巧记一类勾股组

巧记一类勾股组

泉州培元中学 谢聪奎

勾股定理是平面几何的一个重要定理，在与直角三角形有关的一些计算中常用到。而在计算过程中，如果我们能够熟练掌握勾股组，那么将会事半功倍。

先来看看什么是勾股数。

勾股数：如果正整数a 、b 、c 满足方程a 2＋b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数。 如果勾股数a 、b 、c 满足(a,b,c)=1，则称a 、b 、c 叫做基本勾股组。 勾股数具有如下性质:

⑴ 若a 、b 、c 是勾股数,则 a≠b；

⑵ 若a 、b 、c 是基本勾股数,则a 、b 不可能有相同的奇偶性,即a 、b 为一奇一偶,而c 一定是奇数；

⑶不定方程a 2＋b 2=c 2的基本勾股数组解 a 、b 、c (a 为偶数)的公式为：

a=2mn, b=m 2－n 2, c=m 2＋n 2 其中mn>0,(m,n)=1且 m 和n 一个为奇数另一个为偶数。

常见的勾股数及几种通式有：

(1) 3， 4， 5 6， 8，10 … … 3n,4n,5n (n 是正整数)

(2) 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … 2n ＋1, 2n 2＋2n, 2n 2＋2n ＋1 (n 是正整数)

(3) 8，15，17 12，35，37 … … 22(n ＋1),[2(n ＋1)]2－1，[2(n ＋1)]2＋1 (n 是正整数) (4)m 2－n 2,2mn,m 2＋n 2 (m 、n 均是正整数，m>n)

在这里，我们还是觉得上述的常见的勾股数及几种通式不易记忆，掌握起来有一定的难度，故仍需探求其它的一些规律。

从最简单勾三股四弦五，即“3、4、5”入手。

通过观察，有32 = 4 + 5，即最小数的平方等于其它两个数之和，且3为奇数，4和5为相邻的两个整数。 再如：“5、12、13” ，“7、24、25” ，“9、40、41”这三组基本勾股组有52 = 12 + 13，72 = 24 + 25，92 = 40 + 41即最小数为奇数，其平方等于相邻的两个整数之和。

故做出大胆的猜想：a 、b 、c 为三个不相等的正整数，其中a 为奇数，且a 最小，b 、c 为两相邻整数，若a 2 = b + c ，则a 、b 、c 为一组基本勾股组。（*）

下面简单证明一下：

设a=2n+1，n ∈N + ,则a 2=(2n+1)2=4n 2+4n+1， 21(a 2-1)= 2n 2＋2n ∈N +，2

1(a 2+1)= 2n 2

＋2n+1∈N + 令b=2n 2＋2n ，c=2n 2＋2n+1，则b 、c 为两相邻正整数且a 2 = b + c 由(2n+1)2 + (2n 2＋2n)2 = (2n 2＋2n+1)2，得a 2＋b 2=c 2， 又(a,b,c)=1，故a 、b 、c 为一组基本勾股组

从而上述猜想得证。

事实上，由a 2＋b 2=c 2，得a 2=c 2-b 2=(c-b)(c+b) 当b 、c 为两相邻正整数，且c>b 时，有c-b=1 此时 a 2 = b + c

显然，用结论（*）记一些勾股组就很容易了。下面我们用表格罗列一下，得出一类有明显规律的勾股组：