第六章自由空间中的平面电磁波
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自由空间中的电磁波
第六章
时变电流或 加速运动的 电荷向空间 辐射电磁波
能量存在的一种形式 作为探求未知物质世界 的手段应用于雷达、导 航、遥测、遥感和遥控 作为信息的载体应用于 通信、广播、电视 电磁波辐射问题
研究设计产 生能满足各 种应用要求 的电磁波
电 磁 波
电磁波的产生与传播
由麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场产生变化的磁场， 而变化的磁场又产生变化的电场，这样，变化电场和变化磁场 之间相互依赖，相互激发，交替产生。在迅变情况下，电磁场 以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间 中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的 广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学 科，具有十分丰富的内容。
由此可以看出±号的意义：表示了波沿着Z轴正方向 传播和沿着Z轴负方向传播。
结论：
E (r , t ) EA f ( z ct ) EB g ( z ct )
1. 方程解中常数C所包含的±号分别表示了波沿 着Z轴正方向传播和沿着Z轴负方向传播。 2. 一旦确定了任意常矢量，电场波传播的方向也 就随之而定。即电波将会随着时间的变化而沿 着确定的传播方向以正弦波的形式向前传播。
2 2 1 1 2 拉普拉斯算子： 2 r 2 2 r r r r z
球坐标系
1 1 哈密顿算子： eR e e R r r sin 拉普拉斯算子：
2 1 1 1 2 2 2 R 2 sin 2 2 R R R R sin R sin 2
微分形式：
积分形式：
D B E t B 0 D H J t
D dS Q
S
B l E dl S t B dS 0
S
D l H dl I S t
结论
在自由空间中的电波和磁波，均以光 速传播，彼此互为因果，相伴产生。其波 动方程均满足Helmholtz方程，不发生衰减。
2 1 E 0 2 2 c t B
2
单频电磁波
随时间正弦变化（单频）的波在空间传 播过程中，按波前等相位面（或波振面）的 形状，可分为平面波、柱面波和球面。若等 相位面上各点波的振幅也相同就，则称为均 匀波。否则，称为非均匀波。
2 2
解为行波
X ( x vt ) Y ( y vt ) Z ( z vt )
平面直角坐标系
哈密顿算子： ex ey ez x y z 拉普拉斯算子： 2 2 2 x y z
2 2 2 2
柱坐标系
1 哈密顿算子： er e ez r r z
1 rAr 1 A Az 散度： A r r r z er r 旋度： A r Ar e rA ez r z Az
球坐标系
矢量： A eR AR e A e A 散度：
1 R AR 1 1 A A 2 sin A R r R sin R sin
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播; 任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
三维波动方程的解
1 ( x, y, z, t ) （ x, y, z, t ) 2 0 2 v t
波动过程中，等相面和传播方向是垂直的。
平面波
定义 平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空 间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间 具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波 阵面）为平面，于是就称其为平面波。
理解
均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理 解的。 均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中 场的大小和方向都是不变的。
自由空间中电磁场的波动方程—Helmholtz方程
2 2 E 0 2 t B
一维行波波动图
电磁波的波速
三维波动方程一般形式
2 1 ( x, y, z, t ) 2 （ x, y, z, t ) 2 0 2 v t
J
作为一个矢量方程，上式包含了三个常微分方程,每 一个分别对应着一个分矢量 ，其方程 ex , e y , e z 形式为：
d2 f 2 2 f 2 dz c
根据高等数学知识，由于f仅为z的函数，f对z二次微分后与本身仅差一个 常数，所以，方程的解必为z的指数函数，设为：
f C exp( z )
J
因此 ES exC1 exp(i z / c) eyC2 exp(i z / c) ezC3 exp(i z / c) 或
ES E0 exp(i z / c)
其中 E0 表示一个任意的常矢量
平面波可表示为
E(r, t ) Es ( z) exp(i zt ) E0 exp(i z / c) exp(i zt )
式中C和β都是常数，从β所具有的性质看，我们称其为相位常数，通过代 入方程解得： 2
2
C2
或
i
C
f a exp(i z / C ) b exp(i z / C )
f C exp(i z / C )
物理意义：＋z方向传播的 波与－z方向传播的波叠加 其中的±符号表示Biblioteka Baidu是两个 可能的任意常数
或 E(r, t ) EA exp(i z / c)exp(it ) EB exp(i z / c)exp(it ) 即 E(r, t ) EA exp[(i z / c)( z ct )] EB exp[(i z / c)( z ct )]
EA f ( z ct ) EB g ( z ct )
自由空间中的平面电磁波
目 的
研究平面单色（单波长）波（plane monochromatic wave）, 探索E波和B波在自由空间的传播过程中是如何相互关联的。
随时间变化的波
E(r, t ) ES ( z)exp(it )
该式表示一种随时间变化的波,即角频率为ω的正弦波,它只在Z方向上传播， 由于其频率一定，我们称这种波为平面“单色”波。
三、平面电磁波的特性
平面电波必定是横波
因为 所以
E 0
其中 E ex Ex ey E y ez Ez
Ex E y Ez 0 x y z
而平面电波 E 的分量都与x ,y无关
E E0 exp(i / c)( z ct )
Ez 0 z
E0 ex E0 x ey E0 y ez E0 z
2
eR 1 旋度： A 2 R sin R AR
Re RA
R sin e R sin A
Maxwell方程组预言电磁波的存在
B E t D H t D B BE H
*
赫 兹 实 验
赫兹实验在人类历史上首次发射和接收了电磁波，且通
过多次实验证明了电磁波与光波一样能够发生反射、折射、 干涉、衍射和偏振，验证了麦克斯韦预言，揭示了光的电磁 本质，从而将光学与电磁学统一起来。
变化的磁场产生电场
B E t
自由空间中电场的波动方程
B E E B t t 2 E ( E ) E E 并且有： B , E 0 t 2 E 2 E 2 0 t
E B / t
c B E / t
2
E(r, t ) E0 exp(i / c)( z ct )
平面电波不存 在着Z分量
E (r , t ) {ex E0 x eY E0 y eZ 0}exp(i / c)( z ct )
式中 [ E0 x ] 代表 式中 [ E0 y ] 代表
平面直角坐标系
矢量： A ex Ax ey Ay ez Az
Ax Ay Az 散度： A x y z ex 旋度： A x Ax ey y Ay ez z Az
柱坐标系
矢量： A er Ar e A ez Az
变化的电场产生磁场
D B E H t t E B t
自由空间中磁场的波动方程
E B B E t t 2 B ( B) B B 并且有： E , B 0 t 2 B 2 B 2 0 t
其中
(i / c)E0 z exp[(i / c)( z ct )] 0
已知 E0 是一个常量，要使上式对任意 z 与t均成立,则只有 z 由麦克斯韦第一方程可知,平面电波没有沿z轴的分量， 即在波的传播方向上不存在电场分量,换句话说,平面电波是横波。
E0 z＝0
相伴而生的B波
如果存在一个随时间变化的电场，那么同时必将会出现一个磁场， 在自由空间中，这两种场的关系为
对比电磁场的波动方程
2 2 E x, y, z, t 0 2 t B x, y, z, t
电磁波在介质中的波速 电磁波在真空中的波速
c
v
1
=3 108 m / s
1
0 0
电磁波的波速
电磁波的波动方程包括各种形式的电 磁波。因此在真空中，一切电磁波（包括 各种频率范围的电磁波，如无线电波、光 波X射线和射线等）都以速度c传播。速度c 的大小恰为光速，是最基本的物理常量之 一。因此，可以说在真空中一切形式的电 磁波均以光速传播，而光也是一种特殊形 式的电磁波。
将该平面“单色”波的函数代入一般的三维电波方程得
2 1 E 2 E 2 2 c t
1 exp(it ) Es 2 Es ( 2 ) exp(it ) c
2
2 2 2 2 d Es 2 Es ( 2 2 2 ) Es x y z dz 2
d 2 Es 2 2 Es 2 dz c
一维波动方程
( z, t ) 1 ( z, t ) 2 0 2 2 z v t
2 2
解为行波
f ( z vt ) g ( z vt )
一维波的数学形式 自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）
微分形式：
积分形式：
D 0 B E t B 0 D H t
D dS 0
S
B l E dl S t SB dS 0 D l H dl S t
第六章
时变电流或 加速运动的 电荷向空间 辐射电磁波
能量存在的一种形式 作为探求未知物质世界 的手段应用于雷达、导 航、遥测、遥感和遥控 作为信息的载体应用于 通信、广播、电视 电磁波辐射问题
研究设计产 生能满足各 种应用要求 的电磁波
电 磁 波
电磁波的产生与传播
由麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场产生变化的磁场， 而变化的磁场又产生变化的电场，这样，变化电场和变化磁场 之间相互依赖，相互激发，交替产生。在迅变情况下，电磁场 以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间 中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的 广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学 科，具有十分丰富的内容。
由此可以看出±号的意义：表示了波沿着Z轴正方向 传播和沿着Z轴负方向传播。
结论：
E (r , t ) EA f ( z ct ) EB g ( z ct )
1. 方程解中常数C所包含的±号分别表示了波沿 着Z轴正方向传播和沿着Z轴负方向传播。 2. 一旦确定了任意常矢量，电场波传播的方向也 就随之而定。即电波将会随着时间的变化而沿 着确定的传播方向以正弦波的形式向前传播。
2 2 1 1 2 拉普拉斯算子： 2 r 2 2 r r r r z
球坐标系
1 1 哈密顿算子： eR e e R r r sin 拉普拉斯算子：
2 1 1 1 2 2 2 R 2 sin 2 2 R R R R sin R sin 2
微分形式：
积分形式：
D B E t B 0 D H J t
D dS Q
S
B l E dl S t B dS 0
S
D l H dl I S t
结论
在自由空间中的电波和磁波，均以光 速传播，彼此互为因果，相伴产生。其波 动方程均满足Helmholtz方程，不发生衰减。
2 1 E 0 2 2 c t B
2
单频电磁波
随时间正弦变化（单频）的波在空间传 播过程中，按波前等相位面（或波振面）的 形状，可分为平面波、柱面波和球面。若等 相位面上各点波的振幅也相同就，则称为均 匀波。否则，称为非均匀波。
2 2
解为行波
X ( x vt ) Y ( y vt ) Z ( z vt )
平面直角坐标系
哈密顿算子： ex ey ez x y z 拉普拉斯算子： 2 2 2 x y z
2 2 2 2
柱坐标系
1 哈密顿算子： er e ez r r z
1 rAr 1 A Az 散度： A r r r z er r 旋度： A r Ar e rA ez r z Az
球坐标系
矢量： A eR AR e A e A 散度：
1 R AR 1 1 A A 2 sin A R r R sin R sin
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播; 任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
三维波动方程的解
1 ( x, y, z, t ) （ x, y, z, t ) 2 0 2 v t
波动过程中，等相面和传播方向是垂直的。
平面波
定义 平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空 间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间 具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波 阵面）为平面，于是就称其为平面波。
理解
均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理 解的。 均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中 场的大小和方向都是不变的。
自由空间中电磁场的波动方程—Helmholtz方程
2 2 E 0 2 t B
一维行波波动图
电磁波的波速
三维波动方程一般形式
2 1 ( x, y, z, t ) 2 （ x, y, z, t ) 2 0 2 v t
J
作为一个矢量方程，上式包含了三个常微分方程,每 一个分别对应着一个分矢量 ，其方程 ex , e y , e z 形式为：
d2 f 2 2 f 2 dz c
根据高等数学知识，由于f仅为z的函数，f对z二次微分后与本身仅差一个 常数，所以，方程的解必为z的指数函数，设为：
f C exp( z )
J
因此 ES exC1 exp(i z / c) eyC2 exp(i z / c) ezC3 exp(i z / c) 或
ES E0 exp(i z / c)
其中 E0 表示一个任意的常矢量
平面波可表示为
E(r, t ) Es ( z) exp(i zt ) E0 exp(i z / c) exp(i zt )
式中C和β都是常数，从β所具有的性质看，我们称其为相位常数，通过代 入方程解得： 2
2
C2
或
i
C
f a exp(i z / C ) b exp(i z / C )
f C exp(i z / C )
物理意义：＋z方向传播的 波与－z方向传播的波叠加 其中的±符号表示Biblioteka Baidu是两个 可能的任意常数
或 E(r, t ) EA exp(i z / c)exp(it ) EB exp(i z / c)exp(it ) 即 E(r, t ) EA exp[(i z / c)( z ct )] EB exp[(i z / c)( z ct )]
EA f ( z ct ) EB g ( z ct )
自由空间中的平面电磁波
目 的
研究平面单色（单波长）波（plane monochromatic wave）, 探索E波和B波在自由空间的传播过程中是如何相互关联的。
随时间变化的波
E(r, t ) ES ( z)exp(it )
该式表示一种随时间变化的波,即角频率为ω的正弦波,它只在Z方向上传播， 由于其频率一定，我们称这种波为平面“单色”波。
三、平面电磁波的特性
平面电波必定是横波
因为 所以
E 0
其中 E ex Ex ey E y ez Ez
Ex E y Ez 0 x y z
而平面电波 E 的分量都与x ,y无关
E E0 exp(i / c)( z ct )
Ez 0 z
E0 ex E0 x ey E0 y ez E0 z
2
eR 1 旋度： A 2 R sin R AR
Re RA
R sin e R sin A
Maxwell方程组预言电磁波的存在
B E t D H t D B BE H
*
赫 兹 实 验
赫兹实验在人类历史上首次发射和接收了电磁波，且通
过多次实验证明了电磁波与光波一样能够发生反射、折射、 干涉、衍射和偏振，验证了麦克斯韦预言，揭示了光的电磁 本质，从而将光学与电磁学统一起来。
变化的磁场产生电场
B E t
自由空间中电场的波动方程
B E E B t t 2 E ( E ) E E 并且有： B , E 0 t 2 E 2 E 2 0 t
E B / t
c B E / t
2
E(r, t ) E0 exp(i / c)( z ct )
平面电波不存 在着Z分量
E (r , t ) {ex E0 x eY E0 y eZ 0}exp(i / c)( z ct )
式中 [ E0 x ] 代表 式中 [ E0 y ] 代表
平面直角坐标系
矢量： A ex Ax ey Ay ez Az
Ax Ay Az 散度： A x y z ex 旋度： A x Ax ey y Ay ez z Az
柱坐标系
矢量： A er Ar e A ez Az
变化的电场产生磁场
D B E H t t E B t
自由空间中磁场的波动方程
E B B E t t 2 B ( B) B B 并且有： E , B 0 t 2 B 2 B 2 0 t
其中
(i / c)E0 z exp[(i / c)( z ct )] 0
已知 E0 是一个常量，要使上式对任意 z 与t均成立,则只有 z 由麦克斯韦第一方程可知,平面电波没有沿z轴的分量， 即在波的传播方向上不存在电场分量,换句话说,平面电波是横波。
E0 z＝0
相伴而生的B波
如果存在一个随时间变化的电场，那么同时必将会出现一个磁场， 在自由空间中，这两种场的关系为
对比电磁场的波动方程
2 2 E x, y, z, t 0 2 t B x, y, z, t
电磁波在介质中的波速 电磁波在真空中的波速
c
v
1
=3 108 m / s
1
0 0
电磁波的波速
电磁波的波动方程包括各种形式的电 磁波。因此在真空中，一切电磁波（包括 各种频率范围的电磁波，如无线电波、光 波X射线和射线等）都以速度c传播。速度c 的大小恰为光速，是最基本的物理常量之 一。因此，可以说在真空中一切形式的电 磁波均以光速传播，而光也是一种特殊形 式的电磁波。
将该平面“单色”波的函数代入一般的三维电波方程得
2 1 E 2 E 2 2 c t
1 exp(it ) Es 2 Es ( 2 ) exp(it ) c
2
2 2 2 2 d Es 2 Es ( 2 2 2 ) Es x y z dz 2
d 2 Es 2 2 Es 2 dz c
一维波动方程
( z, t ) 1 ( z, t ) 2 0 2 2 z v t
2 2
解为行波
f ( z vt ) g ( z vt )
一维波的数学形式 自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）
微分形式：
积分形式：
D 0 B E t B 0 D H t
D dS 0
S
B l E dl S t SB dS 0 D l H dl S t