数学分析之定积分
定积分的算法及其特殊形式
定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。
本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。
一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。
1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。
该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。
该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。
2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。
它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。
常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。
例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。
例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。
例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。
1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。
例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。
方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。
2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
定积分 公式
定积分公式
1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，b)g(x)dxJ(a，b)kf(x)dx=k/(a，b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f (x)) 、直线x=a、
x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)
2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
主要分为定积分、不定积分以及其他积分。
积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
数学分析定积分课件5
所以可积函数不一定有原函数。
f
(
x)
x
2
sin
1 x2
,
0,
x 0且x [1,1] x0
f
( x)
2x sin
1 x2
2 x
cos
1 x2
,
x 0且x [1,1]
上午9时15分13秒
0,
x0
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f ( x)在[1，1]无界，从而不可积， 但f ( x)在[1，1]的原函数是f ( x), 即说明有原函数的函数不一定可积。
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数 不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列， 则函数在[a,b]可积。
上午9时15分13秒
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8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分； 一些特殊类型函数的积分。
尼氏体 Nissl body
H-E染
镀银染
色
色 上一页 下一页 主 页 返回 退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
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突触 粗面内质网
核蛋白体 脂褐素 微管
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尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质 （chromophil substance), 是分布于 胞质或树突内的小块状或颗粒状的 嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发 达的粗面内质网和游离核蛋白体， 是蛋白质合成的场所。
上午9时15分13秒
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6、可积条件
必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
数学分析-定积分的应用
故
3.
求曲线
图形的公共部分的面积 .
解：
与
所围成
得
所围区域的面积为
设平面图形 A 由
与
所确定 提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
4.
若选 y 为积分变量, 则
则有
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
则曲边梯形面积
二、参数方程情形
例3. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
且曲线不在自相交，
则曲线围成面积为：
所表示的曲线是封闭的，即
如果参数方程
例3. 求椭圆
解:
所围图形的面积 .
利用椭圆的参数方程
得
当 a = b 时得圆面积公式
三、极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其它.
又
故在区域
数学分析定积分的概念
定积分概念一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。
先看两个实例。
1．曲边梯形的面积设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)(≥x f 。
则由曲线)(x f y =，直线a x =，b x =以及x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。
下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。
在区间],[b a 内任取1-n 个分点，依次为bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 它们将区间],[b a 分割成n 个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =。
记为i x ∆，即],[1i i i x x x -=∆，n i ,,2,1 =。
并用i x ∆表示区间],[1i i x x -的长度，记},,,max{21n x x x T ∆∆∆= ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（如上右图）。
在每个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于)(x f 连续，它在每个小区间],[1i i x x -上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。
于是，该曲边梯形面积的近似值为∑=∆≈n i i i x f S 1)(ξ。
从而i n i i T x f S ∆=∑=→)(lim 10ξ。
2．变力所作的功W设质点受力F 的作用沿x 轴由点a 移动到点b ，并设F 处处平行于x 轴（如下图），同上述，有i ni i x F W ∆≈∑=)(1ξ，而i ni i T x F W ∆=∑=→)(lim 10ξ。
《数学分析》第九章 定 积 分
第9章 定 积 分 （ 2 2 时 ）§1 定积分的定义 （ 2 时 ）一． 背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:3. 函数的平均值:4. 原函数的构造型定义: ( [1]P 274—277 )二. 定积分的定义: 三. 举例:例1 已知函数)(x f 2x =在区间] , 0 [b )0(>b 上可积. 用定义求积分⎰bdx x 02.解 取n 等分区间] , 0 [b 作为分法T , n b x i =∆ . 取 , nibx i i ==ξ)1(n i ≤≤. ⎰bdx x 02=∑∑==∞→∞→∆⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆n i ni i n i i n x n ib x x 1122lim lim ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n b i 132 ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n b 123∞→=n lim 3)12)(1(6133b n n n n b =++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由函数)(x f 在区间] , 0 [b 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数)(x f 211x +=在区间] 1 , 0 [上可积, 用定义求积分⎰+1021xdx . 解 分法与介点集选法如例1 , 有⎰+1021xdx∞→=n lim ∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni n n i 12111∞→=n lim ∑=+ni in n122 . 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分⎰+121x dx. 例3 讨论Dirichlet 函数)(x D 在区间] 1 , 0 [上的可积性. Ex [1]P 204 1，2 .§2 可积条件（ 3 时 ）一. 必要条件:Th 1 R x f ∈)(],[b a ，⇒ )(x f 在区间] , [b a 上有界.二. 充要条件:1. 思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法T 及介点i ξ无关的条件.方案: 定义上和)(__T S 和下和)(T s .研究它们的性质和当0→T 时有相同极限的充要条件 .2. Darboux 和: 以下总设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.并设M x f m ≤≤)(,其中m 和M 分别是函数)(x f 在区间] , [b a 上的下确界和上确界.定义 Darboux 和, 指出Darboux 和未必是积分和.但Darboux 和由分法T 唯一确定. 分别用)(__T S 、)(T s 和∑)(T 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑)(T 是数集(多值) . 但总有 )(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 因此有 )(T s ≤)(__T S .)(T s 和)(__T S 的几何意义 .3. Darboux 和的性质: 本段研究Darboux 和的性质, 目的是建立Darboux 定理.先用分点集定义分法和精细分法: T ≤T '表示T '是T 的加细 . 性质1 若T ≤T ', 则)(T s )(T s '≤,)(__T S ≥)(__T S '. 即:分法加细, 大和不增,小和不减. 性质2 对任何T ,有 ≤-)(a b m )(__T S ,)(a b M -≥)(T s . 即:大和有下界,小和有上界. 性质3 对任何1T 和 2T , 总有)(1T s ≤)(2__T S .即:小和不会超过大和. 证 )(1T s ≤ )(21T T s + ≤ )(21__T T S + ≤ )(2__T S . 性质4 设T '是T 添加p 个新分点的加细. 则有)(T s ≤)(T s '≤)(T s + p )(m M -T ,)(__T S ≥)(__T S '≥)(__T S T m M p )( --.证 设1T 是只在T 中第i 个区间] , [1i i x x -内加上一个新分点x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[11x f M x x i -=, )(sup ],[2x f M i x x =, )(s u p ],[1x f M i i x x i -= .显然有1M m ≤ 和 M M M i ≤≤2.于是)()()()()(021111x x M x x M x x M T S T S i i i i i -----=-≤-- ≤--+--=-))(())((211x x M M x x M M i i i i))(())(())((11----=--+--≤i i i i x x m M x x m M x x m M T m M )(-≤. 添加p 个新分点可视为依次添加一个分点进行p 次. 即证得第二式.同理可证第一式.推论 设分法T '有p 个分点，则对任何分法T ，有)( ||||)()(T S T m M p T S '≤--， )( ||||)()(T s T m M p T s '≥-+.证 )( )( ||||)()(T S T T S T m M p T S '≤'+≤--. )( )( ||||)()(T s T T s T m M p T s '≥'+≥-+.4. 上积分和下积分:设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.由以上性质2，)(T s 有上界,)(__T S 有下界.因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记⎰badx x f )()(inf T S T =,⎰badx x f )()(sup T s T=. 分别称⎰ba和⎰ba为函数)(x f 在区间] , [b a 上的上积分和下积分.对区间] , [b a 上的有界函数)(x f ,⎰ba和⎰ba存在且有限,⎰ba≥⎰ba.并且对任何分法T ,有)(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S .上、下积分的几何意义.例1 求⎰1dx x D )(和⎰1dx x D )(.其中)(x D 是Dirichlet 函数.5. Darboux 定理:Th 1 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界, T 是区间] , [b a 的分法.则有 0lim →T )(__T S =⎰badx x f )(, 0lim →T )(T s =⎰badx x f )(.证 (只证第一式. 要证:对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有≤0-)(__T S ⎰baε<.≤0-)(__T S ⎰ba是显然的. 因此只证 -)(__T S ⎰baε<. )⎰ba)(inf T S T =⇒ 对T '∃>∀ , 0ε,使)(__T S '<⎰ba*) , 2ε+ 设T '有p 个分点,对任何分法T ,由性质4的系,有-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S ', 由*)式, 得-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S '<⎰ba, 2ε+ 即-)(__T S p )(m M -T <⎰ba, 2ε+亦即)(__T S ⎰-ba < 2+εp )(m M -T .于是取)(2m M p -=εδ, (可设m M >, 否则)(x f 为常值函数,⎰ba= )(__T S 对任何分法T 成立.) 对任何分法T , 只要 δ<T , 就有≤0-)(__T S ⎰baεεε=+<22.此即lim →T )(__T S =⎰badx x f )(.6. 可积的充要条件:Th 2 (充要条件1)设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈ ⇔⎰ba=⎰ba.证)⇒ 设⎰badx x f )(=I,则有0l i m→T ∑∆iixx f )(=I .即对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有 |∑∆i i x x f )(I -| <2ε对i i x ∆∈∀ ξ成立. 在每个 ] , [1i i x x -上取i η, 使)(0i i f M η-≤)(2a b -<ε, 于是,| )(__T S ∑-)(i f ηi x ∆| =))( (i i f M η-∑i x ∆ <2ε. 因此, δ<T 时有| )(__T S I -| ≤ | )(__T S ∑-)(i f ξi x ∆| + |∑∆i i x x f )(I -| <2ε + 2ε=ε. 此即0lim →T )(__T S =I . 由Darboux 定理 ,⇒⎰b a= I .同理可证⎰ba= I ⇒⎰ba=⎰ba.)⇐ 对任何分法T , 有)(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 而l i m →T )(T s =⎰ba=⎰ba= 0lim →T )(__T S .令⎰ba和⎰ba的共值为I , 由双逼原理 ⇒ 0lim→T ∑)(T =I .Th 3 )(x f 有界. )(x f ] , [ b a R ∈ ⇔ 对 , , 0∍∃>∀T ε-)(__T S )(T s ε<. 证 )⇒)(x f ] , [ b a R ∈⇒0lim →T ( -)(__T S )(T s ) = 0. 即对 , 0 , 0>∃>∀δεδ<∀T T , 时, ⇒ ≤0-)(__T S )(T s ε<.)⇐ )(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S ,由-)(__T S )(T s ε<⇒≤0⎰ba–⎰baε<,⇒⎰ba=⎰ba.定义 称i ωi i m M -=为函数)(x f 在区间] , [1i i x x -上的振幅或幅度.易见有i ω≥ 0 . 可证i ω=.)()(sup],[,1x f x f i i x x x x ''-'-∈'''Th 3’ (充要条件2 ))(x f 有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对, , 0∍∃>∀T ε∑<∆εωiIx.Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法:为应用Th 3’,通常用下法构造分法T :当函数)(x f 在区间] , [b a 上含某些点的小区间上i ω作不到任意小时, 可试用)(x f 在区间] , [b a 上的振幅m M -=ω作i ω的估计,有i ω≤ ω.此时,倘能用总长小于0 ( 2≠ωωε, 否则)(x f 为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法T的一部分分点，在区间] , [b a 的其余部分作分割，使在每个小区间上有i ω<)(2a b -ε, 对如此构造的分法T , 有∑=∆n i iix 1ω∑∑=-=∆+∆=mk mn j j j k kx x 11ωω<∑∑=-=≤∆+∆-mk mn j jkxx a b 11)(2ωε∑∑-==∆+∆-≤m n j j ni i x x a b 11)(2ωεεωεωε=+--≤2 )()(2a b a b . Th 4 ( (R )可积函数的特征) 设)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对0 >∀ε和0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T ,只要 δ<T ,对应于εω≥'i 的那些小区间i x '∆的长度之和σ<∆∑'i x.证)⇒)(x f 在区间] , [b a 上可积, 对0 >∀ε和 0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T , 只要δ<T , 就有σεσωωε<∆⇒<∆≤∆≤∆∑∑∑∑''''i iii i i x xx x .)⇐ 对 , , 0∍∃>∀T εεω≥'i 的区间总长小于,ωε此时有∑∑∑∑∑==''=='''+-≤∆+∆≤∆+∆=∆mk ni i mk k ni i i k k i i a b x x x x x 1111)( ωεωεωεωωω =).1(+-a b ε三． 可积函数类：1． 闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ）2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ）推论1 闭区间上按段连续函数必可积.推论2 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(x f 在区间] , [b a 上可积.例2 判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ）例3 , 2 , 1 . 111 , 1, 0, 0)(=⎪⎩⎪⎨⎧<<+==n n x n nx x f 证明)(x f 在] 1 , 0 [上可积.Ex [1]P 288—289 3 — 7.§3 定积分的性质（ 3 时 ）一. 定积分的性质:1.线性性质:Th 1 k b a R f ],,[∈为常数⇒ ],,[b a R kf ∈且⎰⎰=b abaf k kf . （ 证 ）Th 2 ],[,b a R g f ∈⇒ ],[b a R g f ∈±, 且⎰⎰⎰±=±bababag f g f )(.（ 证 ）综上, 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ],[,b a R g f ∈⇒],[b a R g f ∈⋅.证 f 和g 有界. 设)(sup , |)(|sup ],[],[x g B x f A b a b a ==, 且可设0 , 0>>B A .(否则f 或g恒为零). 插项估计∑∆⋅iix g f )(ω,有|)()()()(|sup )(,x g x f x g x f g f ix x x i ''''-''=⋅∆∈'''ωix x x ∆∈'''≤,sup )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [g A f B x g x g x f x f x f x g i i ωω+≤''-'''+''-''.但一般⎰⎰⎰⋅≠⋅bab abag f g f .3. 关于区间可加性:Th 4有界函数f 在区间],[c a 和],[b c 上可积⇔)(x f ] , [ b a R ∈,并有⎰⎰⎰+=bccaba.(证明并解释几何意义)规定:0=⎰aa,⎰⎰-=abba.推论 设函数f 在区间] , [B A 上可积. 则对∈∀b a , ] , [B A ,有⎰⎰⎰+=bccaba.（ 证 ）4. 积分关于函数的单调性:Th 5 设函数],[,b a R g f ∈, 且f ≤g , ⇒⎰baf ≤⎰bag .（ 证 ）(反之确否?)积分的基本估计:)(a b m -≤⎰baf ≤)(a b M -.其中m 和M 分别为函数f 在区间] , [b a 上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6 设函数],[b a R f ∈⇒],[||b a R f ∈, 且⎰baf ||≥⎰baf .|| (注意b a <.)证 以)()(|)(||)(|x f x f x f x f ''-'≤''-' 证明∑≤∆iix f |)(|ω∑∆iixf )(ω;以 |)(| )( |)(|x f x f x f ≤≤-证明不等式.注: 该定理之逆不真. 以例 ⎩⎨⎧-=. , 1,, 1)(为无理数为有理数x x x f 做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 (积分第一中值定理)],[b a C f ∈⇒∈∃ξ] , [b a ,使⎰baf =)(ξf )(a b -.Th 8 (推广的积分第一中值定理) ],,[,b a C g f ∈ 且g 不变号.则∈∃ξ] , [b a ,使g f ba⎰=)(ξf ⎰bag . （ 证 ）Ex [1]P 299—300 1 —7.二. 变限积分: 定义上限函数⎰=Φx adt t f x )()(，（以及函数⎰=ψbxdt t f x )()(）其中函数],[b a R f ∈. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. Th 8 ( 面积函数的连续性 )三. 举例:例 1 设],[,b a R g f ∈. 试证明: ⎰∑=∆=→bani i i i T fg x g f 1)()(lim ηξ.其中i ξ和i η是i ∆内的任二点,=T {i ∆}, n i , , 2 , 1 =.例2 比较积分⎰1dx ex与⎰12dx e x 的大小.例3 设 ],,[b a C f ∈ 0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0.例4 证明不等式⎰<-<222sin 2112πππx dx .证明分析: 所证不等式为⎰⎰⎰<-<2222.2sin 211πππdx x dx dx 只要证明在]2,0[π上成立不等式≤12sin 211212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 ⎰=∞→200cos lim πxdx nn .§4 定积分的计算（ 4 时 ）引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数⎰=Φxadt t f x )()(.一． 微积分学基本定理：1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1 （微积分学基本定理）若函数],,[b a C f ∈ 则面积函数⎰=Φxadt t f x )()(在] , [b a 上可导，且)(x Φ'=⎰=xa x f dt t f dxd )()(. 即: 当],[b a C f ∈时, 面积函数⎰=Φxadt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数恰为被积函数在上限的值.亦即)(x Φ是)(x f 的一个原函数. 推论 连续函数必有原函数.2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L 公式 ）( 证 )例1 ⅰ> ⎰bdx x 02; ⅱ> ⎰baxdx e ;例2⎰-ee xdx 1ln .例3⎰+121x dx. ( 与§1 例3 联系 ) 例4 设],,[b a C f ∈0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0. ( §3 例3对照.)证明分析:证明⎰⎰<=aabadx x f dx x f )()(0.设⎰=Φx adt t f x )()(,只要证明)()(b a Φ<Φ.为此证明: ⅰ>)(x Φ↗ ( 只要0)(≥Φ'x ),ⅱ> 但)(x Φ不是常值函数(只要0)(≡/Φ'x ), ⅲ> 又0)(≥Φa . ( 证 )例5 证明 ⎰=+∞→1.01lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式.10x x x n≤+≤ ) Ex [1]P 309 1，2，4⑴─⑽二． 定积分换元法：Th 3 设],,[b a C f ∈ 函数φ满足条件：ⅰ> b a ==)(, )(βφαφ, 且 ],[ , )(βαφ∈≤≤t b t a ; ⅱ> )(t φ在],[βα上有连续的导函数.则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαφφ)()]([)(. （ 证 ）例6 ⎰-1021dx x .例7 ⎰2cos sin πtdt t .例8 计算 ⎰++=1021)1ln(dx xx J . 该例为技巧积分. 例9 ⎰-+a x a x dx 022. 该例亦为技巧积分.例10 已知 ⎰-=324)(dx x f , 求 ⎰+212.)1(dx x xf 例11设函数)(x f 连续且有⎰=10.3)(dx x f 求积分⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100.)()(dx x f dt t f x ) 23 ( 例12 设)(x f 是区间)0( ],[>-a a a 上连续的奇（或偶函数）函数，则⎰-=a a dx x f 0)(， （⎰⎰-=a a adx x f dx x f 0)(2)( . ） 例13 []⎰--=--+223235c o s 3s i n 2ππdx arctgx e x x x x x .. 三. 分部积分公式:Th 4 (分部积分公式)例14 ⎰1.dx xe x例15 计算 ⎰⎰==220c o s s i n ππx d x x d x J n n n .解 ⎰'-=-201)(c o s s i n πdx x x J n n = ⎰'+---201201)(sin cos |cos sinππdx x x x x n n ⎰---=--=--20222)1()1()sin 1(sin )1(πn n n J n J n dx x x n ；解得 ,12--=n n J n n J 直接求得 ⎰==2011sin πxdx J ， ⎰==2002ππdx J . 于是, 当n 为偶数时, 有 ==--⋅-=-=-- 422311n n n J n n n n J n n J 2!!!)!1(224)2(135)3)(1(21432310ππ⋅-=⋅⋅-⋅⋅--=⋅⋅⋅--⋅-=n n n n n n J n n n n ; 当n 为奇数时, 有 !!!)!1(32542311n n J n n n n J n -=⋅⋅⋅--⋅-=. 四. Taylor 公式的积分型余项: [1]P 228—229.Ex [1]P 310 4⑾—⒇，5，6，7.。
!定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。
数学分析定积分范文
数学分析定积分范文首先，让我们从定积分的定义开始。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a,b]上的定积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)是定义在[a, b]上的连续函数。
在这个表达式中，∫是积分号，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示在x轴上的微小长度。
定积分可以被理解为曲线f(x)与x轴之间的面积。
然而，定积分的原始定义是通过将积分区间划分为无穷多个小的子区间来求得。
定积分的定义如下：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ(1→n) f(xi)Δx其中，xi是子区间中的一些点，Δx是子区间的长度。
通过令子区间的数量趋向无穷大，我们可以得到准确的定积分值。
接下来，让我们来讨论一些定积分的基本性质。
首先，定积分具有线性性质。
也就是说，对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx其次，定积分的区间可以进行换元。
例如，设x的取值范围是[a,b]，而y是x的函数y=g(x)，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(g(x))g'(x) dx = ∫[g(a),g(b)] f(y) dy这个性质被称为变量替换法则。
另外，定积分满足区间可加性。
也就是说，如果把积分区间[a,b]划分为两个子区间[a,c]和[c,b]，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx这个性质是基于定积分的定义，通过对两个子区间分别进行积分，然后将结果相加得到的。
最后，我们来讨论一些常见的定积分的求解方法。
首先，最简单的情况是当被积函数是一个多项式的时候。
对于这种情况，我们可以使用幂的积分公式进行求解。
例如，对于函数f(x)=x^n，其中n是一个正整数，有以下公式成立：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中C是常数。
数学分析之定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
定积分的性质
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
性质3
定积分的性质
积分中值定理
若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上也可积.
证 因 f , g 在[a,b]上可积，故在[a,b]上都有界，
即M 0, x [a,b], f (x) M , g(x) M .
则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 并且
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
积分中值定理
性质1
若 f 在 [a,b] 上可积， k 为常数, 则 k f 在[a, b]
上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记
J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
第2讲 定积分定义
任取ξi ∈[ xi−1, xi ], 作和：
n
∑ f (ξi )Δxi .
i =1
上述和式称为 f 在分割 T 下的一个积分和或黎曼和.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
若 ∀ε > 0，∃δ > 0, 使得对任意分割
T : a0 = x0 < x1 < < xn = b,
通过类似分析,速度 v(t) 质点运动的路程为
b
s = ∫a v(t)dt;
密度为 ρ( x) 线状物体的质量为
b
m = ∫a ρ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 ∑ 和式 f (ξi )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
∫ ∑ b
n
J=
a
f ( x)dx
=
lim
T →0
i =1
f (ξi )Δxi .
其中称 f 为被积函数,[a, b] 为积分区间, x 为积分变量，
a, b 分别为积分下限和上限.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
由定义,曲边为 f ( x)的曲边梯形的面积为
b
S = ∫a f ( x)dx.
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§1 定积分的概念
以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在 [a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积.
下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.
∫ 例1 求 1 x2dx. 0
工科数学分析-4定积分的概念与性质
性质3
假设 acb
设 f ( x ) 在 a , b 上 可 积 , 则 f ( x ) 在 a , c 及 c , b 上 也 可 积 .
且
b
f (x)dx
cf
( x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
补充 不论 a,b,c 的相对位置如何,上式总成立.
例 若abc
y f(x)
x ix ix i 1;
(2) 取近似
Ai
在每个小[x区 i1,间 xi] O ax 1
xi1 i x i xn1 b x
上任取一i点 ， 以[xi1,xi ]为底f， (i )为高的小矩形,
面积近似代替 A i , 有 A if(i) x i,i 1 ,2 , n
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y b x
14
定积分的概念与性质
例 求1 1x2dx 0
解 1 1x2dx
0
4
y 1 y 1 x2
o
1
x
(2). 物理意义
当v(t)0时, 定积分
b
lim 0 i1
f(i
)xi
a
f(x)dx0
23
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间 [a,b]上f(x)0,
性质5的推论1
则
b
f(x)dx0
(ab)
a
设 f( x ) g ( x ) 在 [ a ,b ] 上 可 积 , 且 f( x ) g ( x ) ,
上两例共同点:
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第九章 定积分5 微积分学基本定理·定积分计算(续)一、变限积分与原函数的存在性定义：设f 在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b], f 在[a,x]上也可积. 于是由φ(x)=⎰xa f(t)dt, x ∈[a,b]，定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分. 类似的又可定义变下限的定积分ψ(x)=⎰bx f(t)dt, x ∈[a,b]. φ与ψ统称为变限积分.注：∵⎰bx f(t)dt=-⎰xb f(t)dt ，所以变上限的定积分和变下限的定积分可以互相转换.定理：若f 在[a,b]上可积，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上连续. 证：对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+△x ∈[a,b]，就有 △φ=⎰∆+xx af(t)dt-⎰x af(t)dt=⎰∆+xx af(t)dt+⎰a xf(t)dt=⎰∆+xx xf(t)dt.又f 在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M, t ∈[a,b]，则当△x >0时，有 |△φ|=|⎰∆+xx xf(t)dt |≤⎰∆+xx x|f(t)|dt ≤M △x ；当△x <0时，有|△φ|≤M|△x|，∴0x lim →∆△φ=0，即φ在点x 连续. 又由x 的任意性知，φ在[a,b]上连续.定理：(原函数存在定理)若f 在[a,b]上连续，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上处处可导，且. φ’(x)=⎰xaf (t)dxd dt=f(x), x ∈[a,b].证：对[a,b]上任一确定的点x ，当△x ≠0且x+△x ∈[a,b]时，根据积分第一中值定理，有x △φ△=⎰∆+xx xf (t)x △1dt=f(x+θ△x), 0≤θ≤1.∵f 在点x 连续，∴φ’(x)=x △φ△lim 0x →∆=0x lim →∆f(x+θ△x)=f(x). 由x 在[a,b]上的任意性，证得φ是f 在[a,b]上的一个原函数.注：定理沟通了导数和定积分之间的内在联系，同时证明了“连续函数必有原数学”，又以积分形式给出了f 的一个原函数，因此被誉为微积分学基本定理.例：利用定理证明牛顿——莱布尼茨公式.证：可设函数f 的原函数为F(x)=⎰xa f(t)dt+C. 令x=a ，得F(a)=C. ∴⎰xa f(t)dt=F(x)-F(a). 再令x=b ，又得⎰ba f(t)dt=F(b)-F(a)，得证.定理：(积分第二中值定理)设f 在[a,b]上可积，(1)若函数g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰baf(x)g(x)dx=g(a)⎰ξaf(x)dx ；(2)若函数g 在[a,b]上增，且g(x)≥0，则存在η∈[a,b]，使得⎰b af(x)g(x)dx=g(b)⎰bηf(x)dx.证：(1)设F(x)=⎰xa f(t)dt+C, x ∈[a,b]. ∵f 在[a,b]上可积，∴F 在[a,b]上连续，从而有最大值M 和最小值m.若g(a)=0，∵g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，∴g(x)≡0, x ∈[a,b]，成立.当g(a)>0时，由f 有界可设|f(x)|≤L, x ∈[a,b]. 由g 可积，任给ε>0，有∑Ti g i x △ω<Lε. 又I=⎰ba f(x)g(x)dx=∑⎰=n1i x x )x (g )x (f i1-i dx=∑⎰=n1i x x 1-i i1-i )x ()]f g(x -[g(x)dx+∑⎰=n1i x x 1-i i1-i )x (f )g(x dx =I 1+I 2.∵|I 1|≤∑⎰=⋅n1i x x 1-i i1-i |)x (f ||)g(x -g(x)|dx ≤L ∑Ti g i x △ω< L ·Lε=ε.I 2=∑=n1i 1-i )g(x [F(x i )-F(x i-1)]=g(x 0)[F(x 1)-F(x 0)]+…+g(x n-1)[F(x n )-F(x n-1)]=F(x 1)[g(x 0)-g(x 1)]+…+ F(x n-1)[g(x n-2)-g(x n-1)]+F(x n )g(x n-1) =∑=1-n 1i i )F(x [g(x n-1)-g(x i )]+F(x n )g(x n-1).由g(x)≥0且减，使g(x n-1)≥0，g(x n-1)-g(x i )≥0，F(x i )≤M ，i=1,2,…,n-1，得I 2≤M ∑=1-n 1i i 1-i )]g(x -)[g(x +Mg(x n-1)=Mg(a). 同理可得I 2≥mg(a).∴mg(a)-ε<I<Mg(a)+ε. 由ε的任意性可得：mg(a)≤I ≤Mg(a). 即mg(a)≤⎰ba f(x)g(x)dx ≤Mg(a)，∴m ≤g(a)1⎰baf(x)g(x)dx ≤M ；根据连续函数的介值性，可得F(ξ)=⎰ξa f(t)dt=g(a)1⎰baf(x)g(x)dx ，即有⎰bf(x)g(x)dx=g(a)⎰ξa f(x)dx.a(2)与(1)类似可证. 或令p,q分别与f,g关于y轴对称，则p,q在[-b,-a]上符合(1)的条件，∴⎰-ap(-x)q(-x)d(-x)=q(-b)⎰-ηb-p(-x)d(-x), x∈[a,b].b-又p(-x)=f(x)，q(-x)=g(x)，且分别存在关于y轴对称的原函数；∴-⎰af(x)g(x)dx=-g(b)⎰ηb f(x)dx，∴⎰b a f(x)g(x)dx=g(b)⎰bηf(x)dx.b推论：设f在[a,b]上可积，若g为单调函数，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)g(x)dx=g(a)⎰ξa f(x)dx+g(b)⎰bf(x)dx.ξ证：若g单调减，则令h(x)=g(x)-g(b)≥0，∴存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)h(x)d x=h(a)⎰ξa f(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx.又⎰bf(x)h(x)d x=⎰b a f(x)g(x)dx-g(b)⎰b a f(x)dx ，a∴⎰bf(x)g(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰bξf(x)dxa= g(a)⎰ξf(x)dx+g(b)⎰bξf(x)dx，得证.a同理，若g单调增，则令h(x)=g(x)-g(a)≥0，可证.二、换元积分法与分部积分法定理：(定积分换元积分法)若f 在[a,b]上连续，φ在[α,β]上连续可微，且满足φ(α)=a, φ(β)=b ，a ≤φ(t)≤b, t ∈[α,β]，则有：⎰baf(x)dx=⎰βα(t)) f(φφ’(t)dt. (定积分换元公式)证：∵f 在[a,b]上连续，可设F 是f 在[a,b]上的一个原函数，则dtdF(φ(t))=F ’(φ(t))φ’(t)=f(φ(t))φ’(t)，∴F(φ(t))是f(φ(t))φ’(t)的一原函数， 根据牛顿—莱布尼茨公式，证得：⎰βα(t)) f(φφ’(t)dt=F(φ(β))-F(φ(α))=F(b)-F(a)=⎰ba f(x)dx.例1：求⎰102x -1dx.解：令x=sint, 则t ∈[0,2π]， 原式=⎰2π02t sin -1dsint=⎰2π02t cos dt=21⎰+2π01)(cos2x dt=21(t+21sin2t)|2π0 =21(2π+21sin π)=4π.例2：求⎰2π02t sintcos dt.解：⎰2π2t sintcos dt=-⎰2π02t cos dcost=-⎰012x dx=⎰102x dx=3x 3|10=31.例3：求⎰++12x 1x)ln(1dx. 解：令x=tant ，则t ∈[0,4π]. 原式=⎰++4π02t tan 1tant)ln(1dtant=t sec tsec tant)ln(124π02⋅+⎰dt=⎰+4π0tant)ln(1dt=⎰+4π0costsintcost lndt=⎰4π0costt)-4πcos(2lndt=⎰4π02ln dt+⎰4π0t)-4πlncos(dt-⎰4πlncost dt令u=4π-t ，则u ∈[0,4π]且随t 的增大而减小.⎰4π0t)-4πlncos(dt=⎰04πlncosu d(4π-u)=⎰4π0lncosu du. ∴原式=⎰4π2ln dt+⎰4π0lncosu du-⎰4π0lncost dt=⎰4π02ln dt=8πln2.定理：(定积分分部积分法)若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：⎰ba u(x)v ’(x)dx =u(x)v(x)|ba -⎰bav(x)u ’(x)dx.证：∵uv 是uv ’+u ’v 在[a,b]上的一个原函数， ∴⎰bau(x)v ’(x)dx+⎰b av(x)u ’(x)dx=(x)v(x)u (x)u [v(x)ba'+'⎰dx=u(x)v(x)|ba ，移项得：⎰ba u(x)v ’(x)dx =u(x)v(x)|b a-⎰ba v(x)u ’(x)dx.例4：求⎰e12lnx x dx.解：⎰e12lnx x dx=⎰e 1lnx 31dx 3=31(x 3lnx|e1-⎰e 13x dlnx)=31(e 3-⎰e 12x dx) =31(e 3-31x 3|e 1)=92e 3+91.例5：求⎰2πnx sin dx 和⎰2π0n x cos dx, n=1,2,….解：记I n =⎰2π0n x sin dx ，则I n =-⎰2π01-n x sin dcosx=-sin n-1xcosx|2π0+⎰2π0cosx dsin n-1x=(n-1)⎰2π022-n x xcos sin dx=(n-1)⎰2π0n 2-n x)sin -x (sin dx=(n-1)(I n-2-I n )，∴I n =n1-n I n-2. ∴I 0=⎰2π0dx =2π；I 1=⎰2π0sinx dx=-cosx|2π=1. 重复递推可得： I 2m =!2m!!1)!-(2m ·2π；I 2m+1=!1)!(2m !2m!+, m=1,2,…. 令x=2π-t, ⎰2π0n x cos dx=⎰02πn )t -2π(cos d(2π-t)=-⎰02πn t sin dt=⎰2π0n x sin dx.沃利斯公式：2π=12m 1!1)!-(2m !(2m)!lim 2m +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→. 证明：由⎰+2π12m x sindx<⎰2π02mx sin dx<⎰2π01-2m x sin dx ，得：!1)!(2m !2m!+<!2m!!1)!-(2m ·2π<!1)!-(2m !2)!-(2m . 又得： A m =12m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π<2m 1!1)!-(2m !(2m)!2⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B m . ∵0<2π-A m <B m -A m =1)2m(2m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π2m 1⋅→0(m →∞)， ∴∞→mlim (2π-A m )=0，即∞→m lim A m =2π，得证.三、泰勒公式的积分型余项若在[a,b]上u,v 有n+1阶连续导函数，则有推广的分部积分公式：⎰bau(x)v(n+1)(x)dx=[u(x)v (n)(x)-u ’(x)v (n-1)(x)+…+(-1)n u (n)(x)v(x)]|ba+(-1)n+1⎰+ba 1)(n (x)u v(x)dx, (n=1,2,…).设函数f 在点x 0的某邻域U(x 0)内有n+1阶连续导函数，令x ∈U(x 0), u(t)=(x-t)n , v(t)=f(t), t ∈[x 0,x](或[x,x 0])，利用推广的分部积分公式，有：⎰xx n 0t)-(x f(n+1)(t)dt=[(x-t)n f (n)(t)+n(x-t)n-1f (n-1)(t)+…+n!f(t)]|x x 0+⎰⋅xx 00f(t)dt=n!f(x)-n![f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+…+n!)(x f 0(n)(x-x 0)n ]=n!R n (x).其中R n (x)=⎰+x x n 1)(n 0t)-(t)(x f n!1dt 即为泰勒公式的n 阶余项，即泰勒公式的积分型余项.∵f (n+1)(t)连续，(x-t)n 在[x 0,x](或[x,x 0])上同号，由推广的积分第一中值定理，可得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)⎰x x n 0t)-(x dt=1)!(n 1+f (n+1)(ξ)(x-x 0)n+1.其中ξ=x 0+θ(x-x 0), 0≤θ≤1.直接运用积分第一中值定理则得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)(x-ξ)n (x-x 0).由(x-ξ)n (x-x 0)=[x-x 0-θ(x-x 0)]n (x-x 0)=(1-θ)n (x-x 0)n+1, 得泰勒公式的柯西型余项：R n (x)=n!1f (n+1)(x 0+θ(x-x 0))(1-θ)n (x-x 0)n+1. 特别当x 0=0时，有R n (x)=n!1f (n+1)(θx))(1-θ)n x n+1, 0≤θ≤1.习题1、设f 为连续函数，u,v 均为可导函数，且可实行复合f ◦u 与f ◦v.证明：⎰v(x)u(x)f (t)dxd dt=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x).证：在f 的定义域内取一点a, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=⎰v(x)a f(t)dt-⎰u(x)a f(t)dt. 令φ(x)=⎰xa f(t)dt, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=φ(v(x))-φ(u(x)).⎰v(x)u(x)f (t)dxd dt=dx d φ(v(x))-dxdφ(u(x))=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x).2、设f 在[a,b]上连续，F(x)=⎰xa f(t)(x-t)dt. 证明：F ”(x)=f(x), x ∈[a,b].证：∵⎰xa f(t)(x-t)dt=⎰xa xf(t)dt-⎰xa tf(t)dt =x ⎰xa f(t)dt-⎰xa tf(t)dt ， ∴F ’(x)=⎰xa f(t)dt+xf(x)-xf(x)=⎰xa f(t)dt ；∴F ”(x)=f(x) , x ∈[a,b].3、求下列极限：(1)⎰→x020x cost x 1lim dt ；(2)⎰⎰∞→x 02t x2t x dte dt)e (lim 22.解：根据洛比达法则：(1)⎰→x020x cost x 1lim dt=20x cosx lim →=1. (2)⎰⎰∞→x 02t x02t xdte dt)e (lim 22= 2222xxt x x e dte e2lim⎰∞→=22xxt x e dte 2lim⎰∞→=22xxx 2xe e 2lim∞→=x1lim x ∞→=0.4、求下列定积分.(1)⎰2π05xsin2x cos dx ；(2)⎰102x -4dx ；(3)⎰a0222x -a x dx, (a>0)； (4)⎰+-10321)x (x dx；(5)⎰-+10x x e e dx ；(6)⎰+2π02x sin 1cosxdx ； (7)⎰10x arcsin dx ；(8)⎰2πx sinx e dx ；(9)⎰ee1|lnx |dx ；(10)⎰10xedx ；(11)⎰+a02xa x-a xdx (a>0)；(12)⎰+2π0x cos sinx cosx dx.解：(1)⎰2π05xsin2x cos dx=2⎰2π6xsinx cos dx=-2⎰2π06x cos dcosx=-72cox 7x|2π0=72. (2)∵⎰102x -4dx=x 2x -4|1-⎰10x d 2x -4= x 2x -4|10+⎰122x-4x dx = x 2x -4|10-⎰-122x -44x -4dx= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛122x -11d 2x= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4arcsin 2x |10.∴⎰102x -4dx=21x 2x -4|10+2arcsin 2x |10=23+3π. (3)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰a222x -a x dx=⎰2π02222(asint)-a t sin a ·acostdt=a4⎰2π022t tcos sin dt=a 4(⎰2π02t sin dt -⎰2π04t sin dt)=a 4(21·2π -!4!!3!·2π)=16πa 4.(4)解法一：令t-x=1x x 2+-, 则x=12t 1-t 2-, dx=221)(2t 22t -2t -+, t ∈[1,2].⎰+-1321)x (x dx =⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2123221)(2t 12t 1-t -t 22t -2t dt=2⎰+-21221)t -(t 12t dt=-1t -t 22+|21=34. 解法二：⎰+-1321)x (x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1324321-x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132131-2x dx 338.令31-2x =tant ，则dx=23sec 2tdt, t ∈[-6π,6π]，原式=⎰-6π6π322t)(sec 2tdtsec 3338=34⎰-6π6πsect dt =34⎰-6π6πcost dt=34sint|6π6π-=34. (5)⎰-+10x x e e dx =⎰+102x x 1e dx e =⎰+102x x1e de =arctane x |10=arctane-4π.(6)⎰+2π2xsin 1cosx dx=⎰+2π02x sin 1dsinx =arctansinx|2π0=arctan1-arctan0=4π. (7)⎰10x arcsin dx=xarcsinx|1-⎰10x darcsinx=2π-⎰12x -1x dx=2π+2x -1|10=2π-1.(8)∵⎰2π0xsinx e dx=⎰2π0sinx de x =e xsinx|2π0-⎰2π0xe dsinx=e 2π-⎰2π0cosx de x=e 2π- e xcosx|2π0+⎰2π0xe dcosx=e 2π+1-⎰2π0x sinx e dx.∴⎰2π0xsinx e dx=21(e 2π+1).(9)⎰e e1|lnx |dx=-⎰1e1lnx dx+⎰e1lnx dx =-xlnx|1e1+⎰1e1x dlnx +xlnx|e 1-⎰e1x dlnx=-e1+⎰1e1dx +e-⎰e1dx =-e 1+1-e1+e-e+1=2(1-e -1).(10)⎰10xedx=⎰10t e dt 2=2⎰10t de t =2te t |10-2⎰10t e dt=2e-2e t |10=2.(11)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰+a2x a x -a xdx=⎰+2π022sint 1sint -1t sin a ·acostdt =a 3⎰2π022t sin -1sint -1tcost sin dt= a3⎰2π2sint)-t(1sin dt= a 3(⎰2π02t sin dt-⎰2π03t sin dt)=(4π-32)a 3. (12)令t=tan 2x ，则x=2arctant ，dx=2t12+，t ∈[0,1]. ⎰+2π0x cos sinx cosx dx=⎰+++++10222222t 1t -1t 12t t 12·t 1t -1dt=2⎰--+-10222)1t 2t )(1t (1t dt=⎰+-121t t 1dt+⎰---1021t 2t 1t dt=arctant|10-21ln(t 2+1)|10+21ln|t 2-2t-1||10 =4π-21ln2+21ln2=2π.5、设f 在[-a,a]上可积. 证明：(1)若f 为奇函数，则⎰aa -f(x)dx=0；(2)若f 为偶函数，则⎰aa-f(x)dx=2⎰af(x)dx.证：⎰aa -f(x)dx=⎰a0f(x)dx+⎰0a -f(x)dx=⎰a0f(x)dx+⎰0a f(-t)d(-t)=⎰+a0f(-x)][f(x)dx. (1)若f 为奇函数，则f(-x)=-f(x)，⎰aa -f(x)dx=0. (2)若f 为偶函数，则f(-x)=f(x)，⎰aa -f(x)dx=2⎰a0f(x)dx.6、设f 为R 上以p 为周期的连续周期函数. 证明： 对任何实数a ，恒有⎰+pa a f(x)dx=⎰p0f(x)dx. 证：⎰+pa a f(x)dx=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰+pa p f(x)dx=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰+a 0p)f(t d(t+p)=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰a0f(x)d(x) =⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx-⎰0a f(x)d(x)=⎰p0f(x)dx.7、设f 为连续函数. 证明： (1)⎰2π0f (sinx)dx=⎰2π0f (cosx)dx ；(2)⎰πxf(sinx)dx=2π⎰πf(sinx)dx.证：(1)令x=2π-t ，则⎰2π0f (sinx)dx=⎰02πt)]-2πf[sin(d(2π-t )=⎰2π0f (cosx)dx.(2)令x=π-t ，则⎰π0xf(sinx)dx=⎰0πt)]-t)f[sin(π-(πd(π-t)=⎰π0x)f(sinx)-(πdx=⎰π0f(sinx)πdx-⎰π0xf(sinx)dx. ∴⎰π0xf(sinx)dx=2π⎰πf(sinx)dx.8、设J(m,n)=⎰2πn m x xcos sin dx (m,n 为正整数). 证明： J(m,n)=n m 1-n +J(m,n-2)=nm 1-m +J(m-2,n)，并求J(2m,2n). 证：J(m,n)=⎰+2π1-n n 1-n m xsin x xcos sin dx =⎰+2π01-n 1-n x sin x cos n m 1dsin m+n x =x sin x cos n m 11-n 1-n ⋅+·sin m+n x|2π0-⎰+2π0n +m x sin n m 1d x sin x cos 1-n 1-n =-xsin x xcos 1)sin -(n -x xsin 1)cos -(n -x sin n m 12-2n n2-n n 2-n 2π0n +m ⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-n 2-n 2πm ⋅+⎰dx=n m 1-n +J(m,n-2).J(m,n)=⎰+2π1-m 1-n m m xcos x xcos sin dx =-⎰+2π01-m 1-m x cos x sin n m 1dcos m+n x =-x cos x sin n m 11-m 1-m ⋅+·cos m+n x|2π0+⎰+2π0n +m x cos n m 1d xcos x sin 1-m 1-m=xcos x xsin 1)cos -(m x xcos 1)sin -(m x cos n m 12-2m m2-m m 2-m 2π0n +m +⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-m n2π2-m ⋅+⎰dx=n m 1-m +J(m-2,n).J(2m,2n)=n 22m 1-2n +J(2m,2n-2)=2)-2n n)(2m 2(2m 3)-1)(2n -(2n ++J(2m,2n-4)=…=!n)!2(2m !1)!-(2n +J(2m,0)=!n)!22m(2m !1)!-1)(2n -(2m +J(2m-2,0)=…=!n)!2(2m !2m!!1)!-(2n !1)!-(2m +J(0,0)=!n)!2(2m !2m!!1)!-(2n !1)!-(2m +·2π.9、证明：若在R +上f 为连续函数，且对任何a>0有： g(x)=⎰axx )t (f dt ≡常数, x ∈R +，则f(x)=xc , x ∈R +，c 为常数. 证：∵g(x)=⎰axx )t (f dt=⎰axa )t (f dt+⎰a x )t (f dt=⎰ax a )t (f dt-⎰xa )t (f dt ≡常数, ∴g ’(x)=af(ax)-f(x)=0. 即f(ax)=af (x). 记f(1)=c ，则f(a)=ac ，即f(x)=xc , x ∈R +.10、若f 为连续可微函数，试求：(1)⎰'-xa )t (f )t x (dxd dt ；(2)⎰-xt sin )t x (dx d dt. 解：(1)⎰'-x a )t (f )t x (dx d dt=⎰-xa)t x (dxddf(x)=dxd[(x-t)f(x)|x a -⎰xa)x (f d(x-t)]=dxd[af(a)-xf(a)+⎰x a )t (f dt]=f(x)-f(a). (2)⎰-x 0t sin )t x (dx d dt=-⎰-x0)t x (dxd dcost=- cosx+cos0=1-cosx.11、设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(如图). 试证：存在ξ∈(a,b)，使图中两阴影部分面积相等.证法一：只需⎰ξa )x (f dx-f(a)(ξ-a)=f(b)(b-ξ)-⎰bξ)x (f dx ， 移项得⎰ξa )x (f dx+⎰bξ)x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a).记g(x)=f(b)(b-x)+f(a)(x-a), x ∈[a,b]，则g(x)在[a,b]上连续. ∵g(b)=f(b)(b-b)+f(a)(b-a)<⎰ba )x (f dx <f(b)(b-a)+f(a)(a-a)=g(a)，根据连续函数的介值性知，存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)=⎰ba )x (f dx ， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)，得证. 证法二：只需))a (f )x ((f ξa ⎰-dx=-))b (f )x ((f bξ⎰-dx ，即⎰b a )x (f dx=f(a)⎰ξa dx +f(b)⎰bξdx . 对函数g(x)=1，f 单调增， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[a,b]，使上式成立. 又当ξ=a 或ξ=b 时，显然结论不成立，∴ξ∈(a,b)，得证.12、设f 为[0,2π]上的单调递减函数. 证明： 对任何正整数n ，恒有⎰2π0f(x)sinnx dx ≥0.证：∵g(x)=sinnx 在[0,2π]上可积，f 在[0,2π]上单调递减， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[0,2π]，使⎰2πf(x)sinnx dx=f(0)⎰ξ0sinnx dx+ f(2π)⎰2πξsinnx dx=-n 1f(0)cosnx|ξ0-n 1f(2π)cosnx|2πξ =-n 1f(0)cosn ξ+n 1f(0)-n 1f(2π) +n 1f(2π)cosn ξ=n1(f(0)-f(2π))(1-cosn ξ).又f(0)-f(2π)≥0，1-cosn ξ≥0，∴⎰2π0f(x)sinnx dx ≥0.13、证明：当x>0时，有不等式|⎰+cx x 2sint dt|<x1 (c>0). 证：令t 2=y ，则t=y ，dt=y21，y ∈[x 2,(x+c)2]，|⎰+cx x 2sint dt|=|⎰+22c)(x xy2siny dy|. ∵y21>0，且在[x 2,(x+c)2]上单调减，根据第二积分中值定理，存在ξ∈[x 2,(x+c)2]，使 |⎰+22c)(x x y2siny dy|=|⎰ξx2siny 2x1dy|=2x 1|cos ξ-cosx 2|<2x 1·2=x1.14、证明：若f 在[a,b]上可积，φ在[α,β]上单调且连续可微，φ(α)=a, φ(β)=b ，则有：⎰b a )x (f dx=(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt.证：∵φ在[α,β]上单调且连续可微，且φ(α)=a, φ(β)=b ， ∴(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt=⎰βα)φ(t)(f d φ(t)=⎰ba )t (f dt=⎰ba )x (f dx.。
定积分的概念
把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形
分割 在区间[a,b]内任意插入(n-1)个分点,称为区间[a,b]的一个分法(分割)，记为T.
2.代替
（化曲为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ，于是，以 为底， 为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即
注：显然函数 f (x) 在 [a, b] 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= { }(i Δi , i=1, … , n )的取法有关.
取法任意
记
如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；
也不论在小区间 上，点 怎样的取法，
只要 时，积分和 存在确定的有限极限
根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.
物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献 。
与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形）
（九个小矩形）
基本思想(以直代曲)
具体做法(如下)
（化整为零）
”
分法任意
分法T将区间[a,b]分成n个小区间，
过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔAi ( i=1, 2, …, n )
数学分析（二）预习——3、定积分的基本性质
数学分析（⼆）预习——3、定积分的基本性质3、定积分（3）：基本性质 解决了可积性问题，这⼀篇来介绍除定积分中值定理外的基本性质。
⼀、运算性质1、线性性：设f、g∈R[a,b]，α、β∈R，则有∫b a[αf(x)+βg(x)]dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx2、可乘性：设f、g∈R[a,b]，则fg∈R[a,b]。
证明：由定义，f、g均有界，则它们有共同界M。
由于可积，则对于任意ϵ>0，存在分割Δ，使f、g的振幅⾯积都有∑n i=1ωiΔx i<ϵ2M在每个⼩区间上，有|f(x1)g(x1)−f(x2)g(x2)|≤|f(x1)g(x1)−f(x1)g(x2)|+|f(x1)g(x2)−f(x2)g(x2)|≤Mωi(f)+Mωi(g)因此fg的振幅⾯积就有∑n i=1ω′iΔx i≤2·M·ϵ2M=ϵ可积性就得到了证明。
注意，这⾥只是证明了可积，但没有如线性性般给出积分的值。
上⾯两条性质告诉我们可积性在加减法、乘法下是保持的，但是除法不⼀定保持；复合也是不⼀定的。
不过关于复合函数仍有以下性质：3、设g∈R[a,b]，f∈C(I)，其中I是g在[a,b]上的值域，则f(g)∈R[a,b]。
证明是容易的，依靠f的⼀致连续性，加上g在区间上的振幅随λ(Δ)→0⽽趋于0即可。
关于绝对值运算有下⾯的性质：4、设f∈R[a,b]，则|f|∈R[a,b]，且有|∫b a f(x)dx|≤∫b a|f|dx证明：事实上，在任何区间上，|f|的振幅都不会超过f的振幅，由此可积性⽴刻得到证明。
⾄于性质的后半部分，考虑两者在Δ下的任意黎曼和，我们有：|∑n i=1f(ξi)Δx i|≤∑n i=1|f(ξi)|Δx i性质也得到了证明。
⼆、积分性质 讨论下⾯的性质之前，做⼀个⼀般性的规定：对任意f、a，规定∫a a f(x)dx=0。
1、设a<c<b，则f∈R[a,b]的充分必要条件为f∈R[a,c]且f∈R[c,b]。
定积分定义取中点计算积分
定积分定义取中点计算积分摘要：1.定积分的定义2.取中点计算积分的方法3.举例说明正文：一、定积分的定义定积分，是数学分析中的一个重要概念，主要用于计算曲线下的面积、长度、体积等。
在微积分中，定积分可以看作是求和的一个极限形式。
给定一个函数f(x)，在区间[a, b] 上有界，我们考虑将区间[a, b] 划分为若干子区间，每个子区间选取一个代表点，计算以这些代表点为顶点的矩形面积之和，当子区间划分越来越细，矩形面积之和越来越接近曲线下的面积时，我们就可以用一个极限来表示这个面积，这个极限就是定积分。
二、取中点计算积分的方法为了简化积分计算过程，我们可以采用取中点计算积分的方法。
具体来说，将区间[a, b] 等分为n 个子区间，每个子区间选取一个代表点，记为xi （i=1,2,...,n），则每个子区间的中点为xi。
我们可以用中点坐标来近似代替原函数的值，然后计算以这些中点为顶点的矩形面积之和。
随着子区间划分越来越细，n 越来越大，矩形面积之和越来越接近曲线下的面积，此时我们可以用一个极限来表示这个面积，这个极限就是定积分。
三、举例说明现在我们以一个简单的例子来说明如何使用取中点计算积分的方法。
假设我们要计算函数f(x)=x^2 在区间[0, 1] 上的定积分。
首先，我们将区间[0, 1] 等分为n 个子区间，每个子区间选取一个代表点，记为xi。
则每个子区间的中点为xi。
我们用中点坐标来近似代替原函数的值，即f(xi)=xi^2。
然后计算以这些中点为顶点的矩形面积之和。
当n=1 时，只有一个子区间，中点为0.5，矩形面积为0.25。
当n=2 时，有两个子区间，中点分别为0.25 和0.75，矩形面积之和为0.625。
当n=3 时，有三个子区间，中点分别为0.1667、0.5 和0.8333，矩形面积之和为0.78125。
可以看出，随着子区间划分越来越细，矩形面积之和越来越接近曲线下的面积。
当n 趋近于无穷大时，矩形面积之和将精确等于曲线下的面积。
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第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§ 1 定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解取等分区间作为分法, . 取.=.由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 .四、小结：指出本讲要点§ 2 Newton — Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （N — L公式）( 证 )例1求ⅰ> ; ⅱ> ;例2 求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:Th 9.2 ，在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件 .方案: 定义上和和下和. 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 .2. Darboux和: 以下总设函数在区间上有界. 并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值) . 但总有, 因此有. 和的几何意义 .3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法: 表示是的加细 .性质1 若, 则, . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何, 有, . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )性质3 对任何和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 .证.性质4 设是添加个新分点的加细. 则有+ ,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法, 分别设, , .显然有和. 于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式.可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4. 上积分和下积分:设函数在区间上有界. 由以上性质2 ，有上界，有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义记, . 分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数, 和存在且有限 , . 并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义.例1求和. 其中是Dirichlet函数 .5. Darboux定理 :Th 1 设函数在区间上有界, 是区间的分法 .则有=, =.证( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有. 是显然的. 因此只证. ) , 对, 使<设有个分点, 对任何分法, 由性质4的系, 有,由*式, 得<即<亦即<.于是取, ( 可设, 否则为常值函数, =对任何分法成立. ) 对任何分法, 只要, 就有.此即=.6. 可积的充要条件:Th 2 （充要条件1 ）设函数在区间上有界.= .证设=, 则有=. 即对使当时有| | < 对成立.在每个上取, 使, 于是,| | = < .因此, 时有| | | | + | | < + = . 此即=. 由Darboux定理 , = .同理可证= . = .对任何分法, 有, 而== = .令和的共值为, 由双逼原理=.Th 9.3 有界.对.证( ) = 0. 即对时, ., 由,–, = .定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0 . 可证=Th 9.3’(充要条件2 ) 有界.对.Th 3’的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试用在区间上的振幅作的估计 , 有. 此时, 倘能用总长小于, 否则为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有<, 对如此构造的分法, 有<.Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设在区间上有界.对和, 使对任何分法, 只要, 对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积, 对和, 使对任何分法, 只要, 就有.对的区间总长小于此时有==三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th 5 （证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .Th 6 （证）推论1 闭区间上按段连续函数必可积 .推论2 设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数在区间上可积.例2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 .( )3. 闭区间上的单调函数必可积：Th 7 （证）例3证明在上可积.§ 4 定积分的性质（2学时）教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；一.定积分的性质:1.线性性质:Th 1 —Const , 且. （证）Th 2 , , 且.（证）综上 , 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ,.证和有界. 设, 且可设.( 否则或恒为零 ). 插项估计, 有. ……但一般.3. 关于区间可加性:Th 4 有界函数在区间和上可积，,并有. ( 证明并解释几何意义 )规定, .系设函数在区间上可积 . 则对, 有. （证）4. 积分关于函数的单调性:Th 5设函数, 且, .（证）(反之确否?)积分的基本估计: . 其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6设函数,,且(注意.)证以证明; 以证明不等式.该定理之逆不真. 以例做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 ( 积分第一中值定理 ) , 使=. （证）Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) 且不变号. 则, 使=. （证）.二. 举例:例1设. 试证明:.其中和是内的任二点, {}, .例2 比较积分与的大小.例3 设但. 证明>0.例4 证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 .§5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性引入：由定积分计算引出 .1.变限积分: 定义上限函数，（以及函数）其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.Th 9 ( 面积函数的连续性 )思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数则面积函数在上可导，且=.即当时, 面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即是的一个原函数 .证系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理Th11 （积分第二中值定理）设函数在上可积，（i）若函数在上减，且，则存在，使得（ii）若函数在上增，且，则存在，使得推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法：1.换元积分法Th 12 设函数满足条件：ⅰ> , 且;ⅱ> 在上有连续的导函数.则. （证）例1. ( P225 )例2 . ( P225 )例3 计算. ( P225—226 ) 该例为技巧积分.例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求例6 设函数连续且有求积分例7设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则，（. ）例8 ..2. 分部积分法Th13 ( 分部积分公式 )例9例10计算.解=；解得直接求得，. 于是,当为偶数时, 有;当为奇数时, 有.三. Taylor公式的积分型余项: P227—229.习题课（2学时）一．积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1 证明不等式.证注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , ……例2证明不等式.证考虑函数, . 易见对任何, 在区间上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有. 而,.因此有.取, .在区间仿以上讨论, 有. 而，.综上 , 有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间上可积. 为区间的等分分法, . 若对任何和, 均有, 即得.令, 注意到函数和在区间上可积, 即得积分不等式.倘若函数和连续 , 还可由.例3证明Schwarz 不等式 ( 亦称为Cauchy–Буняковский不等式 ): 设函数和在区间上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式.证法一( 由Cauchy 不等式Schwarz不等式 . Cauchy 不等式参阅上册 : 设和为两组实数, 则有. )设为区间的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有,两端同乘以, 有,令, 注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有，, 即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有,即.例4 且. 证明不等式.证取. 对函数和应用Schwarz 不等式, 即得所证 .例5 设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式.证先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式.设为区间的等分分法. 由上述不等式 , 有.令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式.仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .二. 面积函数的导数 :例6 求和例7 求和例8 求 .例9 设时函数连续且.求.(=) 例10 设函数连续且. 求和.解令. 两端求导, = .例11设. =.试证明 :=.证=,=.例12设函数在区间上连续且>0. .试证明: 函数在区间内严格递增.证= , 而.>0 , 在内，又连续，，在区间内>0 . 因此在区间内严格递增.三. 含有变限积分的未定型极限:例13求极限. ( 2 )四. 定积分的计算 :例 14 计算积分.例15计算积分=.解时, =;时, =;时, =.因此,例16利用积分的值 , 计算积分.解.,而 , .因此，例17 , 求 ( 2)例18 设是区间上连续的偶函数 . 试证明 :是上的奇函数 .证法一.证法二注意到, 有==.五. 利用定积分求和式极限 :原理: 用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.例19 求极限. [3] P163 E13 . 与§1例2连系.例20 求极限.解==.由函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有=..例21 求极限.解==.,.因此 , .例22 试证明: 对任何,有不等式< .证=是函数=在区间[ 0 , 1 ]上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有时, ↗. 又易见↗↗. 对任何, 有< , 即 < .第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。