《高等数学2》经管类期末试卷

一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填

入各题的空格处）

1. 函数221y x z --=的定义域 ；

2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ；

3. 变换二重积分

⎰⎰==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ；

4. 将函数()2

cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。

二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项，

其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内）

6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。

A ．圆

B ．平面

C ．圆柱面

D ．球面

7. 设函数22y x z =，则=∂∂22x

z （ ）。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0

8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则⎰⎰D

dxdy 等于（ ）

。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2

9. 级数∑

∞=121n n

（ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收

敛，其和为3

10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。

A ．y y dx

y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ．

x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步骤，说明必要的理由）

11.

设),(v u f z =，y x u 2=，y x v =，求y z x z ∂∂∂∂,。 12.

求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ⎰⎰D xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的

闭区域。

14. 计算⎰⎰D

dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。（要求画草图。提

示：在极坐标下计算）

15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成立体的体积

16. 判断级数∑∞

=12sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。

18. 求解微分方程xy x y -='1。

19. 求微分方程x x x y y sin =+'满足π

π22=⎪⎭⎫ ⎝⎛y 的特解。 四、 应用题（本大题共1题，共10分。解答须有主要解题步骤，说明必

要的理由）

20. 设生产某产品z 个单位时，需投入甲原料x 个单位，乙原料y 个单位，

且它们的关系是：y y x x z 52102022+-+-=，又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1，而产品的售价为5，试求x 、y 取何值时，利润最大？

五、 证明题（本大题共1题，共7分。解答须有主要解题步骤，说明必

要的理由）

21. 试证：如果()x ϕ是Ay y ='满足初始条件ηϕ=)(0x 的解，那么())(0x x A e x -=ηϕ。

试卷A 解答及评分标准

一、 填空题

1. 122≤+y x

2. dy dx +

3. dx y x f dy b

y b a ⎰⎰),(

4. ()()()∑∞

=⋅-+12!22211n n

n n x

5. x

e C C y 21+=

二、 选择题

6. C

7. A

8. B

9. C

10. A

三、 计算题

11. 解：xy x u 2=∂∂,2x y u =∂∂,y x v 1

=∂∂,2

y x

y v

-=∂∂

v f

y u f

xy x z

∂∂+∂∂=∂∂12，v f

y x u f

x y z

∂∂-∂∂=∂∂22。

12. 解：设)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ

令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='03020

2y x F y F x F y x λλλ，得驻点为 2

3

=x ，

23=y 极小值是：211

13. 解：得出曲线的交点1-=y ，2=y 1分 原式dx xy dy -y y ⎰⎰+=2122=ydy x y y ⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡212222[]

d y y y y ⎰--+=2152)2(21855= 积分区域图形正确，加1分

14. 解：令⎩⎨⎧==θθ

sin cos r y r x ，则

原式⎰⎰=D

rdrd r θθ22sin

dr r d ⎰⎰=2

13202sin πθθ πθθπ

4

15422cos 121420=

⋅-=⎰r d 15. 解：()()⎰⎰⎰⎰-++=++=10101dxdy 1y D

dx y x dy y x V dy yx x x y ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1010221⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1022123dy y y 656121231

032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y y 16. 解：

221sin n n n ≤α 因为 ∑∞=121n n 收敛 ， 所以 ∑∞=12sin n n n α

收敛。

17. 解：幂级数的收敛半径为11lim lim 1=+==∞→+∞→n

n a a R n n n n 所以，幂级数的收敛区间为()1,1-。

设幂级数的和函数为)(x S ，()1,1-∈x 。

dx x x n x S x n n n n ⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞=-∞

=01111)(＝)1ln(110x dx t x --=-=⎰，()1,1-∈x 18. 解：把方程写为dx x ydy ⎪⎭⎫

⎝⎛-=11，两边求不定积分，得 C x x y +-=ln 2

12