b 证: “
b a ( 为唯一实数) a , a , b 同向时
”. 设 a∥b , 取 ＝± b
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
a a
故 b a.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 x y , , B 1 1 z1 z 2 o z 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
平行矢量对应坐标成比例: 当 a 0 时, b a b a bx b y bz ax a y az
四、利用坐标作矢量的线性运算
bx a x by a y bz a z
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例2. 求解以矢量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） . 解: 2×① －3×② , 得 x 2 a 3 b (7 , 1,10) 代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y 2 , z 2 ) 及实数 1, 在AB直线上求一点 M , 使 AM MB . 解: 设 M 的坐标为( x , y , z ) , 如图所示， 则
AM ( x x1 , y y1 , z z1 ) MB ( x2 x , y2 y , z2 z ) 由 AM MB 得
4
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3 矢量间几何关系 (1) 矢量平行与共线 矢量a 与 b 平行: 若矢量 a 与 b 方向相同或相反, 记作 a∥b ; 规定: 零矢量与任何矢量平行 ; 因平行矢量可平移到同一直线上, 故两矢量平行又称 两矢量共线 . (2) 矢量共面 若 k (≥3)个矢量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个矢量共面 .
第一章 矢量分析
1
第一节
矢量及其运算
2
一、矢量的概念
1 矢量的相关定义 矢量: 既有大小, 又有方向的量称为矢量 (又称向量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , a .
M2 M1
矢量的模 : 矢量的大小, 记作 M 1M 2 , 或 a , 或 a . 矢量a 与 b 相等: 若矢量 a 与 b大小相等, 方向相同, 记作 a＝b ; 记作－a ;
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三角形法则可推广到多个矢量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 s a2 a1
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a5
2. 矢量的减法
b a b (a ) ba 特别当 b a 时, 有 a a a (a ) 0
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二、矢量的线性运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a a (b c )
c bc b
b ab
三角形法则:
ab a
ab
a 运算规律 : 交换律
b
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a∥ b
当 0 时, a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, AB a , A D b ,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD . a b AC 2 MC 2 MA b a BD 2 MD 2 MB MA 1 (a b) 2 MC 1 (a b) 2 MD 1 (b a ) 2
设点 M 的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
C
z
x i , y j , z k 叫做矢量 r 沿三个坐标轴方向的分矢量.
矢径的坐标等于其终点的坐标
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3. 矢量的坐标与矢量终、始点坐标的关系 z (x , y , z ) C M (1) 矢径r的坐标等于其终点的坐标,即 r k j B o r xi y j zk y i (2) 矢量 MN 的坐标 A N x MN ON OM z ( x2 , y2 , z2 )N x2 i y2 j z2 k x1 i y1 j z1 k k M x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k o j ( x1 , y1 , z1y ) i x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 x 矢量的坐标等于矢量终点坐标“减去”始点坐标． 17
称为点 M 的坐标 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
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z
坐标轴 :
o
y
x轴 y轴 z轴
y0 z0 z0 x0 x0 y0
x
坐标面 : xo y 面 z 0
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例4. 求证以 M 1 ( 4 , 3 ,1) , M 2 (7 ,1, 2) , M 3 (5 , 2 , 3) 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 ( 2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 ( 2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
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D b a M B
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C
A MB 1 ( b a ) 2
结束
注: (1)以空间所有有向线段为一集合, (2)引入加法和数乘运算且满足一些规律 这样有向线段集合对于加法和数乘形成一个线性空间 可以证明不共面三个有向线段线性无关， 且任何有向线段 都能被给定不共面三个有向线段线性表示。 有向线段形成的线性空间是三维的； 即： 且任何三个不共面有向线段是线性空间一组基
说明: 由
( x , y , z)
中点公式:
x1 x2 x , 2
y1 y2 z1 z 2 z y , 2 2
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B M
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五、矢量的模、方向角、投影
1. 矢量的模与两点间的距离公式 则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR 由勾股定理得 2 2 r OM OP OQ OR
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ • 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
面 x o z
yoz 面 y
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
o xoy面
x轴(横轴) Ⅷ
x
y轴(纵轴) Ⅵ
Ⅴ
A M B
o
( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x , y2 y , z2 z ) 即
x x1 x2 x
y y1 y2 y
z z1 z2 z
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1 (x x , y y , z z ) ( x , y , z ) 得 2 1 2 1 2 1 1
b a
a b
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
而 a 0 , 故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 当 0 时, b＝0 当 0 时, a , b 同向
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在直角坐标系下
(0, 0, z ) R
z
z
( x , o, z ) C x
( x, y , z )
o
M y
B (0, y , z ) y
x P ( x, 0, 0)
A ( x, y, 0)
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Q (0, y , 0)
1 1 点 M 有序数组 ( x, y , z ) 在直角坐标系下:
yo z 面 x 0 zo x 面 y 0
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2. 矢量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意矢量 r 可用矢径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴的单位矢量
(x , y , z ) OM ON NM OA OB OC M r k j OA xi , OB y j , OC z k B O y i r x i y j z k (x , y , z ) A N x 此式称为矢量 r 的坐标分解式 , 并称 ( x , y , z )为矢量的坐标
三角不等式
a b a
ba
ab a b a b a b
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是一个数 , 与 a 的乘积是一个新矢量, 记作 a . a 与a 同向， a a ; 0时， 规定 : 0时, a 与a 反向， a a ; 0时, a 0 . 可见 总之: a a 1a a ; 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ; 运算律 : a a ( ) a 分配律 (a b ) a b 1 0 若a 0, 则有单位矢量 a a . 因此 a a a
R z M Q y N
2 2 2
O
P x
2
x y z B
对两点 A( x1 , y1 , z1 ) 与 B ( x2 , y 2 , z 2 ) , 因
A B OB OA ( x2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) A 得两点间的距离公式: 2 2 2 AB AB ( x2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )
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矢量 a 的负矢量: 与矢量a 的模相同, 但方向相反的矢量
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2 一些特殊的矢量 矢径 (向径): 起点为原点的矢量. 自由矢量: 与起点无关的矢量.
单位矢量: 模为 1 的矢量,计作 a 或a 或e.
零矢量: 模为 0 的矢量, 记作 0， 或0.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b ( a x bx , a y b y , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
a
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3. 矢量与数的乘法
定理1. 设 a 为非零矢量 , 则 a∥ b 证: “
b a ( 为唯一实数) a , a , b 同向时
”. 设 a∥b , 取 ＝± b
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
a a
故 b a.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 x y , , B 1 1 z1 z 2 o z 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
平行矢量对应坐标成比例: 当 a 0 时, b a b a bx b y bz ax a y az
四、利用坐标作矢量的线性运算
bx a x by a y bz a z
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例2. 求解以矢量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） . 解: 2×① －3×② , 得 x 2 a 3 b (7 , 1,10) 代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y 2 , z 2 ) 及实数 1, 在AB直线上求一点 M , 使 AM MB . 解: 设 M 的坐标为( x , y , z ) , 如图所示， 则
AM ( x x1 , y y1 , z z1 ) MB ( x2 x , y2 y , z2 z ) 由 AM MB 得
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3 矢量间几何关系 (1) 矢量平行与共线 矢量a 与 b 平行: 若矢量 a 与 b 方向相同或相反, 记作 a∥b ; 规定: 零矢量与任何矢量平行 ; 因平行矢量可平移到同一直线上, 故两矢量平行又称 两矢量共线 . (2) 矢量共面 若 k (≥3)个矢量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个矢量共面 .
第一章 矢量分析
1
第一节
矢量及其运算
2
一、矢量的概念
1 矢量的相关定义 矢量: 既有大小, 又有方向的量称为矢量 (又称向量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , a .
M2 M1
矢量的模 : 矢量的大小, 记作 M 1M 2 , 或 a , 或 a . 矢量a 与 b 相等: 若矢量 a 与 b大小相等, 方向相同, 记作 a＝b ; 记作－a ;
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三角形法则可推广到多个矢量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 s a2 a1
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2. 矢量的减法
b a b (a ) ba 特别当 b a 时, 有 a a a (a ) 0
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二、矢量的线性运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a a (b c )
c bc b
b ab
三角形法则:
ab a
ab
a 运算规律 : 交换律
b
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a∥ b
当 0 时, a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, AB a , A D b ,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD . a b AC 2 MC 2 MA b a BD 2 MD 2 MB MA 1 (a b) 2 MC 1 (a b) 2 MD 1 (b a ) 2
设点 M 的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
C
z
x i , y j , z k 叫做矢量 r 沿三个坐标轴方向的分矢量.
矢径的坐标等于其终点的坐标
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3. 矢量的坐标与矢量终、始点坐标的关系 z (x , y , z ) C M (1) 矢径r的坐标等于其终点的坐标,即 r k j B o r xi y j zk y i (2) 矢量 MN 的坐标 A N x MN ON OM z ( x2 , y2 , z2 )N x2 i y2 j z2 k x1 i y1 j z1 k k M x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k o j ( x1 , y1 , z1y ) i x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 x 矢量的坐标等于矢量终点坐标“减去”始点坐标． 17
称为点 M 的坐标 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
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z
坐标轴 :
o
y
x轴 y轴 z轴
y0 z0 z0 x0 x0 y0
x
坐标面 : xo y 面 z 0