浅谈切比雪夫多项式1

浅谈切比雪夫多项式

数学与应用数学（师范）2008级

石晓萌 0807402049

指导老师刘长剑

摘要

本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系，并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用．

关键词：切比雪夫多项式三角函数复数正交性最小偏差插值

Discussion on the chebyshev polynomials

Mathematics and Applied Mathematics (normal school)

ShiXiaomeng 0807402049

Supervisor Liu Changjian

Abstract

This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of he chebyshev polynomial in dealing with practical problems.

Key word: chebyshev polynomial trigonometric function Plural orthogonality minimum deviation interpolation

目录

1问题的来源及起源 (1)

1.1前言 (4)

1.2切比雪夫多项式的来源 (4)

2切比雪夫多项式的概念及性质 (8)

2.1第一类切比雪夫多项式及性质 (8)

2.2第二类切比雪夫多项式及性质 (10)

3两类切比雪夫多项式的关系 (11)

4切比雪夫多项式的应用 (13)

4.1切比雪夫多项式插值 (13)

4.2幂级数项数的节约 (14)

结束语 (15)

参考文献 (16)

1问题的来源及起源

1.1前言

以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff ，又译契贝雪夫等，182l 一1894)的名字命名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式()n T x 和()n U x (简称切比雪夫多项式)，源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用[2]．

在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未有过多的了解．详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一件不可多得的再次学习机会，因此着手写这篇论文．本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方面导出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用．

1.2切比雪夫多项式的源来

我们用以下几种方法来求得切比雪夫多项式．

方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．

在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：

2cos 22cos 1αα=- ，(1)

3

cos34cos 3cos ααα=-． (2)

它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得

42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)

5

3

cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)

观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．

猜想

2,0

2cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +

∈∈) (5)

显然，n =1时猜想成立;由公式(1—4)知，n ≤5时 猜想成立(m >n /2时,20n m =)．

假定n ≤k(k N +∈且k>2)时猜想成立，下证1n k =+时猜想也成立．

cos(1)cos cos sin sin k k k ααααα

+=-[]sin sin sin(1)sin cos(1)sin sin k k k ααααααα=-+-

2sin(1)sin cos cos(1)sin k k ααααα=-+-

[]2cos(1)cos cos cos cos(1)(1cos )k k k αααααα=--+--

cos cos cos(1)k k ααα=-+-．

故 cos(1)2cos cos cos(1)k k k αααα+=--． 因此 2cos(1)2cos 2cos 2cos(1)k k k αααα+=⨯--

2,0

(1)(2cos )2cos m k m k m m ααα-==-⨯∑121,0

(1)(2cos )m k m k m m αα---=--∑

12,0

(1)(2cos )m k m k m m αα+-==-∑121,11

(1)(2cos )m k m k m m αα+---=+-∑

1,01

(2cos )(1)k m k m αα+==+-∑12,1,1()(2cos )k m k m k m ααα+---⨯+．

记1,,1,k m k m k m ααα+-=+，那么121,0

2cos(1)(1)(2cos )m k m k m m k ααα+-+=+=-∑．

即当1n k =+时猜想也成立．从而对任意正整数n ，猜想成立．

以上不仅证明了(5)式对任意正整数n 成立，而且得到了(5)式中系数,n m α的递推公式：

1,02,02,11,1,2ααα===， 1,0,0n n αα+= (2n ≥)， (6)

1,,1,1n m n m n m ααα+--=+ (2,1/2n m n ≥≤≤)．(7)

由此易得

1,11,m 0;,1m /2;0,m n/2.

m n m

n m n C n m α---=⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪⎩当当当 上式可由数学归纳法证明．从而(5)式可改写为：

n/3

1

211

2cos (2cos )(1)(2cos )ent n

m

m n m n m m n n C m

ααα----==+

-∑

，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．

12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，