《大学物理》第8章 能量守恒

撑杆跳运动员在跳高过程中 的能量过程如何？
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开篇问题---- 请猜一猜
一个滑雪运动员从山顶出发。 沿下面哪条路径她的势能变 化最大? (a)(b)(c)(d)还是(e)各路径都 一样？
假定滑道结冰，从而认为滑行过程她受到的摩擦力可 以忽略，则哪条路径运动员到山底时速度最快？
A G coss mgh d
a c ha hb
α Δsh
G
ha
A A mgh mg h
b hb
mgha mghb
A mgha mghb
由此可见，重力作功 仅仅与物体的始末位置 有关，而与运动物体所 经历的路径无关。
a
c ha hb
压缩弹簧的位置开始（y=0）。
解一：可以把问题分成两个过程。
过程1 小球下落过程 小球的势能转变成动能
由机械能守恒有
1 2
mv12

mgy1

1 2
mv22

mgy2
Hale Waihona Puke Baidu
0

mgy1

1 2
mv22

0
v2 2gy1 2(9.8m / s2 )(0.55m)
3.823m / s 3.82m / s
注意： ①只有势能的变化量才具有实际意义，并且不
依赖于参考系的选取。 ②势能是属于整个系统，而不是单个物体。 ③只有保守力才有势能。 ④势能的数值与零势能点的选取密不可分。
3、势能和力的关系
微分与积分为互逆的运算
推广到三维
力 F (x, y, z)与U的关系可以写成：
Fx

U x
,
Fy
考虑真实情况下摩擦力总是存在，上述情况又如何？
8-1 保守力与非保守力
一、 保守力
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历 的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性质 的力叫做非保守力。
如： 重力作功
如果小球竖直下落 此过程中重力做的功为：

W F dl mgh
如果小球是在x-y平面内任意运动。小球从垂直高度
从y2落回到y1重力做功为：
WG FG d mg( y2 y1) mgh
把质量为m的物体举高h需要做mgh的功。 处在高为h的物体，具有做大小为mgh的功的能力。 ——举高物体做的功以重力势能的形式储存起来。
问题： 重力势能属于这个物体吗？
规定：当一个物体从高度y1移动到高度y2的过程中，其 重力势能U的增量等于净外力没有加速情况下完成上述 移动所做的功。

U y
,
Fz


U z
,
或
F ( x,
y, z)x

i
U x

j
U y
k
U z
,
数
8-3 机械能和机械能守恒 第七章动能定理 Wnet K
2
保守力做功 Utotal 1 F dl Wnet
合并两式有 K U 0
或 (K2 K1) (U2 U1) 0
因此压缩了x长度的弹簧具有的势
能为
U el
(x)

1 2
kx2
势能零点的选择
（1）重力势能
Ep (h) mgh
重力0 势点一般选在物体运动最低点h=0处
（2）弹性势能
Ep
(x)

1 2
kx2
弹性0 势点一般选在弹簧的原长x=0 处。
（3）万有引力势能
Ep
(r
)

G
Mm r
万有引力0 势点一般选在 r 处。
=0 ！！！
1
2
保守力又可以定义为：
当一个力对一个沿着任意闭合路径运动的物 体所做的总功总是为零，这个力就是保守力。

W F dl 0
重力，弹性力，电力，万有引力等为保守力。 摩擦力、空气阻力等为非保守力。
8-2 势能
势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。它 是一种潜在的能量，不同于动能。
计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有
多大？
T
x0
G
h
v0
解:我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。
现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停止
的那个瞬时位置，物体的动能为
Ek1

1 2
m v02
设这时钢丝绳伸长量为x0，系统弹性势能
h
dG
ha
b hb
保守力只能是位置的函数，而与其他变量， 如时间、速度等无关。
2 2
F dl F dl
1
1
路径A
路径B
1 2
F dl F dl
2
1
路径A
路径
B 在回路过程中保守力做的功：
2 1
W F dl F dl
解:以A点为势能零点，则
U2 mgy2 1000 9.810 9.8104 J U3 mgy3 1000 9.8 (15) 1.5105 J
U3 U2 (1.5105 J ) (9.8104 J ) 2.5105 J
推广到弹性力、万有引力等保守力，势能更普遍的定义
E
弹 p1

1 2
kx02
如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且 以这最低位置作为重力势能的零点，那么，系统这时
的重力势能为
E
重 p1

mgh
所以，系统在这位置的总机械能为
E1＝Ek
1＋E
弹 p1＋E
重 p1

1 2
m v02

1 2
kx02

m gh
在物体下降到最低位置时，物体的动能Ek2=0，
/
m
解二：整个过程中机械能守恒，能量由开始时的重力
势能转变成弹簧和小球的弹性势能。因此有
mgy1

1 2
K (0)2

mgy3

1 2
Ky32
2mg(h Y ) 2 2.609.8 (0.55 0.15)
K
Y2

0.152
1590N / m
例8-9 一个简单的摆锤由质量为m的摆球与长度为l的摆线组成。 摆线在t=0时刻与竖直方向夹角为= 0，摆球无初速释放。（a） 用动能和势能描述钟摆的运动，然后确定小球的速度。（b）给出 钟摆来回摆动过程中，速度作 为的函数。（c）在最低点时 的值。（d）求出弦中的张力。 摩擦力和空气阻力可以忽略。
下落前石头动能为零。随着 石头的落下，其势能不断减 小，动能增加。
设图中山顶的高度为40m，过山车静止从山顶开始无摩擦滑下， 求(a)车在谷底时的速度（b）达到这个速度一半时过山车的高 度。取谷底时y=0。
解：（a）由v1=0，y2=0，利用机
1
3
械能守恒 E K U 1 mv2 mgy
2
2
得到
mgy1

1 2
mv22
到谷底时的速度
v2 2gy1 2(9.8m / s2)(40m) 28m / s
（b）同样利用能量守恒。此时已知速度v3=14m/s，求y3。
1 2
mv12

mgy1

1 2
mv32

mgy3
y3

y1

v32 2g

30m
思考题 Paul 和Kathleen 从不同 滑梯同时开始往下滑，（a）滑 到底时Paul 和Kathleen两个人谁 的速度快？（b）两人谁先到底 ？摩擦力可以忽略且两滑梯具有 同样的长度。
定义E为系统的总机械能，其等于任意时刻系统的动能
和势能之和。
E K U
将前面的式子改写，得到机械能守恒公式
K2 U2 K1 U1
或： E1 E2 const
机械能守恒定律： 在仅有保守力做功的条件下，则系 统的机械能既不增加，也不减少。即机械能是守恒的 ，它是个常数。
由机械能守恒有： K U
为：某一保守力F相对应的势能增量等于此保守力F做功
的负值
P2
U U2 U1 F dl W P1
2、弹性势能
Fs kx
x
U U (x) U (0) Fs dl
0
x kxdx 1 kx2
0
2
取x=0点的弹性势能为0，U(0)=0,
机械能守恒
(a)周而复始由 U→K →U的重复运动
(b)系统的机械能
E 1 mv2 mgy 2
在摆锤释放那一刻，v=0，有 E0 mgy0 mgl(1 cos0 )
在以后的任意，其机械能均等于E0
E

1 2
mv2

mgy

mgy0
(c)最低点y=0,θ=0
v 2gl(1 cos0)
答案 •势能与动能转化，高度相同，到达底部速度相同。 •Kathleen位置较低，比Paul更早实现势能-动能转 化，所以她会先到达底部。
例8-6 撑杆跳高 估算一下重70kg的运动员越过高5.0m 高的横杆所需动能。假设运动员起跳时质心离地高度 0.9m，最高时与横杆等高。
解： 选择初始时运动员质心位置为
因此如果系统的动能K增加，则势能U必减少相同大 小的能量，能量在动能和势能间转换，但总机械能 是守恒的。
若将动能用 K 1 mv2 来表示，则机械能守恒可以
2
写为：
1 2
mv12
U1

1 2
mv22
U2
注意
8-4 机械能守恒定律的应用
地球上下落的石头在下落过程中石头的机械能为：
E K U 1 mv2 mgy 2
h
dG
ha
b hb
设物体沿任一闭合路
径 adbc运a动一周，重
Aadb mgha mghb
力所作的功为：
Abca (mgha mghb )
A

Aadb
Abca

0
A Gds 0
表明：在重力场中物 体沿任一闭合路径运动一 周时重力所作的功为零。
a
c ha hb
过程2 小球压缩弹簧的过程 小球的动能转变成弹簧和小球的势能
1 2
mv22

mgy2

1 2
Ky22

1 2
mv32

mgy3

1 2
Ky32
1 2
mv22

0

0

0

mgY

1 2
K
(Y
)2
K

m Y2
[v22

2gY
]=
(02..1650)2（3.2832

29.8 0.15） 1590N
y1=0。则运动员需要跳跃的高度为 y2=5.0m-0.9m=4.1m.则有：
1 2
mv12

0

0

mgy2
v1 2gy2 29.8 4.1 8.9m / s
以这样的速度完成百米短跑时间为： 100/8.9=11.23s 因此好的撑杆跳运动员首
先应该是一个比较好的短跑运动员！
例8-8 一个重m=2.60kg的小球，从静止开始下落，下落 了h=55.0cm后撞到一个垂直的弹簧上，弹簧被压缩了 Y=15.0cm。求弹簧的弹性系数。假设弹簧的质量和空气 的阻力可以忽略不计。所有距离的测量都从球刚触及未
U U2 U1 Wext mg( y2 y1)
U U2 U1 WG mg( y2 y1)
故进一步规定：重力势能U的增量等于上述过程中重 力做功的负值。
重力势能U 在相对参考点（零势能点）高度为y的任意 点上的重力势能为：
U grav mgy
一辆重1000kg的过山车，如图从 点A移动到点B，然后再到C，(a) 点B,C相对于点A的重力势能是多 少？取点A的y=0。（b）从点B运 动到C，过山车的势能变化了多 少？（c）重复(a)和(b)，但取 参考点（y=0）为点C。
系统的弹性势能应为
E
弹 p2

1 2
k( x0

h)2
此时的重力势能
E
重 p2
0
所以在最低位置时，系统的总机械能为
E
2＝Ek
2＋E
1、重力势能
处在一个高度的物体，当其下落时在重力作用下会 获得能量，可以对外做功，即处在一定高度的物体具 有做功的能力。那么这个能力是如何获得的？
图中的物体从高为y1的地方， 在外力的作用下移动到高为y2, 如果移动过程很缓慢，这外力 做的功为
Wext Fext d mgh cos 00 mgh mg( y2 y1)
y1开始运动，最后到达高度为y2的位置，并使y2-y1=h。
2
W 1 FG dl
2
1 mg cosdl
2
1 mgdy
mg ( y2 y1) mgh
更为一般性，设质量为m的物体在重力的作用下
从a点沿任一曲线运动到b点。
力 在G 元所位做移的元功中s是，重
v 2g( y0 y)
2gl(cos cos0 )
(d)弦中的张力作用在摆锤上，提供了摆球的向心力
m v2 l

FT
mg cos
FT

m( v2 l

g cos )

(3 cos
2 cos0 )mg
例题 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速 度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时， 物体因惯性进行下降，问使钢丝绳会有多少微小的伸 长？(设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不