高中数学函数的切线问题

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【高考数学】《函数切线问题》微专题

【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为．析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ，是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭．考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况，即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图，很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练及谜底

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练及谜底函数的切线方程是数学中重要的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

在新课标历届高考题中，函数的切线方程也是必考知识点之一。

本文将通过专题训练及谜底的方式，帮助大家更好地掌握函数的切线方程。

首先，让我们来了解一下函数的切线方程的定义。

函数的切线方程是在函数图像上某一点处的切线，它描述了函数在该点的变化率。

切线的斜率等于函数在该点的导数。

因此，要写出函数的切线方程，需要先求出函数在该点的导数。

接下来，我们通过几道典型的高考题来加深对函数切线方程的理解。

例1：（2015年全国卷I）已知函数f(x)=x3-3x2+1，过点P(1,-1)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程为（）解：由题意可知，函数f(x)的导数为f'(x)=3x2-6x，则点P(1,-1)处的切线斜率为k=f'(1)=-3。

又因为切线过点P(1,-1)，所以切线方程为y=-3(x-1)-1，即y=-3x。

例2：（2014年全国卷II）已知函数f(x)=x2+2x+1，则过点(0,1)的曲线y=f(x)的切线方程为（）解：由题意可知，函数f(x)的导数为f'(x)=2x+2，则点(0,1)处的切线斜率为k=f'(0)=2。

又因为切线过点(0,1)，所以切线方程为y=2x+1。

通过以上两道例题，我们可以发现，求函数的切线方程需要先求出函数在某一点的导数，然后根据导数求出斜率，最后根据斜率和切点求出切线方程。

除了以上两道例题，还有很多其他类型的高考题涉及到函数的切线方程。

下面我们通过谜底的方式，来了解更多函数的切线方程的求解方法。

谜底：函数f(x)=x|x|在点(1,1)处的切线方程为()解：首先求出函数f(x)的导数f'(x)=|x|+x*sgnx，则点(1,1)处的切线斜率为k=f'(1)=2。

又因为切线过点(1,1)，所以切线方程为y=2x-1。

高考数学抛物线中的切线问题(解析版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

函数切线问题的解法探究

函数切线问题的解法探究一、导数的几何意义对于函数f(x)，在其中一点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点的切线斜率。

也就是说，如果在点a处存在切线，那么切线的斜率就是函数在该点的导数。

我们知道，切线是曲线在该点附近的一条直线，具有与曲线相切的性质。

通过求函数在其中一点的导数，我们可以得到该点处的切线斜率，从而确定切线的位置。

根据导数的定义公式f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，我们可以求得函数在任意一点的导数。

二、切线问题的解决步骤解决函数切线问题的一般步骤如下：1.求函数的导数首先，我们需要求得给定函数f(x)的导数f'(x)。

导数的计算可以通过直接求解导数的定义公式，或者运用导数的性质（如常数因子法则、和法则、差法则、乘积法则、商法则等）来求解。

这一步是解决函数切线问题的关键，因为只有求得导数，才能确定函数在特定点的切线斜率。

2.确定切点找到切线的第一步是确定切点的坐标。

通常，切点的x坐标可以从题目中给出，然后我们可以利用这个值来求出切点的y坐标。

计算切线的切点坐标可以帮助我们更好地理解切线的位置。

3.求切线方程已知切点和切线的斜率，我们可以通过切线的斜截式方程来求出切线的方程。

切线的斜率已经通过导数得到，我们可以用导数的值代入斜截式方程的斜率，再代入切点的坐标，即可得到切线方程。

4.分析问题得到切线方程之后，我们可以通过与给定的函数对比分析切线的性质。

比如，两条曲线在切点处的斜率是否相等，两条曲线在切点处是否相切等问题。

这些问题可以通过切线方程和给定函数的关系来解决。

总之，函数切线问题是高中数学中重要的一部分，它通过导数的几何意义和性质来帮助我们解决函数与曲线的关系问题。

我们需要掌握导数的定义和导数的计算方法，熟练掌握运用导数的性质，才能解决函数切线问题。

导数中八大切线问题题型总结(学生版)--高中数学

导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f (x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0) k=f (x0) ．2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f (x0)(m-x0)然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022·全国·高三专题练习(文))函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )A.0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2)B.0<f (2)<f(3)-f(2)<f (3)C.0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D.0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)【例2】函数y=f x 的图象如图所示，f′x 是函数f x 的导函数，则下列大小关系正确的是( )A.2f′4 <f4 -f2 <2f′2B.2f′2 <f4 -f2 <2f′4C.2f′4 <2f′2 <f4 -f2D.f4 -f2 <2f′4 <2f′2【题型专练】1.(2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中)(多选题)已知函数f x 的图象如图所示，f x 是f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f 3 <f 2B.f 3 <f 3 -f 2C.f 2 <f 3 -f 2D.f 3 -f 2 <02.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数y =f x 的图象如图所示，f x 是函数f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A.2f 3 <f 5 -f 3 <2f 5B.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3C.f 5 -f 3 <2f 3 <2f 5D.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3题型二：在点P 处切线(此类题目点P 即为切点)【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则A.a =e ,b =-1B.a =e ,b =1C.a =e -1,b =1D.a =e -1,b =-1【例2】(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )=-2x 3+3ax 2-f (1)x ，则函数f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线的斜率为( )A.-21B.-27C.-24D.-25【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线y =x ln (2x +5)在x =-2处的切线方程为( )A.4x -y +8=0B.4x +y +8=0C.3x -y +6=0D.3x +y +6=0【例4】过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为( )A.0,3π4B.0,π2∪3π4,π C.3π4,π D.π2,3π4【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线y =2x +ax +2在点1,b 处的切线方程为kx -y +6=0，则k 的值为( )A.-1B.-23C.12D.1【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末(理))已知函数f x =f 2 3x 2−x ,x >0g x ,x <0图像关于原点对称，则f (x )在x=-1处的切线方程为( )A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【题型专练】1.【2018年新课标1卷理科】设函数f x =x3+a-1x2+ax．若f x 为奇函数，则曲线y=f x 在点0，0处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.【2021年甲卷理科】曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为__________．3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为___________．4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=________．题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____ _______．【例2】(2022·四川·广安二中二模(文))函数f x =x2e x过点0,0的切线方程为( )A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0【例3】(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若过点12,0的直线与函数f(x)=xe x的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为( )A.e+1B.-12C.1D.12【例4】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线y=12x-b与曲线y=-12x+ln x相切，则b的值为( )A.2B.-2C.-1D.1【题型专练】1.(2022·陕西安康·高三期末(文))曲线y=2x ln x+3过点-12,0的切线方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+4y+1=0D.2x-4y+1=02.(2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线y=ln x的切线，则切点的纵坐标为( )A.eB.1C.1eD.1e3.过点(0，-1)作曲线f(x)=x ln x的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=04.已知f (x )=x 2，则过点P (-1，0)且与曲线y =f (x )相切的直线方程为( )A.y =0B.4x +y +4=0C.y =0或4x +y +4=0D.y =0或4x -y +4=0题型四：已知切线求参数问题【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线C :y =ln x +x 2+3-a x 上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若π3≤θ<π2，则实数a 的取值范围是( )A.23,0B.22,0C.-∞,23D.-∞,22【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线y =kx +1-ln2是曲线y =ln x +2的切线，则k =________．【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习(文))已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则b =_____【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数f x =x 2-2x ax +b a ≠0 在点a ,f a 处的切线方程为y =f a ，则b =( )A.-1或1B.-233或233C.-2或2D.-433或433【题型专练】1.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线f (x )=(x +a )e x 在点(-1,f (-1))处的切线与直线2x +y -1=0垂直，则实数a 的值为_________．2.(2022·云南昆明·模拟预测(文))若函数f x =a x +ln x 的图象在x =4处的切线方程为y =x +b ，则( )A.a =3，b =2+ln4B.a =3，b =-2+ln4C.a =32，b =-1+ln4D.a =32，b =1+ln43.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线l 的斜率为2，l 与曲线C 1：y =x 1+ln x 和圆C 2：x 2+y 2-6x +n =0均相切，则n =( )A.-4B.-1C.1D.4题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)【例1】(2022·河南洛阳·三模(文))若过点P 1,0 作曲线y =x 3的切线，则这样的切线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点(a ,b )可以作曲线y =ln x 的两条切线，则( )A.a <ln bB.b <ln aC.ln b <aD.ln a <b【例3】【2021年新高考1卷】若过点a ,b 可以作曲线y =e x 的两条切线，则( )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【例4】(2022·河南洛阳·三模(理))若过点P 1,t 可作出曲线y =x 3的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A.-∞,1B.0,+∞C.0,1D.0,1【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P (1,m )可以作三条直线与曲线C :y =xe x相切，则m 的取值范围为( )A.-∞,3e 2B.0,1eC.(-∞,0)D.1e ,3e 2【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y =x -1上一点P 可以作曲线f x =x -ln x 的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为( )A.0<t <1B.1<t <eC.0<t <eD.1e<t <1【题型专练】1.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C ：y =xe x 相切，则m 的取值范围是( )A.-3e 2,+∞ B.-1e,0 C.-1e ,-1e2 D.-3e2,-1e 2.(2022·广东深圳·二模)已知a >0，若过点(a ,b )可以作曲线y =x 3的三条切线，则( )A.b <0B.0<b <a 3C.b >a 3D.b b -a 3 =03.(2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点a ,b a >0 可以作曲线y =xe x 的三条切线，则()A.0<a <be bB.-ae a <b <0C.0<ae 2<b +4D.-a +4 <be 2<04.(2022·山东枣庄·高二期末)已知函数f x =x +1 e x ，过点M (1，t )可作3条与曲线y =f x 相切的直线，则实数t 的取值范围是( )A.-4e 2,0B.-4e 2,2eC.-6e 3,2e D.-6e 3,05.(2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m ∈R 有n 条直线与函数f x =xe x 的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为( )A.-5e 2<m <e B.-5e 2<m <0 C.-1e<m <0 D.m <e题型六：公切线问题【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学(理)试题)若直线y =kx +b 是曲线y =e x +1的切线，也是y =e x +2的切线，则k =( )A.ln2B.-ln2C.2D.-2【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数f x =ln x 与函数g (x )=x 2+x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( )A.ln12e,+∞ B.-1,+∞C.1,+∞D.ln2,+∞【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值可能是( )A.1.2B.4C.5.6D.2e【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C 1:f x =e x +a 和曲线C 2:g x =ln (x +b )+a 2a ,b ∈R ，若存在斜率为1的直线与C 1，C 2同时相切，则b 的取值范围是( )A.-94,+∞B.0,+∞C.-∞,1D.-∞,94【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为( )A.0,2eB.0,eC.2e ,+∞D.e ,2e【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线l :y =kx +b (k >1)为曲线f x =e x -1与曲线g x =e ln x的公切线，则l 的纵截距b =( )A.0B.1C.eD.-e【例7】(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))若直线y =k 1x +1 -1与曲线y =e x 相切，直线y =k 2x +1 -1与曲线y =ln x 相切，则k 1k 2的值为( )A.12B.1C.eD.e 2【题型专练】1.已知函数f x =x ln x ，g x =ax 2-x ．若经过点A 1,0 存在一条直线l 与曲线y =f x 和y =g x 都相切，则a =( )A.-1B.1C.2D.32.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1D.y =12x +123.(2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =a ln x ，g x =be x ，若直线y =kx k >0 与函数f x ，g x 的图象都相切，则a +1b 的最小值为( )A.2B.2eC.e 2D.e4.(2022·全国·高三专题练习)若两曲线y =ln x -1与y =ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是( )A.0,2eB.12e -3,+∞C.0,12e -3 D.2e ,+∞5.(2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数f (x )=a ln x (a >0)和g (x )=x 2的图象均相切，则实数a =( )A.eB.eC.2eD.2e6.若曲线y =ln x 与曲线：y =x 2−k 有公切线，则实数k 的最大值为( )A.78+12ln2 B.78-12ln2 C.12+12ln2 D.12+12ln2题型七：切线平行、垂直、重合问题【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x +ax 存在与直线2x -y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2] B.-∞,2-1e ∪2-1e ,2C.2,+∞D.0,+∞【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y=xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=( )A.-34B.-14C.-4D.14【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线x =a 与两曲线y =e x ,y =ln x 分别交于A ,B 两点，且曲线y =e x 在点A 处的切线为m ，曲线y =ln x 在点B 处的切线为n ，则下列结论：①∃a ∈0,+∞ ，使得m ⎳n ；②当m ⎳n 时，AB 取得最小值；③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3D.4【题型专练】1.(2022·山西太原·二模(理))已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23B.22C.3D.22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<0)处的切线互相垂直，则x 2-x 1的最小值为( )A.12B.1C.32D.23.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+x +2a (x <0)-1x(x >0)的图象上存在不同的两点A ,B ，使得曲线y =f (x )在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A.-∞,-18B.-1,18C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪18,+∞题型八：与切线相关的最值问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P 是曲线y =32x 2-2ln x 上任意一点，则点P 到直线y =x -3的距离的最小值为( )A.724B.332C.2D.5【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l 分别与直线y =2x -1，曲线y =32x 2-ln x 相交于A ,B 两点，则AB 的最小值为( )A.510B.55C.1D.5【例3】(2022·河南·许昌高中高三开学考试(理))已知函数y =e 2x +1的图象与函数y =ln x +1 +12的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( )A.2ln22B.2ln24C.24+ln22D.24+ln2【例4】(2022·山东聊城·二模)实数x 1，x 2，y 1，y 2满足：x 21-ln x 1-y 1=0，x 2-y 2-4=0，则x 1-x 2 2+y 1-y 22的最小值为( )A.0B.22C.42D.8【题型专练】1.(2022·山西·高二期末)已知点P 是曲线y =x 2-3ln x 上一点，若点P 到直线2x +2y +3=0的距离最小，则点P 的坐标为___________.2.(2022·江苏·高三专题练习)已知a ，b 为正实数，直线y =x -a 与曲线y =ln (x +b )相切，则a 22-b的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.0,12D.[1，+∞)3.(2022·全国·高三专题练习)曲线y =e 2x 上的点到直线2x -y -4=0的最短距离是( )A.5B.3C.2D.14.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数f(x)=ln x x-2x2在x=1处的切线为l，第一象限内的点P(a,b)在切线l上，则1a+1+1b+1的最小值为( )A.2+324 B.3+424 C.4+235 D.3+245.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知直线y=kx+b是曲线y=x+1的切线，则k2+b2 -2b的最小值为( )A.-12B.0C.54D.3。

2024高中数学切线方程新高考题

以下是5个关于高中数学切线方程的新高考题型：
1.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 在点(2, f(2)) 处的切线方程为_______．
2.若曲线y = ln(x + 1) 在点(1, y₀) 处的切线方程为y = 2x + b，则b = _______．
3.若曲线y = e^x - x^2 在点(1, y₀) 处的切线方程为y = 3x + 1，则y₀= _______．
4.函数y = √(x + 1) 在点(3, y₀) 处的切线方程为_______．
5.已知函数g(x) = (x - 1)/(x + 1) 的图象在点(2, g(2)) 处的切线方程为y = kx + 1，则k =
_______．
请注意，这些题目只是示例，实际的新高考题目可能会有所不同。

这些题目涵盖了切线方程的基本概念和应用，包括求导、点斜式方程和切线斜率的计算等。

在解题时，需要灵活应用相关知识和公式，并注意解题步骤的准确性和完整性。

高中数学高考中三次函数图象的切线问题

高中数学高考中三次函数图象的切线问题三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，为分为分析问题和解决问题提供了新的视角、析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，新的方法，新的方法，不仅方便实用，不仅方便实用，不仅方便实用，而且三次函数的而且三次函数的切线性质变得十分明朗切线性质变得十分明朗..纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. .一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332->时，有两条不同的切线；ab ac k 332-<时，没有切线；2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332-<时，有两条不同的切线；ab ac k 332->时，没有切线；证明证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -=\ 当当ab ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a bf y +-=--当当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。

所以斜率为k 的切线有两条。

第5讲利用导数研究函数的公切线问题高考数学

−
试卷讲评课件
练2
若曲线f x = acosx与曲线g x = x 2 + bx + 3在交点 0, m 处有
6
公切线，则a + b + m =___.
【分析】若曲线与曲线在交点 , 处有公切线，则切点的
坐标相等且切线的斜率(切点处的导函数值)均相等，由此构造关于，
当 , 不是的切点时，
设切点为 , − + ≠ ，
则 ′ = − + ，
试卷讲评课件
− +

所以
= − + ，得 = ，

所以
= − ，所以直线的方程为 = − .
=

+
= .
故选：
− = + − +
，则
= +
，即
试卷讲评课件
例2
已知f x =1 lnx，g x = x a ，若f x 与g x 的图象在交点处的切
−1
/e
线重合，则a =______.
e
【分析】设与的图象交点为 , ，再根据导数的几何意义
第5讲利用导数求解函数的切线(3)
主讲人：某某某老师
某某学校
知识点一利用导数求解公切线问题
知识点二与公切线有关的参数问题
知识点一利用导数求解公切线问题
试卷讲评课件
例1
若直线y = kx + b是曲线y = lnx + 2的切线，也是曲线
y = ln x + 1 的切线，则k =(

高中数学专题微重点2 函数的公切线问题

在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于
A.0
B.－1
C.3
√D.－1或3
设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，由f(x)＝xln x得f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，联立yy＝＝xx－2＋1a，x，
可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
考点三判断公切线条数
例3 (2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
设公切线与 y＝x2 的切点为(x1，x21)，
与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2 的导数为 y′＝2x，y＝ln x 的导数为 y′＝1x，则在切点(x1，x21)处的切线方程为 y－x21＝2x1(x－x1)，即 y＝2x1x－x21，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，则 3x20＝0，y0＝x30，所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0，设曲线C2：y＝cos x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sin x1＝0，y1＝cos x1－1，所以x1＝2kπ，y1＝0或x1＝2kπ＋π，y1＝－2，取x1＝0，y1＝0可得切线方程为y＝0，所以l与C1，C2均相切.
规律Leabharlann 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，

高考数学知识点复习：函数的切线问题

专题1函数的切线问题秒杀秘籍：第一讲切线的几何意义1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y 在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（ tan k f x ）切线方程 000()()y f x f x x x 的计算:2．在点00(,)A x y 处的切线方程： 000()()y f x f x x x 抓住关键：000()()y f x k f x3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x ，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x 然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）4．定理：令 ln x f x e g x x 过原点的切线斜率为1e e；ln ax xa h x e t x 过原点的切线斜率为1ae ae类推： ,,0,f x h x m g x t x m 过,0过的切线斜率分别为111m m e e （根据平移记忆）和111am m ae ae（不要求记忆）考点1切线及斜率问题【例1】曲线1x y xe 在点 11，处切线的斜率等于（）A ．e2B ．e C ．2D ．1【解析】1101122x x x f x x e x e x e k f e，，C 选．【例2】设点P 是曲线3335y x x上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A ．203，B ．2023，，C ．223，D ．233，【解析】 22233tan 333tan 33f x x x∵，，，（为第二象限角）或02，（为第一象限角）．【例3】已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1xx f x e ，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．【解析】 21','1,10,xx f x f f e e∵∵曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程为 11y x e ，又 f x 是偶函数，曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程与曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程故意y 轴对称，为 11y x e，故答案为 11y x e．【例4】设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x x x x0,,22∵．【例5】若P 是函数 1ln 1f x x x 图象上的动点，点 1,1A ，则直线AP 斜率的取值范围为（）A ．1, B ．0,1C ．1,e eD ．1,e【解析】由题意可得： 'ln 11f x x ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e上单调递减，在区间11,e 上单调递增，且1111f e e，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 000,1ln 1x x x ，该点的斜率为 0ln 11k x ，切线方程为： 00001ln 1ln 11y x x x x x ，切线过点 1,1 ，则： 000011ln 1ln 111x x x x ，解得:00x ，切线的斜率0ln 111k x ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为 1, ．【例6】已知函数 32f x mx nx 的图象在点 1,2 处的切线恰好与直线30x y 平行，若 f x 在区间,1t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是．【解析】由题意知 32f x mx nx ，∴ 232f x mx nx ．由题意得121323f m n f m n解得13m n ，∵ 323f x x x ，∴ 23632f x x x x x ，由 320f x x x ，得20x ，所以函数 f x 的单调减区间为 2,0 ．由题意得 ,1t t 2,0 ，∴210t t，解得21t ．考点2切线条数问题【例7】过点 ,A m m 与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（）A ．e ，B ．+e ，C ．10e，D ．1+ ，【解析】设切点为 00x y ，, ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ,代入 ,A m m ,得 0000ln ln 1m x x x m x ,即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln x m x ,即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln xg x x, g x 在 0e ，上单调递增,在e ，上单调递减, 1g e e,x , 0g x ， 10g ,所以110m e,所以m e ．故选B ．【例8】已知曲线x a y e 与2y x 恰好存在两条公切线，则实数�的取值范围是（）A ．2ln 22+ ，B ．2ln 2+ ，C ．2ln 22 ，D ．2ln 22 ，【解析】2y x 的导数2x a y x y e ，的导数为x a y e ，设与曲线x a y e 相切的切点为 2m n y x ，，相切的切点为 s t ，，则有公共切线斜率为2m at n s e s m，又2+m at s n e ，，即有222s s s s m，即为12s s m ，即有 202s m s ，则有2m a e s ，即为 2ln 202s a s s ，恰好存在两条公切线，即s 有两解，令 2ln 202x f x x x，则 112f x x ，当0x 时， 0f x f x ，递减，当02x 时， 0f x f x ，递增，即有2x 处 f x 取得极大值，也为最大值，且为2ln 22 ，由恰好存在两条公切线可得y a 与 y f x 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得a 的范围是2ln 22a ，故选D ．【例9】过点 A m n ，与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则实数m 的取值范围是（）A ．),(e B ．),( e C ．1,0(eD ．),1( 【解析】设切点为 00x y ，， ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ，代入 A m n ，，得 0000ln ln 1m x x x m x ，即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln m x x ，即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln x g x x , g x 在 0,e 上单调递增,在 ,e 上单调递减, 1g e e,x ， 0g x ， 10g ，所以110m e，所以m e ．【例10】设函数233)(x x x f ，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y 相切，则实数n 的取值范围是（）A ．)4,5( B ．)0,5( C ．)0,4( D ．]3,5( 【解析】法一： 323f x x x ,则 236f x x x ，设切点为 32000,3x x x ,则 200036f x x x ．∴过切点处的切线方程为32200000336y x x x x x x ，把点2n ，代入得：322000003362n x x x x x ．整理得：3200029120x x x n ．若过点 2n ，可作三条直线与曲线y f x 相切,则方程3200029120x x x n 有三个不同根（左图）令 322912g x x x x ，则 261812612g x x x x x ，∴当 12+x ，，时, 0g x ；当 12x ，时, 0g x ，∴ g x 的单调增区间为 1 ，和 2+ ，；单调减区间为 12，．∴当1x 时, g x 有极大值为 15g ；当2x 时, g x 有极小值为 24g ．由45n ，得54n ．∴实数n 的取值范围是 54 ，．故选A ．法二： 323f x x x 关于点 1,2 中心对称， 23613f x x x f ，在对称中心的切线方程为31,25y x x y 时，， 24f ，故当点 2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n ．（如右图）考点3零点、交点、极值点问题【例11】若函数 2x f x ae x a 有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,eB ．10,eC ．0 ，D ．0+ ，【解析】法一：∵ 2x f x ae x a ，∴ 1x f x ae ．①当0a 时， 0f x 恒成立，故函数 f x 在R 上单调，不可能有两个零点；②当0a 时，令 0f x ，得1lnx a ，函数在1ln a -，上单调递减，在1ln +a，,上单调递增，所以 f x 的最小值为11ln 1ln 21ln 2f a a a a a，令 1ln 2,0g a a a a ，则 1122a g a a a ，∴当102a时， 0,g a g a 单调递增；当12a 时， 0g a ， g a 单调递减．∴ max 1ln 02g a g a，∴ f x 的最小值为1ln 1ln 20f a a a，∴函数 2x f x ae x a 有两个零点．综上实数a 的取值范围是 0+ ，．法二： 202x x x f x ae x a e a，即x y e 与22y x a 交点问题，由图可知，0a 时，一定有两个交点，0a 时，有仅有一个交点；故选D ．例题10例题11例题12【例12】关于x 的方程2xx a e 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为．【解析】如图，临界情况为 2y x a 与xy e 相切的情况，'2xy e ，则ln2x ，所以切点坐标为ln2,2，则此时1ln2a ，所以只要2y x a 图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln2a ，即 1ln2, ．【例13】已知函数ln f x x x ax 有两个极值点，则实数的取值范围是（）A ． 0 －，B ．10,2C ．0,1D ．(0,)【解析】函数 ln f x x x ax ，则 1'ln ln 21f x x ax x a x ax x，令 'ln 210f x x ax 得ln 21x ax ，函数 ln f x x x ax 有两个极值点，等价于'ln 21f x x ax 有两个零点，等价于函数ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a时，直线21y ax 与ln y x 的图象相切，由图可知，当102a 时，ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2，故选B ．【例14】设ln f x x ，若函数g x f x ax 在区间上有三个零点，则实数的取值范围（）A ．10,eB ．211,e eC ．222,e eD ．221,e e【解析】令 0g x f x ax ，可得f x ax ．在坐标系内画出函数 ln f x x 的图象（如图9所示）．当1x 时， ln f x x ．由ln y x 得1y x．设过原点的直线y ax 与函数y x ln 的图象切于点 00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x，解得0 1x ea e ．所以当直线y ax 与函数ln y x 的图象切时1a e ．又当直线y ax 经过点2B ,2e 时，有22a e ，解得22a e．结合图象可得当直线y ax 与函数 ln f x x 的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e．即函数 g x f x ax 在区间20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e．故选D ．例题13例题14【例15】对任意的0x ，总有 lg 0f x a x x ，则a 的取值范围是（）A ． lg lg lg e e，B ．1 ，C ． 1lg lg lg e e，D ． lg lg lg e e，【解析】原问题即lg x x a 在区间 0, 上恒成立，考查临界情况，即函数 lg g x x 与 h x x a 相切时的情形，如图10，很明显切点横坐标位于区间 0,1内，此时， 1lg ,'ln10g x x g x x ，由 '1g x 可得：1lg ln10x e，则切点坐标为： lg ,lg lg e e ，切线方程为：lg lg lg y e x e ，令0x 可得纵截距为： lg lg lg e e ，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是 lg lg lg e e ，．选A ．【例16】已知定义在, 上的函数 f x ，满足 f x f x ，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e【解析】由题意知 1f x f x , 1,x 时， ln f x x ，1,1x时， 11,x ，11ln f f x x x， ln f x x ， g x 零点，就是 y f x 与y ax 的交点，画出两函数图象，如图，由图11知，ln OA k 过原点与ln y x 相切的直线斜率为1e，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是1,ln 0e，故选D ．【例17】若函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，则实数a 的取值范围是．【解析】∵函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，即 2y a x 与ln y x 切线平行，过原点且与ln y x 相切的直线为xy e，如下图所示，显然120,2a a e且，故实数a 的取值范围是11222e e，，．【例18】已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e【解析】函数 f x 为偶函数，故当0x 时， ln f x x ax x 有交点，则 ln 1x a x 有解，故11a e ；当0x 时， ln f x x ax x，1y a x 与 ln y x 相切时，11a e ；如下图，1101,11a a e e，故a 的取值范围是111,11,e e．故选D ．【例19】已知函数 201720161120162017f x x x x x x x ，在不等式20171x e ax x R 恒成立的条件下等式 20182017f a f b 恒成立，求b 的取值集合（）A ．{|20162018}b bB ．2016,2018C ． 2018D ．2017【解析】20172017'2017xxee，函数2017,1x y e y ax 均经过点 0,1，则直线1y ax 是函数2017x y e 的切线，据此可得：2017a ，等式即： 12017f f b ，很明显函数 f x 是偶函数，则：20171b ，解得：2016b 或2018b ，结合绝对值和式的几何意义可得实数b 的取值范围是：{|20162018}b b ．【例20】已知函数 ln f x x x x ，若k Z ，且 2k x f x 对任意的2x 恒成立，则k 的最大值为（）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986 )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设直线 2y k x 与曲线 y f x 相切时的切点为 ,m f m ，此时0'2f m f m m ，即ln 2ln 2m m mm m ，化简得42ln 0m m ，设 42ln 0g m m m ，因为2280g e e ，33100g e e ，所以23e m e ，所以切线斜率2ln m 的取值范围为 4,5，所以整数k 的最大值为4，故选B ．【例21】已知,a b 为正实数，直线y x a 与曲线 ln y x b 相切，则2b的取值范围为．【解析】由题意知1'1y x b,1x b ,切点为 1,0b ,代入y x a ,得1a b ,∵,a b 为正实数, 0,1a ,则2223a a b a ,令 23a g a a ,则26'03a a g a a ,则函数 g a 为增函数,210,22a b．【例22】若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．【解析】设切点 0,ln P x x ，则 001k f x x ，所以方程为 0001ln y x x x x ，即001ln 1y x x x ，所以001,ln 1k b x x， 00001ln 1(0)g x k b x x x ，可得 0g x 在 0,1上单调递减，在 1, 单调递增，所以当01x 时，k b 取得最小值0．【例23】设点P 在曲线12x y e 上，点Q 在曲线 ln 2y x 上，则PQ 最小值为（）A ．1ln 2B21ln 2 C ．1ln 2D21ln 2 【解析】两函数互为反函数，即图像关于y x 对称，函数12x y e 上的点12x x e，到直线y x 的距离为122xe x，设函数 11122x x g x e x g x e ，得 min 1ln 2g x ，所以min 1ln 22d ，由图像关于y x 对称得：PQ 的最小值为 min 221ln 2d ．【例24】直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．32【解析】由题意可知，当过点B 的切线与 21y x 平行时，AB 取得最小值．为此对ln y x x 进行求导得11y x，令2y ，解得1x ，代入ln y x x ，知1y ，所以当BC 取到最小值时，1m ，所以 11112A B，，，，易知13122AB ，故选D ．【例25】已知函数 02x f x f e x ，点P 为曲线 y f x 在点 00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e 上，则PQ 的最小值为．【解析】由 02x f x f e ，令0x 可得 01f ，所以 2x f x e x ，所以切线的斜率 01k f ，又 01f ，故切线方程为10x y ．由题意可知与直线10x y 平行且与曲线x y e 相切的切点到直线10x y 的距离即为所求．设切点为t Q t e ，，则11t k e ，故0t ，即 01Q ，，该点到直线10x y 的距离为222d．【例26】函数 21x f x e x x 与 g x 的图象关于直线230x y 对称，P Q 、分别是函数 f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（）A 5B 5C 25D ．25【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y ，Q 为P 关于直线230x y 对称点时，PQ 取最小值． 21x f x e x ∵， 2121202x x f x e x e x P ，，PQ 的最小值为02322514，故选D ．考点6两点间距离平方问题【例27】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R ，，则 22a cbc 的最小值为（）A ．12B ．32C ．322D ．92【解析】考查22a cbc 的最小值：x 代换a ，y 代换b ，则x y ，满足：225ln 0x x y ，即225ln 0y x x x ，以x 代换c ，可得点 x x ，，满足0y x ．因此求 22a cbc 的最小值即为求曲线 225ln 0y x x x 上的点到直线0y x 的距离的最小值．设直线0y x m y +x +m =0与曲线 225ln 0y f x x x x 相切于点 00P x y ，， 54f x x x，则 000541f x x x ，解得01x ，∴切点为 12P ，．∴点P 到直线0y x 的距离33222d，得： 22a cbc 的最小值为92．【例28】已知 22ln S x a x a a R ，则S 的最小值为（）A ．22B ．12C 2D ．2【解析】设 ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点 ln A x x B a a ，，，之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线 ln f x x 上的点到直线y x 的点的距离最小值问题．因 1f x x，设切点 ln P t t ，，则切线的斜率1k t ，由题设当11t ，即1t 时，点 10P ，到直线y x 的距离最近，其最小值为min 12d ，所以所求S 的最小值为min 12S，故选B ．达标训练1．直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．322．已知函数 3110sin 6f x x x在0x 处的切线与直线0nx y 平行，则二项式211nx x x 展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1003．已知 4201xf x a x x x，若曲线 f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线 f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（）A ． 3,3B ．2,2 C ．3,2D ． 34．已知a b c R 、、，且满足221b c ，如果存在两条互相垂直的直线与函数 cos sin f x ax b x c x 的图象都相切，则23a b c 的取值范围是（）A ．2,2 B ．5,5 C ．6,6 D ．2,225．设函数 222ln 2f x x a x a ，其中0x ，R a ，存在0x 使得 045f x成立，则实数a 的值是（）A ．15B ．25C ．12D ．16．已知 f x 是定义在R 上的单调函数，满足 1x f f x e ，则 f x 在 0,0f 处的切线方程为（）A ．1y xB ．1y xC ．1y xD ．1y x 7．已知12,P P 为曲线:ln C y x （0x 且1x ）上的两点，分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点，若120PM P N ，则MN（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，直线2y ax 与曲线 y f x 交于A B 、两点，其中A 是切点，记 ,f x h x g x f x ax x，则下列判断正确的是（）A ． h x 只有一个极值点B ． h x 有两个极值点，且极小值点小于极大值点C ． g x 的极小值点小于极大值点，且极小值为2D ． g x 的极小值点大于极大值点，且极大值为29．过点 21A ，作曲线 33f x x x 的切线最多有（）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条10．设函数 2340f x x ax a 与 22ln g x a x b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A ．21e B ．212e C ．213e D ．214e 11．已知定义在1, 上的函数 f x ，满足 1f x f x，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e12．已知 11,A x y ， 22,B x y 12()x x 是函数 3f x x x 图像上的两个不同点．且在,A B 两点处的切线互相平行，则21x x 的取值范围是（）A ． 1,1B ．1,2 C ．2.0 D ．1,0 13．设函数 232(0)2f x x ax a与 2g x a lnx b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（）A ．212e B ．212e C ．1eD ．232e14．设直线12,l l 分别是函数 ,01,1lnx x f x lnx x图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB 的面积的取值范围是（）A ．0,1B ．1, C ．0, D ．0,215．函数 ln f x x 在点 00f P x x ，处的切线l 与函数 x g x e 的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．已知函数 x af x x e (0)a ，且 y f x 的图象在0x 处的切线l 与曲x y e 相切，符合情况的切线（）A ．有0条B ．有1条C ．有2条D ．有3条17．若曲线21(11)ln 1f x e x e a x和 32(0)g x x x x 上分别存在点,A B ，使得AOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（）A ．2,e eB ．2,2e eC ．21,e D ．1,e 18．已知函数 1x f x x a e，曲线 y f x 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．2,eB ．2,0e C ．21,eD ．21,0e19．已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e20．若曲线21:(0)C y ax a 与曲线2:x C y e 存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．20,8eB ．20,4eC ．2,8eD ．2,4e21．已知曲线21y x 在点200(,+1)P x x 处的切线为l ，若l 也与函数 ln ,0,1y x x 的图象相切，则0x 满足（）（其中 2.71828...e ）A ．012x B 02x eC 03e x D 032x 22．已知曲线1C :2y x 与曲线2C :2ln (y x x,直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线,设直线l 与曲线1C 切点为P ,则点P 的横坐标t 满足（）A ．102t eB ．1122t e C ．1222t D ．222t 23．设函数 sin f x x 的图象与直线(0)y kx k 有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则（）A ．cosB ．tanC ．sinD ．tan24．已知函数 f x 是定义在 0, 的可导函数， f x 为其导函数，当0x 且1x 时，201f x xf x x ，若曲线 y f x 在1x 处的切线的斜率为34，则 1f （）A ．0B ．1C ．83D ．5125．函数 y f x 图象上不同两点 1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定 ,A B k k A B AB叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”．设曲线x y e 上不同的两点 1122,,,A x y B x y ，且121x x ，若 •,3t A B 恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．,3 B ．,2 C ．3 D ．1,326．过点 22M p ，引抛物线 220x py p 的切线，切点分别为A B 、，若410AB ，则P 的值是（）A ．1或2B ．2或2C ．1D ．227．已知曲线 32+3f x x x x 在1x 处的切线与抛物线22y px 相切，则抛物线的准线方程为（）A ．116xB ．1x C ．1y D ．1y 28．已知函数 2,01,0x x a x f x x x的图象上存在不同的两点,A B ,使得曲线 y f x 在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是．29．若 323f x f x x x 对R x 恒成立，则曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线方程为．30．直线 22,1FB x y分别是函数 sin [0π]f x x x ，，图象上点12P P ，处的切线，12l l ，垂直相交于点P ，且12l l ，分别与y 轴相交于点A B ，，则PAB 的面积为．31．已知函数1*n n f x x x n N ，曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列 n b 的前n 项和为．32．已知函数 21,f x g x x x．若直线l 与曲线 ,f x g x 都相切，则直线l 的斜率为．33．设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是．34．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数 2220f x x a x 和 3220g x x a x 均相切（其中a 为常数），切点分别为 11,A x y 和 22,B x y ，则12x x 的值为．35．过点 11 ，与曲线 32f x x x 相切的直线方程是．36．若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．37．若曲线 ln *2n y x x n N在2x n 处的切线斜率为n a ，则数列11n n a a的前n 项和n S．38．曲线(0)y x a 与曲线y x a 的值为．39．已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1x x f x e，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．40．已知函数 3f x x ．设曲线 y f x 在点 11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点 22Q x f x ，，记 f x 为函数 f x 的导数，则12f x f x 的值为．41．若实数,,,a b c d 满足22ln 321a a c b d，则 22a cb d 是最小值为．42．已知函数2223ln 2f x x x a x a a R ，若关于x 的不等式 8f x 有解，则实数a 为．43．已知函数215()3,()322f x lnx x xg x x ，P ，Q 分别()f x ，()g x 为图象上任意一点，则||PQ 的最小值为．44．已知函数 222ln 323ln 310f x x x a x x a 若存在0x 使得 0110f x有解，则实数a 为．。

导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)

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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。

高考数学切线问题(教师版)

专题1 切线问题1.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞答案：A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 2.已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e答案：C【解析】设切点()()00,ln x ax b +，则由()002af x ax b '==+得()0102ax b a a +=>，又由()00ln 2ax b x +=，得()0011ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222a a a ab ax =-=-，有()2211ln 0222a ab a a a =->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 22a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取得极大值也即最大值(g e =.故选：C.3.已知P 是曲线1C ：xy e =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（）A ．ln 212-B ．ln 212+ C ．2 D 答案：D【解析】（1）曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立：构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，有1C 为下凸曲线（2）曲线2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B 故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-.下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立：令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==，当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=，则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立，有2C 为上凸曲线（3）由1C 在()0,1A 处切线1y x =+与2C 在B ()1,0处的切线1y x =-，知：它们相互平行又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知：PQ 最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故min ||||PQ AB =∴min ||PQ = AB ==D4.若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．[B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，1]D ．[，1]答案：A【解析】2sin y a x '=-，要使曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即1max miny y -''，显然0mn y '<，故只需()()1min max y y '⨯'-，因为2sin y a x '=-最小值为20a -<，最大值为20a +>，所以(2)(2)1a a -+-，即23a ，解得33a．故选：A ．5.已知关于x 不等式x ae x b ≥+对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ab的最小值为（）A ．12 B ．1CD ．2答案：B【解析】设()xf x ae =，()g x x b =+，若x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，如图，0a ≤时，x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 不恒成立；如图，0a >时，()x f x ae =，则()xf x ae '=，设()001x f x ae '==，解得0ln x a =-，且()0ln 01x a f x ae ae -===，∴当()xf x ae =的切线斜率为1时，切点坐标为()ln ,1a -，由直线的点斜式方程可得切线方程为1ln y x a -=+，即ln 1y x a =++，若()()f x g x x b ≥=+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ln 1a b +≥∴ln ln 1ln a b b b -≥--，∴1ln b ba e b--≥，设()1ln h b b b =--，0b >，()111b h b b b -'=-=，∴()1,0b h b '==，()1,0b h b '>>，()1,0b h b '<<，∴()()10h b h ≥=，∴()1ln 01h b b b ae e e b--≥≥≥=，故选：B.6.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（） AB ．2eC．D ．2答案：C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线. 设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=. 设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=. 由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)e h x x x x =+->，所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3e h x x x =+-在(0,上单调递减，在)+∞单调递增.又23=1+23=0eh e=--，当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于max a ==.故选：C 7.若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2xg x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（）A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1 答案：D【解析】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞，由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆'，故21m -<-，解得01m << (2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意.综上所述：m 的取值范围为()0,1，故选：D .8.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切，则m 的取值范围是（）A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 答案：A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e x k x =+，则过点P 的切线方程为()()000001e e x xy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e x f x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在1,上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250em -<<.故选：A.9.已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______．答案：2ln2+【解析】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m=+1，则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1，则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2；故答案为ln 2+2． 10.存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则bk的最小值为________. 答案：1【解析】存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则等价于等价于存在0k >，0b >，()2y k x b =-+在ln y x =的上方.直线()2y k x b =-+过定点()2,b ，即定点在直线2x =上，设直线()2y k x b =-+与ln y x =相切于点()00,x y ，()''1ln y x x ==，所以01k x =，由0000ln 22y b x b k x x --==--得1ln12b k k k-=-，化简得21ln b k k =--，故1ln 2b k k k k =--.构造函数()()1ln 20kg k k k k=-->，则()'22211ln ln k k g k k k k-=-=，所以当01k <<时，()'0g k <，函数()g k 递减，当1k >时，()'0g k >，函数()g k 递增，所以()()min 1211g k g ==-=.所以b k的最小值为1.故答案为：111.若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____．答案：1或1e【解析】设y kx b =+与e x y =和()ln 2y x =+，分别切于点()11,xx e ，()()22,ln 2x x +，由导数的几何意义可得：1212x k ex ==+，即1212x x e +=，① 则切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x xy e x e x e =-+，或2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，即2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，② 将①代入②得11121x xy e x e x =+--，又直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则111x x e x e -+=1121x e x --，即11(1)(1)0xe x -+=，则11x =-或10x =，即01k e ==或11k e e -==，故答案为：1或1e. 12.已知直线y kx b =+与函数xy e =的图像相切于点()11,P x y ，与函数ln y x =的图像相切于点()22,Q x y ，若21>x ，且()2,1x n n ∈+，n Z ∈，则n =__________．答案：4【解析】依题意，可得112112221ln x xe k x y e kx b y x kx b⎧==⎪⎪⎪==+⎨⎪==+⎪⎪⎩，整理得2222ln ln 10x x x x ---=令()ln ln 1(1)f x x x x x x =--->，则1()ln f x x x'=-在()1,+∞单调递增且(1)(2)0f f ''⋅<，∴存在唯一实数()1,2m ∈，使()0f m '=min ()()(1)0f x f m f =<<，(2)ln 230f =-<，(3)2ln340f =-<，(4)3ln 450f =-<，(5)4ln560f =->，∴2(4,5)x ∈，故4n =.13.若直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2x y e -=的切线，则b =______.答案：0或1-【解析】令()ln f x x =，()2x g x e-=，则()1'f x x=，()2'x g x e -=. 设切点分别()11,P x y ，()22,Q x y ，则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =⋅+-；()22222x x y e e x x ---=-，即()222221x x y e x x e --=⋅+-， ∴()22212121ln 11x x ex x x e --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即()212212ln 2ln 11x x x x x e -=-⎧⎨-=-⎩，∴()()222110x x e--⋅-=，∴21x=或22x =.当21x =时，切线方程为1y x e=，∴0b =；当22x =时，切线方程为1y x =-，∴1b =-.综上所述，0b =或1b =-. 故答案为: 0b =或1b =-14.已知实数 a b c d ,,,，满足ln 211a cb d ==- ，那么()()22a cb d -+-的最小值为_________．答案：2(2+ln 2)5【解析】由ln 1a b =可知，点(),A a b 在函数()ln f x x =上，由211cd =-知，点(),B c d 在直线21y x =+上，则()()222=||a c b d AB -+-，所以当点A 处的切线与直线21y x =+平行时，点A 到直线21y x =+的距离的平方就是()()22a cb d -+-的最小值. 由()f x '12x ==得，12x =，所以1,ln22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()()22222+ln25a c b d -+-≥=，所以()22ln 2min 5+=，故答案为()22ln 25+.15.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________.答案：2【解析】设直线与ln 2y x =+相切与点(),ln 2m m +，此时斜率为1m，由点斜式得切线方程为()()1ln 2y m x m m -+=-，即1ln 1y x m m=++.对于曲线()ln 1y x =+，其导数'11y x =+，令111m x =+，得1x m =-，故切点坐标为()1,ln m m -，代入切线方程得1ln 1ln m m m m -++=，解得12m =，故12k m==.。

函数图像的切线问题(最新整理)

设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先从常系数的曲线 y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.

【高考数学】《函数切线问题》微专题

高考数学导数公切线问题、切线数量问题的一般解法及题型细分

函数的公切线与切线数量问题问题概述：函数的公切线问题，指的是直线b kx y +=同时与两个函数()x f y =与()x g y =同时相切，并在此基础上讨论直线和函数的性质的问题。

解法探究：公切线问题主要关注两个点，（1）两个切点均在函数和切线上；（2）切线斜率满足导数公式。

根据以上两个点，列出等式，即可进行计算求解。

具体公式如下：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧'='=+⋅=+⋅=212211x g x f k b x k x g b x k x f 一般的，公切线问题都可以转换为解方程组求参数问题，或者是讨论方程组解的个数问题。

一、已知两个函数的解析式求公切线【例1】曲线21:C y x =与曲线2:C y lnx =公切线的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3分析：最基本的求公切线问题，直接套用基本解法，进行计算即可。

解：设与曲线2y x =和曲线y lnx =相切的切点分别为()2a a ，，()b b ln ,，0>b ，设切线为m kx y +=由题可知2()2x x '=，1()lnx x'=，………………………………准备工作根据公切线的解法可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=b a k m kb b m ka a 12ln 2………………………………列方程把k 和a 消去，用b 表示剩下的式子，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+⋅=+==m m b b b m b b b a 11ln 21412122，把m 消去有141ln 02-+=b b………………………………方程组消元想求公切线的条数，相当于求这个方程的解的个数设()141ln 2-+=x x x f ，()33222222211x x x x x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='，所以()x f y =在⎪⎪⎭⎫⎝⎛220，上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上递增。

2020高考数学--- 函数的切线问题

第14炼函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000lim x f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。

2023年高考数学复习：函数的公切线问题

∴
e x1 2
e
x1
2
e ， x2 x1ex12
e x2
x2 e x2
1,
∴x2＝－ln 2，
∴k＋b＝ex2 ＋ ex2－1－x2 ex2 ＝12＋12－1－(－ln 2)×12＝ln22.
1234
3.(2021·合肥模拟)曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝ln x有______条公切线.
(2)已知曲线y＝ex在点(x1，ex1 )处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的
切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于
√ A.－1 B.－2
C.1
D.2
解析已知曲线y＝ex在点(x1，ex1 )处的切线方程为y－ex1 ＝ex1 (x－x1)，
即y＝ ex1x－ ex1x1＋ex1 ，曲线 y＝ln x 在点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝x12(x－x2)，即 y＝x12x－1＋ln x2，
2023年高考数学复习
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
例若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的
公共切线，则a等于
A.1
B.2
C.3
√D.3或－1
由题意得
e x1 e x1
1, x2
ex1 x1
1
ln
x2 ,
得x2＝
1 e x1
，
e x1－e x1 x1＝－1＋ln
x2＝－1＋ln
1 e x1
＝－1－x1，则
ex1＝xx11＋－11.

高考数学复习考点题型专题讲解5 导数切线方程

【详解】
y = 2a ln x 的导数为 y′ = 2a ，由于直线 y = 2x + b 是曲线 y = 2a ln x 的切线，设切点为 (m, n) ，
x 则 2a = 2 ，
m
∴ m = a ，又 2m + b = 2a ln m ，∴ b = 2a ln a − 2a （ a > 0 ）， b′ = 2 (ln a +1) − 2 = 2 ln a ，
7 / 39
【答案】0
【分析】由题意 f (e) = 2e, f ' (e) = 3 ，列方程组可求 a, b ，即求 a +b.
( 【详解】∵在点 e, f (e)) 处的切线方程为 y = 3x − e ，∴ f (e) = 2e ，代入 f ( x) = ax ln x − bx 得
a − b = 2 ①.
当 k ≠ 0 ，切点为 (2kπ , 4kπ +1)(k ∈ Z ) ，不满足题意，
综上可得，切点为 (0,1) .故答案为： (0,1) .
【题型三】求切线基础：无切点求参
【典例分析】
已知曲线 y = x3在点(a,b)处的切线与直线 x + 3y +1 = 0 垂直，则a 的取值是（）
A．-1
【详解】因为
f
′(
x)
=
2(
x
+ 1) (
cos x −
x +1)2
2 sin
x
，所以
k
=
f
′(0)
=
2
，
则所求切线的方程为 y = 2x .故答案为： 2x − y = 0 .
【变式演练】
1.曲线 f (x) = (x +1)ex + x 在点(0,1) 处的切线方程为______. 【答案】3x − y +1 = 0

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