2017年上海静安高考数学二模

静安区第二学期教学质量检测

高三数学试卷

2017.4

一、填空题（55分）

1. 已知集合{}{}|ln 0,|23x A x x B x =>=<，则A B =_____________.

2. 若实数,x y 满足约束条件0290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩

，则3z x y =+的最大值等于_____________.

3. 已知7()a

x x

-展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为_____________. 4. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个. 若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为_____________.

5. 设()f x 为R 上的奇函数. 当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数）

，则(1)f -的值为_____________.

6. 设,P Q 分别为直线62x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）

和曲线1:2x C y θθ

⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数）的点，则||PQ 的最小值为_____________.

7. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S . 对任意*

n ∈N ， 11(,2)n n n a a a ++=-都是直线y kx =的法向量. 若lim n n S →∞存在，则实数k 的取值范围是_____________. 8. 已知正四棱锥P ABCD -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是_____________.

9. 设0a >，若对于任意的0x >，都有112x a x

-≤，则a 的取值范围是_____________. 10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_____________.

11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112

a =，对于任意*n ∈N 都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +的值为_____________.

二、选择题（20分）

12. 已知,a b ∈R ，则“33log log a b >”是“1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

13. 已知复数z 满足

11i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i B. 1- C. 1 D. i -

14. 当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)k x =+的根的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹. 以下结论正确的个数为（ ）

（1） 曲线C 一定经过原点；

（2） 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；

（3） △MPN 的面积不大于8；

（4） 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

三、解答题（本题满分75分）

16. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，等腰Rt △AOB ，2OA OB ==，点C 是OB 的中点，△AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转一周.

（1）求△ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；

（2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足AC BD ⊥，求θ.

17. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

（1）求函数()y f x =的最大值和最小正周期；

（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若11cos ,334C B f ⎛⎫=

=- ⎪⎝⎭

，求sin A .

18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元. 如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本. 据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入()g n 是生产时间n 个月的二次函数2()g n n kn =+（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同. 同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.

（1）求前8个月的累计生产净收入(8)g 的值；

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.

19. （本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点

P 满足： 21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠=.

（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；

（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合.

设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A . 问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连续自然数. 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.