(完整版)《构造辅助圆》教学设计
《构造辅助圆》教学设计
《构造辅助圆》教学设计丰台八中赵鹏科目数学课题专题：构造辅助圆教师赵鹏班级初三（6）班时间2012.4.17 学生情况分析本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的意识. 设计意图对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究，老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成共识.学生探究时，以审条件，审图形，审结论的方式阐述，并说明解题思路.这样其他同学听得也清楚明白.对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆. 教学目标1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质. 教学重点利用辅助圆解决有关问题教学难点建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件教学方法讲练结合、教师引导下的学生自主探究教学用具圆规、几何画板、尺子教学设计教学过程设计说明一、类型一引例（2011北京17）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（-1，n）.（1）求反比例函数的解析式（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标.提问：什么条件让你想到可以以A为圆心，OA为半径作圆？依据是什么？引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表，今天，我们就来探究，构造辅助圆，还可以解决哪些类型的题目？例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，?BAC=26?，?CAD=74?，则=________°，=________°什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件：__有公共端点的等线段_______________；依据：__同圆半径相等_____________________.小结1：当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.二、类型二引例:若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径为_____________.什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件：__直角___________________；依据：__90°的圆周角所对的弦是直径________.小结2：可以利用90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造辅助圆.例2、在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（2，?3），点P在y轴上，且△ABP为直角三角形. 请问满足条件的点P有几个？并求出它们的坐标.解：（1）过点A作AP⊥y轴于P∴∠PAB=90°∴P1（0，2）（2）过点B作BP⊥y轴于P∴∠PBA=90°∴P2（0，-3）（3）以AB为直径作圆，交y轴于P，设圆心为D∴∠APB=90°∵D（2，-0.5）∴AD=BD=PD=2.5作DE⊥y轴于E，则E（0，-0.5）∴DE=2，OE=0.5∵∠PED=90°∴∴PE=1.5∴P3（0，1），P4（0，-2）综上所述：共有4个点P.预案：可能有的学生会用相似解决问题，先表示赞同，再引导用圆的知识求线段.四、总结提升1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆. （2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.2.数学思想：转化思想利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.五、课后作业1. 在平面直角坐标系中，A（4，0），O为坐标原点，求直线y=x+3上一点P，使△AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？2. 如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD,则的度数为 .3.已知如图，梯形ABCD中，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C（1）当AB=4，CD=1，BC=4时，点P在直线BC上，且，这样的点有个.（2）设AB=a，DC=b，AD=c，点P在直线BC上，且，试确定此时a，b，c满足的关系式.六、板书设计课题例1 小结1 例2小结2七、课后反思这是一道学生熟悉的题目，以此告诉学生构造辅助圆来解决问题是一种常见的解题方法，那么构造辅助圆还可以解决哪些类型的题目呢？带着这样的疑问，学生会主动寻找解决问题的方法，从而提升学生学习新知识的主动性，实现构造圆解决问题的思路.本题可从两个方面入手解决:1.利用等边对等角；2.利用构造辅助圆将问题转化为圆中圆周角与圆心角的关系.想达到的效果是:学生习惯于利用前者，少数人有了引例中的方法意识，开始从圆的定义出发构造辅助圆.初步让学生尝到新方法的甜头.从而强化辅助圆的意识.让学生复习90°的圆周角所对的弦是直径，从而为例题构造辅助圆做铺垫.通过直角顶点的分类，并利用直径所对的圆周角是直角，很快就能找到满足条件的点P；构造辅助圆也可以将问题转化为圆中的计算问题。
初中辅助圆模型教案
初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。
教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。
教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。
探究辅助圆的基本模型教学设计及点评(获奖版)
《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学设计【一、内容和内容解析】（一）内容探究辅助圆的基本模型（二）内容解析在初中数学中，圆是我们常见的一个数学问题，也是初中教材中一个重要内容，但是有些题目明明题中和图中都没有圆的出现，但是在解题的过程中却要借助圆，这样的圆就是“辅助圆”。
这类“辅助圆”的出现也是有迹可循的：第一类当出现定点和定长时，可根据圆的定义构造圆；第二类当出现定线和定角时，可根据同弧（弦）所对的圆周角构造圆，或是90o的圆周角所对的弦是直径构造圆；第三类对角互补的四边形可构造圆。
三类模型的出现都需要进行探究，而这个探究过程是从特殊到一般的过程。
通过模型的探究，便可以利用圆的性质解决问题。
基于以上的分析，确定本节课的教学重点是：探究辅助圆的基本模型。
【二、教学目标及解析】（一）目标1.利用所学的知识对辅助圆模型进行探究.并在探究的过程中培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.2.能将所探究的辅助圆模型应用到生活实际问题和数学问题中，并进一步体会数学建模思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯.（二）目标解析达成目标1的标志是:能够通过小组讨论得到辅助圆出现的条件，并通过小组合作的形式利用图像、几何语言及文字语言总结出模型的特点，以及模型出现所需要具备的条件。
达成目标2的标志是：能够利用所探究的模型应用到生活实际问题和数学问题中去，并独立找到生活实际问题和数学问题的解决办法。
【三、教学问题诊断分析】九年级的学生抽象思维趋于成熟，而且具有独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳概括的能力。
本节课是探究辅助圆的基本模型，在已有知识的基础之上，利用条件得到辅助圆并不困难，但是根据条件确定圆心和半径，进一步画出辅助圆对于学生会有一定的困难。
因此在本节课的教学中，可以让学生从已有的知识出发，通过实践操作，自主探究、合作交流，归纳总结等数学活动中，理解和掌握数学知识技能，形成数学思想方法。
辅助圆公开课教案
尝试1：如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD, ，
则 的度数为.
问题2：若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径
为_____.
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
(1)∠APB=；
(2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
(3)连结CP，CP长度的最小值为。
五、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆
（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.
（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.
2.数学思想：转化思想
利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
六、布置作业
课题：《构造辅助圆》（简案）
教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用
作圆解决分类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.
教学重点：利用辅助圆解决有关问题
三、学以致用
问题3：如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G， EF⊥BD于F。
四、拓展提升
问题4：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG>AE，则DI的最小值等于
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
研究课-构造辅助圆专题探究教案
专题探究《构造辅助圆》教案授课时间：2020-9-11 授课班级：九（1）班［研究课题] 农村中学智慧课堂建设与应用范式研究［教学目标]1.巩固圆的有关性质与定理，并能熟练应用于几何推理与计算；2.探究利用构造辅助圆提升四边形有关计算的解题策略，并归纳应用模型与解题技巧；3.培养学生合作探究、交流讨论的良好学习习惯，提升数学核心素养。
［教材分析］1．教学重点：构造辅助圆解决四边形有关推理计算。
2．教学难点：（1）理解构造辅助圆模型的条件与应用价值；（2）灵活应用构造辅助圆解决四边形有关推理计算。
3．教学关键: 创设情境激发求欲望，归纳模型与解题策略，举一反三巩固应用。
［教学方法］本节课采用“探究与互动”的情境教学方式。
［教学准备］Ai智慧教育平台、学生平板、几何画板。
一、课前小测：Ai网页小测1-5。
二、回顾复习：1．圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。
定点：圆心-决定位置；定长：半径-决定大小（两要素缺一不可）。
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半；推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的的弧也相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径；推论3：圆内接四边形对角互补。
三、课前热身：如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，如果∠DAC=56°，∠CAB=20°，求：∠BDC的度数．【分析】∠BDC=∠ADC-∠ADB=620-520=100【思考】还有其它解法吗？---以点A为圆心，AB为半径构造圆，则B、C、D三点共圆。
四、探究新知：例1. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，CB=4，AB=AC=AD=3，求：BD的长．例2.四边形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝8，则AC的长可能是（）A．11 B．9 C．7 D．10【归纳小结】构造辅助圆的常见模型：四边形为背景1.已知共端点的几条线段相等的四边形；2.已知对角互补的四边形（重点一组对角均为直角）。
初三辅助圆教学设计
构造辅助圆教学设计一、教学内容分析：对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题，但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过对构造辅助圆方法的分类，典型题的讲解.二、学情分析：1. 教学对象：初三学生；2. 已具备知识和技能：掌握了圆的相关性质和应用，并对辅助圆有了初步认识.三、教学目标：1. 知识目标：（1）进一步巩固圆的定义和性质；（2）体会利用圆解决点的轨迹问题；（3）初步形成从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物.2. 能力目标：（1）提升转化能力，分类讨论能力；（2）同类型题目的总结归纳能力.3. 情感目标：（1）学生通过观察，发现构造辅助圆的条件，并且选择适合的方法做出辅助圆；（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识.四、教学重难点：1.教学重点：利用辅助圆解决有关问题.2.教学难点：初步形成用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件.五、教学策略：教学内容在公校少有涉及，但在很多时候是个实用工具和方法，所以本堂课采用讲练结合进行教学，注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程.六、课时安排：2小时七、教学过程：类型一：有公共端点的等线段（如下图）例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，求∠BDC的度数．变式练习：1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将∠AMN沿MN所在的直线翻折得到∠A′MN，连结A′C，求A′C长度的最小值.2.问题探究(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使∠APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形∠APD，并求出此时BP的长；(2)如图②，在∠ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由。
圆周角定理拓展之角度问题的辅助圆构造
《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案科目数学课题专题：构造辅助圆教师周韧班级初三（15）班时间2016.11．10学情分析在本节专题课前,学生已经完整学习了圆的所有基本知识,掌握了圆的有关性质,而角度问题是初中数学压轴题中一类比较困难的题型，本学段的学生对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,而利用辅助圆进行角度的转化是优于其他方式的，所以从这个新的视角解决角度问题需要我们帮助学生进行归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会发现模型,利用模型构造辅助圆，并初步形成构造曲线形辅助线的意识.教学目标1、进一步巩固圆的定义和性质以及圆周角定理；2、感受利用辅助圆解决角度问题的优势；3、能够从圆的“集合”定义出发，发现构造辅助圆的基本模型，发展到在图形中发现模型从而构造辅助圆；4、逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.教学重点利用辅助圆解决角度间的转化问题教学难点回归圆的“集合”定义，发现图形中构造圆的模型教学方法变式延伸，讲练结合、教师启发下的学生自主探究教学用具几何画板，圆规，直尺教学设计教学过程设计说明一、寻根溯源我们先来看看这道我们熟悉的题目，引例（课本P88习题）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC1、学生完成证明后，画板中展示解答；证明：∵OA，OB，OC都是圆O的半径，又∵弧AB=弧AB，弧BC=弧BC，∴∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.一、这是一道学生熟悉的题目，以此让学生体会利用圆周角定理可以进行角度转化，并让学生初步感受圆这一工具在转化角度时的方便与准确。
CBAO2、提问：在这道证明题中，证明的过程中用到了什么定理？而圆在这个问题中发挥了怎样的作用？思路是怎样的？生答：用到了圆周角定理，圆为本题提供了转化角的可能与便捷，思路是利用圆周角定理，将圆心角的条件转化为圆周角的结论从而得证。
提分微课(04)构造辅助圆市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
.
[答案] 13-2
[解析]连接 AE,则∠AED=90°,即∠AEB=90°,
故点 E 在以 AB 为直径的圆弧上,在 Rt△ABC 中,
图W4-8
AC=3,BC=5,∴AB=4.当 C,E,F 三点共线时,CE 取得最小值,
CE 的最小值=CF-EF= 32 + 22 -2= 13-2.
第22页
14.[·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两
点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A对应
点,点F是点D对应点.
(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD度数;
第14页
10.[·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所表示,其中
CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B‘为点B对应点,点D’为点D对应 点
,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E度数为
45°.
图W4-9
第15页
(2)定角
11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足
小值是
1.2 .
图W4-3
第5页
4.如图W4-4,在边长为4菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边中点,点N是AB边上一
动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则线段A'C长度最小值
是
.
图W4-4
第6页
[答案] 2 7 − 2
神奇的辅助圆——构造辅助圆解决平面几何问题的基本类型
神奇的辅助圆——构造辅助圆解决平面几何问题的基本类型谢雅礼
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2010(000)012
【摘要】对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题,若能根据题目的本质特征,联想到圆的有关知识,恰当地构造辅助圆,往往可化难为易,化繁为简,找到解题捷径.构造辅助圆的基本思路是:根据"圆的定义"构造辅助国、根据"圆周角的性质"构造辅助圆、根据圆内(外)角与圆周角的关系构造辅助圆、根据"弦切角的模型"构造辅助圆、根据"圆幂定理"构造辅助圆、根据"四点共圆的判定定理"构造辅助圆、根据"两圆相切的性质"构造辅助圆、根据"托勒密定理"构造辅助圆.
【总页数】4页(P43-46)
【作者】谢雅礼
【作者单位】福建省永春华侨中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》 [J], 孙明
2.构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》 [J], 孙明
3."圆"来如此简单
——"辅助圆"构造的解题探究 [J], 黄磊
4.探究点运动形成的路径问题构造辅助圆解决问题 [J], 叶玉霞
5.构造“辅助圆”解决几何问题 [J], 冉彦
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人教版初三数学上册圆周角定理中角度问题的辅助圆构造教学说明
《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位教学内容：本节课是人教版九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造，主要内容是经历从课本习题开始进行变式，探索在复杂的角度问题中，发现基本模型，从而构造辅助圆以此利用圆周角定理进行角度的转化，旨在帮助学生提炼思维以及在建立解决复杂几何问题时的寻找模型的意识。
教学目标：1、知识与技能：①、进一步巩固对于圆的“集合”定义以及圆周角定理的认识；②、能够利用辅助圆进行角度的转化；③、提炼模型意识，能够在图形中发现构造辅助圆的基本模型；2、过程与方法：①、在探索辅助圆的构造过程中，培养学生提炼基本模型的能力；②、在问题变式的探索过程中，培养学生语言转化，动手操作，代数计算的能力；③、通过学习培养学生分类讨论思想，化归转化思想；3、情感态度价值观①、让学生逐步建立多方位看问题的意识，能够多角度的认识事物，还原事物的本质；②、感受数学优秀思路中的简洁美。
二、本课时知识结构以及处理教材的个人思考本节课建构在完整学习了圆这个章节之后，学生对于圆的定义定理以及基本解题思路有了框架之上，但是绝大部分的学生对于知识体系的完整性缺乏一个总体的把握的情况下，圆是初中几何知识大融合的一个章节，伴随着圆所产生的几何问题需要学生对初中几何知识有较强的综合能力才能解决，而实际上本课时所教授的“含有公共端点的三条相等线段相等”的构造辅助圆模型是从圆的集合定义：“到定点的距离等于到定长的点的集合”是圆出发，将图形的本质还原出来，即线段的另外三个顶点是在一个“隐藏”的圆上，而利用圆周角定理进行角度的转化既是这个章节的核心要求之一，也是平面几何中角度问题的难点之一，所以在学习完圆这个章节之后，引入这个专题学习，对于提升学生看问题的视野和培养学生在图形中探究基本模型的思路都是很有帮助的，同时在选择例题时也遵循教学的螺旋式阶梯上升的方式，从学生熟悉的课本习题，理解原理→还原模型，比较使用圆与不使用圆两种解法的优劣→动手操作，学会发现模型→自主探究模型并应用模型→综合提升掌握模型，另外例题的实效性也能让学生在学习的过程中感受模型的价值，最终为让学生从更高层面感受模型意识以及对于圆的认识。
初中数学-构造辅助圆解题教法解析
教法解析
内容简介
Contents
教学内容分析 学生情况分析 教学设计思想 知识点回顾 典例分析
教学内容分析
【教学内容分析】
本节课的授课内容是学完《圆》后, 作为对学生能力提升的一个引申和补充的 内容，也属于构造辅助线的一种。
直线形 直线型辅助线
曲线形
圆 辅助圆
学生情况分析
教学设计思想
例题 Example
一、利用圆的定义添补辅助圆 1.直接用定义 2.间接用定义：共斜边的等腰直角三角形
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：需要多条共端点等线段时，
可以利用圆定义构造辅助圆
在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数
y
k x
的图象的一个交点为A（-1，n）.
如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且
∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，
∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路：经计算可得∠A=45°，△ABE， △BFH皆为等腰直角三角形，只需证 ∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠BHC，得B、G、 H、C四点共圆，由∠ sin∠B
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
在△ABC中，AD是BC边的中线，且∠B+∠CAD=90°.
试判断△ABC的形状，并加以证明.
思路：由需要倒角而想到构造外接 圆，根据90°进而确定直径，结合 垂径定理推论，分类讨论后即可得 到答案
BC
(3) 在图 2 中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值.
构造圆解决几何问题 优秀教学设计(教案)
A
A
B
D
B
C
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
1
∠CBD= ∠CAD=15°
2
解题策略：：利用圆的定义构造圆 （圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
D C
同类试题： 1．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD,BC=1，AB=AC=AD=2，则 BD 的长.为（ ）
3
同类试题：
3．（2018 北京一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，E 是矩形内部的 一个动点，且 AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为（ ）
A． B．2 ﹣2 C．2 ﹣2 D．4 解：如图，
∵AE⊥BE，∴点 E 在以 AB 为直径的半⊙O 上，
连接 CO 交⊙O 于点 E′，∴当点 E 位于点 E′位置时，线段 CE 取得最小值，
构造辅助圆解决几何问题
情景引入： 一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应 当排成什么样的队形?
结论：圆周上的点到圆心的距离处处相等
我们今天来学习构造辅助圆的问题：图中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.
一、利用圆的定义来构造圆 定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合
如图：所以，符合题意的点共有 8 个点．故答案为 8． y y y
P2
3
A
2
P3
1
O 1 2 P1
x
P4
3 P6 A 2
1
P5
O 12
x
P8
3
A
2
1
O 1 2 P7
x4
北师大版2019届九年级数学中考专题复习：添加辅助线构造圆来解决几何问题 专题复习教案
2019届九年级数学中考专题复习添加辅助线构造圆来解决几何问题专题复习教案学情分析：学生已经复习完了第一轮，掌握了初中阶段的基本数学知识和基本技能以及基本解决问题的能力，对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多．学生对于一些数学问题容易产生想法，但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的，就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究，简化证明过程，初步形成构造辅助圆的意识．设计意图：对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题．但辅助线的添加就被局限在直线形，实际上利用曲线形辅助线，在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表；利用辅助圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特．教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆的定义找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质，形成几何直观．教学重点：利用辅助圆解决有关问题；教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件．教学过程：情景引入：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?理论依据：圆周上的点到圆心的距离处处相等．我们今天来学习构造辅助圆的问题：题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.一、利用圆的定义来构造辅助圆定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．例1 、如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）．A.68°B.88°C.90°D.112°分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，由AB＝AC＝AD，可知点B、C、D 是在以A为圆心的圆周上，利用同弧上的圆周角与圆心角的关系来求解．解析：∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，点B、C、D是在以A为圆心的圆周上，∴∠BDC＝12∠BAC，∠CAD＝2∠CBD，∵∠BAC＝44°，∴∠BDC＝22°，∵∠CBD＝2∠BDC，∴∠CBD＝44°，∴∠CAD＝88°，故应选B．解题策略：利用圆的定义构造圆（圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合）建立模型：纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结构，如图所示，即共端点的三条等线段，不妨形象地称为“等线段三爪图”，让我们联想到“到定点距离等于定长的所有点的集合是圆”，即“见三爪，构建圆”．二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆解题策略：通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最小距离问题，实质是90°的圆周角所对弦是直径，巧妙构造圆后，求线段最值．三、利用“四点共圆”构造辅助圆例3、如图，四边形ABCD为矩形，BE平分∠ABC，交AD于点F，∠AEC =90°．(1)A、B、C、E四点共圆吗？(2)求∠ACE的度数；(3)求证：BE⊥ED．解：（1）A、B、C、E四点共圆.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°；又∵∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°；∴A、B、C、D四点共圆．（2）∵∠ABC =90°，BE平分∠ABC，∴∠ABE =45°，∴∠ACE=∠ABE =45°．（3）证明：连接BD；∵四边形ABCD是矩形，∴A、B、C、D四点共圆，并且BD是直径.又∵A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆.∴∠BED为直角，即BE⊥ED.四、当需确定等腰三角形的个数时构造圆例4.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．分析：先分类：①OA＝OP ；②PO＝P A；③AO＝AP；再画图．①OA＝OP：以O为圆心，以OA为半径画弧，与x轴交于P1、P2、P3、P4四个点；如图：②PO＝P A：OA的垂直平分线与x轴、y轴的交点分别为点P5、点P6；如图：③AO＝AP：以A为圆心，以AO为半径画弧，与x轴、y轴的交点分别为点P7、点P8；解析：如图：所以，符合题意的点共有8个点．故答案为8．xyA O【答案】8解题策略：在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种情况讨论：（1）求作某边等于已知边（线段）时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（2）求作另某边等于已知边（线段）时，以另一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（3）使已知线段为底边，未知两边为两腰时，作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上找符合题意的点．变式：如图，点A(1，-1)，点B(2，1)与点C组成以AB为腰的等腰三角形，点C在坐标轴上，求C点的坐标．C1(0，1) ，C2(-1，0) ，C4(3，0) ，C5(0，2) ，C6(4，0) ，C7(0，0)．四、总结提升1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆．（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆．（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆构造辅助圆．（4）当需确定等腰三角形的个数时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆．2.数学思想：建模思想、转化思想、分类讨论思想利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.3. 深入挖掘题目中的隐含条件；善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！ 正所谓:有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识，“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！那么构造隐圆的方法还有哪些？比如：定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等，在后面的课程中将继续完善这个话题.例如补充：定弦定角构造辅助圆在⊙O 中，若弦AB 长度固定，则弦AB 所对的圆周角相等.若有一固定线段AB 及线段AB所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知：点C 并不是唯一固定的点，点C 在⊙O 的优弧ACB 上均可.例 、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的两个动点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，求P 点的运动路径长？并求CP 的最小值？解：∵在等边△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ，BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△BCE ， ∴∠CBE ＝∠BAP ， 而∠CBE +∠ABP ＝60°，∴∠BAP +∠ABP ＝∠APE ＝60°， ∴∠APB ＝120°，∴点P 在以AB 为弦的⊙O 上，连接OC 交⊙O 于点P '，此时C P '最小. ∵∠APB ＝120°，∴∠AOB ＝120°，∵AB =3，∴3=OA ，32=OC ；∴3='C P ，∴P 点运动路径长为π332. 五、课后思考：1、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ,BC =1，AB =AC =AD =2，则BD 的长为（ ）A ．14B ．15C ．23D ．DABD解：四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠BDC =∠DBF ，∴BC =DF =1， 在RtΔBDF 中，BF =2AB =4，DF =1，∴BD =1522=-DF BF ．2、已知AB =AC =AD ,∠DAC =30°，∠BAC =80°，则∠CBD 的度数为 .同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∠CBD =21∠CAD =15°. 3、同类试题：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）.A ．23B ．2102-C ．2132-D ．4解析：如图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半⊙O 上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 位于点E ′位置时，线段CE 取得最小值，∵AB =4，∴OA =OB =OE ′=2，∵BC =6，∴OC==，则CE ′=OC ﹣OE ′=2-，故选：B ．4、已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为____________．，3，1）或（，－2），解析：根据题意，点A′的坐标存在以下三种情况：①如图1，当A′M∶A′N=1∶3时，又MN=4，所以A′M=1，A′N=3，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON=，所以点A′，3）；②如图②，当A′M：A′N=3:1时，又MN=4，所以A′M=3，A′N=1，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON=，所以点A′，1）；③如图③，当A′M：A′N=3:1时，即（A′N+4）：A′N=3:1，解得A′N=2，在Rt△OA′N中，ON=，所以点A′的坐标为（，－2）.5.在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(-6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA = 45°时，点C的坐标为.【答案】(0，12)或(0，-12)11 解析：（1）如图1，过点E 在第二象限作EP ⊥BA ，且EP =21AB =5,则易知△P AB 为等腰直角三角形，∠BAP =90°，P A =PB =25,以点P 为圆心，P A （或PB ）长为半径作⊙P ，与y 轴正半轴交于点C ，∵∠BCA 为⊙P 的圆周角，∴∠BCA =21∠BP A=45°,即点C 即为所求. 过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则OF =PE =5，PF =1在Rt △PFC 中，PF =1，PC ＝25，由勾股定理得：722=-=PF PC CF ；∴OC =OF +CF =5+7=12，∴点C 的坐标为（0，12） （2）如图2，在第三象限可参照（1）作同样的操作，同理求得y 轴负半轴上的点C 的坐标为（0，－12）综上所述，点C 的坐标为（0，12）或（0，－12）.6、如图，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°,AB =2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，求P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离 .解：当点时P 、B 、D 三点在一条直线上时，PD最短，BD 与AC 交于点, ∵在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AB =2，∴BO =3，即BD =23；∵BP =BA ，∴BP =2，∴PD 最小=232-. 。
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够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆.
1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在
的位置；
2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而
掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原
事物的本质.
辅助圆.
例 2、在平面直角坐标系中，已知 A（2，2），B（2，3），点 P 通过直角顶点的分类，并
在 y 轴上，且△ABP 为直角三角形. 请问满足条件的点 P 有几 利用直径所对的圆周角是
个？ 并求出它们的坐标. 解：（1）过点 A 作 AP⊥y 轴于 P
∴∠PAB=90° ∴P1（0，2）
直角，很快就能找到满足 条件的点 P；
（2）过点 B 作 BP⊥y 轴于 P
∴∠PBA=90° ∴P2（0，-3）
（3）以 AB 为直径作圆，交 y 轴于 P，设圆心为 D
∴∠APB=90°
∵D（2，-0.5）
∴AD=BD=PD=2.5
构造辅助圆也可以将问题
作 DE⊥y 轴于 E，则 E（0，-0.5） ∴DE=2，OE=0.5
转化为圆中的计算问题。
本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学
生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节
课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知
识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的
意识. 对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件, 从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限 在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的 集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰 富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多 种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究， 老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成 共识.学生探究时，以审条件，审图形，审结论的方式阐述，并说明解 题思路.这样其他同学听得也清楚明白. 对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能
《构造辅助圆》教学设计
丰台八中 赵鹏
科目 教师 学生情况分析
设计意图
教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学用具
数学
课题
专题：构造辅助圆
赵鹏
班级
初三（6）班
时间 2012.4.17
本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并
对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基
引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线 都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可 以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表， 今天，我们就来探究，构造辅助圆，还可以解决哪些类型的题 目？
本题可从两个方面入手解
例 1、如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，BAC=26， 决:1.利用等边对等角；2.
CAD=74，则 BDC =________°， DBC =________°
利用构造辅中圆周角与圆心角
的关系.
C
想达到的效果是:学生习
D
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？ 条件：__有公共端点的等线段_______________； 依据：__同圆半径相等_____________________.
∵∠PED=90°
∴ DE2 PE2 PD2
∴PE=1.5 ∴P3（0，1），P4（0，-2） 综上所述：共有 4 个点 P.
预案：可能有的学生会用相似解决问题，先表示赞同，再引导 用圆的知识求线段.
四、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆 （1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心， 等线段长为半径，构造辅助圆. （2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造 辅助圆.
（1）求反比例函数 y k 的解析式 x
（2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标. 提问：什么条件让你想到可以以 A 为圆心，OA 为半径作圆？
依据是什么？
设计说明
这是一道学生熟悉的题 目，以此告诉学生构造辅 助圆来解决问题是一种常 见的解题方法，那么构造 辅助圆还可以解决哪些类 型的题目呢？带着这样的 疑问，学生会主动寻找解 决问题的方法，从而提升 学生学习新知识的主动 性，实现构造圆解决问题 的思路.
小结 1：
惯于利用前者，少数人有 了引例中的方法意识，开 始从圆的定义出发构造辅 助圆.初步让学生尝到新 方法的甜头.从而强化辅
当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线 助圆的意识.
段长为半径，构造辅助圆.
二、类型二
引例:若 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC 的外接 让学生复习 90°的圆周
圆半径为_____________.
角所对的弦是直径，从而
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？ 条件：__直角___________________； 依据：__90°的圆周角所对的弦是直径________.
小结 2：
为例题构造辅助圆做铺 垫.
可以利用 90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造
2.数学思想：转化思想 利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的 点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
五、课后作业 1.在平面直角坐标系中，A（4，0），O 为坐标原点，求直线 y=x+3 上一点 P，使△AOP 是等腰三角形，这样的 P 点有几个？
2. 如图所示，在凸四边形 ABCD 中，AB=BC=BD,
利用辅助圆解决有关问题
建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件
讲练结合、教师引导下的学生自主探究
圆规、几何画板、尺子
教学设计
教学过程
一、类型一 引例（2011 北京 17） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
y=-2x 的图象与反比例函数 y k 的图 x
象的一个交点为 A（-1，n）.