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线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第7节

3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．
2020/7/15
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14
思考题
设 A,B分别 m阶为 ,n阶正定 ,试矩判阵定分矩C 阵 A 0是否为正 . 定矩阵
0 B
2020/7/15
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15
思考题解答
解 C是正定.的因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其量中 x,y分
是否正定.
5 2 4
解
fx1,x2,x3的矩阵 2 为 1
2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5 2
2 10, 1
5 2 4
2 1 2
4 2 10, 5
故上述二次型是正定的.
2020/7/15
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11
例2 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3
相等.
2020/7/15
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5
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次型,并称对称矩 A是阵正定;的如果对任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
2020/7/15
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4
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩为r,有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使 f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0, 及 f 1z12 2z22 r zr2 i 0,

相似矩阵 PPT课件

3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根，则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .

高等代数-相似标准型

多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对矩阵行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设这里
则且
注
即的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设是m×n 阶矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则与相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过列对角矩阵
初等变换化为下
其中是首项系数为1的非零多项式. 将在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2

线性代数PPT课件：相似矩阵与二次型第3节相似矩阵

的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问
题是：对 n 阶矩阵 A ，寻求相似变换矩阵 P，使
P–1AP = 为对角矩阵．如果 n 阶矩阵 A 能相似
于对角矩阵，则称矩阵 A 可对角化．
4.3.2 矩阵可对角化的条件
定理 4.3.2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵
的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第 4.3 节
相似矩阵
相似矩阵的概念
相似矩阵的性质
可对角化的条件
4.3.1 相似矩阵的概念
定义4.3.1 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可
逆矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
例3 设
0 1 1 A 1 0 1 , 1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵.
性质4.3.1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
detA = detB .
性质4.3.2 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 且矩阵
A可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
性质4.3.3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、是否唯一，举例说明.
例 2 设
0 0 1 A 1 1 x , 1 0 0

(完整版)5-3.4相似矩阵

性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0

教材第三章矩阵的相似标准形

第三章矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵．但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法．§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形一、λ矩阵的基本概念定义1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式，以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为多项式矩阵或λ矩阵，多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数，数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯．为了与λ矩阵相区别，我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是λ矩阵的特例．数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵．如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ，则()A λ可表示为1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ，其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵，并且0k A ≠．例如22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．如果另一个m n ⨯的λ矩阵()B λ可表示为1110()λλλλ--=++++ l l l l B B B B B ，则当且仅当k l =，(0,1,,)j j A B j k == 时()A λ与()B λ相等，记为()()A B λλ=．由于λ的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法．因此，我们可以同样定义λ矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且λ矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律．矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n 阶λ矩阵的行列式，一般说来λ矩阵的行列式是λ的多项式，λ矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个n 阶λ矩阵()A λ与()B λ，有()()()()A B A B λλλλ=．有了λ矩阵行列式的概念，可以同样定义λ矩阵的子式、代数余子式．定义2 设()[]m n A P λλ⨯∈，如果()A λ中有一个(1min{,})≤≤r r m n 阶子式不为零，而所有1r +阶子式(如果有的话)全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())rank A r λ=．规定零矩阵的秩为0．例1 设A 是n 阶数字矩阵，则λ-E A 是λ的n 次多项式，因此A 的特征矩阵λ-E A 的秩为n ，即λ-E A 总是满秩的．定义3 设()[]λλ⨯∈n n A P ，如果存在一个n 阶λ矩阵()B λ，使得()()()()λλλλ==A B B A E ， (1)则称λ矩阵()A λ是可逆的，并称()B λ为()A λ的逆矩阵，记作1()λ-A ．容易证明如果n 阶λ矩阵()A λ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．定理1 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零常数．证必要性设()A λ可逆，则存在n 阶λ矩阵()B λ满足(1)，从而()()1A B λλ=．因为()A λ与()B λ都是λ的多项式，则由上式可知()A λ与()B λ都是零次多项式，故()A λ是非零常数．充分性设()A d λ=是非零常数，*()A λ是()A λ的伴随矩阵，则*1()A dλ是一个n 阶λ矩阵，并且**11()()()()A A A A E d dλλλλ==，因此()A λ可逆，并且1*1()()λλ-=A A d ．二、λ矩阵的初等变换与等价与数字矩阵类似，对于λ矩阵，也可进行初等变换．定义4 下列三种变换称为λ矩阵的初等变换(1) 互换λ矩阵的两行(列)；(2) 用非零常数k 乘以λ矩阵的某一行(列)；(3) 将λ矩阵的某一行(列)的()ϕλ倍加到另一行(列)，(其中()ϕλ是λ的多项式)．对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种λ矩阵的初等矩阵(,),(()),(,())P i j P i k P i j ϕ，即11011(,)11011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭iP i j j ，11(())11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P i k k i ，11()(,())11i P i j j ϕλϕ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．与数字矩阵的情形完全一样，对一个m n ⨯的λ矩阵()A λ作一次初等行变换相当于在()A λ左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对()A λ作一次初等列变换相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等矩阵．容易证明初等矩阵都是可逆的，并且1111(,)(,),(())(()),(,())(,())P i j P i j P i k P i k P i j P i j ϕϕ----===-．为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：[,]i j 表示第,i j 行(列)互换位置；[()]i k 表示用非零常数k 乘第i 行(列)；[()]i j ϕ+表示将第j 行(列)的()ϕλ倍加到第i 行(列)．定义5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ可以经过有限次初等变换化为()B λ，则称λ矩阵()A λ与()B λ等价，记为()()A B λλ≅由初等变换的可逆性可知，等价是λ矩阵之间的一种等价关系．利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理2 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件为存在一系列m 阶初等矩阵1(),,()l P P λλ 与n 阶初等矩阵1(),,()t Q Q λλ ，使得11()()()()()()l t A P P B Q Q λλλλλλ= ．与数字矩阵不同，具有相同秩的两个λ矩阵未必等价，例如22(),()02A B λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2(),()4A B λλλλ==，所以()A λ与()B λ的秩均为2．因为初等变换是可逆的，则由定理 2知，两个等价的λ方阵的行列式只能相差一个非零常数，故()A λ与()B λ不等价，因此，秩相等不是λ矩阵等价的充分条件．§3.2 λ矩阵在等价下的标准形现在我们讨论λ矩阵在初等变换下的标准形．为此，先证明一个引理．引理1 设λ矩阵()[()]ij A a λλ=的左上角元素11()0a λ≠，并且()A λ中至少有一个元素不能被11()a λ整除，则存在一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=，使得11()0b λ≠，且1111(())(())b a λλ∂<∂．证根据()A λ中不能被11()a λ整除的元素所在的位置，分三种情形来讨论．1)若在()A λ的第一列中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，则由多项式的带余除法，存在多项式()q λ和()r λ，使得111()()()()i a q a r λλλλ=+，其中()0r λ≠，且11(())(())r a λλ∂<∂．对()A λ作两次初等行变换，首先将()A λ第1行的()q λ-倍加到第i 行，这时第i 行第1列位置的元素是()r λ；然后将第1行与第i 行互换，即得所要求的λ矩阵()B λ．2)在()A λ的第一行中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，这种情形的证明与1)类似，但是对()A λ进行的是初等列变换．3)()A λ的第一行与第一列中的元素都能被11()a λ整除，但()A λ中有另一个元素()ij a λ(1,1)i j >>不能被11()a λ整除，因为111()|()j a a λλ，所以存在一个多项式()ϕλ，使得111()()()j a a λϕλλ=．对()A λ作两次初等列变换．首先将()A λ第1列的()ϕλ-倍加到第j 列，这时第1行第j 列位置的元素是0，第i 行第j 列位置的元素变为1()()()ij i a a λϕλλ-；然后把第j 列的1倍加到第1列，此时第1行第1列位置的元素仍是11()a λ，而第i 行第1列位置的元素变为1()[1()]()ij i a a λϕλλ+-，它不能被11()a λ整除，这就化为已经证明的情形1)．定理3 设()[()][]m n ij A a P λλλ⨯=∈，且(())rank A r λ=，则()A λ必等价于如下对角形矩阵12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中()(1,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，且1()|()i i d d λλ+(1,2,i =, 1)r -．证若0r =，则()A λ为零矩阵，结论显然成立，现设0r >，且()A λ=[()]ij a λ的左上角元素11()0a λ≠．否则可通过行、列交换做到这一点，由引理1知，()A λ进行一系列初等变换可得一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=，并且11()b λ是首项系数为1的多项式，11()b λ整除()B λ的全部元素，即有11()()(),ij ij b q b λλλ= 1,,;1,,i m j n == ．则可对()B λ作一系列初等变换，使得第1行、第1列除对角元11()b λ外全为零，即11()000()()0d B A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中1111()(),()d b A λλλ=是(1)(1)m n -⨯-矩阵．因为1()A λ的元素是()B λ中元素的组合，而11()b λ(即1()d λ)整除()B λ的所有元素，所以1()d λ整除1()A λ的所有元素．如果1()0A λ≠，则对1()A λ重复上述过程，进而把矩阵化成122()000()000()00d d A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中12(),()d d λλ都是首项系数为1的多项式，并且122()|(),()d d d λλλ整除2()A λ的全部元素．继续上述过程，最后把()A λ化成所要求的形式．定理3中的对角形矩形(1)称为λ矩阵()A λ在等价下的标准形即Smith 标准形．定义 6 λ矩阵()[]m n A P λλ⨯∈的Smith 标准形的主对角线上的非零元12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子．例1 用初等变换把λ矩阵22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭化为标准形．解222[31(1)][13(1)]222[3(1)][32(1)][21()][31()]2211()00100100100000.0000A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-++-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭①变换记号写在“→”的上边表示行变换，写在下边表示列变换．例2 用初等变换将λ矩阵100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭化为Smith 标准形．解2[21()][1,2]1001000100()10()001001000000a a a a a A a a a a λλλλλλλλλλ+-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭22[1(1)][2,3][21()]100010000()1001()0001001000000a a a a a a a λλλλλλλ-+-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 22[32()]33[32(())][2(1)]1000100001()0010000()100()1000000a a a a a a a λλλλλλλ+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ [43()]33[3,4]41000100001000100001()001()000000()a a a a a λλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3[43(())][3(1)]4111()a a λλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭．一般地1111()m m m a a a a λλλλ⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ．§3.3 λ矩阵的行列式因子本节讨论λ矩阵Smith 标准形的惟一性，并给出两个λ矩阵等价的条件．因此，需要引进λ矩阵的行列式因子．定义7 设()[]m n A P λλ⨯∈，且(())r a n k A r λ=．对于正整数(1)k k r ≤≤，()A λ的全部首项系数为1的k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ．例1 求22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的各阶行列式因子．解由于1λ-与λ的首项系数为1的最大公因式为1，故(1,)1λλ-=，所以1()1D λ=．又 2211(1)()λλλλλϕλλλ-+=--+=，232221(1)()1λλλλϕλλλ-+=--=+，而12((),())ϕλϕλλ=，其余的二阶子式(还有7个)都包含因子λ，所以2()D λλ=．最后，由于32det(())A λλλ=--，所以323()D λλλ=+．行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的．定理4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子．证只需要证明，λ矩阵经过一次初等变换后，其秩与行列式因子是不变的．设λ矩阵()A λ经过一次初等变换后变成()B λ，()f λ和()g λ分别是()A λ和()B λ的k 阶行列式因子，针对3种初等变换来证明()()f g λλ=．1)交换()A λ的某两行得到()B λ．这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者是()A λ的某个k 阶子式的1-倍．因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ．2)用非零数α乘()A λ的某一行得到()B λ．这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者等于()A λ的某个k 阶子式的α倍，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ．3)将()A λ第j 行的()ϕλ倍加到第i 行得到()B λ．这时，()B λ中那些包含第i 行与第j 行的k 阶子式和那些不包含第i 行的k 阶子式都等于()A λ中对应的k 阶子式；()B λ中那些包含第i 行但不包含第j 行的k 阶子式等于()A λ中对应的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的()ϕλ±倍之和，也就是()A λ的两个k 阶子式组合，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因式，从而()|()f g λλ．由初等变换的可逆性，()B λ也可以经过一次初等行变换变成()A λ，由上面的讨论，同样有()|()g f λλ，所以()()f g λλ=．对于初等列变换，可以完全一样地讨论，总之，如果()A λ经过一次初等变换变成()B λ，则()()f g λλ=．当()A λ的全部k 阶子式为零时，()0f λ=，则()0g λ=，()B λ的全部k 阶子式也为零；反之亦然，因此()A λ与()B λ既有相同的行列式因子，又有相同的秩．由定理4知，任意λ矩阵的秩和行列式因子与其Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的．设λ矩阵()A λ的Smith 标准形为12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中()(1,2,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- ．容易求得()A λ的各阶行列式因子1121212()(),()()(),()()()().r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (2) 于是有12231()|(),()|(),,()|()r r D D D D D D λλλλλλ- ，211211()()()(),(),,()()()r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-=== ． (3) 从而得如下结论．定理5 λ矩阵()A λ的Smith 标准形是惟一的．证因为()A λ的各阶行列式因子是惟一的，则由(3)知()A λ的不变因子也是惟一的，因此()A λ的Smith 标准形是惟一的．应用λ矩阵的Smith 标准形，可以证明如下定理．定理6 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ与()B λ和同一个Smith 标准形等价，那么()A λ与()B λ等价．一般说来，通过行列式因子来求不变因子比较复杂，但对一些特殊的λ矩阵，先求行列式因子再求不变因子反而简单．例2 求100()100m ma a A a λλλλ⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的行列式因子和不变因子．解由于()A λ的一个1m -阶子式111(1)1m a a λλ----=---，故1()1m D λ-=，由(3)式的第一式，即行列式因子的“依次”整除性，有122()()()1m D D D λλλ-==== ．而()()m m D a λλ=-，因此()A λ的不变因子为121()()()1,()()m m m d d d d a λλλλλ-=====- ．由此可知()A λ的标准形为1()1()m m m A a λλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪-⎝⎭ ．定理7 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积．证必要性设()A λ为一个n 阶可逆矩阵，则由定理1知()0A d λ=≠，从而()A λ的行列式因子为12()()()1n D D D λλλ==== ．于是()A λ的不变因子为12()()()1n d d d λλλ==== ．因此()A λ与单位矩阵等价，即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得1111()()()()()()()()()l t l t A P P EQ Q P P Q Q λλλλλλλλλ== ．充分性设()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积，即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得11()()()()()l t A P P Q Q λλλλλ= ，则 111111()()()()()l t P P A Q Q E λλλλλ----= ，则()A λ的行列式是一个非零常数，因此由定理1知()A λ可逆．利用定理2和定理7容易证明下面定理．定理8 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是存在两个可逆λ矩阵()[]m m P P λλ⨯∈与()[]n n Q P λλ⨯∈，使得()()()()B P A Q λλλλ=．§3.4 矩阵的初等因子下面再引进λ矩阵的初等因子，设λ矩阵()A λ的不变因子为1(),d λ 2(),,()r d d λλ ，在复数域内将它们分解成一次因式方幂的乘积：11112221221211221212()()()(),()()()(),()()()(),s s rs r r k k k s k k k s k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=---⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ (1) 其中1,,s λλ 是互异的复数，ij k 是非负整数，因为1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- ，所以ij k 满足如下关系1121112222120,0,0.r r s s rs k k k k k k k k k ≤≤≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎪⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩ 定义8 在(1)式中，所有指数大于零的因子()ij kj λλ-，(0,1,2,,,1,2,,)ij k i r j s >==称为λ矩阵()A λ的初等因子．例如，若λ矩阵()A λ的不变因子为 122232334()1,()(1),()(1)(1),()(1)(1)(2),d d d d λλλλλλλλλλλλλ=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩则()A λ的初等因子为22323,,,1,(1),(1),(1),(1),2λλλλλλλλλ---++-．由定义8知，若给定λ矩阵()A λ的不变因子，则可惟一确定其初等因子；反过来，如果知道一个λ矩阵的秩和初等因子，则也可惟一确定它的不变因子．事实上，λ矩阵()A λ的秩r 确定了不变因子的个数，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂最高的必在()r d λ的分解中，方幂次高的必在1()r d λ-的分解中，如此顺推下去，可知属于同一个一次因式方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的．例如，若已知56⨯λ矩阵()A λ的秩为4，其初等因子为22333,,,1,(1),(1),(),()i i λλλλλλλλ---+-，则可求得()A λ的不变因子23334()(1)()()d i i λλλλλ=-+-，23()(1)d λλλ=-，2()(1)d λλλ=-，1()1d λ=．从而()A λ的Smith 标准形为223231000000(1)000000(1)000000(1)(1)00000000λλλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭．由定理6以及不变因子与初等因子之间的关系容易导出如下定理．定理9 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子．分块对角矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不能从()B λ与()C λ的不变因子求得()A λ的不变因子，但是能从()B λ与()C λ的初等因子求得()A λ的初等因子．定理10 设λ矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2) 为分块对角矩阵，则()B λ与()C λ的初等因子的全体是()A λ的全部初等因子．证将()B λ与()C λ分别化为Smith 标准形1()()()00B r b b B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1()()()00C r c c C λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中1(()),(()),(),,()B BC r r r a n k B r r a n k C b b λλλλ== 与1(),,()C r c c λλ 分别为()B λ与()C λ的不变因子，则(())B C rank A r r r λ==+．把()i b λ和()j c λ分解为不同的一次因式的方幂的乘积，不妨设1212()()()(),1,2,,i i is b b b i s B b i r λλλλλλλ=---= ，1212()()()(),1,2,,j j js c c cj s C c j r λλλλλλλ=---= ．则()B λ与()C λ的初等因子分别为1212(),(),,(),1,2,,i i is b b b s B i r λλλλλλ---=和1212(),(),,(),1,2,,j j js c c cs C i r λλλλλλ---=中非常数的多项式．我们先证明()B λ与()C λ的初等因子是()A λ的全部初等因子．不失一般性，仅考虑()B λ与()C λ中只含1λλ-的方幂的那些初等因子，将1λλ-的指数 1121111211,,,,,,,B C r r b b b c c c按由小到大的顺序排列，记为120r j j j ≤≤≤≤ ，由(2)可知，对()B λ与()C λ进行初等变换实际上是对()A λ进行初等变换，于是11()()()()()00B C r r b b c A c λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211121()()()()()()00r j j j r λλϕλλλϕλλλϕλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中多项式1(),,()r ϕλϕλ 都不含因式1λλ-．设()A λ的行列式因子和不变因子分别为12(),(),,()r D D D λλλ 和12(),(),,()r d d d λλλ ，则在这些行列式因子中因子1λλ-的幂指数分别为111211,,,,r ri i i i j j j j j -==+∑∑ ，而由§3.3行列式因子与不变因子的关系式(3)知，12(),(),,()r d d d λλλ 中因子1λλ-的幂指数分别为121,,,,r r j j j j - ．因此()A λ中与1λλ-相应的初等因子是1()i j λλ-，0i j >，1,2,,i r = ，也就是()B λ、()C λ中与1λλ-相应的全部初等因子．对23,,,r λλλλλλ--- 进行类似的讨论，可得相同结论．于是()B λ和()C λ的全部初等因子都是()A λ的初等因子．下面证明，除()B λ、()C λ的初等因子外，()A λ再没有其他的初等因子．因为()r D λ为()A λ的所有初等因子的乘积，而11()()()()()B C r r r D b b c c λλλλλ= ．如果()k a λ-是()A λ的初等因子，则它必包含在某个()(1,,)i B b i r λ= 或()j c λ(1,,C j r = )中，即()A λ的初等因子包含在()B λ与()C λ的初等因子中，因此，除()B λ、()C λ的全部初等因子外，()A λ再没有别的初等因子．定理10可推广为定理11 若λ矩阵()A λ等价于块对角阵12()()()()t A A A A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭，则12(),(),,()t A A A λλλ 的各个初等因子的全体就是()A λ的全部初等因子．对t 应用数学归纳法，请读者自行证明．例1 求λ矩阵22000000()00(1)10022A λλλλλλλ⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪++ ⎪ ⎪--⎝⎭ 的初等因子，不变因子和标准形．解记22123(1)1(),(),()22A A A λλλλλλλλλ⎛⎫++=+== ⎪--⎝⎭，则 123()00()0()000()A A A A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．对于3()A λ，其初等因子为,1,1λλλ-+，利用定理11可得()A λ的初等因子为,,,1,1,1λλλλλλ-++．因为()A λ的秩为4，故()A λ的不变因子为4321()(1)(1),()(1),(),()1d d d d λλλλλλλλλλ=-+=+==．因此()A λ的Smith 标准形为100000000(1)0000(1)(1)λλλλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+ ⎪+-⎝⎭．§3.5 矩阵相似的条件设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵E A λ-是λ矩阵，它是研究数字矩阵的重要工具．应用特征矩阵也可以给出两个n 阶数字矩阵A 与B 之间相似性的判断准则．为此，我们先证明两个引理．引理2 设,A B 是两个n 阶数字矩阵．如果存在n 阶数字矩阵,P Q 使得()E A P E B Q λλ-=-． (1)则矩阵A 与B 相似．证比较(1)两边λ的同次幂的系数矩阵，得,PQ E A PBQ ==．由此11,Q P A PBP --==，故A 与B 相似．引理3 设A 是n 阶非零数字矩阵，()U λ与()V λ是n 阶λ矩阵，则必存在n 阶λ矩阵()Q λ、()R λ以及n 阶数字矩阵0U 、0V ，使得0()()()U E A Q U λλλ=-+， (2) 0()()()V R E A V λλλ=-+． (3)(2)式与(3)式的证明类似，这里仅证(2)式．把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++ ，其中01,,,m D D D 都是n 阶数字矩阵．并且00D ≠(1) 若0m =，则取()0Q λ=及00U D =，它们显然满足要求． (2) 若0m >，令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++ ，其中011,,,m Q Q Q - 是待定的n 阶数字矩阵．由1010()()()m m E A Q Q Q AQ λλλλ--=+-+1121()()m k k k m m m Q AQ Q AQ AQ λλ-----+-++-- ．只需取0011022111201,,,,,m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ ----==+=+=+=+ ，则(2)式成立．定理12 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价．证充分性设E A λ-和E B λ-等价，由定理8知存在可逆的λ矩阵(),()U V λλ使()()()E A UE B V λλλλ-=-． (4) 由引理3，存在λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U E A Q U λλλ=-+， (5) 0()()()V R E A V λλλ=-+， (6) 把(4)式改写为1()()()()U E A E B V λλλλ--=-， (7) 1()()()()E A V U E B λλλλ--=-． (8) 将()V λ的表达式(6)代入(7)式，得10[()()()]()()U E B R E A E B V λλλλλ----=-．因为上式右边的λ的次数1≤，所以1()()()U E B R λλλ---是数字矩阵，记为T ，即1()()()T U E B R λλλ-=-- ， (9) 0()()T E A EB Vλλ-=- ． (10) 由(9)式，并利用(5)式和(8)式，得()()()()E U T U E B R λλλλ=+-1()()()()U T E A V R λλλλ-=+- 1[()()]()()()E A Q U T E A V R λλλλλ-=-++- 10()[()()()]U T E A Q T V R λλλλ-=+-+．上式右边第二项必为零；否则右边λ的次数至少是1，等式不可能成立．因此0E U T =，从而0,U T 可逆，并且10T U -=．由(10)式得00()E A U E B V λλ-=-．由引理2知，A 和B 相似．定义9 设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵E A λ-的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子．由定理6和定理12立即得定理13 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者说它们有相同的不变因子．由定理9和定理12得定理14 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子．§3.6 矩阵的Jordan 标准形定义10 形式为1010t tJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)的矩阵称为Jordan(若尔当)块，其中λ为复数．由若干个Jordan 块组成的块对角矩阵称为Jordan 形矩阵，其一般形式如12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．其中 101,1,2,,1i ii ii i k k J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭并且12,,,s λλλ 中有一些可以相等．例如，矩阵11000010000004000000100000100000i i i ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭是一个Jordan 形矩阵．容易验证，i n 阶Jordan 块i J 具有如下性质：1)i J 具有一个i n 重特征值i λ，对应于特征值i λ仅有一个线性无关的特征向量． 2)i J 的方幂有明显的表示式(1)11()()()()2!(1)!()(),1,2,1()2!()()i n p i p i p i p i i p i p i pi p i p i p i f f f f n f f J p f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎪=='' ⎪⎪⎪⎪' ⎪⎪⎝⎭其中()p p f λλ=． 3)i J 的不变因子为11()()1,()()i i i n n n i d d d λλλλλ-====- ．从而i J 的初等因子为()i n i λλ-．设12(,,,)s J diag J J J =是Jordan 形矩阵，其中i J 为形如(1)的Jordan 块．J 的特征矩阵为11(,,)sn n s E J diag E J E J λλλ-=--由定理11知Jordan 形矩阵J 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- ．可见，Jordan 形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan 块的初等因子组成，而Jordan 块被它的初等因子惟一决定，因此，Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块排列的次序外被它的初等因子惟一决定．定理15 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵相似，这个Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序是被矩阵A 惟一决定的．证设A 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- (2)其中12,,,s λλλ 可能有相同的，1,,s n n 也可能有相同的．每一个初等因子()i n i λλ-对应于一个Jordan 块 11,1i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1,2,i s = (3) 这些Jordan 块构成一个Jordan 形矩阵12(,,,)s J diag J J J = (4)其初等因子也是(2)．因为J 与A 有相同的初等因子，由定理14知J 与A 相似．Jordan 形矩阵(3)称为矩阵A 的Jordan 标准形．若有另一个Jordan 形矩阵'J 与A 相似，则'J 与A 有相同的初等因子．因此，J '与J 除去其中Jordan 块排列的次序外是相同的，这就证明了惟一性．利用矩阵在相似变换下的Jordan 标准形，可得线性变换的结构．定理16 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵．证在V 中任取一组基12,,,n εεε ，设线性变换A 在这组基下的矩阵是A ．由定理15知，存在可逆矩阵P ，使得1P AP J -=为Jordan 形矩阵．令1212(,,,)(,,,)n n P ηηηεεε= ．则线性变换A 在基12,,,n ηηη 下的矩阵是1P AP J -=为Jordan 形矩阵．如果1i n =，则i i J λ=是一阶Jordan 块，当矩阵A 的Jordan 标准形中的Jordan 块都是一阶块时，A 的Jordan 标准形就是对角矩阵．因为一阶Jordan 块的初等因子是一次的，所以对角矩阵的初等因子都是一次的．由此得定理17 设n n A C ⨯∈，则A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的．例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形．解因为21261001301011400(1)E A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 的初等因子为1λ-，2(1)λ-．故A 的Jordan 标准形为100011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由定理15知，对任意的n 阶矩阵A ，存在n 阶可逆矩阵P ，使得1P AP J -=为Jordan 标准形．下面介绍求变换矩阵P 的方法．先看一个例子．例2 求化矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为Jordan 标准形的变换矩阵．解由例1知，存在3阶可逆矩阵P 使得1100011001P AP J -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭．记123(,,)P p p p =，则得123123100(,,)(,,)011001Ap Ap Ap p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．比较上式两边得1122323,,.Ap p Ap p Ap p p =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 由此可见，12,p p 是A 的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量．从方程组()0E A x -=，可求得两个线性无关的特征向量131,001ξη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．可取1p ξ=．但不能简单地取2p η=，因为2p 的选取应保证非齐次线性方程组32()E A p p -=-有解．由于,ξη的线性组合仍是()0E A x -=的解，因此我们选取212p k k ξη=+，其中待定常数12,k k 只要保证1p 和2p 线性无关，且使得32()E A p p -=-有解即可．因为2121212(3,,)T p k k k k k k ξη=+=-+，所以选取12,k k 使得方程组11221322263113113x k k x k x k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，容易看出，当12k k =时方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-，其中1k 是任意非零常数．取11k =，可得23221,011p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．于是122110011P -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭使得1100011001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即P 为所求的变换矩阵．一般地，设n n A C ⨯∈，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得121s J J PA P J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， (5) 其中i J 为形如(3)式的Jordan 块，记12(,,,)s P P P P = (6)其中in n i P C⨯∈．由(5)式和(6)式得 121122(,,,)(,,,)s s s AP AP AP PJ P J P J = ．比较上式两边得,1,2,,i i i AP PJ i s == (7) 记()()()12(,,,)i i i i i n P p p p = ，由(7)式可得()()11()()()221()()()1,,ii i i i i i i i i i i i n i n n Ap p Ap p p Ap p p λλλ-⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ 由上式可见，()1i p 是矩阵A 对应于特征值i λ的特征向量，且由()1i p 可依次求得()()2,,i i i n p p ．由例2可知，特征向量()1i p 的选取应保证()2i p 可以求出，类似地()2i p 的选取(因为()2i p 的选取一般不惟一，只要适当选取一个即可)也应保证()3i p 可以求出，依次类推，并且使()()()12,,ii i i np p p 线性无关．§3.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式设A 为任意n 阶矩阵，其特征多项式为12121()det()n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ ．矩阵A 与其特征多项式之间的关系有代数学上著名的哈密顿－凯莱定理．定理18(Hamilton －Cayley 定理) 设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =．证考虑特征矩阵E A λ-的伴随矩阵*()E A λ-，其元素至多是λ的1n -次多项式，则*()E A λ-可表示为*12121()n n n n E A C C C C λλλλ----=++++ ，其中，12,,,n C C C 都是n 阶数字矩阵．因为*()()()E A E A f E λλλ--=，即12121()()n n n n E A C C C C λλλλ----++++ 111n n n n E a E a E a E λλλ--=++++ ，比较两边λ的同次幂的系列矩阵，得1C E =， 211C AC a E -=， 322C AC a E -=，…11n n n C AC a E ---=， n n AC a E -=．用1,,,,n n A A A E - 分别左乘上面各式的两端，再累加，得12121321()()()n n n n n n A C A C AC A C AC A C AC AC ---+-+-++--111()n n n n A a A a A a E f A --=++++= ．因为上式左边为零矩阵，所以()0f A =．定义11 设A 为n 阶矩阵，如果非零多项式()ϕλ使()0A ϕ=，则称()ϕλ为A 的一个化零多项式．对任意n 阶矩阵A ，()f λ是A 的特征多项式，由定理18知()f λ为A 的化零多项式．设()f λ为A 的化零多项式，()g λ是任意多项式，则()()g f λλ也是A 的化零多项式．因此，任意n 阶矩阵A 的化零多项式总存在，并且A 的化零多项式有无穷多个．定义12 n 阶矩阵A 的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式．由定理18知，任意n 阶矩阵A 的最小多项式存在且次数不超过n ．定理19 设A 是n 阶矩阵，则1)A 的最小多项式()m λ能整除A 的任一化零多项式()ϕλ，特别地，()m λ能整除A 的特征多项式()f λ；2)A 的最小多项式()m λ的零点是A 的特征值；反之，A 的特征值是()m λ的零点；3)A 的最小多项式是惟一的．证 1)设()m λ是A 的最小多项式，()ϕλ是A 的任一化零多项式，由多项式的带余除法，有()()()()q m r ϕλλλλ=+其中(),()q r λλ是多项式，()0r λ=或者()0r λ≠但(())(())r m λλ∂<∂．因此()0r λ=，否则与()m λ是A 的最小多项式矛盾，于是()|()m λϕλ．2)设()f λ是A 的特征多项式，由1)知()()()f q m λλλ=，其中()q λ是一个多项式，因此()0m λ=的根必为()0f λ=的根，即A 的特征值．反过来，设0λ是A 的任一特征值，相应的特征向量为0ξ≠，即0A ξλξ=则0()()m A m ξλξ=．因为()0,0m A ξ=≠，所以0()0m λ=，即0λ是()0m λ=的根．3)设A 有两个最小多项式12(),()m m λλ，则它们的次数相同，如果12()()m m λλ≠，则12()()()0m m m λλλ=-≠，且1(())(())m m λλ∂<∂．设()m λ的首项系数为a ，则3()()m m aλλ=是首项系数1的多项式且31(())(())m m λλ∂<∂．由于31211()()(()())0m A m A m A m A a a==-=，于是，3()m λ是A 的化零多项式，这与1()m λ是A 的最小多项式的假设矛盾．因此A 的最小多项式是惟一的．定理20 相似的矩阵具有相同的最小多项式．证设n 阶矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．对任意多项式()g λ恒有1()()g B P g A P -=．可见，A 与B 有相同的化零多项式，从而它们具有相同的最小多项式．例1 求Jordan 块1010i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式．解因为i J 的特征多项式()()i n i f λλλ=-，则由定理19知i J 的最小多项式()m λ具有如下形式()()k i m λλλ=-，其中正整数i k n ≤．但当i k n <时0100()()0100kki i i m J J E λ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，而i k n =时()0i m J =，因此()()i n i m λλλ=-．定理21 分块对角矩阵12(,,,)s A diag A A A = 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式．证设i A 的最小多项式为()(1,2,,)i m i s λ= ．由于对任意多项式()ϕλ1()((),,())s A diag A A ϕϕϕ= ．如果()ϕλ为A 的化零多项式，则()ϕλ必为(1,,)i A i s = 的化零多项式，从而()|()(1,2,,)i m i s λϕλ= ，因此()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的公倍式．反过来，如果()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的任一公倍式，则()0(1,,)i A i s ϕ== ，从而()0A ϕ=．因此，A 的最小多项式为1(),,()s m m λλ 的公倍式中次数最低者，即它们的最小公倍式．定理22 设n n A C ⨯∈，则A 的最小多项式为A 的第n 个不变因子()n d λ．证由定理15知A 相似于Jordan 标准形1(,,)s J diag J J = ，其中i J 为形如§3.6中(3)式的Jordan 块．由定理13和定理20知A 与J 有相同的不变因子和最小多项式．又由定理21知J 的最小多项式为1,,s J J 的最小多项式的最小公倍式，而i J 的最小多项式为()(1,2,,)i n i i s λλ-= ，且1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ---的最小公倍式是J 的第n 个不变因子()n d λ，因此，A 的最小多项式就是A 的第n 个不变因子()n d λ．由定理17和定理22可得如下定理．定理23 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点．例2如果n 阶矩阵A 满足2A A =，则称A 为幂等矩阵．证明幂等矩阵A 一定相似于对角矩阵．证令2()ϕλλλ=-，则()ϕλ是A 的化零多项式，由定理19知A 的最小多项式()m λ整除，()ϕλ所以()()m λϕλ=．因为()0ϕλ=没有重根，据定理23知A 相似于对角矩阵．例3 设A 是n 阶幂等矩阵，证明 1)A H 与A E -也是幂等矩阵； 2)A 的特征根只能是0和1；3)有可逆矩阵P ，使1(1,...,1,0,...,0)P AP diag -=； 4)秩A =迹A ．证 1)依定义直接验证即知．2)设λ为A 的任一特征根，α是A 相应于λ的特征向量．则有 λαα=A ．又有()αλαλλαααλα22=====A A A A ．于是 ()02=-αλλ．因0≠α，故0=λ或1=λ．3)设A 的若当标准形为J ，则必有可逆矩阵P ，使121111000s J J P AP J J -*⎛⎫ ⎪* ⎪⎪⎛⎫⎪⎪*⎪⎪=== ⎪ ⎪*⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪* ⎪ ⎪⎝⎭． (1) 上式中每个i J 都是特征根1或0相应的若当小块，且与特征根1相应的小块垒排在前头．由2A =A ，可推出J J =2，进而知i i J J =2，1,2,...,i s = ．由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----k k k k k k k kk k k k kkC C C C C λλλλλλλλλλλ1122112211111．对于2k =，λ为0或1时，欲使上式成立只有若当块的阶数为1．于是(1)式中所有*全为零．便有1(1,...,1,0,...,0)P AP J diag -==．4)若设秩A r =，则J 的主对角元中应有r 个1，其余为0．由相似矩阵迹数相等，可知迹A =迹J =r =秩A ．习题三1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ352223 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000210032104321． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式． 7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．。

第三章矩阵的相似标准形

第三章矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵.但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形一、λ矩阵的基本概念定义 3.1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式，以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为多项式矩阵或λ矩阵，多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数，数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯.为了与λ矩阵相区别，我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是λ矩阵的特例.数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵.如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ，则()A λ可表示为1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ，其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵，并且0k A ≠，例如22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．如果另一个m n ⨯的λ矩阵()B λ可表示为1110()λλλλ--=++++ l l l l B B B B B ，则当且仅当k l =，(0,1,,)j j A B j k == 时()A λ与()B λ相等，记为()()A B λλ=. 由于λ的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法.因此，我们可以同样定义λ矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且λ矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律.矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n 阶λ矩阵的行列式，一般说来λ矩阵的行列式是λ的多项式，λ矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个n 阶λ矩阵()A λ与()B λ，有()()()()A B A B λλλλ=有了λ矩阵行列式的概念，可以同样定义λ矩阵的子式、代数余子式.定义2 设()[]m n A P λλ⨯∈，如果()A λ中有一个(1min{,})≤≤r r m n 阶子式不为零，而所有1r +阶子式(如果有的话)全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())rank A r λ=.规定零矩阵的秩为0.例1 设A 是n 阶数字矩阵，则λ-E A 是λ的n 次多项式，因此A 的特征矩阵λ-E A 的秩为n ，即λ-E A 总是满秩的.定义3 设()[]λλ⨯∈n n A P ，如果存在一个n 阶λ矩阵()B λ，使得()()()()λλλλ==A B B A E ， (1)则称λ矩阵()A λ是可逆的，并称()B λ为()A λ的逆矩阵，记作1()λ-A ．容易证明：如果n 阶λ矩阵()A λ可逆，则它的逆矩阵是唯一的.定理1 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ是可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零常数.证必要性：设()A λ可逆，则存在n 阶λ矩阵()B λ满足(1)，从而()()1A B λλ=．因为()A λ与()B λ都是λ的多项式，则由上式可知()A λ与()B λ都是零次多项式，故()A λ是非零常数. 充分性：设()A d λ=是非零常数，*()A λ是()A λ的伴随矩阵，则*1()A dλ是一个n 阶λ矩阵，并且**11()()()()λλλλ==A A A A E d d，因此()A λ可逆，并且1*1()()λλ-=A A d．二、λ矩阵的初等变换与等价与数字矩阵类似，对于λ矩阵，也可进行初等变换.定义4 下列三种变换称为λ矩阵的初等变换.(1) 互换λ矩阵的两行(列)；(2) 用非零常数k 乘以λ矩阵的某一行(列)；(3) 将λ矩阵的某一行(列)的()ϕλ倍加到另一行(列)，（其中()ϕλ是λ的多项式）.对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种λ矩阵的初等矩阵(,),(()),(,())P i j P i k P i j ϕ，即11011(,)11011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭iP i j j ，11(())11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P i k k i ，11()(,())11ϕλϕ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭i P i c j ．与数字矩阵的情形完全一样，对一个m n ⨯λ矩阵()A λ作一次初等行变换相当于在()A λ左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对()A λ作一次初等列变换相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等矩阵.容易证明：初等矩阵都是可逆的，并且1111(,)(,),(())(()),(,())(,())P i j P i j P i k P i k P i j P i j ϕϕ----===-．为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：[,]i j 表示第,i j 行(列)互换位置；[()]i k 表示用非零常数k 乘第i 行(列)；[()]i j ϕ+表示将第j 行(列)的()ϕλ倍加到第i 行(列)．定义5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ经过有限次初等变换化为()B λ，则称λ矩阵()A λ与()B λ等价，记为()()A B λλ≅由初等变换的可逆性可知，等价是λ矩阵之间的一种等价关系.利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理3.2.2 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件为存在m 阶初等矩阵1(),,()t P P λλ 与n 阶初等矩阵1(),,()t Q Q λλ 使得111()()()()()()t A P P B Q Q λλλλλλ=与数字矩阵不同，具有相同秩的两个λ矩阵未必等价，例如22(),()02A B λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2(),()4A B λλλλ==，所以()A λ与()B λ的秩均为2，因为初等变换是可逆的，则由定理 3.2.2知，两个等价的λ方阵的行列式只能相差一个非零常数，故()A λ与()B λ不等价，因此，秩相等不是λ矩阵等价的充分条件.3.2.3 λ矩阵在等价下的标准形现在我们讨论λ矩阵在初等变换下的标准形，为此，先证明一个引理. 引理3.2.1 设λ矩阵()(())ij A a λλ=的左上角元素11()0a λ≠，并且()A λ中至少有一个元素不能被11()a λ整除，则存在一个与()A λ等价的λ矩阵()(())ij B b λλ=使得11()0b λ≠且1111(())(())b a λλ∂<∂.证明：根据()A λ中不能被11()a λ整除的元素所在的位置，分三种情形来讨论.(1)若在()A λ的第一列中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，则由定理3.1.1知，存在多项式()q λ和()r λ使得111()()()()i a q a r λλλλ=+其中()0r λ≠且11(())(())r a λλ∂<∂，对()A λ作两次初等行变换，首先将()A λ第1行的()q λ-倍加到第i 行，这时第i 行第1列位置的元素是()r λ；然后将第1行与第i 行互换即得所要求的λ矩阵()B λ.(2)在()A λ的第一行中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，这种情形的证明与(1)类似.(3)()A λ的第一行与第一列中的元素都能被11()a λ整除，但()A λ中有一个元素()ij a λ(1,1)i j >>不能被11()a λ整除，因为111()|()j a a λλ，所以存在一个多项式()ϕλ使得111()()()i a a λϕλλ=，对()A λ作两次初等列变换，首先将()A λ第1列的()ϕλ-倍加到第j 列，这时第1行第j 列位置的元素是0，第i 行第j 列位置的元素变为1()()()ij i a a λϕλλ-；然后把j 列的1倍加到第1列，此时第1行第1列位置的元素仍是11()a λ，而第i 行第1列位置的元素变为1()[1()]()ij i a a λϕλλ+-，它不能被11()a λ整除，这就化为已经证明的情形(1).定理 3.2.3 设()(())[]m n ij A a P λλλ⨯=∈，且(())ran A r λ=，则()A λ等价于如下“对角形”矩阵.12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.2.3) 其中()(1,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(i i d d i λλ+= 1,,1)r - .证明：若0r =，则()A λ为零矩阵，结论显然成立，现设0r >，且()A λ= (())ij a λ的左上角元素11()0a λ≠，否则可通过行、列交换做到这一点，由引理3.1.1知，()A λ进行一系列初等变换可得一个与()A λ等价的λ矩阵()(())ij B b λλ=，并且11()b λ是首项系数为1的多项式，11()b λ整除()B λ的全部元素，即有11()()(),1,,;1,,ij ij b q b i m j n λλλ===则可对()B λ作一系列初等变换，使得第1行、第1列除对角元11()b λ外全为零，即11()000()()0d B A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1111()(),()d b A λλλ=是(1)(1)m n -⨯-矩阵，因为1()A λ的元素是()B λ中元素的组合，而11()b λ(即1()d λ)整除()B λ的所有元素，所以1()d λ整除1()A λ的所有元素.如果1()0A λ≠，则对1()A λ重复上述过程，进而把矩阵化成122()000()000()00d d A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中12(),()d d λλ都是首项系数为1的多项式，并且122()|(),()d d d λλλ整除2()A λ的全部元素，继续上述过程，最后把()A λ化成所要求的形式. 定理 3.2.3中的“对角形”矩形(3.2.3)称为λ矩阵()A λ在等价下的标准形Smith 标准形.定义3.2.6 λ矩阵()[]m n A P λλ⨯∈的Smith 标准形“主对角线”上非零元12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子.例3.2.2 用初等变换把λ矩阵22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭化为标准形解222[31(1)][13(1)]222[3(1)][32(1)][21()][31()]2211()0011010010000000A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-++-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭例3.2.3 用初等变换将λ矩阵100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭[43()]33[3,4]41000100001000100001()001()000000()a a a a a λλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3[43(())][3(1)]4111()a a λλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭一般地1111()m m na a a a λλλλ⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ §3.3 λ矩阵的行列式因子和初等因子本节讨论λ矩阵Smith 标准形的惟一性，并给出两个λ矩阵等价的条件.因此，需要引进λ矩阵的行列式因子.定义3.3.1 设()[]m n A P λλ⨯∈且(())rank A r λ=，对于正整数(1)k k r ≤≤，()A λ的全部k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ.例3.3.1 求22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的各项行列式因子.解：由于(1,)1λλ-=，所以1()1D λ=又化为标准形[1,2]100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[21()]1000()10001000a a a a a λλλλλ+---⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭ 2[1(1)][21()]10000()10001000a a a a λλλλ-+-+⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[2,3]100001()0001000a a a λλλ⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[32()]3100001()000()1000a a a a λλλλ+-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭23[32(()][2(1)]1000010000()1000a a a λλλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭ 2211(1)()λλλλλϕλλλ-+=--+=， 23221(1)()1λλλλϕλλλ-+=--=+故(12((),())ϕλϕλλ=其余的二阶子式(还有7个)都包含因子λ，所以2()D λλ=最后，由于32det(())A λλλ=--，所以323()D λλλ=+行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的.定理3.3.1 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子. 证明：只要证明λ矩阵经过一次初等变换后，其秩与行列式因子不变. 设λ矩阵()A λ经过一次初等变换后变成()B λ，()f λ和()g λ分别是()A λ和()B λ的k 阶行列式因子，针对3种初等变换来证明()()f g λλ=.(1)交换()A λ的某两行得到()B λ，这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者是()A λ的某个k 阶子式的1-倍.因此()f λ是()B λ和k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ.(2)用非零数α乘()A λ的某一行得到()B λ，这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的每个k 阶子式，或者等于()A λ的每个k 阶子式的α倍，因此()f λ是()B λ和k 阶子式公因子，从而()|()f g λλ.(3)将()A λ第j 行的()ϕλ倍加到第i 行得到()B λ，这时，()B λ中那些包含第i 行与第j 行的k 阶子式和那些不包含第i 行的k 阶子式等于()A λ中对应的k 阶子式；()B λ中那些包含第i 行但不包含第j 行的k 阶子式等于()A λ中对应的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的()ϕλ±倍之和，也就是()A λ的两个k 阶子式组合，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因式，从而()|()f g λλ. 由初等变换的可逆性，()B λ也可以经过一次初等行变换变成()A λ，由上面的讨论，同样有()|()g f λλ，所以()()f g λλ=.对于初等列变换，可以完全一样地讨论，总之，如果()A λ经过一次初等变换变成()B λ，则()()f g λλ=.当()A λ的全部k 阶子式为零时，()0f λ=，则()0g λ=，()B λ的全部k 阶子式也为零；反之亦然，因此()A λ与()B λ既有相同的行列式因子，又有相同的秩.由定理3.3.1知，任意λ矩阵的秩和行列式因子与其Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的.设λ矩阵()A λ的Smith 标准形为12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.3.1) 其中()(1,i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(1,,1)i i d d i r λλ+=- . 容易求得()A λ的各阶行列式因子如下：11212212()()()()()()()()()r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (3.3.2) 于是有12231112211(1)()|(),()|(),,()|()(2)()(),()()/(),,()()/()r r r r r D D D D D D d D d D D d D D λλλλλλλλλλλλλλ--⎧⎨===⎩ (3.3.3) 从而得如下结论：定理3.3.2 λ矩阵()A λ的Smith 标准形是惟一的.证明：因为()A λ的各阶行列式因子是惟一的，则由(3.3.3)知()A λ的不变因子也是惟一的，因此()A λ的Smith 标准形是惟一的.应用λ矩阵的Smith 标准形，可以证明如下定理.定理3.3.3 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ和同一Smith 标准形等价，因此()A λ与()B λ等价.一般说来，应用行列式因子求不变因子比较复杂，但对一些特殊的λ矩阵，先求行列式因子再求不变因子反而简单.例3.3.2 求100()100m ma a A a λλλλ⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的行列式因子和不变因子.解：由于()A λ的一个1m -阶子式111(1)1m a a λλ----=---故1()1m D λ-=，由(3.3.3)的第一式，即行列式因子的“依次”整除性，有122()()()1m D D D λλλ-====而()()m m D a λλ=-，因此()A λ的不变因子为121()()()1,()()m m m d d d d a λλλλλ-=====-由此可知()A λ的标准形为1()1()m m mA a λλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪-⎝⎭ 定理3.3.4 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积.证明：必要性：设()A λ为一n 阶可逆矩阵，则由定理3.2.1知()0A d λ=≠，从而()A λ的行列式因子为12()()()1n D D D λλλ====于是()A λ的不变因子为12()()()1n d d d λλλ====因此()A λ与单位矩阵等价，即存在一系列初等矩阵1(),,(),t P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得1111()()()()()()()()()l t l t A P P IQ Q P P Q Q λλλλλλλλλ==充分性.设()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积，即存在一系列初等矩阵1(),,(),t P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得11()()()()()l t A P P Q Q λλλλλ=则()A λ的行列式是一个非零常数，因此由定理3.2.1知()A λ可逆. 利用定理3.2.2和定理3.3.4容易证明下面定理.定理3.3.5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是存在两个可逆λ矩阵()[]m n P P λλ⨯∈与()[]n n Q P λλ⨯∈使得()()()()B P A Q λλλλ=.下面再引进λ矩阵的初等因子，设λ矩阵()A λ的不变因子为1(),d λ 2(),,()r d d λλ ，在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：111122212212112212212()()()()()()()()()()()()ssrs r r e e e s e e e s e e e s d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=---⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ (3.3.4) 其中1,,s λλ 是互异的复数，ij e 是非负整数，因为1()|()(1,,1)i i d d i r λλ+=- ，所以ij e 满足如下关系112111222212000r r s s rse e e e e e e e e ≤≤≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎪⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩ 定义3.3.2 在(3.3.4)式中，所有指数大于零的因子(),0,1,,,1,,)ij eij e i r j s λλ->==称为λ矩阵()A λ的初等因子.例如，若λ矩阵()A λ的不变因子为 122232334()1()(1)()(1)(1)()(1)(1)(2)d d d d λλλλλλλλλλλλλ=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩ 则()A λ的初等因子为22323,,,1,(1),(1),(1),(1),2λλλλλλλλλ---++-. 由定义3.3.2知，若给定λ矩阵()A λ的不变因子，则可惟一确定其初等因子；反过来，如果知道一个λ矩阵的秩和初等因子，则也可惟一确定它的不变因子，事实上λ矩阵()A λ的秩r 确定了不变因子的个数，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必在()r d λ的分解中，方次次高的必在1()r d λ-的分解中，如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的.例如，若已知56⨯λ矩阵()A λ的秩为4，其初等因子为22333,,,1,(1),(1),(1),()i λλλλλλλλ---+-则可求得()A λ的不变因子23334()(1)()()d i i λλλλλ=-+-23()(1)d λλλ=-2()(1)d λλλ=-1()1d λ=从而()A λ的Smith 标准形为223231000000(1)000000(1)00000(1)(1)0000000λλλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭由定期3.3.3以及不变因子与初等因子之间的关系容易导出如下定理. 定理 3.3.6 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈.则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子.对块对角矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 不能从()B λ与()C λ的不变因子求得()A λ的不变因子，但是能从()B λ与()C λ的初等因子求得()A λ的初等因子.()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3.3.5) 为块对角矩阵,则()B λ与()C λ的初等因子的全体是()A λ的全部初等因子. 证明:将()B λ与()C λ分别化为Smith 标准形1()()()00B r b b B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1()()()00C r c c C λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1(()),(()),(),,()B B C r r r a n k B r r a n k C b b λλλλ== 与1(),,()C r c c λλ 分别为()B λ与()C λ的不变因子,则(())B C rank A r r r λ==+把()i b λ和()i c λ分解为不同的一次因式的方幂的乘积1212()()()(),1,,i i is b b b i s B b i r λλλλλλλ=---=1212()()()(),1,,j j js c c ci s C c i r λλλλλλλ=---=则()B λ与()C λ的初等因子分别为 1212()()(),1,,i i is b b b s B i r λλλλλλ---=1212()()(),1,,j j js c c cs C i r λλλλλλ---=中非常数的多项式我们先证明()B λ与()C λ的初等因子是()A λ的全部初等因子,不失一般性,仅考虑()B λ与()C λ中只含1λλ-的方幂的那些初等因子,将1λλ-的指数.1111211121,,,,,,,B C r r b b b c c c按由小到大的顺序排列，记为120r j j j ≤≤≤≤ ，由(3.3.5)可知，对()B λ与()C λ进行初等变换实际上是对()A λ进行初等变换，于是11()()()()()00B C r r b b c A c λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12111212()()()()()()00r j j j λλϕλλλϕλλλϕλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中多项式1(),,()r ϕλϕλ 都不含因式1λλ-.设()A λ的行列式因子和不变因子分别为12(),(),,()r D D D λλλ 和12(),(),,()r d d d λλλ ，则在这些行列式因子中因子1λλ-的幂指数分别为111211,,,,r ri i i i j j j j j -==+∑∑ ，而由行列式因子与不变因子的关系(3.3.3)知，12(),(),,()r d d d λλλ 中因子1λλ-的幂指数分别为121,,,,r r j j j j - 因此()A λ中与1λλ-相应的初等因子是1(),0,1,,i j j i r λλ->=也就是()B λ、()C λ中与1λλ-相应的全部初等因子.对23,,,r λλλλλλ--- 进行类似的讨论，可得相同结论，于是()B λ、()C λ的全部初等因子都是()A λ的初等因子.下面证明，除()B λ、()C λ的初等因子外，()A λ再没有其他的初等因子. 因为()r D λ为()A λ的所有初等因子的乘积，而11()()()()()B C r r r D b b c c λλλλλ=如果()k a λ-是()A λ的初等因子，则它必包含在某个()(1,,)i B b i r λ= 或()j c λ(1,,C j r = )中，即()A λ的初等因子包含在()B λ与()C λ的初等因子中，因此，除()B λ、()C λ的全部初等因子外，()A λ再没有别的初等因子.定理3.3.7可推广为定理3.3.8 若λ矩阵()A λ等价于块对角阵12()()()()t A A A A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭则122(),(),,()t A A A λλλ 各个初等因子的全体就是()A λ的全部初等因子. 对t 应用数学归纳法，请读者自行证明.例3.3.3 求λ矩阵22000000()00(1)10022A λλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎪= ⎪++ ⎪ ⎪--⎝⎭的初因子，不变因子和标准形解：记22123(1)1(),(),()22A A A λλλλλλλλλ⎛⎫++=+== ⎪--⎝⎭，则 123()00()0()000()A A A A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对于3()A λ，其初等因子为,1,1λλλ-+，利用定理3.3.8，可得()A λ的初等因子,,,1,1,1λλλλλλ-++因为()A λ的秩为4，故()A λ的不变因子为4321()(1)(1),()(1),,()1d d d d λλλλλλλλλ=-+=+==因此()A λ的Smith 标准形为1000000()00(1)0000(1)(1)A λλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪+ ⎪+-⎝⎭ §3.4 矩阵相似的条件设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵I A λ-是λ矩阵，它是研究数字矩阵的重要工具，应用特征矩阵可以给出两个n 阶数字矩阵A 与B 之间相似性的判断准则，为此，我们先证明两个引理.引理3.4.1 设,A B 是两个n 阶数字矩阵，如果存在n 阶数字矩阵,P Q 使得()I A P I B Q λλ-=- (3.4.1)A 与B 相似证明比较(3.4.1)两边λ的同次幂的系数矩阵，得,PQ I A PBQ ==由此11,Q P A PBP --==，故A 与B 相似.引理3.4.2 设A 是n 阶非零数字矩阵，()U λ与()V λ是n 阶λ矩阵，则存在n 阶λ矩阵()Q λ与()R λ以及n 阶数字矩阵0U 及0V ，使得0()()()U I A Q U λλλ=-+ (3.4.2)0()()()V R I A V λλλ=-+ (3.4.3)证明(3.4.2)与(3.4.3)的证明类似，这里仅证(3.4.2)式，把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++其中01,,,m D D D 都是n 阶数字矩阵，并且00D ≠(1)若0m =，则取()0Q λ=及00U D =，它们满足要求，并且(3.4.2)成立.(2)若0m >，令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++其中011,,,m Q Q Q - 是待定的n 阶数字矩阵，由1010()()()m m I A Q Q Q AQ λλλλ--=+-+1121()()m k k k m m m Q AQ Q AQ AQ λλ-----+-++--取0011022111201,,,,m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ ----==+=+=+=+ 则(3.4.2)成立.定理 3.4.1 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵I A λ-和I B λ-.充分性设I A λ-和I B λ-等价，由定理 3.3.5知存在可逆的λ矩阵(),()U V λλ使()()()I A U I B V λλλλ-=-由引理3.4.2，存在λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U I A Q U λλλ=-+0()()()V R I A V λλλ=-+则(3.4.4)式改写为1()()()()U I A I B V λλλλ--=-1()()()()I A V U I B λλλλ--=-将()V λ的表达式(3.4.6)代入(3.4.7)，得10[()()()]()()U I B R I A I B V λλλλλ----=-因为上式右边的λ的次数1≤，所以1()()()U I B R λλλ---是数字矩阵，记为T ，即1()()()T U I B R λλλ-=-- (3.4.9)0()()T I A I B V λλ-=-T (3.4.10)由(3.4.9)，并利用(3.4.5)和(3.4.8)，得()()()()I U T U I B R λλλλ=+-1()()()()U T I A V R λλλλ-=+-10[()()]()()()I A Q U T I A V R λλλλλ-=-++-10()[()()()]U T I A Q T V R λλλλ-=+-+上式右边第二项必为零；否则右边λ的次数至少是1，等式不可能成立，因此0I U T =，从而0,U T 可逆，并且10T U -=，由(3.4.10)得00()I A U I B V λλ-=-由引理3.4.1知A 和B 相似定义3.4.1 设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵I A λ-的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵A 的行列式因子，不变因子和初等因子. 由定理3.3.3和定理3.4.1立即得定理3.4.2 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子.由例3.2.1，定理3.3.6和定理3.4.1得定理3.4.3 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的等初因子. §3.5 矩阵的Jordan 标准形定义3.5.1 形状为1010i ii i i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3.5.1) 的矩阵称为Jordan 块,其中i λ为复数，由若干个Jordan 块为对角块组成的块对角矩阵称为Jordan 形矩阵例如，矩阵110000010000004000000100000100000i i i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 是一个Jordan 形矩阵.容易验证，i n 阶Jordan 块i J 具有如下性质：(1)i J 具有一个i n 重特征值i λ，对应于特征值i λ仅有一个线性无关的特征向量.(2)i J 的乘幂有明显的表示式(1)11()()()2!(1)!()(),1,2,1()2!()()i n p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i f f f f n f f J p f f f λλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪=='' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎝⎭其中()p p f λλ=(3)i J 的不变因子为11()()1,()()i i i n n n i d d d λλλλλ-====-从而i J 的初等因子为()i n i λλ-设12(,,,)s J diag J J J =是Jordan 形矩阵，其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，J 的特征矩阵为11(,,)sn n s I J diag I J I J λλλ-=-- 由定理3.3.8知Jordan 形矩阵J 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ---可见，Jordan 形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan 块的初等因子组成，而Jordan 块被它的初等因子惟一决定，因此，Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块排列的次序外被它的初等因子惟一决定.定理3.5.1 设n n A C ⨯∈，则A 与一个Jordan 形矩阵相似，并且Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序是被矩阵A 惟一决定的.12(),(),,()s n s λλλλλλ--- (3.5.2)其中1,,s λλ 可能有相同的，1,,s n n 也可能有相同的，每个初等因子()i n i λλ-对应于一个Jordan 块101,1,,1i ii i i i n n J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 这些Jordan 块构成一个Jordan 形矩阵12(,,,)s J diag J J J = (3.5.3) 其初等因子也是(3.5.2)，因为J 与A 有相同的初等因子，由定理3.4.3知J 与A 相似，Jordan 形矩阵(3.5.3)称为矩阵A 的Jordan 标准形. 若有另一个Jordan 形矩阵J 与A 相似，则J 与A 有相同的初等因子，因此，J '与J 除去其中Jordan 块排列的次序外是相同的，这就证明了惟一性. 利用矩阵在相似变换下的Jordan 标准形，可得线性变换的结构. 定理 3.5.2 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基使得A 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵.证明在V 中任取一组基12,,,n εεε ，设线性变换A 在这组基下的矩阵是A ，由定理3.5.1知，存在可逆矩阵P 使得1P AP J -=为Jordan 形矩阵，令1212(,,,)(,,,)n n P εεεεεε=则线性变换，A 在基12,,,n εεε 下的矩阵是1P AP J -=为Jordan 形矩阵如果1i n =，则i i J λ=是一阶Jordan 块，当矩阵A 的Jordan 标准形中的Jordan 块都是一阶块时，A 的Jordan 标准形就是对角矩阵，因为一阶Jordan 块的初等因子是一次的，所以对角矩阵的初等因子都是一次的，由此得定理3.5.3 设n n A C ⨯∈，则A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的.例3.5.1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形解因为21261001301011400(1)I A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则A 的初等于因子为1λ-，2(1)λ-，故A 的Jordan 标准形为100011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由定理3.5.1知，对任意的n 阶矩阵A ，存在n 阶可逆矩阵P 使得1P AP J -=为Jordan 标准形，下面介绍求变换矩阵P 的方法，先看一下例子. 例3.5.2 求化矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为Jordan 标准形的变换矩阵.解由例3.5.1知，存在3阶可逆矩阵P 使得1100011001P AP J -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭记123(,,)P p p p =，则得123123100(,,)(,,)011001Ap Ap Ap p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭比较上式两边得1122323Ap p Ap p Ap p p =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 由此可见，12,p p 是A 的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量. 从方程组()0I A x -=可求得两个线性无关的特征向量131,001ξη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可取1p ξ=，但不能简单地取2p η=，因此2p 的选取应保证非齐次线性方程组32()I A p p -=-有解，由于,ξη的线性组合仍是()0I A x -=的解，因此我们选取212p k k ξη=+，其中待定常数12,k k 只要保证1p 和2p 线性无关，且使得32()I A p p -=-有解，因为2121212(3,,)T p k k k k k k ξξ=+=-+，所以选取12,k k 使得方程组11221322263113113x k k x k x k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，容易看出，当12k k =时方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-其中1k 是任意非零常数，取11k =，可得23221,011p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是122110011P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使得1100011001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一般地，设n n A C ⨯∈，则存在n 阶可逆矩阵P 使得112s J P AP J J J -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ (3.5.4)其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，记12(,,,)s P P P P = (3.5.5) 其中i n n iP C ⨯∈，由(3.5.4)和(3.5.5)得 121122(,,,)(,,,)s s s AP AP AP PJ P J P J =比较上式两边得,1,,i i i AP PJ i s == (3.5.6) 记()()()12(,,,)i i i i i n P p p p = ，由(3.5.6)可得()()11()()()221()()()1,,j ii i i i i i i i i n i i i n i n n Ap p Ap p p Ap p p λλλ--⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ 由上式可见，()1i p 是矩阵A 对应于特征值i λ的特征向量，且由()1i p 可依次求得()()2,,ji i n p p ，由例3.5.2可知，特征向量()1i p 的选取应保证()2i p 可以求出，类似地()2i p 的选取(因为()2i p 的选取一般不惟一，只要适当选取一个即可)也应保证()3i p 可以求出，依次类推，并且使()()()12,,ii i i n p p p 线性无关. §3.6 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式设A 为任意n 阶矩阵，其特征多项式为12121()det()n n n n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 矩阵A 与其特征多项式之间有如下重要关系.定理3.6.1(Cayley-Hamilton 定理)设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =证明考虑特征矩阵I A λ-的伴随矩阵*()I A λ-，其元素至多是λ的1n -次多项式，则*()I A λ-可表示为*12121()n n n n I A C C C C λλλλ----=++++其中12,,,n C C C 都是n 阶数字矩阵因为*()()()I A I A f I λλλ--=，即12121()()n n n n I A C C C C λλλλ----++++111n n n n I a I a I a I λλλ--=++++比较两边λ的同次幂的系列矩阵，得1C I =211C AC a I -=322C AC a I -=…11n n n C AC a I ---=n n AC a I -=用1,,,,n n A A A I - 分别左乘上面各式，再两边相加，得 12121321()()()n n n n n n A C A C AC A C AC A C AC AC ---+-+-++-- 111()n n n n A a A a A a I f A --=++++=因为上式左边为零矩阵，所以()0f A =定义3.6.1 设A 为n 阶矩阵，如果存在多项式()ϕλ使得()0A ϕ=，则()ϕλ为A 的化零多项式.对任意n 阶矩阵A ，()f λ是A 的特征多项式，由定理3.6.1知()f λ为A 的化零多项式，如果()g λ是任意多项式，则()()g f λλ也是A 的化零多项式.因此，任意n 阶矩阵A 的化零多项式总存在，并且A 的化零多项式有无穷多个.定义 3.6.2 n 阶矩阵A 的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式.由定理3.6.1知，任意n 阶矩阵A 的最小多项式存在且次数不会超过n . 定理3.6.2 设A 是n 阶矩阵，则(1)A 的最小多项式()m λ能整除A 的任一化零多项式()ϕλ，特别地，()m λ能整除A 的特征多项式()f λ；(2)A 的最小多项式()m λ的零点是A 的特征值；反之，A 的特征值是()m λ的零点；(3)A 的最小多项式是惟一的.证明(1)设()m λ是A 的最小多项式，()ϕλ是A 的任一化零多项式，由定理3.1.1有()()()()q m r ϕλλλλ=+其中(),()q r λλ是多项式，并且()0r λ=或者()0r λ≠但(())(())r m λλ∂<∂，因此()0r λ=；否则与()m λ是A 的最小多项式矛盾，于是()|()m λϕλ.(2)设()f λ是A 的特征多项式，由(1)知()()()f q m λλλ=，其中()q λ是一个多项式，因此()0m λ=的根必为()0f λ=的根，即A 的特征值.反过来，设0λ是A 的任一特征值，相应的特征向量为0ξ≠，即0A ξλξ=则0()()m A m ξλξ=因为()0,0m λξ=≠，所以0()0m λ=，即0λ是0()0m λ=的根.(3)设A 有两个最小多项式12(),()m m λλ，则它们的次数相同，如果12()()m m λλ≠，则12()()()0m m m λλλ=-≠且1(())(())m m λλ∂<∂.设()m λ的着项系数为a ，则3()()m m aλλ=是首项系数1的多项式且31(())(())m m λλ∂<∂由于31211()()(()())0m A m A m A m A a a==-= 于是，3()m λ是A 的化零多项式，这与12(),()m m λλ是A 的最小多项式的假设矛盾，因此A 的最小多项式是惟一的.定理3.6.3 相似的矩阵具有相同的最小多项式.证明设n 阶矩阵A 与B 相似，则存在非奇异矩阵P 使得1B P AP -=对任意多项式()g λ恒有1()()g B P g A P -=可见，A 与B 有相同的化零多项式，从而它们具有相同的最小多项式. 例3.6.1 求Jordan 块1010i ii i i i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式解：因为i J 的特征多项式()()i n i f λλλ=-，则由定理3.6.2知i J 的最小多项式()m λ具有如下形式()()k i m λλλ=-其中正整数i k n ≤，但当i k n <时0100()()0100k i i i m J J I λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此()()i n i m λλλ=-定理3.6.4 块对角矩阵1(,,)s A diag A A = 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式.证明设i A 的最小多项式为()(1,,)i m i s λ= ，由于对任意多项式()ϕλ1()((),,())s A dia A A ϕϕϕ=如果()ϕλ为A 的化零多项式.则()ϕλ必为(1,,)i A i s = 的化零多项式，从而()|()(1,,)i m i s λϕλ= ，因此()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的公倍式.反过来，如果()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的任一公倍式，则()0(1,,)i A i s ϕ== ，从而()0A ϕ=，因此，A 的最小多项式为1(),,()s m m λλ 的公倍式中次数最低者，即它们的最小公倍式.定理3.6.5 n n A C ⨯∈，则A 的最小多项式为A 的第n 个不变因子()n d λ. 证明由定理3.5.1知A 相似于Jordan 标准形1(,,)s J diag J J = ，其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，由定理3.4.2和定理3.6.3知A 与J 有相同的不变因子和最小多项式，而由定理3.6.4知J 的最小多项式为1,,s J J 的最小多项式式的最小公倍式，因此i J 的最小多项式为()(1,,)i n i i s λλ-= 而1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- 的最小公倍式是J 的第n 个不变因子()n d λ，因此A 的最小多项式就是A 的第n 个不变因子()n d λ.由定理3.5.3和定理3.6.5可得如下定理.定理 3.6.6 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点.例 3.6.2如果n 阶矩阵A 满足2A A =,则称A 为幂等矩阵.证明幂等矩阵A 一定相似于对角矩阵.证明2()ϕλλλ=-,则()ϕλ是A 的化零多项式，由定理3.6.2知A 的最小多项式()m λ整除()ϕλ，因为()0ϕλ=没有重根，所以()0m λ=也没有重根，据定理3.6.6知A 相似于对角矩阵.。

【研究生课件应用数学基础】第三章矩阵的相似标准形.ppt

1 0 0
i i 0
13.求二次型
f x1x1 ix1x2 ix2x1 ix2x3 ix3x2 x3x3
成为标准的酉矩阵,并判断f是否是正定二次型。
6
4I3.
1 0 2
1 0 0
6.设A
1
0
1
,
证明：当n
3时, An
An2
A2
I 3 , 并求A100。
0 1 0
7.若A∈Cn×n满足A2+A=2In,则A与对角形矩阵相似。
3
8.设A
1 2
51,
证明：B=2A4-12A3+19A2-29A+37I2
为可逆矩阵，并把B –1表示为A的多项式。
1 1 6
0 2 1
0 10
1
2.证明：A∈Cn×n与AT相似。
3.证明:下列矩阵
a 0 0 a 0 0 a 1 0 A 0 a 0,B 0 a 1,C 0 a 1
0 0 a 0 0 a 0 0 a
中的任何两个都不相似.
4.求下列矩阵的Jordan标准形:
3 1 0 0
第三章矩阵的相似标准形
1.已知矩阵A,求I-A的等价标准形、不变因子、行列式因子和初等因子：
2 1 0
0 1 1
(1)A 0 2 1;(2)A 1 0 1;
0 0 2
1 1 0
0 1 0 0 3 1 0 0
(3)
0 0 5
0 0 4
1 0 3
0 1 2
;
(4)
4 7 7
0 3 0
0 1 3
0
0
1
11.证明：
0
0

矩阵的相似标准形

A(0 x) 0 ( Ax) 20 x.
即
(0 20 ) x 0.
而x0, 0(1 0 ) 0. 得 0 0或0 1.
注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
二有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
令=0, 得 A (1)n 12 n ,
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
定义 tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹.
计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:
1. 解特征方程| EA|=0, 求出n个特征值(r重
根算r个);
2. 对每一i, 求(iEA)x=0的非零解xi是属于i
的特征向量.
例1 求三阶方阵 1 1 0
A 4 3 0 1 0 2
解：特征方程
得一般解为
x1 x3
x
2
2 x3
x3 x3
取基础解系
1 2
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解：特征方程
1 2 2

第2章矩阵的相似标准形

第2章矩阵的相似标准形n 阶矩阵A 和B 的关系有：（1）等价：B ＝PAQ （2）合同：B ＝P T AP （3）相似：B ＝P -1AP其中，P 、Q 为可逆矩阵。

人们往往希望找到矩阵P 、Q ，将矩阵A 化简成其相似的标准形矩阵B ，这样可方便计算。

2.1 矩阵的初等变换在矩阵化简及矩阵求逆过程中常用到矩阵的初等变换。

定义：对任意n 阶方阵)(ij a A =，去掉第i 行第j 后剩余的n-1阶方阵的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，而ij j i M +-)1(为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A AA A A 212221212111称为方阵A 的伴随矩阵，记为*A 。

容易计算，E A A A AA ==**，若0≠A ，则有AA A *1=-当n>3时，用公式AA A *1=-求逆计算量过大，所以需要其它工具，这就是初等变换。

矩阵的初等变换：（1）交换矩阵两行（列），即对换；（2）以某非零数乘某行（列），简称倍乘；（3）将某行（列）乘以某个倍数加到另行（列）。

例：求A 的逆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=533132321A 解：分析 1],[][,,-====A B B I I A B B BI I BA[]B I I A ,13310051413010719180011331005141301010282730113310051413010102827301133100514130100013211331000125100013211031430012510001321100533010132001321],[=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-13351413719181B A 变换时注意：先将先将对角线下的元素变为0，然后将对角线上的元素变为0⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡C I B A 0220100011000100012.2 特征值和特征向量定义：设)(ij a A =是数域C 上的n 阶矩阵，λ是参数，A 的特征矩阵A I -λ的行列式nn n n na a a a a a a a A I --------=-λλλλ21222111211)det(称为A 的特征多顶式，记为)(λϕ。

7相似标准型

J1 J 2 J J k
i 1 i Ji 1 i
其中Ji为ri阶Jordan块 , 1≤ i ≤ k .
Jordan标准型_3

注1:定理中的J 称为A的Jordan标准型 . Ji称为A的属于特征值λi的Jordan块 .

Jordan标准型_7
定义:设λ0是n 维线性空间V上线性变换的特征子空间, 则 R(λ0)={α∈V | (ψ- λ0 I )n(α)=0} 构成V 的子空间, 称为属于特征值λ0的根子空间 .

Hale Waihona Puke 注1 :记λ0 的特征子空间为 Vλ0 , 则 V R ( 0 )
0

注2 : R(λ0) 是ψ的不变子空间 .
Jordan标准型_8

定理:设ψ是复n 维线性空间V上线性变换 , ψ的初等因子组为则 (1). V V 1 V 2 Vk 其中Vi是(ψ-λiI ) 的循环子空间 , 且 dimVi = ri , 1≤i≤ t . (2). 若λ1 , … , λs是ψ的互不相同的全部特征值 , 则其中 R(λi)是 V R(1) R( 2) R(, s) λi的根子空间 , dim R(λi) 是λi 的代数重数 , 且每个R(λi)又可分解为若干循环子空间的直和
可逆λ - 矩阵_1

定义:若A(λ) , B(λ)都是 n 阶λ - 矩阵且 A(λ) B(λ) = In , B(λ) A(λ) = In . 则称A(λ) 为可逆λ- 矩阵, B(λ)是A(λ)的逆λ- 矩阵. 初等λ - 矩阵是可逆λ - 矩阵. λ - 矩阵的逆矩阵若存在 , 必唯一. 可逆λ - 矩阵的乘积也是可逆λ - 矩阵. λ - 矩阵为可逆的λ - 矩阵的充分必要条件是其行列式为非零数.

相似矩阵简.ppt

A ~ B E A E B 4）相似矩阵有相同的特征值.
5）相似矩阵或者都可逆或都不可逆，当它们都可逆时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1

p21

2

p22

... n

p2n

pn1

相应的特征值为
pn
2

1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k

(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)

P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP

0
2
0

0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1

P1可逆,
2 0 0
P11 AP1

0

第十章矩阵的相似标准形

第十章矩阵的相似标准形10.1 求下述矩阵的特征值和相应的特征向量(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00αα；(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100；(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛311242113； (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1解:(1) 22)00det()(αλλααλλααλ+=--+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=I f令0)(22=+=αλλf 得 αλαλi i =-=21,αλi -=时，解 .0)(=+x I i A α 得 T i X )1,(1= αλi =时，解 .0)(=-x I i A α 得 T i X )1,(2-=矩阵的特征值为： αλαλi i =-=21, 相应的特征向量： T i X )1,(1=,T i X )1,(2-=(2) )1()1(0101010)det()(2+--=-+--=-=λλλλλλλI A f 令0)(=λf 解得121==λλ，13-=λ，由0)(1=-X I A λ，即0)(=-X I A 得000313131=-⇒⎩⎨⎧=-=+-x x x x x x解之得:T T X X )1,1,1(,)0,1,0(21==由0)(2=-X I A λ，即0)(=+X I A 得⎪⎩⎪⎨⎧=+==+02031231x x x x x解得： .)101(3T X -= 相应的特征向量:T T X X )1,1,1(,)0,1,0(21==,.)101(3T X -=(3) 2)2)(6(311242666311242113)(λλλλλλλλλλλ--=-----=---=f令0)(=λf ，解得6,2321===λλλ，当221==λλ时，对应的方程组为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111222111321x x x 即 0321=++x x x相应的特征向量为： T T X X )1,0,1(,)0,1,1(21-=-=.当6=λ时，对应的方程组为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000311222113321x x x 等价于⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x对应的特征向量为: T X )1,2,1(3=(4)λλλλλλ----------=-=1111111111111111)det()(I A fλλλλλλλ-------------=1111111111114λλλλλλλ---------=111220002201114λλλλλ--------=121020********* )2()2(3+-=λλ令0)(=λf 解得: 2,24321-====λλλλ. 当 2321===λλλ时,得 .0)(=-X I A λ的方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=---=---=+++-00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x同解组为: 04321=---x x x x相应的特征向量:T X )0,0,1,1(1=,T X ),0,1,0,1(2=,T X )1,0,0,1(3= 当 24-=λ时,方程组为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++030303034321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x同解方程组为:⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+000434241x x x x x x 相应的特征向量 T X )1,1,1,1(4---=10.2 证明方阵A 有零特征值的充要条件是A 为奇异阵.证:⇒)设A 有零特征值,由.0)(=-X I A λ当0=λ时,.0=AX 有非零解,故n A <)rank(A 为奇异阵.⇐)设A 为奇异阵. 0)det(=A ,由0)det(21==n A λλλ知，必有0=i λ)1(n i ≤≤,即A 有零特征值.10.3 证明方阵A 与它的转置T A 有相同的特征值.证: 由)()(λλλλT A T A f I A I A f =-=-=即得A 与T A 有相同的特征值. 10.4 设λ是n 阶方阵A 的特征值,X 是对应的特征向量,证明: (1) 对任意τλτ,是A τ的特征值, X 是对应的特征向量； (2) 对任意数αλα-,是I A α-的特征值, X 是对应的特征向量； (3) 若A 非奇异,则0≠λ,且1-λ是1-A 的特征值,对应的特征向量仍为X ； (4) 对任意正整数k k λ,是k A 的相应于特征向量X 的特征值；(5) 设)(x ϕ是某一多项式,则)(λϕ是矩阵)(A ϕ相应于特征向量X 的特征值. 证:(1) 由0.0)det(.0)(≠=-=-X X I A X I A λλ,得 0)det()det(=-=-I A I A n λτττ 即 τλ是A τ的特征值,同时有0)(=-X I A τλτ.(2) 由[].0)det()()(det =-=---I A I I A λαλα得αλ-为I A α-的特征值且().0)()(=---XI I A αλα(3) 设A 非奇异且有X AX λ=，如果0=λ则0=AX 只有零解，因此0≠λ；对X AX λ=左乘 11--A λ,便得X X A 11--=λ所以 1-λ是1-A 的特征值.(4) 设：X AX λ=,因为x x A x A Ax A x A k k k k k λλλ=====--- 111)()(所以k λ为k A 的特征值，特征向量仍为X.(5) 设∑==mk k k x p x 0)(ϕ,则∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛=m k mk k k kk m k k k X p X A p X A p X A 000)()()(λϕ∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛==mk m k k k kk X X p X p 00.)()(λϕλλ即)(λϕ是)(A ϕ的特征值,特征向量仍为X ，10.5 设A 与B 相似,即存在可逆阵 X 使 AX X B 1-=若A 的相应于特征值λ的特征向量为u ,问B 相应于特征值λ的特征向量是什么?解：由1,-==XBX A u Au λ得u u XBX λ=-)(1,即：)()(11u X u X B --=λ.B 在特征值λ的特征向量为u X 1-.10.6 下述矩阵是否可对角化? (1) 10.1中(2)、(3)、(4)；(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110011,300130002,405957144C B A 解:(1) 在题10.1中(2)和(4)为实对称阵,故可对角化.在习题10.1中(3)代数重数等于几何重数,故也可对角化. (2) 由A 特征多项式:)134)(1()134)(1()det()(22+--=+--=-=λλλλλλλλI A f A有三个互不相同的根，所以 A 可对角化.由B 特征多项式:2)3)(2(λλ--=B f 当3=λ时,0)3(=-X I A 只有一个解T X )0,1,0(=3=λ的几何重数小于代数重数,不可对角化.由C 特征多项式: 3)1()(λλ-=C f1=λ为)(λC f 的三重根,由0)(=-X I C 得⎩⎨⎧==0032x x 解为 T X )0,0,1(=,几何重数小于代数重数,不可对角化.10.7 满足下述条件的矩阵是否可以对角化? (1) );2.(≥=k I A n k (2) n I A A 22=+解: (1) 设λ为A 的特征值,对应的特征向量为x ,且0=-n k I A ,则1)(-=k f λλ为A 的化零多项式,有0)(=A f ,因为1)(-=k f λλ的根为单位根:kl i k l l l ππωλ2sin2cos+== 1,,2,1,0-=k l 由)(λA f 的最小多项式)(λA m 可以整除)(λA f ,知当n k ≥时，)(λA f 没有重根,)(λA m 没有重根,A 可以对角化.(2) 由022=-+I A A , 2)(2-+=λλλϕ为A 的化零多项式,得 )1)(2()(-+=λλλϕ, ).()(x x m A ϕ 由)(λϕ无重根知)(x m A 无重因式,即 A 可以对角化.10.8 证明:(1) 若n 阶方阵A 满足A A =2,则A 的特征值是1或0.(2) 若n 阶方阵A 满足)2(,0≥=k A k ,则A 的特征值只能是零,反之亦然. 证:(1) 已知02=-A A ,λλλϕ-=2)(为A 的化零多项式有)1()(-=λλλϕ,)()(λϕλA m 且A 的特值均为)(λA m 的根当0=A 时,由0.0)(≠=-X X I A λ知0=λ; 当I A =时,由0.0)(≠=-X X I I λ知1=λ;当0≠A 且I A ≠时,)1()(2-=-=λλλλλA m 的根包含了所有)(λA f 的根. 所以 )(λA m 只有“0”和1两个根,即)(λA f 的根只有1或0.(2) 设n n ij a A ⨯=)(满足0=k A ,k λλϕ=)(为A 的化零多项式,由)()(λϕλA m 得知,l A m λλ=)(,包含)(λA f 的全部单因式,0)(=λA f 的根只有零.反之,设A 的特征值只能是零, 则k A f λλ=)(为A 的化零多项式有0)(=A f A ,即 0=k A .10.9 证明n 阶正交阵A 的特征值只能是1或-1.证:设λ是A 的特征值,X 为正交阵A 属于λ的特征向量,则有).,(),(,X X AX AX X AX λλλ==于是:左端 ),(),(X X X X AX A X AX AX T T T ===.右端 ),(),(2X X X X λλλ=.即 0),)(1(2=-X X λ,再由0≠X ， 0),(2≠=XX X 即得1,012±==-λλ10.10 求下述实对称阵的相似标准形及相应的变换矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--702052226 (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----511113131 解:(1) )9)(6)(3()det()(λλλλλ---=-=I A f令 0)(=λf ,解得9,6,3321===λλλ，对应的特征向量： T T p p )2,2,1(,)1,2,2(21--=-=，T p )2,1,2(3-=由对称阵不同特征值的特征向量正交得：.)32,31,32(,)32,32,31(,)31,32,32(321T T T q q q -=--=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231313232323132)(321q q q Q ； ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=963AQ Q T (2) )(λf []2)5)(4()2(---+-=λλλ)6)(3)(2()918)(2(2--+-=+-+-=λλλλλλ 令 0)(=λf ,解得2,3,6321-===λλλ，相应特征向量:T T T p p p )0,1,1(,)1,1,1(,)2,1,1(321=-=--=.由6,3,-2互不相等知，321,,p p p 正交,取i ii p p q 1=（3,2,1=i ）得 T q )62,61,61(1--=，T q )31,31,31(2--=，T q )0,21,21(3=变换矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==03162213161213161)(321q q q Q⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=236AQ Q T .10.11 求下述矩阵的若当标准形.(1) ;5947⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- (2) ;101020103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (3) ;405957144⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解:(1) 2)1(36)5)(7(5947)(--=+---=----=λλλλλλf令 0)(=λf ,解得121==λλ，其中：≠==-1)dim(,1)rank(11λλV I A 1λ的代数重数，不能对角化.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A J .(2) 3)2(2020103)(λλλλ-=--=f 得.2321===λλλ且 2)dim(,1)rank(1==-λλV I A .不能对角化.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120002J(3) )134)(1()413)(1(405957144)(22+--=-+--=------=λλλλλλλλλλf)32)(32)(1(i i -+-=λ 有三个根.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i J 3232110.12 设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵.证明:AB 与BA 有相同的非零特征值.证: 任取 AB 的非零特征值λ,存在00≠x ,使00x ABx λ=作 )(00x B BABx λ=即 )()(00Bx Bx BA λ=，由0)(000≠==Bx A ABx x λ知00≠Bx0Bx 为BA 属于λ的特征向是,λ为BA 的特征值.反之,设λ为BA 的非零特征值，同理可证λ亦为AB 的非零特征值. 10.13 设0,≠∈v C v n ,B 为下述形式的1+n 阶方阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00v v B H求B 的所有特征值和特征向量. 解:设 ),,,(),,,(2121n H Tn V v αααααα ==，则由000000)(2121=----=λαλαλααααλλnn B f得0)(121=-∑=-nk k k n ααλλ.即0)(21=--v v H n λλ，0=λ，v v H =2λ，得B 的特征值: 0121====-n λλλ ， v v n =，v v n -=+1记 δδδ-====+122,,n n H v v vv v 当0=λ时,B I B =-=0)(λλ，0)(=-X I B λ为0=BX ，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x X 0n n H n H C x v x x v x x v v BX ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯10010000有0=x v H 及00=v vx ，由 0≠v 知00=x .故⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n HC x x v x x V 000λ当v ±=±=δλ时, I B I B δλ±=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=⨯100000)(.n H n H x v x x v x x x I v v X I B δδδδδδλ解出: V x x δ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=⨯100000)(.n H H x v x x v x x x I vv X I B δδδδδδλ得 V x x δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==v x k x x x v v x k x x x v δδδλδλ0000, ∴ .00⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=±=v x k x x x v δδλ 解法二:将B 分解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯H n n H v v v v B 0010100011 证 211211.001,010B B B v B v B H n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯ 利用第10.12题:21B B 与12B B 相同的非零特征值.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯⨯0100100100011112v v v v v v B B B H H n H n ∵ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-λλλλv v I v v I B H H 1010v v v v v v f HH H B =-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222.1det )(δδλλλλλ∴ 令0)(=λB f 即 0.22=-δλ.解出B 的特征值 v v v H ±=±=±=δλ∵ B 应有1+n 个特征值, δλ±=为两个,其余0=λ. ∴ B 的特征值: δλδλλλλ-======+-1121..0n n n . 再求属于δλδλλ=-==..0 的特征向量： 0=λ时,0)(,)(0=-=-=X I B B I B λλλ 为0=BX将X 分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x X 0，nT n C x x x x ∈=),,,(21 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯10010000n H n H v x x v x x v v BX 有 0=x v H 及 00=v x .由 0≠v 知00=x .故⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n HC x x v x V 000λδλ-=时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⨯100000)(n H n H x v x x v x x x I v v X I B δδδδδ 由⎩⎨⎧=+=+0000x v x x v x H δδ 解出 v xx δ0-=；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nC x C x v x x x x V 0000,δλδλ+=时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⨯100000)(n H H x v x x v x x x I v v X I B δδδδδ 由⎩⎨⎧=-=+-0000x v x x v x H δδ 解出 v xx δ0=；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nC x C x v x x x x v ,,000δδλ 10.14 设方阵A 与D 相似,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=15,12422421y D x A 求x 与y 的值.解: 因为相似矩阵有相同的特征多项式)(1512422421)(λλλλλλλλD A f y x f =---=---------=即:[]λλλλλλ---=+--+-=15)83()3()5()(2y x x x f A两端令 1=λ.得 1-=x .)54)(5()(2-+-=λλλx f A )1)(5)(5(λλλ----=比较 )1)()(5()(λλλλ---=y f D 得 5-=y 所以，当1-=x ,5-=y 时, A 与D 相似.10.15 设三阶方阵A 的特征值为1,0,1321==-=λλλ,对应的特征向量为:T T T p p p )2,2,1(,)1,2,2(,)2,1,2(321=-=--=,求矩阵A解: ∵ 321,,p p p 两正交，正交化得： T p p q )2,1,2(311111--==, T p p q )1,2,2(311222-==， T p p q )2,2,1(311333== T Q Q q q q Q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-132121222112231)()1,0,1diag(1-==-D AQ Q .∴ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===-022*********TQDQ QDQ A10.16 设三阶方阵A 为实对称阵,其特征值为3.6321===λλλ与1λ对应的特征向量为T p )1,1,1(1=,求A .解:设A 为实对称阵,有正交阵)(321p p p P =，满足1-=P P T 使D AP P T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=336∵ T p )1,1,1(1=∴ ()⊥∈}span{,132p p p 即 ()⊥=}span{}span{132p q q . 即 32,p p 为01=x p T的解，亦即 0321=++x x x 的解，得T T u u )1,0,1(,)0,1,1(21-=-=))1,0,1(,)0,1,1((,32T T span p p --∈正交化得:T )0,1,1(1-=η，),(),(211222ηηηη'-=u u T )1,21,21(1-=η取 )2,1,1(2,)0,1,1(2212-==-==ηηq q ,单位化得:TT Tq q p q q p q q p )62,61,61(1)0,21,21(1)31,31,31(1333222111-==-====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==62031612131612131)(321p p p P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-3111311141TPDP PDP A。

第四章矩阵的相似标准形

第四章矩阵的相似标准形复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1⇔=-）。

第一节特征值特征向量如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。

定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。

例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。

设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是存在0≠ξ，使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ，使得⇔=X AX λ存在0≠X ，使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。

因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组0)(=-X A I λ的非零解。

定义1.2 设n n C A ⨯∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。

定理1.1 若B A ~，则A 与B 有相同的特征多项式。

证由B A ~知，B AP P =-1，于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。

定理1.2 设n n ij a A ⨯=)(，则∑=--+=-nk k n k k nb A I 1)1(λλλ。

其中A b k =的所有k 阶主子式之和，特别)(1A tr b =，A b n =。

矩阵的相似标准形共139页文档

45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
矩阵的相似标准形
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。