利用函数的单调性求参数的取值范围课件
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
第二节 函数的单调性与最值 课件(共90张PPT)
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )
已知函数单调性求参数取值范围
技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。
关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。
一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。
注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。
例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。
解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。
设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。
而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。
当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。
所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。
评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。
例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
已知函数的单调性求参数的取值范围
即
f f
'(a) 0 '(a 1)
0
1 2
a a
3 2
1
a
2
故实数a的取值范围为-1, 2
2021/8/14
8
变式：已知函数f (x) ln x 在区间（2a,a+1)上单调递增， x
求实数a的取值范围。
解：由已知得f
'( x)
1 ln x2
x
令f '( x) 0 f ( x)的单调递增区间为（0,e)
求实数a的取值范围。
答案：（1）a 3或a 9 （2）a 1
2
课后作业：课时作业
2021/8/14
16
个人观点供参考，欢迎讨论
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感谢您的关注！
3
1
a
2
故实数a的取值范围为-1, 2
2021/8/14
6
函数y f (x)为可导函数：
1.如果在（a,b)内，f (x)＞0 f(x)在此区间是增函数; 如果在（a,b)内，f (x) 0 f(x)在此区间是减函数。
2.若函数f (x)在（a,b)上单调递增， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立 若函数f (x)在（a,b)上单调递减， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立
2021/8/14
3
题1：已知函数f (x)=x3-3x2 -9x在区间(a,a+1)上单调递减， 求实数a的取值范围。 题2：若函数f (x) x3 ax2 1在(0, 2)内单调递减， 求实数a的取值范围。
那有什么不同点呢？
2021/放在区间上：
例1.已知函数f (x)=x3-3x2-9x在区间(a,a+1)上单调递减，
二轮(理科数学) 函数的单调性与导数课件(全国通用)
(2)转化为不等式恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递
减,则f′(x)≤0”来求解,当然,在转化过程中要注意所给区间的开闭及不等式
中等号有无等细节;
(3)要注意区分“函数在区间(a,b)上单调”与“函数的单调区间为(a,b)”.
变式 1:若函数 f(x)= 3x2 ax (a∈R)在区间(1,3)单调递增,求实数 a 的取值范围. ex
(1)[f(x)eαx]′=f′(x)eαx+αf(x)eαx;
(2)[f(x)xα]′=f′(x)xα+αf(x)xα-1.在具体题目中将α用符合题意的具体的数 值代入即可.
变式 1:定义在（0, π ）的函数 f(x),函数 f′(x)是它的导函数,且恒有 2
f(x)<f′(x)tan x 成立,则( )
3
3
3
的两不等实根,
代入得
2 2
4 3 4 3
a 3
a, 3
6
,
解得
a=8.
变式 3:若函数 f(x)= 3x2 ax (a∈R)在区间(-1,1)上不单调,求实数 a 的取值范围. ex
解:因为 f′(x)= 3x2 6 a x a ,由函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调知,
解:因为 f′(x)= 3x2 6 a x a ,由 f(x)在(1,3)上单调递增知,
ex
f′(x)≥0 在[1,3]上恒成立,即-3x2+(6-a)x+a≥0 在[1,3]上恒成立,
当
x=1
时,不等式恒成立;当
1<x≤3
时,a≤
3x2 6x 1 x
恒成立,只需
a≤
3x2 6x 1 x
一题多变：已知函数的单调性求参数取值范围
一题多变：已知函数的单调性求参数取值范围例题：若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解：因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x恒成立． 令G (x )＝1x 2－2x，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ， 而G (x )＝1)11(2--x ， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈]1,41[， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716， 又因为a ≠0，所以a 的取值范围是)0,167[-∪(0，＋∞)．[方法技巧] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．[变式探究]1.若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，求a 的取值范围.因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1， 即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，求a 的取值范围.因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＜0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a＞1x2－2x有解，而当x∈[1,4]时，(1x2－2x)min＝－1(此时x＝1)，所以a＞－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．3．若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”，求a的取值范围.因为h(x)在[1,4]上不单调，所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝1x2－2x＝(11x)2－1在(1,4)上有解，令m(x)＝1x2－2x，x∈(1,4)，则－1＜m(x)＜－716.所以实数a的取值范围是(－1,－716).。
利用函数的单调性求参数范围
利用函数的单调性求参数范围王冠中已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。
本文将举例说明此类问题的求解策略。
例1 已知在上单调递减，求实数a的取值范围。
分析：令，由为减函数知应为增函数，设，则只需恒成立，所以。
另一方面，，即恒成立，因，故，从而。
综上所述，。
评注：本题常因没有考虑对数函数的定义域而产生错误。
例2 已知函数。
（1）若在上是增函数，求a的取值范围；（2）求在上的最大值。
分析：（1）设，则恒成立，又，只需，即。
（3）若，则当时，；若，则，当且仅当时，。
评注：本题若没有第一小题为铺垫，第二小题的解决会显得很困难。
例3 已知函数在区间（0，1）上是单调递增函数。
（1）求实数a的取值范围；（2）当取a最小值时，定义数列，，若，求证：；（3）在（2）的条件下，是否存在正实数p，使得，对一切整数都成立？若存在则求出的取值范围，若不存在试说明理由。
分析：本题脱胎于2003年石家庄市高三复习教学质量检测题，与2002年全国高考理科压轴题类似。
（1）要使在（0，1）上增函数，必须（0，1），只需，即。
（2）本小题在时，由导出，容易想到数学归纳法。
假设，由（1）结论可知，从而。
或证，当且仅当时取等号，由知（0，1）。
（3）因为，假设存在正实数满足题设条件，只需恒成立，因故数列为递增数列，只需，即。
评注：本题3个小题的考查目的各有侧重，第（1）小题逆向考查了函数的单调性，并为第（2）小题的解决埋下了伏笔；第（2）小题比较隐蔽地考查了数学归纳法，这是目前高考命题的一个方向，借助函数单调性或基本不等式加以证明，颇有特色；第（2）小题为存在型探索题，由，要求考生自觉地探求数列的单调性，匠心独具，令人耳目一新，掩卷沉思，使人回味无穷。
函数的单调性课件
综上, 函数() 图象的大致形状如图所示.
反思感悟
函数图象与导函数图象之间的关系
研究一个函数的图象与其导函数图象之间关系时，注意抓住各自的关键要素.对
于原函数，要注意其图象在哪个区间内递增，在哪个区间内递减；对于导函数，
要注意其图象在哪个区间内大于0，在哪个区间内小于0，并分析这些区间与原
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(
3
3
, +∞)，单调递减区间为(0, ).
3
3
判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出导数f ′(x)>0的解；
第3步：由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
一 导数与函数图象间的关系
例1 已知导函数 ′ 的下列信息，试画出函数 () 的图象的大致形状.
解：f ′(x)=3 2 − 2 − 1, 令 ′() ≥ 0即3 2 − 2 − 1 ≥ 0
1
解得 ≤ − 或 ≥ 1
3
∴ 函数的单调增区间为 −∞， −
1
3
减区间为 − ，1
1
3
， 1， + ∞
三 含参函数的单调性问题
试确定下列函数的单调减区间
（1）() = +
>0
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
函数单调性教案ppt课件
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
THANK YOU
感谢聆听
函数单调性课件ppt
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
O
函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.
在区间 I 上任取 x1, x2。
x1<x2
f(x1 ) < f(x2 )； x1<x2
x1
x2
x
f (x1 ) > f(x2 )，
函数f(x)区间 I 上是单调增函
数，I称为f(x)的单调 增 区间.
x2 )
x1
(2x1
x2 ,
1) (2x2
x1 x2
1)
0
2(x1
x2 )
—
—作差
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) — —论证结果
则函数 f (x) 2x 1在区间(, )
是增函数.
— —写出结论
证明函数单调性一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）；
30 19.71
20 7.56
10 4.67
2001 2002 2003 2004 年份
常宁市日平均出生人数统计表
人数 （人）
45
42
36
35
25
20 17
15
2000 2001 2002 2003 年份
上升
y y x 1
o
x
y
o
下降
y
y x 1
局部上升或下降 yy x2源自oxo函数x
f x 1
⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形 （要注意变形到能判断整个差式符号为止）；
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2
a
?
(3 2
x )max
,
x
?
(0,2),
a?3
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x) 的最值 求得参数范围
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
例2： 已知函数f ( x) ? x3 ? 3ax 2 ? 2a 2 x ? 1在[0,2]上是单调递增函数
数学 R A（理）
利用函数单调性求参数的 取值范围
学习目标：
1、熟练掌握原函数的单调性与导函数的关系； 2、利用分离参数法求参数的取值范围； 3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围。
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
请思考：
问题：在区间(a, b)内f ?(x) ? 0
f (x)单调递增
f (x)在(a,b)上单调递增 f ?(x) ? 0在(a,b)上恒成立
即3x2 ? 2ax ? 3 ? 0, 恒成立x ? [2,4]
方法：（分离参数） 2ax ? 3x2 ? 3恒成立
a ? 3x2 ? 3, 2x
a
?
3x2 ? (
2x
3 )min
令 g( x ) ? 3 x 2 ? 3 , x ? [2,4]
2x
基础知识
题型分类
思想方法
Hale Waihona Puke 练出高分练习1： 已知函数f ( x) ? x3 ? ax ? 3x ? 1在[0,?? )上是单调递增函数
o
②x
? ?? ? ? ??
a 3
f
? '(
0 a
) 3
?
0
a? 6 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意
从对称轴，区间端点函数值方面考虑
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
小结：
1、函数在某个区间单调递增或递减，可转化为函数 的导数在这个区间上大于或等于 0恒成立的问题
[0，? ? ）上是增函数,求a的取值范围.
解: f '(x) ? 3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? 0, x ? [0,?? )
[3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1)]min ? 0, x ? [0,?? )
y
① ?? a ? 0 ?3
?? f ' ( 0 ) ? 0
a ? ?1
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练习2： 若函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax , x ? (0,2)
则f ' ( x) ? 0在（0,2）上恒成立
即 2 ax ? 3 x 2
a ? 3 x , x ? (0,2)
巧
可，不必再与端点的函数值比较．
4．要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，
以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究
函数的极值与最值．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
1．函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f′ (x)≥ 0 而不
失
是 f′ (x)>0 ( f′ (x)＝0 在有限个点处取到 )．
C．m<2 2
() D．m≤ 2 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
(B )
A．m>－2 2 B．m≥－ 2 2 C．m<2 2 D．m≤ 2 2
解析
依题意知，x>0，f′ (x)＝2x2＋xmx＋1， 令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞ )， 当－m4 ≤ 0 时，g(0)＝1>0 恒成立， ∴m≥ 0 成立， 当－m4 >0 时，则 Δ＝m2－8≤ 0，∴－2 2≤ m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥ －2 2.
2、解题方法：分离参数法、 分类讨论法
3：数学思想：分类讨论、数形结合、化归
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
测试题：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
2
求参数a的取值范围.
解： f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 , x ? [0,2] 则f ' ( x) ? 0在[0,2]上恒成立 即3 x 2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0恒成立， x ? [ 0,2] 即f ' ( x )min ? 0, x ? [0,2] 而f '(x)为二次函数，开口向上 ， 对称轴为x ? a
f ?( x) ? 0是 f ( x)单调递增 的 充分不必要 条件
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
例1：
已知函数f (x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 1在[2,4] 求参数a的取值范围.
上是单调递增函数，
解：
f ' (x) ? 3x2 ? 2ax ? 3, x? [2,4]
则f '(x) ? 0在[2,4]上恒成立
求参数a的取值范围.
解： f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 3, x ? [0,?? ) 则f ' ( x) ? 0在[0,?? )上恒成立 即3x 2 ? a ? 3 ? 0, 恒成立 x ? [0,?? )
方法：（分离参数）
a ? 3x2 ? 3恒成立
a ? (3x2 ? 3)min ? a?3
误
与
防 2．导数为 0 的点不一定是极值点，极大值未必大于极 范
小值．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
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8
9
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
A．m>－2 2
解析
B．m≥－ 2 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0, x ? [0,2]
即(3x 2 ? 6ax ? 2a 2 )min ? 0, x ? [0,2]
y
o
x 2
X=a
基础知识
X=a X=a
题型分类
思想方法
练出高分
练习：设a为实数，函数f (x) ? x3 ? ax2 ? (a 2 ? 1)x在
3
4
5
6
7
8
9
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
1．理解极值与最值的区别， 极值是局部概念， 最值是
整体概念．
2．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化
方
为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合
法
思想的应用．
与 3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，
技
那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即