第17讲相似三角形

已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中 的一个表示出其他的
字母，再代入求解 . 如下题可设 a=3k,b=5k,再
代入所求式子，也可以把原式变形得 a=3/5b
代入求解 .
例：若 a
3 ab
，则
8
.
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b5
b5
3. 平 行
线 分线 段 成比 例定理
4. 黄 金
分割
（ 1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例 .即如图所示， 若 l 3∥l 4∥ l5，则 AB
DE .
BC EF
（ 2）平行于三角形一边的直线截其他两边 的延长 线)，所得的对应线段成比例 .
(或两边
即如图所示，若 AB ∥ CD，则 OA
点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似 (AAA). 如图，若∠ A ＝∠ D ，∠ B＝∠ E，则△ ABC ∽△
DEF.
5. 相 似 (2) 两边对应成比例， 且夹角相等的两个三
三 角 角 形相 似． 如 图， 若∠ A＝∠D，
5 .
3
（ 3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若 DE∥ BC ，则△ ADE ∽△ ABC.
D B
A E C
点 C 把线段 AB 分成两条线段
AC 和 BC，如果 AACB＝ =
5－ 2
1≈
0.618，
例：把长为
10cm 的线段进行黄金分
那么线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 割，那么较长线段长为 5( 5 －1)cm ．
D
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
F 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
D
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例 .
F
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6. 相似
三角形的 性质
(1) 对应角 相等 ，对应边 成比例 ． (2) 周长之比等于 相似比 ，面积之比等于 相似比的平方 ． (3) 相似三角形对应高的比、 对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比 ．
7.相似三
角形的 基本模 型
例：(1) 已知△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 的周长 为 3，△DEF 的周长为 2，则△ ABC 与△ DEF 的面积之比为 9： 4. (2) 如图，DE∥ BC， AF ⊥BC, 已知 S△ ADE:S △ ABC=1:4 ， 则 AF:AG =1： 2. （ 1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图
形，可以迅速找到解题思路，事半功倍 . （ 2）证明等积式或者比例式的一般方法： 经
常把等积式化为比例式， 把比例式的四条 线段分别看做两个三角形的对应边 .然后， 通过证明这两个三角形相似， 从而得出结 果.
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2. 比例
的基 本性 质
a (2) 合比性质：
ca ?
b＝ c
d ；（ b 、 d ≠0 ）
bd
b
d
a (3) 等比性质：
c ＝ …＝ m ＝ k(b＋ d＋… ＋ n≠0?)
bd
n
a c ... m ＝ k.（b、 d、···、 n≠0） b d ... n
关键点拨与对应举例 c ， 列比例等式时，注意四条线段的大小 d 顺序，防止出现比例混乱 .
第 17 讲 相似三角形
一、 知识清单梳理
知识点一：比例线段
1. 比例
线段
在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a b
那么这四条线段 a， b， c， d 叫做成比例线段，简称比例线段．
(1) 基本性质： a c ? ad＝ bc；（ b 、d ≠ 0） bd
AC AB
B
形的
，则△ ABC∽△ DEF.
DF DE
判定
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图， 若 AB
AC
BC ，则△ ABC∽△ DEF.
DE DF EF
B
A
B
CE
A CE
A CE
D 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
F
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
OB .
OD OC
l1
l2
A
D
l3
B
l4 E
C
F
l5
A
B
O
C
D
利用平行线所截线段成比例求线段长
或线段比时，注意根据图形列出比例
等式，灵活运用比例基本性质求解 .
例：如图，已知 D ，E 分别是 △ABC的
边 BC 和 AC 上的点， AE=2 ， CE=3，
要使
DE ∥AB，那么
BC ：CD 应等于