2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.已知函数f(x)=lg(x−1)+x−3，则函数f(x)的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)3.已知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=−x2+x，则不等式xf(x)<0的解集为()A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)4.关于函数f(x)=log3x，下列说法正确的是()A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 图象关于x轴对称D. 图象关于点对称5.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2) x2−m在上单调递增，则m的值为()A. −1B. −1或3C. 1或−3D. −36.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−x3B. f(x)=√xC. f(x)=x+1x D. f(x)=ln1−x1+x7.常见的三阶魔方约有4.3×1019种不同的状态，将这个数记为A，二阶魔方有560×38种不同的状态，将这个数记为B，则下列各数与AB 最接近的是()(参考数据：log310≈2.1，4.3560≈0.6×3−4)A. 0.6×3−28B. 0.6×1028C. 0.6×328D. 0.6×3328.已知函数f(x)=lnx+(a−2)x−a+3，(a>0)，若f(x)>0有且只有一个整数解，则a的取值范围是()A. (0,1−ln2)B. (0,1−ln2]C. [1−ln2,2)D. (1−ln2,2)9.已知x>0，函数f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x的最小值为6，则a=()A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 210.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=f(|x|).()A. 正确B. 错误二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.计算：_______ ；e0+√(1−√2)2−816=_______．12.函数f(x)=x−43−x的值域为______ ．13.函数f(x)=log a(6−ax)在[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是______。

14.若函数f(x)=2xx2+1−a有零点，则实数a的值范围是_________．15.函数f(x)=1x，x∈[2,3]的最大值为__________．16.函数f(x)=x−3x+3，g(x)=x+3，则f(x)⋅g(x)=______ ．)=x+√1+x2(x<0)，则函数f(x)的解析式为__________．17.已知函数f(1x三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知全集U=R，集合A={x|9x−14−x2≥0}，B={x|0<log2x<2}，C={x|a−1<x<2a}．(I)求A∪B，(∁U A)∩B；(II)如果A∩C=⌀，求实数a的取值范围．19.有两个投资项目A、B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；(2)现将x(0≤x≤10)万元投资A项目，10−x万元投资B项目.ℎ(x)表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和.求ℎ(x)的最大值，并指出x为何值时，ℎ(x)取得最大值．20.用单调性定义证明函数f(x)=x+2在(1,+∞)上单调递减．x−121.已知f(x)=(|x−1|−3)2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)−ax−2有三个零点，求实数a的值；(Ⅱ)若对任意x∈[−1,1]，均有f(2x)−2k−2x≤0恒成立，求实数k的取值范围．22.已知函数f(x)=|x2−ax|(a∈R)．(1)当a=2时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)3(2)当a=−2时，记函数g(x)=f(x)−t,(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值。

-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题【解答】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查零点存在性定理，根据零点存在性定理逐项判断即可，属基础题．【解答】解：∵函数f(x)=lg(x−1)+x−3，∴函数定义域为(1,+∞)，排除A，f(2)=lg(2−1)+2−3=−1<0，f(3)=lg(3−1)+3−3=lg2>0，∴f(2)f(3)<0，∴函数零点所在区间为(2,3)．故选C．3.答案：D解析：解：当x≥0时，f(x)=−x2+x<0得，x>1；∵f(x)是奇函数，则当x<0时，f(x)>0的解为x<−1；故不等式xf(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)；故选D．由题意讨论x≥0及x<0讨论f(x)的取值范围，从而求解．本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查对数函数及其性质，属于基础题．【解答】解：∵函数，∴f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确，B错误，对数函数没有对称性，故C，D错误，故选A．5.答案：A解析：【分析】本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题．由函数是幂函数，系数为1得m=3或−1，再由单调性即可得解．【解答】解：因为f(x)=(m2−2m−2) x2−m是幂函数，故m2−2m−2=1，解得m=3或−1，又因为函数在上单调递增，则m=−1．故选A．6.答案：C解析：解：函数f(x)=−x3是奇函数，但在区间(1,+∞)上单调递减；函数f(x)=√x是非奇非偶函数；函数f(x)=x+1x是奇函数，f′(x)=1−1x2>0在区间(1,+∞)上恒成立，故函数在区间(1,+∞)上单调递增；函数f(x)=ln1−x1+x是定义在(−1,1)上的奇函数；故选：C．分析给定函数的奇偶性及单调性，可得答案．本题考查的知识是函数的单调性，函数的奇偶性，难度不大，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查指、对数的运算以及对数的应用，考查了计算能力，属于基础题．由题意，log310≈2.1，从而A=4.3×1019≈4.3×32.1×19≈4.3×340，进而可求AB的近似值．【解答】解：因为log310≈2.1，所以A=4.3×1019≈4.3×32.1×19≈4.3×340，所以AB =4.3×340560×38≈0.6×3−4×332=0.6×328．故选C．8.答案：B解析：解：∵f(x)=lnx+(a−2)x−a+3，令lnx+(a−2)x−a+3=0，∴lnx=(2−a)x+a−3，∵y=(2−a)x+a−3，∴2x−y−3+(1−x)a=0，∴{2x−y−3=01−x=0，解得x=1，y=−1，即直线y=(2−a)x+a−3恒过点，(1,−1)，ln1=0，可知f(1)=lnx+(a−2)x−a+3=1>0，f(x)>0有且只有一个整数解，必须f(2)≤0，分别画出y=lnx，与y=(2−a)x+a−3的图象，如图所示：即ln2+2(a−2)−a+3≤0，解得a≤1−ln2，∵a>0，∴0<a≤1−ln2．故选：B．由f(x)=lnx+(a−2)x−a+3=0，可得lnx=(2−a)x+a−3，分别画出y=lnx，与y=(2−a)x+a−3的图象，f(x)>0有且只有一个整数解，x1解使得f(x1)>0，则f(2)≤0，解得即可本题考查了函数图象和函数零点的问题，考查了数形结合思想、转化思想，是一道中档题．9.答案：B解析：解：∵x>0，∴e x−e−x>0∴f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x =(e x−e−x)2−2a(e x−e x)+2a2+2e x−e−x=(e x−e−x)+2a2+2e x−e−x−2a≥2√2a2+2−2a，∵函数f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x的最小值为6，∴2√2a2+2−2a=6，解得a=−1或7，故选：B．根据基本不等式即可求出函数的最值．本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题10.答案：A解析：【分析】本题考查偶函数的定义及性质，若f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=f(|x|).属于基础题．【解答】解：因为f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)=f(|x|)．故选A．11.答案：2 ；0解析：【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：log69+2log62=log69+log64=log636=2；e0+√(1−√2)2−816=1+√2−1−√2=0．故答案为2；0．12.答案：(−∞,−1)∪(−1,+∞)解析：解：∵函数f(x)=x−43−x，∴函数f(x)=x−43−x =−1+1x−3，∵函数y=1x的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，∴函数y=1x−3的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，∴函数f(x)=x−43−x =−1+1x−3的值域：(−∞,−1)∪(−1,+∞)，故答案为(−∞,−1)∪(−1,+∞)．化简函数f(x)=x−43−x =−1+1x−3，利用函数y=1x的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)求解．本题考查了函数的性质，运用求解分式函数的值域问题．13.答案：(1,2)解析：【分析】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．【解答】解：∵函数f(x)=log a(6−ax)在[1,3]上单调递减，∴{a>16−1×a>06−3a>0，解得a的取值范围为(1,2)，故答案为(1,2)．14.答案：[−1,1]解析：【分析】本题考查函数的零点与方程根之间的关系，将函数有零点转化为方程有解．【解答】解：g(x)=2xx2+1的定义域为R，当x=0时，g(x)=2xx2+1=0；当x≠0时，g(x)=2xx2+1=2x+1x，∵x+1x ≥2或x+1x≤−2，∴−1≤2x+1x <0或0<2x+1x≤1，∴−1≤g(x)≤1，∵函数f(x)=2xx2+1−a有零点，∴实数a的值范围是[−1,1]．故答案为[−1,1]．15.答案：12．解析：f(x)=1x 在x∈[2,3]上是单调减函数，所以x=2时f(x)有最大值12．16.答案：x−3，(x∈(−∞,−3)∪(−3,+∞))解析：解：由题意函数f(x)=x−3x+3，g(x)=x+3，那么：f(x)⋅g(x)=x−3x+3×(x+3)，∵x≠−3，∴f(x)⋅g(x)=x−3∴答案为x−3，(x∈(−∞,−3)∪(−3,+∞))由题意函数f(x)=x−3x+3，g(x)=x+3，直接求解f(x)⋅g(x)即可．注意定义域范围．本题考查了函数解析式的求法，化简时要注意到定义域的范围，属于基础题．17.答案：f(x)=1−√1+x2x(x<0)解析：令1x =t,(t<0)，则f(t)=1t+√1+(1t)2=1t−√1+t2t=1−√1+t2t故函数f(x)的解析式为f(x)=1−√1+x2x (x<0)，故答案为：f(x)=1−√1+x2x(x<0)．18.答案：解：(I)全集U=R，集合A={x|9x−14−x2≥0}={x|2≤x≤7}，B={x|0<log2x<2}={x|1<x<4}，∴A∪B={x|1<x≤7}，∁U A={x|x<2或x>7}，∴(∁U A)∩B={x|1<x<2}；(II)C={x|a−1<x<2a}，A∩C=⌀，当a−1≥2a，即a≤−1时，C=⌀，满足A∩C=⌀；当a−1<2a，即a>−1时，a−1≥7或2a≤2，解得a≥8或−1<a≤1时，满足A∩C=⌀；综上，实数a的取值范围是a≤1或a≥8．解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(I)化简集合A、B，根据集合的定义计算即可；(II)根据交集与空集的定义，讨论a的取值，求出实数a的取值范围．19.答案：解：(1)投资为x万元，A产品的利润为y1万元，B产品的利润为y2万元，由题设y1=k1⋅x，y2=k2⋅√x，由图知y1=14x，(x≥0)，y2=54√x，(x≥0)；(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10−x万元，设企业的利润为w万元，w=y1+y2=x4+54√10−x，(0≤x≤10)，令√10−x=t，则w=10−t24+5t4=−14(t−52)2+2516，(0≤t≤√10)当t=52，y有最大值，此时x=10−254=3.75；∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元．解析：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．(1)由于A产品的利润与投资成正比，可设y1=k1⋅x，从图1可以得到当x=1时，y1=0.25，当x=2时，y1=0.45，从而可以得到k1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设y2=k2⋅√x，当x=4时，y2=2.5，当x=9时，y2=3.75，从而可得到k2；(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10−x万元，设企业的利润为w万元，w=A产品的利润+B 产品的利润．20.答案：解：∀1<x1<x2≤+∞，则f(x1)−f(x2)=x1+2x1−1−x2+2x2−1=2x1x2+3x2−3x1(x1−1)(x2−1)．∵1<x1<x2<+∞，∴x1−1>0，x2−1>0，x1x2>0，x2−x1>0，∴f(x1)−f(x2)>0．∴f(x1)>f(x2).∴f(x)=在(1,+∞)上是单调减函数．解析：利用函数单调性定义证明．熟练掌握函数单调性定义和证明方法是解题的关键．21.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax−2=0等价于f(x)=ax+2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，可得函数图象如图所示：联立方程：(x −4)2=ax +2，由Δ=(a +8)2−56=0，可得a =−8±2√14， 结合图象可知a =−8+2√14． 同理(x +2)2=ax +2，由Δ=(4−a)2−8=0，可得a =4±2√2， 因为4+2√2<K PQ =7， 结合图象可知a =4−2√2，综上可得：a =−8+2√14或a =4−2√2．(Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ， 设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t −4)，易得m(t)∈[−4,−3]， (2)当t ∈[12,1)时，m(t)=−t(t +2)，易得m(t)∈(−3,54], 所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可． 22.答案：解：(1)当a =23时，f(x)的单调递增区间为(0,13]和[23,+∞)，单调递减区间为(13,23)和(−∞,0)； (2)当a =−2时，记函数g(x)=f(x)−t ，(t ∈R)，可得|x 2+2x|=t ，画出两个函数y =|x 2+2x|，y =t 的图象如图：t <0时无零点，t =0或t >1时有两个零点，0<t <1时有四个零点，t =1时有3个零点．(3)当a ≤0时，f(x)=|x 2−ax|=x 2−ax 在区间[0,1]上为增函数，当x =1时，f(x)取得的最大值为f(1)=1−a ；当0<a <1时，f(x)={−x 2+ax,0<x <a,x 2−ax,a ≤x <1在区间(0,a 2)上递增，在[a 2,a]上递减，在(a,1]上递增， 且f(a 2)=a 24，f(1)=1−a ， ∵a 24−(1−a)=14(a 2+4a −4)，∴当0<a <2√2−2时，a 24<1−a ； 当2√2−2≤a <1时，a 24≥1−a ．当1≤a <2时，f(x)=−x 2+ax 在区间(0,a 2)上递增，在区间(a 2,1)上递减，当x =a 2时，f(x)取得最大值f(a 2)=a 24；当a ≥2时，f(x)=−x 2+ax 在区间[0,1]上递增，当x =1时，f(x)取得最大值f(1)=a −1．则g(a)={1−a,a <2√2−2,a 24,2√2−2≤a <2a −1,a ≥2．g(a)在(−∞,2√2−2)上递减，在[2√2−2,+∞)上递增，即当a =2√2−2时，g(a)有最小值为3−2√2．解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及基本初等函数的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．(1)当a =23时，结合图象，写出函数f(x)的单调递增区间为(0,13]和[23,+∞)，单调递减区间为(13,23)和(−∞,0)；(2)通过两个函数的图象，判断t 的范围，得到函数的零点个数．(3)当a ≤0时，f(x)=|x 2−ax|=x 2−ax 在区间[0,1]上为增函数，求出最大值．当0<a <1时，当1≤a <2时，当a ≥2时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出g(a)={1−a,a <2√2−2,a 24,2√2−2≤a <2a −1,a ≥2.然后求解g(a)有最小值为3−2√2．。