空间向量的数量积运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件

知识点五 数量积的运算律
数乘向量与数 量积的结合律
交换律 分配律
(λa)·b＝λ(_b_·_a_____)＝a·(_λ_b______)
a·b＝_a_·_b_____ a·(b＋c)＝_a_·_b_＋__a_·c_______
类型一 空间向量数量积的计算问题
例 1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列向量的数量积．
b
a
若a b k，能否写成a k (b k )的形式？ ba
不能，向量没有除法。
思考3：对于均不为0的三个向量a,b,c，（ab)c a(bc),对于向量 a,b, c（a b）c a（ b c）成立吗？为什么？
不一定成立，因为若（a b） c 0，其方向与向量c相同或相反， 而a（ b c） 0时，其方向与向量a相同或相反，而向量a与向量c 方向不一定相同，故该等式不一定成立。
乘积．
知识点三
向 垂直
量 数
共线
量
积模
的
性 质 夹角
两个空间向量的数量积的性质
若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0 同向：则 a·b＝|a|·|b|
反向：则 a·b＝－|a|·|b| a·a＝___|_a_||_a|_c_o_s_〈__a_，__a_〉＝|a|2
|a|＝ a·a |a·b|≤|a|·|b|
a·b θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝____|a_|_|b_|_____________
对点练习：
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b| ＝1，a·b＝－1 ，则两直线的夹角为( )
2
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|·|bb|＝－12，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°－120°＝60°.
知识点二 两个向量的数量积
定义
记法
已知两个非零向量
a，b，则|a||b|·cos〈a， b〉叫做 a，b 的数量
a·b
积
表达式
a·b＝ |a||b|·cos 〈a，b〉
几何意义
a 的模长与向量 b 在 a 方向上的投
影的乘积.
注：(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数(2)运 算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略 也不能用“×”代替．(3)注意点：①数量积的符号由夹角的余 弦值决定．②当a≠0时由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.(4)a·b的几何 意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的
类型二 判断或证明垂直 例 2 如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD.证明：PA⊥BD.
答案：B
3．若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若 a·b＝|a||b|，则〈a，b〉＝0°，所以 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线，则〈a，b〉＝0°或 180°，a·b＝±|a||b|.故选 A.
思考1：对于三个不为0的数a,b,c，若ab ac，则b c，对于向量a,b,c 由a b a c,你能得到b c吗？如果不能，请举出反例。
不能，例如向量 a与向量b，c都垂直时，有 ab ac， 而未必有 b c
思考2：对于三个均不为0的数a,b, c，若ab c,则a c .(或b c )对于向量a,b，c
来自百度文库
＋b＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝(B→A1＋A→1F)·(A→B＋A→A1)＝(c－
a
＋21b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)E→F·F→C1＝(E→A1＋A→1F)·(F→D1＋D→1C1)＝12(c－a)＋12b·21b＋a＝12(－a＋
b＋c)·12b＋a＝－21|a|2＋14|b|2＝－12×22＋41×42＝2.
a在向量b上的投影有什么意义？向量a向向量 l 的投影呢？向量a向向
量的投影呢？
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此
可以先将它们平移到同一平面内，进而利用平面上向量的投影，得到
与向量b共线的向量c，c a cos a,b b ，向量c称为向量a在向量b上的 b
投影向量，类似地，可将a向直线l投影（图2）
(1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解题思路：
【解析】 如图所示，连接 BA1，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则|a|＝|c| ＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)B→C·E→D1＝B→C·(E→A1＋A→1D1)＝b·12(c－a)
空间向量的数量积运算
知识导图
学法指导 1.空间向量的数量积可看成是平面向量数量积的推广，可类比平 面向量的数量积运算加以理解，两者的实质一样，只是表达的形式不 同． 2．经历用向量的数量积解决某些简单几何问题的过程，继续体会 向量在处理几何问题中的工具性作用．
知识点一 两个向量的夹角
定义 已知两个非零向量 a，b，在空间任 取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则
∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角.
图示
表示 范围 〈a，b〉 [0，π]
注：(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量
夹角的定义一样． (2)作空间两个向量的夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是惟一的，且〈a，b〉＝〈b,a〉．
对点练习1：
分别指出AP与AD，BC与DC, DP与AD的夹角。
答案：A
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
解析：因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3， 所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3－×32＝－21， 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝23π. 答案：23π
知识点四、投影
思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量