人教中考数学培优易错试卷(含解析)之反比例函数含答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．

【答案】（1）解：如图1，

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形边长为，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或

（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函数的解析式为y= ．

（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数

【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点

为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点

C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣；

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D

的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x 轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；

（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数

y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；

（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．

【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，

∴2×3n=（5n+2）×1=m，

∴n=2，m=12，

∴A（2，6），B（12，1），

∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，

∴，

解得，

∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．

（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，

由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，

由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，

解得a=7±2 ．

（3）（0，6）或（0，8）

【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），

由题意，PE=|m﹣7|．

∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，

∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．

∴|m﹣7|=1．

∴m1=6，m2=8．

∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．

故答案为（0，6）或（0，8）．

【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.

3．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．

（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；

（2）⊙O的半径是，

①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；