浙江大学数学分析试题答案

2003年浙江大学数学分析试题答案

一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<->>∀m n a a N n N m ,,

证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列

}{k n a ，a a k

n k =∞

→lim ，

所以，

ε

2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n

二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，

ε<-)''()'(x f x f

对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x

ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g

当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时

ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在

],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。

三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('

1

))((')()(a x f a x a f a f x f -+

-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以

)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。

四、⎰

⎰==

1

0,)(1)()(x dt t f x

dt xt f x ϕ2

)()()('x

dt t f x x f x x

⎰

-=

ϕ，

2

2)(lim

)(lim

)

(lim

)0('0

2

A

x x f x dt t f x

x x x

x x ====→→→⎰ϕϕ， 2

)(lim )

(lim )()

(lim )('lim 2

002

00A

x dt t f x

x f x dt t f x

x f x x

x x x

x x =

-=-=⎰

⎰

→→→→ϕ，)('x ϕ在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <，

⎰⎰--+--=

1

111)(2)(2])1[(])1[(!

!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m =

--⎰

-dx x x k k m m 1

1

)(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ⎰-+--------1

1

)1(2)1(211

)

1(2)

(2

])1[(])1[(]

)1[(])1[(=

0])1][()1[()1(])1[(])1[(1

1

)(221

1

)1(2)1(2=---==---⎰⎰-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k

当k m =时，

⎰⎰

----=

1

11

1

)(2)(22

2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m

⎰⎰

-+---------=--1

1

)1(21211

1

221

1

)(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx

x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =⎰

-+----

1

1

)

1(21

2]

)1[(]

)1[(dx x x m m m m =⎰

----=1

1

)2(22])1][()1[()

1(dx x x m m m m

=

⎰---1

1

2])1[()!2()1(dx x m m m =⎰--1

2])1[()!2()1(2dx x m m m

六、J 是实数，,0,0>∃>∀δε当δ

εξ<--∑=-n

i i i

i

J x x

f 1

1))((

⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞

→101

01lim dx

x n

n i s s

n i n ，当

1->s 时，该积分收敛。 七、∑=-n

k k

1

)1(有界，2

1

x n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞

=+-12)1(n n x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞

=+12

1n x n 与∑∞

=11

n n

同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞

=+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞

=+1

22

)1(n n

x x 绝对收敛； e n

n x x x R n

n

n 1

)11(11)1(1)(22→+=

+=

取，所以不一致收敛 八、1.

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=-+-=-=s s

s

s

s

s

tdt

tdt dt

s t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0

10

1

1

10

ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )(

11

1)(''),1ln(ln )('<---=-+-=s

s s I s s s I ，当2

1

=

s 时，

⎰⎰+=--=-=21021

12ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I

2. v x y x

y x

y y x v u x y v xy u 32,

,),(),(,,222=-=∂∂==,⎰⎰==31313ln 3231dv v du J