初中二次函数课件
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22.1.1 二次函数 课件(共15张PPT)
新课导入
你 观 察 过 公 园 的 拱 桥 吗?
篮球入框,公 园里的喷泉, 雨后的彩虹都 会形成一条曲 线.这些曲线 能否用函数关 系式表示?
知识讲解
1.二次函数的定义
探究归纳
1 1
1
3
此式表示了种植面积y与边长x之间的关系,对于x的每一个值,y都有唯一 确定的一个对应值,即y是x的函数.
知识讲解
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
温故知新
1. 函数的定义 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确 定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
2. 一次函数与正比例函数
3.一元二次方程的一般形式
30(1+x)2
30(1+x)2
30(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y 都有唯一确定的一个对应值,即y是x的函数.
知识讲解
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同特征呢?
知识讲解
归纳总结
二次函数的定义:
注意
知识讲解
2.二次函数的应用 例1
不一定是,缺少 a≠0的条件
中y=0时得到的。
与前面我们学过的一元二 有什么联系和区别?
且a≠0; 可以看成是函数
区别:前者是函数,后者是方程;等式另一边前者是y,后 者是0。
随堂训练
B C
随堂训练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x(cm),面积为y(cm2). (1)求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围; (2)求当x=3时矩形的面积.
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
(3)抛物线与y轴的交点坐标是(0,c) c决定抛物线与y轴的交点位置
(4)b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0,抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像, 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1,它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4,它还与过点C(1,-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3),求抛物线的解析式
模式识别: 顶点式
若这条抛物线有P点,使 S△ABP=12,求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于独 立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
(4)b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0,抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像, 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1,它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4,它还与过点C(1,-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3),求抛物线的解析式
模式识别: 顶点式
若这条抛物线有P点,使 S△ABP=12,求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于独 立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解:因为第1档次的产品一天能生产 95 件,每件利润 6 元,每 提高一个档次,每件利润增加 2 元,但一天产量减少 5 件, 所以第 x 档次,提高了(x−1)档,利润增加了 2(x−1)元. 所以 y=[6+2(x−1)][95−5(x−1)], 即 y=−10x2+180x+400(其中 x 是正整数,且1≤x≤10).
2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式.
解:由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积, 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2.
3.如图,矩形绿地的长、宽各增加 x m,写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式.
解:由图可得,扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600, 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同,其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢?这就是本章要学习的二次函数.
合作探究
n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系?
分析:每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量,a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c为常数,且a≠ 0; (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但 不能没有二次项.
2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式.
解:由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积, 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2.
3.如图,矩形绿地的长、宽各增加 x m,写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式.
解:由图可得,扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600, 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同,其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢?这就是本章要学习的二次函数.
合作探究
n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系?
分析:每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量,a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c为常数,且a≠ 0; (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但 不能没有二次项.
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗?
描点法画函数图像的一般步骤如下:
描点法
第一步,列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步,描点—在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,
描出表格中数值对应的各点;
第三步,连线—按照横坐标由小到大顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
(3)|a|越大,抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表:
抛物线
y = ax2(a>0)
y = ax2(a<0)
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗?
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像?
【列表】
在 = 中,自变量可以取任意实数,列表取几组对应值:
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像?
9
【描点】
事实上,二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者
3
向上或者向下.一般地,二次函数 y =ax2+bx +c(a≠0)
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像,它有对称轴在哪里?图像与y轴的交点在哪里?
描点法画函数图像的一般步骤如下:
描点法
第一步,列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步,描点—在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,
描出表格中数值对应的各点;
第三步,连线—按照横坐标由小到大顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
(3)|a|越大,抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表:
抛物线
y = ax2(a>0)
y = ax2(a<0)
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗?
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像?
【列表】
在 = 中,自变量可以取任意实数,列表取几组对应值:
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像?
9
【描点】
事实上,二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者
3
向上或者向下.一般地,二次函数 y =ax2+bx +c(a≠0)
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像,它有对称轴在哪里?图像与y轴的交点在哪里?
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点:开口都向下,顶点是
原点而且是抛物线的最高点,
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点:|a|越大,抛物线的
开口越小.
x
O
y
-4 -2
2
4
-2
-4
-6
y 1 x2 2
-8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=-3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形?
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
(3)抛物线的增减性
(4)|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=-x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解:分别填表,再画出它们的图象,如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象,有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级:九年级 学 科:数学(人教版)
1.函数的定义:
3.一元二次方程的一般形式是什么?
2.一次函数的定义是什么?
知识回顾
观察图片,这些曲线能否用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?
实际问题
归纳、抽象
数学模型
(1) 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式;
(2) 当 <m></m> 时,求 <m></m> 的值.
解:(1)其中一直角边长为 <m></m> ,则另一直角边长为 <m></m> ,依题意得 <m>
(2)当 <m></m> 时, <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点?
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程?
一次?
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中,哪些是二次函数?若是二次函数,请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图,在 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发,那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级:九年级 学 科:数学(人教版)
1.函数的定义:
3.一元二次方程的一般形式是什么?
2.一次函数的定义是什么?
知识回顾
观察图片,这些曲线能否用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?
实际问题
归纳、抽象
数学模型
(1) 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式;
(2) 当 <m></m> 时,求 <m></m> 的值.
解:(1)其中一直角边长为 <m></m> ,则另一直角边长为 <m></m> ,依题意得 <m>
(2)当 <m></m> 时, <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点?
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程?
一次?
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中,哪些是二次函数?若是二次函数,请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图,在 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发,那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解:根据题意,得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①,得 k 1
2
由②,得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号:
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号, ,在 在yy轴 轴右 左侧 侧; ,
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得:
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为: y 1 x2 x 3 4
顶点式:
解:因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为:y=a(x+2)2+k,把点(2,0) (0,3)代入可得:
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
,
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
,对称轴方程是 x 1.
解:a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是: x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为:y 1 x2 x 3
解:根据题意,得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①,得 k 1
2
由②,得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号:
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号, ,在 在yy轴 轴右 左侧 侧; ,
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得:
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为: y 1 x2 x 3 4
顶点式:
解:因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为:y=a(x+2)2+k,把点(2,0) (0,3)代入可得:
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
,
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
,对称轴方程是 x 1.
解:a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是: x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为:y 1 x2 x 3
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢?
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法.我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:
x ··· -3 -2 -1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ,有什么共同2 点和不同点?
相同点:开口:向上, 顶点:原点(0,0)——最低点 对称轴: y 轴
增减性:y 轴左侧,y随x增大而减小
y 轴右侧,y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点:a 值越大,抛物线的开 口越小.
4 2 -4 -2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象,并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)
3.连线 如图,再用平滑曲线顺次
9
连接各点,就得到y = x2 的图象
.
6
y = x2
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数,其中$a$、$b$、$c$为常数 ,且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$,其中$a$、$b$、 $c$是常数,且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$,一 个因变量$y$,并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化,但一般包括三个部分:常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0,则抛物 线开口向上;如果二次项系数a小 于0,则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点,其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a),其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时,可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式,然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数,其中$a$、$b$、$c$为常数 ,且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$,其中$a$、$b$、 $c$是常数,且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$,一 个因变量$y$,并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化,但一般包括三个部分:常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0,则抛物 线开口向上;如果二次项系数a小 于0,则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点,其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a),其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时,可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式,然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式,包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c,其中a、b和c为实数,且a≠0。它可以表示任意二次 函数,通过调整系数a、b和c的值,可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k,其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标,并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小,对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大,0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小,对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大,0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数,将 二次函数转化为一次函数,再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中,如矩形、三角 形、圆等,可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中,许多问题都可以用二次函数来 描述和解决,如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线,其形 状由系数$a$决定。
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词:由二次项系数决定 a>0时,向上开口;a<0时,向下开口。
顶点坐标
01
总结词:由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a,纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词:对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形,对称轴为直线x=-b/2a,对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成,分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线,其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时,抛物 线开口向上;当$a < 0$时,抛物线开口向下。同时,抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$,顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数,其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$,其 中$a, b, c$为常数,且$a neq 0$。
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移,以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c,当b≠0时,图 像为抛物线。当b>0时,图像向右平移b/2a个单位;当b<0时,图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k,其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线,其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点,便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数 ,且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式,它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小,b控制 函数的对称轴,c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型,解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中,常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型,利用二次函数求导 数的方法,可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状,进而解决相关问题。
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C )
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=(m²﹣m)x²+(m﹣1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数,求m的值; (2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样? 解:(1)根据一次函数的定义,得m2﹣m=0,
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式,并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义,并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形(如下图),设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤: (1)将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式,左边是函数(因变量)的形式; (2)判断右边含自变量的代数式是否是整式; (3)判断自变量的最高次数是否是2; (4)判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C )
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=(m²﹣m)x²+(m﹣1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数,求m的值; (2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样? 解:(1)根据一次函数的定义,得m2﹣m=0,
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式,并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义,并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形(如下图),设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤: (1)将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式,左边是函数(因变量)的形式; (2)判断右边含自变量的代数式是否是整式; (3)判断自变量的最高次数是否是2; (4)判断二次项系数是否不等于0.
二次函数的图象和性质初中数学课件
增大
当x>0时,y随x的增大而
减小 ,
.
5.(1)已知点(-1,y1), (-3,y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上,则y1,y2的大小关系是
y1 >y2 .
(2)已知点(-2,y1), (3,y2)都在二次函数y=7x2的图象上,
则y1 ,y2的大小关系是
y1 <y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状;
图象的形状;
图象的位置;
性质:y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k>0,k<0,
a>0,a<0,
y=x,y=-x.
y=x²,y=-x².
图象的位置;
性质:y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征.
(1)在同一直角坐标系中,画出a<0的几个二次函数的图象,并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时,说出二次函数 y = ax 2 的图象特征.
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
当x>0时,y随x的增大而
减小 ,
.
5.(1)已知点(-1,y1), (-3,y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上,则y1,y2的大小关系是
y1 >y2 .
(2)已知点(-2,y1), (3,y2)都在二次函数y=7x2的图象上,
则y1 ,y2的大小关系是
y1 <y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状;
图象的形状;
图象的位置;
性质:y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k>0,k<0,
a>0,a<0,
y=x,y=-x.
y=x²,y=-x².
图象的位置;
性质:y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征.
(1)在同一直角坐标系中,画出a<0的几个二次函数的图象,并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时,说出二次函数 y = ax 2 的图象特征.
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1: 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。
(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两
点,求C,A,B的坐标。
(3)x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,
y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?
(4)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点:
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a,b,c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义: y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0)
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
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当堂检测:
1、已知抛物线 y = x 2 x ,下列说法错误的是( c ) A. 该抛物线的对称轴是直线x=1 B. 该抛物线的开口向上
2
C. 该抛物线的顶点坐标在第三象限 2、二次函数
2
D. 该抛物线经过原点
y = x + 4x 5 的图象开口向下 ,对称轴是
y = x2 6x + 8
x = h时 x = h时 ymax = 0 ymax = k
ymax = 0 ymax = k
b 4ac b2 x = 时,ymin = 2a 4a b 4ac b 2 x = 时,ymax = 2a 4a
y y x x
在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴左侧,y随x的增大而增大
y
o
x
y
x
o
y
o
x
y
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,下列判断不正确的是( ④) ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.
-1
2
o
x
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在 同一坐标系内的大致图象是( C )
o
x
y
o
x
拓展提高
1 、若二次函数
多少?
y = x 4x + 3
2
交x轴于A、
B两点,交y轴于C点,则△ABC的面积是
2 、 若二次函数
y = mx + 4x + m 1 的最
2
小值是2,则 m 的值是多少?
探究题 2 抛物线 y = 3x + 4(a + 1) x + 3的 顶点 (1)若在y轴上,则 a 的值是多少 (2)若在x轴上,则 的值是多少
2
是。
不是。自变量的最高次 数只有1次
二次函数的概念典型例题
1 2 k 2 + k +1 -1 例1、函数 y = (k ) x 是二次函数,则 k = _______ . 2
解:根据题意,得
1 k 0 2 2k 2 + k + 1 = 2 1 k 由①,得 2
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,则a、b、c的符号为( A ) A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,则a、b、c的符号为( C ) A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
(3, 1)
(4,0)
(0,8)
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c,△与 8 抛物线的关系
a
a决定开口方向:a>0时开口向上,
a<0时开口向下
a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧 a,b (左同右异) a、b异号时对称轴在y轴右侧 b=0时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴 c c=0时抛物线过原点 c<0时抛物线交于y轴的负半轴
数。 •其中x是自变量,a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数,一次项系数和常数项。
举手抢答:下列函数中(x,t是自变量),哪些是 二次函数? (1) y = 3x
是。 (3)s
2
2
1 + 6x 5 (2) s = t 2 + 7
不是。右边不是整式
(4) y = 2 + 2 x = 2(t + 3) 5
y轴
y = ax y = ax + k y = a( x h) y = a(x h) + k y = ax + bx + c
2
2
2
2
2
b 2 4ac b2 y = a( x + ) + 2a 4a
当a>0时开口向上,并向上无限延伸; 当a<0时开口向下,并向下无限延伸.
(0,k)
y轴
(h,0)
例2 已知函数
1、确定函数图象开口方向、对称轴和顶点坐标;
2、当x取何值时,y的值最大(或最小),最大(或最小)值是多少?
3、当x取什么值时,y随x的增大而增大? 当x取什么值时,y随x的增大而减小? 4、求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标. 解: (1) 开口向上 (2) 对称轴 顶点坐标
最小值为:-1
a
学海反思:
数学中的“数形结合”问题,大多与函数图 象与直线形有关。 函数的解析式和函数的图象分别从“数”和 “形”两方面反映了函数的性质. 函数的解析式是从数量关系上反映量与量之间 的联系; 函数图象则直观地反映了函数的各种性质,使 抽象的函数关系得到了形象的显示。
月 日 星期 课题: 二次函数的复习 数学思想 我学到了 我感受最 深刻的是 数形结合
① ②
∴
1 由②,得 k1 = 2 , k 2 = 1
k = 1
m2 m
练习:函数 = (m +1) x y
+ mx1是二次函数,则 = _____. m 2
二次函数的几种表达式:
①、 y = ax (a 0)
2
y
= ax + k (a 0) 2 ③、 y = a( x h) (a 0) 2 ④、 y = a( x h) + k (a 0) 2 ⑤、 y = ax + bx + c(a 0)
△
△决定抛物线与x轴的交点:△>0时抛物线与x轴有两个交点 △=0时抛物线与x轴有一个交点 △<0时抛物线于x轴没有交点
练习:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,则a、b、c的符号为( B ) A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
4、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
y
经过原点和二、三、四象限,判断 a、b、c的符号情况: a < 0,b < 0,c = 0.
5、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 经过原点,且它的顶点在第三象限, 则a、b、c满足的条件是: a > 0,b > 0,c = 0.
(3) 当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大。 (4) 与x轴的交点坐标为:
与y轴的交点坐标为:
2 练习:1、抛物线 y = 2 x 4 x + 7 的顶点坐标是( D ) A、(-1,13) B、(-1,5) C、(1,9) D、(1,5)
2、二次函数 y = x2 2x + 3 的最值为( D ) A、最大值1 B、最小值1 C、最大值2 D、最小值2 3、抛物线 y = 4 x 2 + 3 的对称轴及顶点坐标分别是( D ) A、y轴,(0,-4) B、x=3,(0,4) C、x轴,(0,0) D、y轴, (0,3) 4、二次函数 y = ( x 1) 2 2 图象的顶点坐标和对称轴 方程为( A ) A、(1,-2), x=1 B、(1,2),x=1 C、(-1,-2),x=-1 D、(-1,2),x=-1
.
2
x = 2,
顶点坐标是 (2, 1) ,当x 2 时,y随着x的增大而减小。
3 、已知函数
(1)写成 y = a( x h) 2 + k 的形式; y = ( x 3) 1 (2)求出对称轴及顶点坐标; 对称轴 x = 3 顶点坐标 (3)当x取什么值时,y随x的增大而增大? x 3 当x取什么值时,y随x的增大而减小? x 3 (4)求出函数图象与坐标轴的交点坐标? (2, 0)
②、 y
2
2
o
x
(顶点式) (一般式)
b 2 4ac b ) + (a 0) ⑥、 y = a( ห้องสมุดไป่ตู้ + 2a 4a
⑦、 = a( x x1 )(x x2 )(a 0) y
注意:在求解析式时,要根据题意,合理假设。
(交点式)
二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向 顶点坐标 (0,0)
初三复习课
1、我们已学习过的二次函数 的定义?它的解析式的哪几种形式? 2、请你说出各种形式的二次函数 图象的性质.
2 3、二次函数 y =ax +bx+c(a 0) 的系数
a,b,c,△与抛物线图象的关系。
二次函数的定义:
一般地,形如
y = ax + bx + c
2
(a,b,c是常数,a 0) 的函数叫做 x 的二次函
(h,k)
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴
直线 x = h 直线 x = h
直线
x =
b 2a
最 值
x = 0时, = 0时, x = h时 x = h时 x a>0 ymin = 0 ymin = k ymin = 0 ymin = k