初中二次函数课件

(3, 1)
(4,0)
(0,8)
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与 8 抛物线的关系
a
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a,b （左同右异） a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
(h,k)
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴
直线 x = h 直线 x = h
直线
x =
b 2a
最 值
x = 0时， = 0时， x = h时 x = h时 x a>0 ymin = 0 ymin = k ymin = 0 ymin = k
a<0 a>0 a<0
x = 0时
x = 0时
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
4、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
y
经过原点和二、三、四象限，判断 a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0.
5、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 经过原点,且它的顶点在第三象限， 则a、b、c满足的条件是： a > 0,b > 0,c = 0.
当堂检测：
1、已知抛物线 y = x 2 x ，下列说法错误的是（ c ） A. 该抛物线的对称轴是直线x=1 B. 该抛物线的开口向上
2
C. 该抛物线的顶点坐标在第三象限 2、二次函数
2
D. 该抛物线经过原点
y = x + 4x 5 的图象开口向下 ，对称轴是
y = x2 6x + 8
2
是。
不是。自变量的最高次 数只有1次
二次函数的概念典型例题
1 2 k 2 + k +1 -1 例1、函数 y = (k ) x 是二次函数，则 k = _______ . 2
解：根据题意，得
1 k 0 2 2k 2 + k + 1 = 2 1 k 由①，得 2
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ C ） A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
a
学海反思：
数学中的“数形结合”问题，大多与函数图 象与直线形有关。 函数的解析式和函数的图象分别从“数”和 “形”两方面反映了函数的性质. 函数的解析式是从数量关系上反映量与量之间 的联系； 函数图象则直观地反映了函数的各种性质，使 抽象的函数关系得到了形象的显示。
月 日 星期 课题： 二次函数的复习 数学思想 我学到了 我感受最 深刻的是 数形结合
.
2
x = 2，
顶点坐标是 (2， 1) ，当x 2 时，y随着x的增大而减小。
3 、已知函数
(1)写成 y = a( x h) 2 + k 的形式； y = ( x 3) 1 (2)求出对称轴及顶点坐标； 对称轴 x = 3 顶点坐标 (3)当x取什么值时，y随x的增大而增大？ x 3 当x取什么值时，y随x的增大而减小？ x 3 (4)求出函数图象与坐标轴的交点坐标？ (2, 0)
y
o
x
y
x
o
y
o
x
y
２、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，下列判断不正确的是（ ④） ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.
-1
2
o
x
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在 同一坐标系内的大致图象是（ C ）
增 减 性
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
上加下减（对于k） 左加右减（对于x）
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
y轴
y = ax y = ax + k y = a( x h) y = a(x h) + k y = ax + bx + c
2
2
2
2
2
b 2 4ac b2 y = a( x + ) + 2a 4a
当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
(0,k)
y轴
(h,0)
②、 y
2
2
o
x
(顶点式) (一般式)
b 2 4ac b ) + (a 0) ⑥、 y = a( x + 2a 4a
⑦、 = a( x x1 )(x x2 )(a 0) y
注意：在求解析式时，要根据题意，合理假设。
(交点式)
二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向 顶点坐标 (0,0)
初三复习课
1、我们已学习过的二次函数 的定义？它的解析式的哪几种形式? 2、请你说出各种形式的二次函数 图象的性质.
2 3、二次函数 y =ax +bx+c(a 0) 的系数
a，b，c，△与抛物线图象的关系。
二次函数的定义：
一般地，形如
y = ax + bx + c
2
(a，b，c是常数，a 0) 的函数叫做 x 的二次函
o
x
y
o
x
拓展提高
1 、若二次函数
多少？
y = x 4x + 3
2
交x轴于A、
B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积是
2 、 若二次函数
y = mx + 4x + Hale Waihona Puke Baidu 1 的最
2
小值是2,则 m 的值是多少?
探究题 2 抛物线 y = 3x + 4(a + 1) x + 3的 顶点 (1)若在y轴上，则 a 的值是多少 (2)若在x轴上，则 的值是多少
例2 已知函数
1、确定函数图象开口方向、对称轴和顶点坐标；
2、当x取何值时，y的值最大(或最小)，最大(或最小)值是多少？
3、当x取什么值时，y随x的增大而增大？ 当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 4、求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标. 解: (1) 开口向上 (2) 对称轴 顶点坐标
最小值为：-1
① ②
∴
1 由②，得 k1 = 2 , k 2 = 1
k = 1
m2 m
练习：函数 = (m +1) x y
+ mx1是二次函数，则 = _____. m ２
二次函数的几种表达式：
①、 y = ax (a 0)
2
y
= ax + k (a 0) 2 ③、 y = a( x h) (a 0) 2 ④、 y = a( x h) + k (a 0) 2 ⑤、 y = ax + bx + c(a 0)
x = h时 x = h时 ymax = 0 ymax = k
ymax = 0 ymax = k
b 4ac b2 x = 时，ymin = 2a 4a b 4ac b 2 x = 时，ymax = 2a 4a
y y x x
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
△
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 △＜０时抛物线于x轴没有交点
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
数。 •其中x是自变量，a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数，一次项系数和常数项。
举手抢答：下列函数中（x，t是自变量），哪些是 二次函数？ （1） y = 3x
是。 （3）s
2
2
1 + 6x 5 （2） s = t 2 + 7
不是。右边不是整式
（4） y = 2 + 2 x = 2(t + 3) 5
(3) 当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大。 (4) 与x轴的交点坐标为：
与y轴的交点坐标为：
2 练习：1、抛物线 y = 2 x 4 x + 7 的顶点坐标是（ D ） A、(-1,13) B、(-1,5) C、(1,9) D、(1,5)
２、二次函数 y = x2 2x + 3 的最值为（ D ） A、最大值１ B、最小值１ C、最大值２ D、最小值２ ３、抛物线 y = 4 x 2 + 3 的对称轴及顶点坐标分别是（ D ） A、y轴，（０，－４） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３） ４、二次函数 y = ( x 1) 2 2 图象的顶点坐标和对称轴 方程为（ A ） A、（１，－２）， x＝１ B、（１，２），x＝１ C、（－１，－２），x＝－１ D、（－１，２），x＝－１