第六节 常用空间曲面

第三节 曲面及其方程

[教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图

[教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程 [教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘 [教学过程] 一、问题的提出

在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲

面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？

二、曲面方程的概念

（一）曲面方程的基本概念

在一般情况下，如果曲面S 与三元方程

(,,)0F x y z = （1）

有下述关系：

（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）

那么方程（1）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。

象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。

（二）建立几个常见的曲面方程

例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。 解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么

0M M R =

又 0M M =

故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）

这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以

0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。

如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为

2222x y z R ++=

将（2）式展开得

222222

0000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-=

所以，球面方程具有下列两个特点：

（1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项； （2） 2

2

2

,,x y z 的系数相同且不为零。

（三）曲面研究的两个基本问题

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。

（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。

（2） 已知坐标,,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。 例2 方程2

2

2

40x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得

222117

(2)()24x y z -+++=

所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)

2-，半径为2。

三、旋转曲面

（一）旋转曲面的定义

一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

（二）旋转曲面的方程

设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =，曲线C 绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面

设111(0,,)M y z 为曲线C 上一点，则有

11(,)0f y z = （3）

当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 随C 绕到另一点(,,)M x y z ，这时，1z z =且点M 到z 轴的距离为

1d y ==

将1z z =

，1y =3）式，便得到

()0f z = （4）

这就是所求的旋转曲面的方程。

由此可知，在曲线C 的方程(,)0f y z =中将y

改成C 绕z 轴旋转所成的旋转曲

面的方程。

同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

(,0f y = （5）

例3 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥

面的顶点，两直线的夹角α（

02π

α<<

）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点O ，旋转轴为z 轴，

半顶角为α的圆锥面的方程（图6-24）。

解：在y z O 坐标面上直线L 的方程为cot z y α=，因为旋转轴为z 轴，所以只要将方程中的y

改成

z α=

或 2

2

2

2

()z k x y =+ 其中cot k α=。

例4 将x z O 坐标面上的双曲线

22

2

21x z a c -=

分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：绕z 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为

222

221x y z a c +-=

绕x 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为

222

221x y z a c +-=

四、柱面

（一）柱面的定义

设直线L 平行于某定直线并沿定曲线C 移动形成的轨迹。 定曲线C 叫做柱面的准线，直线L 叫做柱面的母线。

我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？

（二）柱面的分类

一般地，如果方程中缺z ，即(,)0f x y =，它表示准线在x y O 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面。 方程(,)0,(,)0g y z h x z ==分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面方程。

例如，方程2

y x =，方程中缺z ，所以它表示母线平行于z 轴的柱面，它的准线是x y O 面上的抛物线

2y x =，该柱面叫做抛物柱面

例如，方程0x z -=表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是面上的直线0x z -=，所以它是过y 轴的平面

五、二次曲面 （一）定义

我们把三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面称为二次曲面。

（二）举例