《高等数学2》经管类期末试卷
经济管理专业考试试卷-经管类期末考试试卷-经济数学微积分试卷-高等数学C期末考试试卷(一)1 (5)
17. 求方程 y y sin x 的通解.（8 分） xx
x 2n1
19.求幂级数
的收敛域，并求其和函数.（10 分）
n0 2n 1
《高等数学 C(二)》期末试卷 A 卷本卷共 2 页第 2 页
学号：
装订线内不要答题
姓名：
××××20 /20 学年度第一学期期末考试试卷
经管类 专业（本科） 级《高等数学 C（二）》A 卷（时间 120 分钟）
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
分值 15 15 30 40
100
得分
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 微分方程 y 2 y 3y 0 的通解为（
18. 设 某 工 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 ， 产 量 分 别 为 x, y （ 单 位 ： 千 件 ）， 利 润 函 数 为 (x, y) 8x x2 16 y 4 y2 2 （单位：万元）.已知生产这两种产品时，甲产品每千件需消 耗某种原料 1000 kg ，乙产品每千件需消耗某种原料 2000 kg ，现有该原料 12000 kg ，问两种产
D. y 3y 5y 0
5.设 D 是由抛物线 y2 x 及 y x 2 所围成的闭区域，则积分区域 D 可以表示为（
）
1 x 2 A. x 2 y x2
1 x 2
1 y 2
B.
x
2
y
x
2
C.
y
2
x
y2
1 y 2
D.
y
2
x
y
2
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
《高等数学(二)》20春期末考核-参考答案
36
A错误
B正确
答案B
37
A错误
B正确
答案B
38
A错误
B正确
答案A
39
A错误
B正确
答案B
40
A错误
B正确
答案A
41
答案
于向量n=(3,2,7)的平面方程为
答案3x+2y+7z=0
《高等数学（二）》20春期末考核
1.
答案C
2.
答案D
3
答案C
4
答案B
5
答案D
6
答案A
7
A B C D
答案A
8
答案B
9
答案B
10
A B C D
答案A
11
答案B
12
答案C
13
答案D
14
答案D
15
答案D
16
答案C
17
答案A
18
答案A
19
A B C D
答案D
20
A B C D
答案 D.
21
A错误
B正确
答案A
22
A错误
B正确
答案B
23
A错误
B正确
答案B
24
A错误
B正确
答案A
25
A错误
B正确
答案B
26
A错误
B正确
答案B
27
A错误
B正确
答案A
28
A错误
B正确
答案A
29
A错误
B正确
答案B
30
A错误
B正确
答案B
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
16级经管高数2期末A答案
南京理工大学紫金学院课程考试答案及评分标准 课程教学大纲编号： 0610201课程名称： 经管类高等数学(下) 学 分： 5 试卷编号： A考试方式： 闭卷 组卷年月：2017年5月 组卷教师： 田露一. 填空题（每题3 分，共24分）1. 12. ycos (xy )dx +xcos(xy)dy3. 2f 1+1x f 24. 2y e z −15. (x +14)−2(y −12)+2(z −516)=06. ∫dy ∫f(x,y)dx 2−y y 107. [2,4) 8. y =1x (2x 3+x +C)二. 单项选择题（每题3 分，共12分）B BC A三． 1. S⃗ =−5i +j +5k ⃗ ………5分 所求直线方程为x−1−5=y−21=z−15. ………8分2. ∬(x 2+y 2)dς=∬ρ3dφdρ(2分)=∫dφ∫ρ3dρ(6分)=9π2√302π0D D ……8分四． 1. 先考察级数∑|(−1)n tan πn |∞n=3 的敛散性 因为lim n→∞tan πn πn =1 故由比较判别法的极限形式 ………3分级数 ∑|(−1)n tan πn |∞n=3 发散………5分再考察级数∑(−1)n ln 2n n ∞n=1 的敛散性 （1） tan πn >tan πn+1于是当n ≥3时，{tan πn }单调递减………7分（2） lim n→∞tan πn =0………9分故由莱布尼兹定理，∑(−1)n tan πn ∞n=3收敛，且条件收敛. ………10分五.V =πe −π∫(lny )2dy(2分)=πe −π[(yln 2y )|1e −2∫lnydy e1](6分)= =e 12π(8分)或V =2π∫xe x 10dx(6分)=2π ………8分 六. 特征方程r 2+r −2=0，得r 1=−2 ,r 2=1对应齐次通解 Y =C 1e −2x +C 2e x ………3分 设特解y ∗=(Ax +B)e −x ………5分 (y ∗)′=(−Ax +A −B)e −x ，(y ∗)′′=(Ax +B −2A)e −x ，代入原方程得A =12 ,B =−34特解y ∗=(12x −34)e −x ………8分 通解y =C 1e −2x +C 2e x +(12x −34)e −x . ………10分。
经管类高等数学答案
经管类高等数学答案【篇一：《高等数学》(经管类)期末考试试卷】class=txt>《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级：姓名：学号：分数：1. ???0e?4xdx? 2. 已知点a(1,1,1),b(2,2,1),c(2,1,2)则?bac?3. 交换二次积分次序：?dy?0112?yf(x.y)dxxn4. 已知级数 ?n，其收敛半径r= 。
n?12?n?5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为1和?2则此常微分方程是6. 差分方程2yx?1?3yx?0的通解为1. 求由x?0,x??,y?sinx,y?cosx 所围平面图形的面积。
《高等数学》（经管类）第 1 页共8页2. 求过点(2,0,且与两平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?1?平行的直线方?3)0程。
3.求x y??00 《高等数学》（经管类）第 2 页共8页4. 设可微函数z?z(x,y)由函数方程 x?z?yf(x2?z2) 确定，其中f有连续导数，求?z。
?x?z?2z5. 设 z?f(xy,xy),f具有二阶连续偏导数，求 ,2。
?x?x22《高等数学》（经管类）第 3 页共8页6. 计算二重积分???x2?y2d?，其中d为圆域x2?y2?9。
d7. 求函数 f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值。
《高等数学》（经管类）第 4 页共8页n221. 判断级数 ?nsinnx 的敛散性。
n?12?2. 将f(x)?x展开成x的幂级数，并写出展开式的成立区间。
x2?x?2《高等数学》（经管类）第 5 页共8页【篇二：高等数学经管类第一册习题答案】1.1 --1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.x?5x?11;2. 1;3. ?0,1?2三、计算下列函数的定义域。
1. ???,2???3,???;2. ???,0???3,???;3. ?2,3???3,???;4. ?0,1?四、(1)y?u2,u?sinv,v?lnx.(2) y?u2,u?lnt,t?arctanv,v?2x.?sinx?1,x?1?五、 f?x???sinx?1,0?x?1??sinx?3,x?0?1.2.1 数列的极限一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.111;2. ;3. 22311三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1.4.231.2.2 函数的极限?2???. 5. 10 ?3?4一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1. a?4,b??2;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x.4.1. 5. 1 33?;3. ;4. 05?1.2.3---1.2.5 无穷小与无穷大;极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.ab;2.c;3. c 二、填空题1. ?1;2.?3?6三、计算下列极限1. e. 2. ?? . 3. e.4.?2??6205. e21.2.5--1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.c;2.b;3.a二、填空题1.1;2. k?0;3. 高. 21?1?22三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e.4. e2. 5. e41.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.b;2.c;3.a 二、填空题1. x?0,?1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
《高等数学2》经管类期末考试B卷
)。 B.
d f (r )rdr
0
1
2 0
d f (r 2 )rdr
0
1
C.
2 0
d f (r )rdr D.
0
1
d f (r 2 )rdr
0
1
9. 设 a 为常数，则级数 (1) n 1 cos （
n 1
a n
） 。 C. 条件收敛 D. 收敛性与 a 有关
4
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试卷 B 解答及评分标准 一、 填空题
1. | x y | 1 2. 2 x( x 2 y 1)e x 3. 1 4.
2
y
2n x n n! n 0
,
5. y C1e x C 2 e 4 x 二、 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A 三、 计算题 选择题
y x dx C x x C
四、 应用题
20. 解：利润函数为 L x, y R x, y C x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800
6
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约束条件 x y 30 构造拉格朗日函数： F x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800 x y 30
1 n 1 则 S ( x) x ， x 1, 1 (1 x) 2 n0 1 x
18. 解：把方程写为
x y dx dy ，两边求不定积分，得 2 1 x 1 y2
1 1 1 x 2 1 y 2 C1 2 2
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．到两点(1,1,0)A -和(2,0,2)B -距离相等的点的轨迹为（ C ）.A ．230x y z ---=；B ．230x y z +-+=；C ．230x y z +--=；D ．230x y z ++-=．2．微分方程2x y y y e x '''-+=+的非齐次特解形式可令为（ A ）.A ．2x Ax e Bx C ++；B ．x Ae BxC ++；C ．2()x Ae x Bx C ++；D ．x Axe Bx C ++．3．函数22(,)(4)(6)f x y y y x x =--的驻点个数为（ B ）.A.9；B. 5；C. 3；D. 1.4．设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ D ）.A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23；B.⎰⎰132D yd x σ；C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.0.5．下列级数中，绝对收敛的级数为( C ). A. 111(1)n n n ∞-=-∑；B. 1(1)n n ∞-=-∑； C.111(1)3n n n ∞-=-∑；D. 11(1)n n ∞-=-∑ . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数22(,)arcsin()ln f x y x y =+-的连续域为221(,)12x y x y ⎧⎫<+≤⎨⎬⎩⎭． 7．2211(),lim(2)n n n n x y a a d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．8．设ln(ln )z x y =+，则1z z y x y ∂∂-=∂∂ 0 ． 9．交换420(,)dy f x y dx ⎰积分次序得2200(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ．10．投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量x 的改变率（即边际成本）为()240C x x '=+（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为100万元． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求解微分方程2xy y y '-=满意初始条件11x y==的特解. 解：分别变量得d d (1)y x y y x=+ （2分） 两端积分得lnln ln 1y x C y =++，即1y Cx y =+ （5分） 由11x y ==，得12C =故所求通解为 21y x y =+或2x y x=- （8分） 12．设()y x z z ,=由方程3=-+z xy e z所确定，求221x y z zx ===∂∂及221x y z z y ===∂∂.解：令3),,(--+=z xy e z y x F z ，则y F x =，x F y =，1-=z z e F （4分） 所以ze y x z -=∂∂1，z e x y z -=∂∂1221x y z zx ===∂=∂，221x y z z y ===∂=∂. （8分） 13．(,),,.x y y z z z f e f x x y-∂∂=∂∂且可微求， 解：122x y z y e f f x x -∂''=-∂ （4分） 121x y z e f f y x-∂''=-+∂ （8分） 14．设(,)sin()f x y x x y =+，求(,)22xx f ππ，(,)22yy f ππ. 解：sin()cos()x f x y x x y =+++，cos()y f x x y =+ （2分） 2cos()sin()xx f x y x x y =+-+ （4分）sin()yy f x x y =-+ （6分） (,)222xx f ππ=-，(,)022yy f ππ= （8分） 15．求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛区间与和函数.解：收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)- （2分）111n n n n nxx nx ∞∞-===∑∑，令11()n n S x nx ∞-==∑,则 （4分） 10011()()1xx n n n n x S x dx nx dx x x ∞∞-=====-∑∑⎰⎰ （6分） 所以在(1,1)-内201()(())()1(1)x n n x x nx xS x x S x dx x x x ∞=''====--∑⎰ （8分） 16．dxdy e I Dy ⎰⎰=2，其中D 是第一象限中由直线x y =与曲线3x y =所围成的闭区域. 解：22310y y y y D I e dxdy dy e dx ==⎰⎰⎰⎰ （3分）2130()y y y e dy =-⎰ （5分） 112e =- （8分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．某种产品的生产原料由,A B 构成，现投入原料,A B 各,x y 单位，可生产出产品的数量为20.01z x y =.,A B 原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大？解：目标函数：20.01z x y =，约束条件： 1020300x y +=设2(,,)0.01(1020300)F x y x y x y λλ=++- （2分） 20.021000.0120010203000x y F xy F x x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+-=⎩（4分） 消去λ解得：200,50x y ==当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）18．由抛物线21(0)y x x =-≥及x 轴与y 轴所围成的平面图形被另一抛物线2(0)y kx x =≥分成面积相等的两部分，试确定k 的值．解：两抛物线的交点为)1k P k+，则2210)A x kx dx =--=（2分） 而12112022(1)3A A A x dx =+=-=⎰ （4分）所以23= 解得3k =． （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．证明级数2211ln 1sin 7n n n n π∞=⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑发散. 证明：记221ln 1sin 7nn u n n π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是 221lim lim ln 1lim sin 17n nn n n n u n π→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故级数发散. （5分） 20．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 可导. 试证：222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂ 证明：令222(,,)()z F x y z x y z yf y=++-，则 2x F x =，2()()y z z z F y f f y y y '=-+，2()z z F z f y'=- （2分） 从而22()z x z x z f y∂=-∂'-，2()()2()z z z y f f z y y y z y z f y '-+∂=-∂'- （4分） 所以2222222()2(2()())()22()z z z x x y z xy y f f z z y y y x y z xy z x y z f y'--+-+∂∂--+=-∂∂'- 2xz = （5分）。
2011级高等数学二期末试题及解答A(少学时、经管类)
2011级本科高等数学（二）期末试题及解答A（少学时、经管类）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. [少学时]设直线方程为000:x x y y z z L m n p---==, 平面方程为:0Ax By Cz D π+++=, 若直线与平面平行或直线在平面上,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=； (B) 充要条件是:A B Cm n p==； (C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn Cp ++=； (D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. [经管类]已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则()(),,limh f a h b f a h b h→+--=（ A ）.(A) ()b a f x ,2' ； (B) ()b a f x ,2' ； (C) ()b a f x ,' ； (D) 0 . 2．设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=所确定的隐函数, 则zx∂=∂ ( C ). (A)11z e -； (B) 21z e -； (C) 11ze--； (D)1ze -. 3．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极小值为 ( B ). (A) 1 ； (B) 1-； (C) 0； (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑必收敛；(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有lim 0n n u →∞≠；(C) 若级数1n n u ∞=∑发散, 则lim n n S →∞=∞；(D) 若lim 0n n u →∞≠, 则级数1n n u ∞=∑必发散.5．设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅,令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '=( C ).(A) 3 ； (B) 6 ； (C) 9 ； (D) 12 .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.[少学时]设(1,3,2)a =，(2,,4)b y = ，且a b ⊥ ，则y =103-.[经管类]级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 0 .7.函数221(,,)u x y z z x y=-- 的间断点是22{(,,)}x y z z x y =+. 8.设函数22z x y y =+, 则dz =22(2)xydx x y dy ++. 9.微分方程0ydx xdy +=的通解是xy C = . 10.【少学时】曲线sin (0)2y x x π=≤≤与2x π=及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .【经管类】曲线x y e =与0x =、1x =及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 11．求极限2011cos()lim1x yx y xy e→→--．解：2011cos()lim 1x y x y xy e →→--22011()2lim x y xy x y →→= （4分） 01lim2x y y →→=12=． （8分） 12．设2(,)tan()2x y f x y xy e =-，求(0,1)x f ，(0,1)y f ． 解：22sec ()4x yx f y xy xye=- （3分）222sec ()2x y y f x xy x e =- （6分） (0,1)1x f =，(0,1)0y f =． （8分）13.设223(,,)u x y z xy y z x z =++，求)1,1,1(du ．解：223x u y x z =+，22y u xy yz =+，23z u y x =+ （3分）(1,1,1)4x u =，(1,1,1)4y u =，(1,1,1)2z u = （5分） (1,1,1)442du dx dy dz =++ ． （8分）14.设(,)z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.解: '.zy f x∂=⋅∂2 （4分） ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122 （8分）15.判别正项级数122n n n ∞=+∑的敛散性. 解: lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222 （3分） lim .()n n n →∞+==<+311222（6分） 所以原级数收敛. （8分） 16.计算二重积分22xy De d σ+⎰⎰,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200 （4分）().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰222224001212（8分）四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17.[少学时]设一平面经过原点及点(6,3,2)M -且与平面428x y z -+=垂直, 求此平面方程.解: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632. （2分）则 (,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446.取 (,,)n =-223. （4分）故所求平面方程为: x y z+-=2230. （6分）[经管类]求差分方程153x x y y +-=07()3y =的特解.解：因5,3a C ==，故通解为3514x x x C y Aa A a =+=-+⋅- （2分） 又03743y A =-+=，则3712A = （4分）故所求特解为3375412x x y=-+⋅ . （6分） 18.设幂级数 11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). lim lim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111所以收敛半径.R =1 （1分）当x=1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为: (,)-11. （2分） (2). 设和函数为: ()n n S x nx ∞-==∑11. （3分）()xxx n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰1100011.x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101 （4分）故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭211111（6分）五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19.)(t f 为连续函数，求证11123001()()3x dx x f y dy t f t dt =⎰⎰⎰.证明：111220()()yxdx x f y dy dy x f y dx =⎰⎰⎰⎰ （2分）13001()3yf y x dy =⎰ （4分） 11330011()()33f y y dy t f t dt ==⎰⎰. （5分） 20.设110,0,(1,2,)n n n n n n a b a b n a b ++>>≤= ，且级数1n n b ∞=∑收敛，证明级数1n n a ∞=∑收敛.证明：由已知110,0,(1,2,)n n n n n na b a b n a b ++>>≤= 得： 1111n n n n a a ab b b ++≤≤≤ （2分） 于是 11n n a a b b ≤，1,2,n = （4分） 又级数1n n b ∞=∑收敛，所以级数1n n a ∞=∑收敛. （5分）。
西安石油大学《高等数学(经管专业)》期末试卷B答案
所以 2. 解：
z 1 = ， 3 x (1,1)
=
(1,1)
2 . -------5 分 3
z = f + x( f1' x
y ' f 2 ) ； -------3 分 x2
z = f 2' . y 3. 解：
-------5 分
x 1 x
I =
=
2 1
x 2 dx
1 dy y2
-------3 分
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）. 1 1． 1 + 2 3 2． dx dy 3．收敛 4． a 3 5． 2 三.解答下列各题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）.
1．解： 因为
z = x
1 2y (1 )， 2 2y x x+ x
z y
z = y
1 2 ；------3 分 2y x x+ x
x)
-------4 分
由此可得
dx = kdt x( N x)
--------5 分
NCe kNt 积分得 x = 1 + Ce kNt 代入初始条件得 x =
--------6 分 Nx0 e kNt N x0 + x0 e kNt
--------8 分
五.证明题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）. （1） 证明：对方程的两边分别求关于 x 的导数得
2 1
x2 (x
1 )dx x
2
------4 分
1 = (x 4 4
4. 解：
2x ) =
2 1
1 0
9 . -------5 分 4
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
《高等数学》(经管类)期末考试试卷
北京化工大学2009——2010学年第二学期《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空题（3分×6=18分）1. 40d x e x +∞-=⎰ 。
2. 已知点(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2)A B C 则BAC ∠= 。
3. 交换二次积分次序：1102d (.)d y y f x y x -⎰⎰= 。
4. 已知级数 12nn n x n∞=⋅∑，其收敛半径R= 。
5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为12-和则此常微分方程是 。
6. 差分方程1230x x y y ++=的通解为 。
二、解答题（6分×7=42分）1. 求由0,,sin ,cos x x y x y x π==== 所围平面图形的面积。
2. 求过点(2,0,3)-且与两平面2470,35210x y z x y z-+-=+-+=平行的直线方程。
3.求xy→→4. 设可微函数(,)z z x y =由函数方程 22()x z y f x z +=- 确定，其中f 有连续导数，求z x∂∂。
5. 设 22(,),z f xy x y f =具有二阶连续偏导数，求 22,z z x x ∂∂∂∂。
6. 计算二重积分221d Dx y σ--⎰⎰，其中D 为圆域229x y +≤。
7. 求函数 3322(,)339f x y x y x y x =-++- 的极值。
三、解答题（6分×5=30分）1. 判断级数 221sin 2n n n nx ∞=∑ 的敛散性。
2. 将2()2x f x x x =--展开成x 的幂级数，并写出展开式的成立区间。
21121nn x n-∞=-∑，求其收敛域及其在收敛域上的和函数。
3. 设级数为4. 求 2''3'2x y y y xe -+= 的通解。
5. 假设某湖中开始有10万条鱼，且鱼的增长率为25%，而每年捕鱼量为3万条，写出每年鱼的条数的差分方程，并求解。
2023高数II期末模拟卷及参考答案
高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+，则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2.()(),0,1sin()limx yxyx→=( ).（A）不存在（B）1（C）0（D）∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A）21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L：13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A)0 (B) l (C) l3 (D) l47．下列结论正确的是( )(A)若11nnuu+<(1,2,)n=成立，则正项级数1nnu∞=∑收敛(B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛(D) 若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8.设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为( A )(A) (B) R(C) 2R(D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2.设z是方程e zx y z+-=所确定的,x y的隐函数，则(1,0,0)zx∂=∂；3.设22(,)f x y x y=-，则(1,1)f=grad；4. 交换积分1d(,)dyy f x y x⎰的积分次序，变为；5．设L是直线21y x=+上从点（0，1）到点（1，3）的线段，将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为；6.幂级数11(1)nnnxn∞-=-∑的收敛域是；7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππxxxxf,1,1，其傅里叶级数在点π=x处收敛于.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解： 2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：3.计算二重积分22()d Dxxy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解：4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， (cos ,cos ,cos αβγ)是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．a 与b 是向量，若b a b a +=+，则必有（D ）(A)⊥a b ； (B)0,0==a b 或； (C)a =b ； (D)⋅=a b a b ．2.()(),0,1sin()limx y xy x →=( B ).（A ） 不存在；（B ） 1； （C ） 0； （D ） ∞ .3．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充要条件是（ C ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内连续； (D)当0)()(22→∆+∆y x 时，y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000是比4．对函数(,)f x y =(0,0)是(,)f x y 的( C ). （A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若21()d DI x y σ=+⎰⎰，32()d DI x y σ=+⎰⎰则有（ A ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则()d L x y s +=⎰（A ） (A)0； (B) l ； (C) l 3； (D) l 4．7．下列结论正确的是 ( C )(A) 若11n n u u +<(1,2,)n =成立，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； (B) 当0lim =∞→n n u 时，交错级数1(1)nnn u∞=-∑收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； (D) 若对级数1nn u∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．8.设∑∞=1n nnx a的收敛半径为(0)R R >，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为 ( A )(A)(B) R ； (C) 2R ； (D) 不能确定．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n 的直线方程为123123x y z ---==．2.设z 是方程e zx y z +-=所确定的,x y 的隐函数，则(1,0,0)z x ∂=∂_______12_____ 3.设22(,)f x y x y =-，则(1,1)f =grad （2，-2） ． 4.交换积分10d (,)d yy f x y x ⎰的积分次序为______21d (,)d xxx f x y y ⎰⎰___．5．设L 是直线21y x =+上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为2)P Q ds +⎰． 6.幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域是 (1,1]- . 7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1，其傅里叶级数在点π=x 处收敛于2π. 三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解：d d d x y z z x z y =+………………2分12121222d d 33F F x y F F F F =-+-----………………5分12122d 2d 3F x F y F F +=+．………………7分或解：由12(2d 3d )(2d d )0F x z F y z ⋅-+⋅-=，得12122d 2d d 3F x F yz F F +=+．2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：令32),,(-++=xy z e z y x F z，………………2分 则2,,+===z z y x e F x F y F ，故(2,1,0)(1,2,3)n………………4分所求切平面的方程为 03)1(2)2(=+-+-z y x ， 即432=++z y x ， ………………6分法线方程为32112zy x =-=-.………………7分 3.计算二重积分22()d Dx xy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：22()d Dxxy y σ++⎰⎰=1-1220d ()d x x x xy y y +++⎰⎰………………4分1320515()d 62324x x x x =-+-+=⎰．………………7分4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：Ω的形心为(0,0,0)，Ω的体积V 为3a ，………………4分 故3I xV V V a =+==.………………7分5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：因为11limlim 12n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以1R = ． ………………1分 在左端点1x =-，幂级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，它是收敛的；在右端点1x =，幂级数成为011n n ∞=+∑，它是发散的，故该幂级数收敛域为[1,1)-． ………………3分令0()1nn xs x n ∞==+∑，[1,1)x ∈-，于是1()1n n x xs x n +∞==+∑，[1,1)x ∈-，逐项求导，得(())xs x '=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=0n n x ∞=∑=11x -，(1,1)x ∈- 将上式两端从0到x 积分，得01()d ln(1),111xxs x x x x x==---≤<-⎰， （根据和函数的连续性，当1x =-时，此式也成立）．于是，当0x ≠时，1()ln(1)s x x x=--，又(0)1s =．故 1ln(1), [-1,0)(0,1),()1, 0.x x s x xx ⎧--∈⎪=⎨⎪=⎩ ………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，………………2分于是由224(623)20,6(623)80,440,x y L x y x L x y y L x y λλλ⎧=---+=⎪=---+=⎨⎪=+-=⎩ 得驻点 183(,)35M ，283(,)55M -，383(,)55M --，483(,)55M -，………………5分依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在， 其中1313133261min =--=M yx d 即为所求．………………7分 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解： 圆周1)1()1(22=-+-y x 所围区域D 的面积为 π⋅21，………………3分 由格林公式得d d (11)d d LDy x x y x y -+=+⎰⎰⎰=π2．………………7分3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解： :L 1cos {,[0,]sin x t t y tπ=+∈=，………………3分d (1cos )sin d 2Lxy s t t t π=+=⎰⎰．………………7分4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：d d S x y =d x y ………………3分d DI x y =………………5分3d d d DDx y a x y a π===⎰⎰．………………7分5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， （cos ,cos ,cos αβγ）是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦． 解：设∑1为221(1)z x y =+≤的上侧，………………2分 则∑与∑1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为1=∑∑Ω+， 由高斯公式得 1(cos cos cos )d x y z S ∑∑αβγ+++⎰⎰3d d d x y z Ω=⎰⎰⎰=π………………4分而 22111(cos cos cos )d d d d d x y x y z S z x y x y ∑αβγπ∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，………………6分因此 (cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰=0 ………………7分。
《高等数学》学年第二学期期末考试试卷(B)卷
2015-2016 第二学期经管旅游等《高等数学》复习提示本学期《高等数学》使用教材：《高等数学》（经管类）（下）第二版林伟初郭安学主编（使用这套教材的本科各专业学生适用本复习提示）复习范围：第7 章：7.1，7.2，7.3(1-4)，7.4(1-3)，7.5(1)，7.6(1-2)；第8 章：8.1，8.2，8.3；第9 章：9.1，9.2，9.3，9.4(1-2)；第10 章：10.1，10.2(1-2)，10.3，10.4，10.5(1-3).复习典型题举例： P2-7:例 2-例9；P9: 8 、 9； P14: 例 4； P17: 1，2，4； P19: 例1；P20: 例 3- 例 5； P22: 例 9；P27: 1(2)-(5)； P30: 例2-例4； P32: 2； P33: 例2-例4；P36: 例7；P45: 例 4； P61: 性质1-6； P62: 2，3；P65: 例1，例2； P66: 例4-例6； P68: 1(1)(2)； P71: 例1，例2；P72: 3(1)(4)(5)，4； 80: 例2-例4； P83: 定理1 及推论；P87: 例1，例2（记住结论），例3； P90: 例5-例6；P91: 1(1)(2)(5)(8)(10)(11)； P93: 例2； P96: 例1(记住结论)；P99: 例3；P102: 1(1)(3)；P124: 例2，例4；P127: 例7；P131-139: 例1，例3，例5；P142-144: 例2-例4；P148: 3(1)-(6).下面还附上一份往年的考试卷，供同学们参考，可参考其考试方式及题型类型。
今年的考试题目肯定与往年这份卷子的考试题目不同！特别强调：请同学们按复习范围进行复习！全面复习！复习典型题举例以及下面的往年考试卷都只是供同学们复习时参考的，切记切记！韶关学院20**－20**学年第二学期《高等数学》期末考试试卷（B 卷）系专业 20** 级本科班学号姓名注：1、考试时间120 分钟，总分100 分；2、适用于20**级本科：经、管、旅游等本科各专业．2015-2016 第二学期《高等数学》期末复习提示第1 页共4 页。
暨南大学经管类内招《高等数学》(II)期末考试题及练习题
经，管学院内招生《高等数学》（Ⅱ）练习题一． 填空题1．要使广义积分11(1)k dx x +∞++⎰收敛，必须k ；2．差分2(2)x x ∆+= 3．若在(1,1)-上1()(1)nn x f x n n ∞==+∑，则在(1,1)-上()f x '= ；4．若连续函数()f x 在[,]a a -上满足()()f x f x -=-，则()aaf x dx -⎰= ；5．211dx x +⎰= ；6．2314dx x +∞-⎰ = ；7．20sin x d t dt dx⎰= 8．(,)5f x y xy x y =+-+的驻点 ;9．若()f x=dt ⎰，则 ()f x '= ；10。
二重积分220dxdy ⎰⎰=11．已知函数 (,)f x y = 22x y + ， 则 d f = ； 12．已知函数 (,)f x y = x ye ，则 (,)xf x y '= , (1,2)x f '= ；13．10x e dx -⎰= ；19．微分方程 0xdx y dy += 的通解是 ；14．函数2x 的全体原函数是 ；15．函数22ln(1)z x y =--的定义域为16．球心在(1,2,3)-半径为2的球面方程是 。
17. 差分方程 122x x y y -∆=+是 阶的差分方程. 二． 计算下列不定积分或定积分1．321(3cos )xx x dx x++⎰ ; 2． 22(arc )1x tgx dx x -+⎰； 3．101ln(1)2x dx +⎰4．120311x dx x -+⎰ ; 5．403x -⎰dx ; 6．52⎰dx ; 7．94dx ⎰； 8．51(5sin xx x dx x +-+⎰ ； 9．； 10．32220()a x a x dx -⎰11．设221()x x f x dx ec -=+⎰，求1()dx f x ⎰； 12。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇：高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目，下面是小编整理的高数二期末考试题，希望对你有帮助。
一、填空。
（28分值）1、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米2、6个3相加，写成乘法算式是（），这个式子读作（）。
3、在下面的（）里最大能填几？（）×6＜27（）＜3×74×（）＜15 35＞7×（）4、在算式4×7=28中，4是（），7是（），28是（）。
5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。
八九（）（）二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做（）颗。
7、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。
8、算得积是18的口诀有（）和（）。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
（5分值）1、9个相加的和是13。
（）2、小强身高大约是137厘米。
（）3、角都有一个顶点，两条边。
（）4、计算48+29，得数大约是70。
（）5、1米和100厘米一样长。
（）三、选择题。
（把正确答案的序号填在括号里，5分值）1、5个3相加是多少？正确的列式是（）Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。
Ａ、２ B、４Ｃ、６3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
（26分值）1、用竖式计算。
（15分值）90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
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一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。
请直接将正确结果填
入各题的空格处）
1. 函数221y x z --=的定义域 ；
2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ；
3. 变换二重积分
⎰⎰==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ；
4. 将函数()2
cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。
二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。
每小题有四个选项，
其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内）
6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。
A ．圆
B ．平面
C ．圆柱面
D ．球面
7. 设函数22y x z =，则=∂∂22x
z （ ）。
A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0
8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则⎰⎰D
dxdy 等于（ ）。
A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
9. 级数∑
∞=121n n
（ ）。
A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收
敛，其和为3
10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。
A ．y y dx
y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ．
x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。
解答须有主要解题步骤，说明必要的理由）
11.
设),(v u f z =，y x u 2=，y x v =，求y z x z ∂∂∂∂,。
12.
求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。
13. ⎰⎰D xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的
闭区域。
14. 计算⎰⎰D
dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。
（要求画草图。
提
示：在极坐标下计算）
15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成立体的体积
16. 判断级数∑∞
=12sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。
18. 求解微分方程xy x y -='1。
19. 求微分方程x x x y y sin =+'满足π
π22=⎪⎭⎫ ⎝⎛y 的特解。
四、 应用题（本大题共1题，共10分。
解答须有主要解题步骤，说明必
要的理由）
20. 设生产某产品z 个单位时，需投入甲原料x 个单位，乙原料y 个单位，
且它们的关系是：y y x x z 52102022+-+-=，又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1，而产品的售价为5，试求x 、y 取何值时，利润最大？
五、 证明题（本大题共1题，共7分。
解答须有主要解题步骤，说明必
要的理由）
21. 试证：如果()x ϕ是Ay y ='满足初始条件ηϕ=)(0x 的解，那么())(0x x A e x -=ηϕ。
试卷A 解答及评分标准
一、 填空题
1. 122≤+y x
2. dy dx +
3. dx y x f dy b
y b a ⎰⎰),(
4. ()()()∑∞
=⋅-+12!22211n n
n n x
5. x
e C C y 21+=
二、 选择题
6. C
7. A
8. B
9. C
10. A
三、 计算题
11. 解：xy x u 2=∂∂,2x y u =∂∂,y x v 1
=∂∂,2
y x
y v
-=∂∂
v f
y u f
xy x z
∂∂+∂∂=∂∂12，v f
y x u f
x y z
∂∂-∂∂=∂∂22。
12. 解：设)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='03020
2y x F y F x F y x λλλ，得驻点为 2
3
=x ，
23=y 极小值是：211
13. 解：得出曲线的交点1-=y ，2=y 1分 原式dx xy dy -y y ⎰⎰+=2122=ydy x y y ⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡212222[]
d y y y y ⎰--+=2152)2(21855= 积分区域图形正确，加1分
14. 解：令⎩⎨⎧==θθ
sin cos r y r x ，则
原式⎰⎰=D
rdrd r θθ22sin
dr r d ⎰⎰=2
13202sin πθθ πθθπ
4
15422cos 121420=
⋅-=⎰r d 15. 解：()()⎰⎰⎰⎰-++=++=10101dxdy 1y D
dx y x dy y x V dy yx x x y ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1010221⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1022123dy y y 656121231
032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y y 16. 解：
221sin n n n ≤α 因为 ∑∞=121n n 收敛 ， 所以 ∑∞=12sin n n n α
收敛。
17. 解：幂级数的收敛半径为11lim lim 1=+==∞→+∞→n
n a a R n n n n 所以，幂级数的收敛区间为()1,1-。
设幂级数的和函数为)(x S ，()1,1-∈x 。
dx x x n x S x n n n n ⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞=-∞
=01111)(＝)1ln(110x dx t x --=-=⎰，()1,1-∈x 18. 解：把方程写为dx x ydy ⎪⎭⎫
⎝⎛-=11，两边求不定积分，得 C x x y +-=ln 2
12
或者写为通解的形式C x x y 22ln 2+-±=
19. 解：()()x
x x q x x p sin ,1== ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x x e y dx x dx x 11sin ()
()C x x C xdx x y +-=+=⎰cos 1sin 1，()x x y cos 11-= 四、 应用题
20. 解：利润函数为()()y y x x y x z y x L 241048510025,22+-+-=+-=
令 ⎩⎨⎧=+-='=+-='0
242004810y L x L y x ，得驻点2.1,8.4==y x ， 对()2.1,8.4，20,0,10-=''=-=''yy yy xx L Lx L 。
知2.1,8.4==y x 时，利润最大。
五、 证明题
21. 证明： 设()x ϕ的形式为()Ax Ce x =ϕ （1） 其中C 为待定的常数
则由初始条件得0
)(0Ax Ce x ==ϕη 所以，()001Ax Ax e e C --==ηη
代入（1）得())(00x x A Ax Ax e e e x --==ηηϕ，命题得证。