第六节常用空间曲面

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第六节__旋转曲面和二次曲面

2 2
• 柱面如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
平面 x x1 上的截痕为双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:

常见的空间曲面与方程

常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯有平⾯、柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯和⼆次曲⾯。

1. 平⾯空间中平⾯的⼀般⽅程为0a x b y c zd +++=其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。

例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表⽰空间中的平⾯，zyoz 平⾯（x =0） y y x图8-6（a ）图8-6 (b)图8-62. 柱⾯与给定直线L 平⾏的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲⾯，称为柱⾯，l 为母线，C 为准线。

如图8-7所⽰图8-7 图8-8例如，222x y R +=表⽰空间中母线平⾏于z 轴，准线是xoy 平⾯上的圆222x y R +=的圆柱⾯的⽅程，简称圆柱⾯图（8-8）。

3. ⼆次曲⾯三元⼆次⽅程2221231231230a x a y a z b x yb y z b z xc x c y c zd+++++++++= 所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0.⼆次曲⾯有以下⼏种标准形式，它们分别为：球⾯：图8-9 椭球⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10图8-9 图8-10单叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11双叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R ++=>xz图8-11 图8-12⼆次锥⾯： 2222220(,,0)x y z a b c a b c +-=>图8-13椭圆抛物⾯： 22222(,0)x y z a b a b +=>图8-14双曲抛物⾯（马鞍⾯）22222(,0)x y z a b a b-=->图8-15xyzO图8-13 图8-14 图8-15 锥⾯xyzyOyxxzOz2222(z a x y =+z =±。

空间曲面和曲线.ppt

o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.

1
球面
（3）抛物线

y2

2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线，所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
北京理工大学数学系
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的垂直平分面的方程.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
北京理工大学数学系
五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)

0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
北京理工大学数学系

常用空间曲面

第六节常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。

在一般情况下，如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）有下述关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）；（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）（1）就叫做曲面S 的方程，而那么方程曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）。

象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。

运用这个观点，我们来建立球面方程。

例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。

解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么又0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。

如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1）它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项；（2） 222,,x y z 的系数相同且不为零。

现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？解：配方，得所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)2-，半径为。

例3 方程2222230x y z x y z ++-+-+=是否表示球面？解：配方，得显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。

理学解析几何常见的曲面

r
o
R
x
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴旋转所成曲面 y
o z
x
.
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
（1）xOz
面上双曲线 x 2 a2
z2 c2
1分别绕x
轴和
z 轴；
x
x
绕x 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（1）xOz
面上双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕x
轴和 z 轴；
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
y2 （2）yOz 面上椭圆 a 2
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形．
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角

空间曲面与曲线

(y − b) + z = a (b > a > 0) Γ: x = 0
2 2 2
x
O
旋转抛物面
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
轴旋转，绕z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。轴旋转求所得旋转曲面的方程。解：
20
旋转曲面方程为
(± x + y − b) + z = a
2 2 2 2
2 2 2
即或
x + y + z + b − a = ±2b x + y
2 2 2
绕实轴（即y轴）旋转的绕实轴（轴旋转曲面方程为
y x z − 2 − 2 =1 2 b c c
2 2 2
单叶旋转双曲面
18
叫做双叶旋转双曲面。叫做双叶旋转双曲面。
双叶旋转双曲面
旋转抛物面
19
例4 将抛物线
y2 = 2pz Γ: x = 0
绕它的对称轴旋转 z
的旋转曲面方程为 x2+y2=2pz 叫做旋转抛物面。叫做旋转抛物面。例5 将圆
O
0
M
1
P°
Γ y
10
的平面与旋转曲面的交线，的平面与旋转曲面的交线，称之为纬圆，或纬线。称之为纬圆，纬线。纬圆在通过旋转轴l的平面上，在通过旋转轴的平面上，的平面上以l为界的每个半平面都与为界的每个半平面都与旋转曲面交成一条曲线，旋转曲面交成一条曲线，这条曲线在旋转过程中来求旋转曲面的方程。来求旋转曲面的方程。 x
25 球面上，轴为椭球面的对称轴称为主轴。轴为椭球面的对称轴，球面上，即x轴为椭球面的对称轴，称为主轴。
同样，轴和轴也是椭球面的主轴。轴和z轴也是椭球面的主轴同样，y轴和轴也是椭球面的主轴。若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(-x,-y,-z)也在椭若点在椭球面上，则点也在椭在椭球面上球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，称为椭球面的中心。为椭球面的中心。（2）范围）对于椭球面上任一点(x,y,z),满足方程满足方程对于椭球面上任一点

10.4 空间曲面(1-22)

S
则对于柱面上的点 P(x , y , z) 若将 P = (x , y , z) 平行于 z 轴上下
o x
y
移动到点 P ' 时 P' S S 的方程与 z 无关母线平行于 z 轴的柱面方程为
F ( x, y ) 0
同理可知:
G( x, z ) 0 表示母线平行于 y 轴的柱面 H ( y, z ) 0 表示母线平行于 x 轴的柱面
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 r 2
(1)
(1)式称为球面的标准方程
上式打开后得
x 2 y 2 z 2 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0
(2)
(2) 式称为球面的一般方程
特点: (1) x 2 , y 2 , z 2 前的系数相同 , 无交叉项
例如
x2 a x a
2 2 2

y2 b y
2 2 2
1
椭圆柱面

b
1 0
双曲柱面抛物柱面
x 2 py 0
2
(3) 锥面
给定一条曲线 C 和不在 C 上的点 M0 ,
由经 M0 和C 上点的直线形成的曲面称为锥面 , M0 称为锥面的顶点 , C 称为锥面的准线 ,直线称为锥面的母线锥面的特征:
其对应 L 上的点为 M = ( 1+ t , 2t , 1+t )
则 P 到 z 轴的距离与 M 到 z 轴的距离相等
x 2 y 2 (1 t )2 ( 2t )2 1 2t 5t 2
r 5 , r 3
( x 5)2 ( y 5)2 ( z 5)2 25

《ch空间曲面》课件

曲面上的点与向量
总结词
理解曲面上点的坐标表示，掌握向量在曲面上的投影和切线向量
详细描述
在曲面上，点的坐标可以通过参数方程表示，即通过两个参数t和s来确定。向量在曲面上的投影和切线向量是曲面的重要几何属性，它们分别表示了向量在曲面上的方向和变化趋势。
曲面的度量性质
总结词
理解曲面的长度、面积和体积等度量性质，掌握曲面的曲率、挠率和渐近线等几何属性
参数方程的优点
参数方程可以方便地描述曲面的形状和位置，并且可以通过改变参数的值来观察曲面形态的变化。
参数方程的应用
参数方程广泛应用于几何建模、计算机图形学等领域。
直角坐标方程表示
1 2
直角坐标方程
空间曲面可以用直角坐标方程表示，其中x、y、 z分别表示曲面上点的坐标。
直角坐标方程的优点
直角坐标方程简单明了，易于理解和计算。
曲面在一点邻域的性质
局部展开
切平面与切线
在曲面上任取一点，可以找到一个局部坐标系，使得曲面在该点的邻域内可以展开为一个平面或超平面。
在曲面上任取一点，可以找到一个切平面，该平面与通过该点的所有切线组成。
法线
切平面的垂线被称为法线。
总结
曲面在一点邻域的性质是描述曲面局部几何特征的基础知识，它们在微分几何、计算几何和几何建模等领域有广泛应用。
极坐标方程广泛应用于几何建模、物理等领域。
05
CATALOGUE
空间曲面的性质与定理
主方向与主曲率
主方向
在曲面上任取一点，可以找到两个互相垂直的切线方向，这两个方向称为该点处的主方向。
主曲率
总结
主方向和主曲率是描述曲面局部形状的重要参数，它们在曲面分析、几何建模和计算几何等领域有广泛应用。

空间曲面及其方程

旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。
例求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方程。
解：显然整个球面在同一卦限，又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面以直线通过一定点，一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线定点固定线母线顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。

空间曲面方程区分

空间曲面方程区分
空间曲面是指三维空间中的曲面,它的几何形态可以用方程来描述。

常见的空间曲面有球面、椭圆面、抛物面、双曲面、圆柱面、圆锥面等。

这些曲面的方程可以分为两类：一类是二次型方程,如球面、椭圆面、抛物面等。

二次型方程的曲面在三维空间中呈现出弯曲的形态,且曲面的曲率是一致的。

一类是高次型方程,如双曲面、圆柱面、圆锥面等。

高次型方程的曲面在三维空间中呈现出扭曲的形态,且曲面的曲率可能不一致。

空间曲面的方程常见的有平面方程、椭圆方程、双曲线方程、圆柱面方程、圆锥面方程等。

可以根据曲面的几何形态和曲率分别选择不同的方程进行描述。

D86空间曲面27215-PPT文档资料13页

分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 a2

y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
cz22
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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谢谢！
13
第六节空间曲面
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面
第八章
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1. 方G 程 (y,z)0表柱示面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2. 方H 程 (z,x)0表柱示面,
母线平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y zl 2
x z l3
x
y y
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z C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有
zz1 , x2y2y 1
故旋转曲面方程为
M(x,y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
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高等数学第七章第六部分

第六节旋转曲面和二次曲面
一、旋转曲面二、二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2

2
pz
1

y2 2qz1

1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭圆的中心都在 z轴上.
z
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x2
2 pz
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p （由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2

y2

2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆的中心都在 z轴上.
z

x a
2 2

z c
2 2

1 ,

y

0

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆

曲面知识课件

z oy
椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆

x2 (at)2

y2 (bt)2
1,
zt
z
z
o yy xx
在平面x＝0 或y＝0 上的截痕为过原点的两直线.
可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上
内容小结
（1）空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
则F(x,y,z)= 0 称为曲面S的方程（通常
称此方程为曲面的一般方程）,
曲面 S 叫做方程 F(x,y,z) = 0的图形.
F(x, y, z) 0
z
S
oy x
例如：三元一次方程 Ax+By+Cz+D= 0 是空间平面的方程. 平面又称为一次曲面.
曲面的参数方程
x x(u, v),
化简得 2x 6 y 2z 7 0
上例说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
曲面的一般方程
如果曲面 S 与方程 F(x, y, z) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
z
y x
单叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c 为正数)

空间曲面

空间曲面曲面的一般方程0),,=z y x F （（1）旋转曲面方程 yoz 坐标面上曲线0),(=z y f绕z 轴旋转一周所得曲面方程为：0),(22=+±z y x f 。

类似可得xoz xoy ,平面上的曲线绕相应轴旋转所得曲面的方程。

（2）柱面方程 ),(=y x F 表示以xoy 面上的曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 为准线、母线平行于z 轴的柱面方程。

（3）常见的二次曲面椭球面： 1222222=++cz b y a x 椭圆抛物面： 2222by a x z += 锥面: 0222222=-+cz b y a x 单叶双曲面: 1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面: 1222222-=-+cz b y a x 双曲抛物面（马鞍面）：2222by a x z -= 例指出下列方程在空间代表什么曲面：32 )1(222=+++z z y x ；)2(022=-y x ；)3(022=+y x ；)4(0=xyz ；)5(122+=y z ；(6)2222y x z +=-； (7)1)2(3222=-++z y x 解 32 )1(222=+++z z y x ,即222 (1)4x y z +++=代表球心在)1,0,0(-,半径为2的球面.)2(022=-y x ,即0))((=+-y x y x .亦即0=-y x 或0=+y x , 在空间表示两个相交于z 轴的平面,（因为方程缺z 项,也是一个母线平行于z 轴的柱面）.（3）022=+y x , 即⎩⎨⎧==00y x . 在空间表示z 轴. 若在xoy 平面内考虑,则只代表坐标原点.)4(0=xyz 即0=x 或0=y 或0=z 是三个坐标面.)5(122+=y z 是母线平行于x 轴的柱面,其准线是yoz 平面上的抛物线122+=y z ,故是抛物柱面.（6）2222y x z +=-表示椭圆抛物面222y x z +=向上平移2个单位长度得到的曲面。

常见空间曲线及曲面

例：取 a=2, b=2, c=3, 0 t 50
>> ezplot3('2*t*cos(t)','2*t*sin(t)', ... '3*t', [0,50]);
抛物螺线的绘制
轴截面的曲边为抛物线的螺线
x a t cos t y b t sin t z c t2
经度
0 2 0
纬度
椭球面
椭球面标准方程
x y z 2 2 1 2 a b c
x a sin cos y b sin sin z c cos
2
2
2
(a, b, c 0)
0 2 0
双叶双曲面
双叶双曲面标准方程
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x a tan cos y b tan sin z c sec
(a, b, c 0)
0 2 / 2 3 / 2, / 2
例：取 a=3, b=4, c=5 >> ezsurf('3*sec(u)*cos(v)', ... '3*sec(u)*sin(v)','5*tan(u)', ... [-pi/2,pi/2,0,2*pi]); >> axis auto 自动截取坐标轴显示范围
0 2 / 2 / 2
数学实验
常见空间曲线和曲面
标准方程及其 Matlab 绘图
常见空间曲线与曲面方程
球面标准方程（以原点为球心）

空间解析几何常见的曲面PPT学习教案

椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a
2
z2 c2
1
y 0
y2
yOz面
:
b2
z2 c2
1
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
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5.平截线：
z
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面用y = m截曲面用x = n截曲面
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.
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椭球面与双曲面都是中心二次曲面，它们的方程可以写成
统一的形式：Ax2 By2 Cz2 1, ABC 0.
，
；
(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a
1
h2 c2
b 1 h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面xoy平行.
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
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二次曲面的定义：

空间曲面

y1 x y (1) z1 z
y
x
图6.9
又因P1(0, y1, z1)在曲线上L上,故有
F ( y1, z1) = 0
由(1)得
代入(2) 得
y1 x y , z1 z
2 2
F ( x 2 y 2 , z ) 0
这就是所求的旋转面的方程.
同理,如果曲线L绕y轴旋转,所得旋转面的方程为 F ( y , x 2 z 2 ) 0 类似的,可推出xoz面上和xoy面上的曲线分别绕x、z轴和x、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.
即
2 2 2
这个方程的特点为: (1) 它是三元二次方程;
(2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1); (3)不含有交叉项 xy, yz , zx. 一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总是一个球面 .事实上 , 通过配方法,每一个这样的方程都可以化为:
( x x0 ) ( y y0 ) (z z0 ) k
设 yoz 面上的一条曲线L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0 L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面(如图6.9). z 求该旋转面的方程. 设点P(x, y, z)为旋转面上任一点,将该点旋转至yoz面得点P1(0,y1,z1), 则有 2 2 P1(0,y1,z1) P(x, y, z) o
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为: ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2

第六节 常用空间曲面

第六节__旋转曲面和二次曲面

常见的空间曲面与方程

空间曲面和曲线.ppt

常用空间曲面

理学解析几何常见的曲面

空间曲面与曲线

10.4 空间曲面(1-22)

《ch空间曲面》课件

空间曲面及其方程

空间曲面方程区分

D86空间曲面27215-PPT文档资料13页

高等数学第七章第六部分

曲面知识课件

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第六节常用空间曲面