第十章动量定理-精选
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第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
第10章 动量定理
第10章 动量定理10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？(A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。
(B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。
(C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。
(D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。
答：（C ）。
10-2 以下说法正确吗？（1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。
（2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。
（3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。
答：（1）× （2）× （3）√。
10-3 试求图中各质点系的动量。
各物体均为均质体。
答：(a)⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←），(c) K =0，(d) v )2(1m m K +=（→），(e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←），vm K y 1=（↓），v m m K 2221+=。
题10-3图10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。
在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。
一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。
答：S x = 200 ⋅2 N⋅s（→），S y = 246 ⋅7 N⋅s（↓）。
题10-4图题10-5图10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s，另一部分偏离一角α。
第十章 第二节 动量定理
例(P217例10-2)质量为m1的矩形板可在垂直于板面的光滑平面上运动， 板上有一半径为R的圆形凹槽，一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽 匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽的最右端(即q=0)。试求 甲虫运动到图示位置时，板的速度、加速度及地面对板的约束反力。 解 (1)质点系：板和甲虫 vr (2)受力分析 (质点系一般位置)
二、质点系的动量定理 第i质点 dpi /dt =Fi=Fie+Fii (Fie——质点系外力；Fii ——质点系内力) 质点系 Sdpi /dt = SFie +SFii d(Spi) /dt = SFie dp /dt = SFie 质点系动量定理的微分形式： 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的 矢量和。 改写为 dp = S Fiedt 积分 p2 - p1 = I e 质点系动量定理的积分形式： 在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作用于 质点系上外力冲量的矢量和。
投影形式
微分形式： dpx /dt =SFixe(三式) 积分形式： p2x- p1x =SIix e
三、动量守恒(质点系动量守恒定律) 如 SFie=0 则 p = p1= p2 =常矢量 如 SFixe=0 则 px = p1x= p2x =常量 注意：1．内力不能改变质点系的动量。 2．内力能改变质点系中各质点的运动(动量)
质点系动量守恒 px=常量 (3)运动分析 甲虫 v1=v1+vr 板 v1 系统动量 p=m1v1+m2v2 初始 px0=0 (4)质点系动量守恒
SFixe＝0
பைடு நூலகம்
q
v1
G1
G2
FN m 2 v r sinq v1 px=m1v1 +m2(v1▬vrsinq ) m1 m 2 2 m 2 vr cos q m2vrq cosq (q vr / R) a1 v1 ( m1 m2 ) R m1 m2 (5)动量定理求FN
第十章 动量定理
例题. 水平面上放一均质三
棱柱 A,在此三棱柱上又放一
均质三棱柱B. 两三棱柱的横
截面都是直角三角形,且质量
分别为M和m.设各接触面都 是光滑的,在图示瞬时, 三棱 柱A的速度为v, 三棱柱B相对 于A的速度为u, 求该瞬时系
A
B
统的动量.
解:取系统为研究对象
B v u
P PA PB
PAx = - M v PAy = 0 PBx = - m v + m u cos
二．质点系的动量定理 (e) (i ) 外力: Fi , 内力: F i
(i ) (i ) (i ) F 0 ; m ( F ) 0 或 m ( F i O i x i ) 0 。
质
(e) (i ) 点: d(mi vi ) Fi dt Fi dt
恒矢量
dp x Fx( e ) 0 , 则 px = 恒量 若 dt
小兔子向前走时，船会怎么样？
动量守恒定律
利用动量守恒原理，火箭 的运动
[例] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形 柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e) 受力分析， Fx 0, 水平方向 Px 常量。
A
PBy = - m u sin
Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin
二．冲量
1．力 F 是常矢量：
I F (t2 t1 )
2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量：
dI Fdt
I Fdt
第十章- 动量定理解析
解：
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
第10章动量定理-文档资料
m
v
2 C
F (e) n
m
dv C dt
F(e)
F (e) b
0
质心运动量守恒定律
1.若Fie 0
质心作匀速直线运动；若开始静止， 则质心的位置始终保持不变。
2.若Fx(e) 0
vCx =常数；若开始时速度投影等于零， 则质心沿该轴的坐标保持不变。 32
例题6
电动机的外壳和定子的 总质量为 m1 ,质心C1与转子 转轴 O1 重合 ；转子质量 为 m2 ，质心 O2 与转轴不 重合 ，偏心距 O1O2 = e 。
pm ivi mvC
m aC m iai F ie
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作
用于质点系外力的矢量和。
28
★ 质心运动定理的实例分析
定 向 爆 破
29
★ 质心运动定理的实例分析
驱动汽车行驶的力
m aC F ie F 1F 2F r
由质点系动量定理
p p 0 Ii(e)
q( v 2 v 1 )d ( W t F 1 F 2 F N )dt
q(v 2 v 1 ) ( W F 1 F 2 F N )
22
q(v 2 v 1 ) (W F 1 F 2 F N )
FNFN FN
C
O t
vB
x
B
pmCvC2ml
方向沿 vC 方向
11
？1
1
O
O1
求：图示系统的总动量。
？2
10第十章动量定理
FOy
C
A
vC
mg
dp x dt FOx dp y F mg Oy dt
FOx ml ( sin 2 cos ) 2 FOy mg ml ( cos sin )
第十章 动量定理
第十章 动量定理
第四节 动量定理的应用
例10-1 求质点系的动量。
【解】 vA v,
p A mv A
vB 0
M R
C
v
M
R
B
pB 0 pC Mv
A
θ
vA
m
p
px Mv cos p y mv Mv sin
2 x 2 y
p p
t2点的动量在某一时间间隔内的改变等于
作用于该质点的力在同一时间内的冲量。
第十章 动量定理
第二节 动量定理
二、质点系的动量定理
e ( i ) d mi vi Fi Fi dt
n n d mi vi F (e) i Fi (i ) dt i 1 i 1 i 1 n
对于质量不变的质点系，上式可写为：
n dvC m Fi ( e ) dt i 1
这就是质心运动定理：
质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受 外力的矢量和。
第十章 动量定理
n maC Fi ( e ) i 1
第三节 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx X , maCy Yi , maCz Z
第十章 动量定理
第二节 动量定理
(e) dp Fi dt
C
A
vC
mg
dp x dt FOx dp y F mg Oy dt
FOx ml ( sin 2 cos ) 2 FOy mg ml ( cos sin )
第十章 动量定理
第十章 动量定理
第四节 动量定理的应用
例10-1 求质点系的动量。
【解】 vA v,
p A mv A
vB 0
M R
C
v
M
R
B
pB 0 pC Mv
A
θ
vA
m
p
px Mv cos p y mv Mv sin
2 x 2 y
p p
t2点的动量在某一时间间隔内的改变等于
作用于该质点的力在同一时间内的冲量。
第十章 动量定理
第二节 动量定理
二、质点系的动量定理
e ( i ) d mi vi Fi Fi dt
n n d mi vi F (e) i Fi (i ) dt i 1 i 1 i 1 n
对于质量不变的质点系，上式可写为：
n dvC m Fi ( e ) dt i 1
这就是质心运动定理：
质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受 外力的矢量和。
第十章 动量定理
n maC Fi ( e ) i 1
第三节 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx X , maCy Yi , maCz Z
第十章 动量定理
第二节 动量定理
(e) dp Fi dt
第十章 动量定理
F (e) 0
则
vC 常矢量
Fx(e) 0
则
vCx 常量
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10-3 质心运动定理
例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1 ,假设受力偶作用以不变 的角速度ω 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,
如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ,质心在点C .在活
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10-3 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e) x
maCy F
(e) y
maCz Fz(e)
在自然轴上的投影式为:
2 dvC v m Ft (e) m C Fn(e) dt
0 Fb(e)
质心运动守恒定律 若
若
塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲 柄轴A 处的最大水平约束力Fx .
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10-3 质心运动定理
解: 如图所示
m1 m2 aCx Fx F
1 r xC m1 cos m2 r cos b 2 m1 m2 d 2 xC r 2 m1 aCx m2 cos t 2
附加动约束力
动约束力
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10-3 质心运动定理
由 得
n d (mvC ) Fi (e) i 1 dt n dvC 或 m Fi (e) i 1 dt
maC Fi (e)
i 1
n
－－质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系 外力的矢量和. 问题：内力是否影响质心的运动？ 质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
第十章 动量定理概论
vC
drC dt
d dt
mr
M
mv
M
mv MvC
p M vC
（10-5）
即质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。
对于质量均匀分布的刚体，质心也就是几何中心。用式 (10-5)计算刚体的动量是非常方便的。
例如，长为l，质量为m 的均质细杆，在平面内绕 O 轴转动， 角速度为w，如图10-2（a）所示。
10.1.2 冲量
冲量(Impulse)是表示作用于物体的力在一段时间内对物 体作用效果的累积。物体运动状态的改变，不仅与作用于物体上 的力的大小和方向有关，而且与力作用的时间的长短有关。
力与其作用时间的乘积称为该力的冲量，用 I 表示。冲量 是一个矢量，它的方向与力的方向一致。 冲量的单位是牛顿·秒( N ·s)。
质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量
(Momentum of system of particles)，记为 p 。
p mv
（10-1）
式(10-1)在直角坐标系 Ox y 的三个坐标轴的投影式为：
px py
mv
m
x
v y
pz
mv z
（10-2）
px ，py ，pz 分别表示质点系的动量在坐标轴 x ，y 和 z 轴 上的投影。
I F t 力 F 是常矢量时，冲量：
力 F 是变矢量时，在 dt 时间内，力F(t) 可以似近地认为 不变，力F(t) 在 dt 时间内的冲量(称为元冲量)为：
dI F tdt
设力的作用时间是由 t1 到 t2 ，则力 F(t) 在时间 ( t2-
t1) 内的冲量 I ，应等于在这段时间内元冲量的矢量和。即：
I t2 F t dt t1
第十章 动量定理
vr ，
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v) mvax 0
M (v) m(vrx v) 0
vrx M m v m
位移之比：Srx M m
S
m
m m S S rx ( a b) M m M m
6
[例3] 流体流过弯管时， 在截面AB和CD处的平均流速分别为 v1 ,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不 可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。 解：研究定常流动： （1）管内各点的速度、压强不随时间而改变； （2）流体的密度＝常量； （3）流量Q＝常量。 1、取ABCD所包含的流体为研究对象。 2、受力分析如图示。 3、运动分析：
Ma Cy Fy : 2 P P P P P e sin t 1 2 2 2 acy 1 Ny P 1 P 2 g g P P 1 2
e
P2 2 Ny P P e sin t 1 2 g
14
15
水平方向动量守恒 3
K x 常量。
运动分析，动点：小三角块， 动系：大三角块。 设大三角块的速度为 v， 小三角块相对大三角块速度为 则小三角块速度 va v vr
vr ，
5
设大三角块的速度为 v，
小三角块相对大三角块速度为 则小三角块速度 va v vr
t 运动分析： 系统的质心坐标： P P2 x2 1 x1 P2 e cost g g xc P P 1 P 2 1 P 2 g P P2 y2 1 y1 P e sin t g g yc 2 P P 1 P 2 1 P 2 2 2 d x P e cos t c 2 g acx 2 dt P 求导得系统的质心加速度： 1 P 2
第十章动量定理
Part B 动量定理 例题 4 矩形块的质量: 矩形块的质量 m1 虫的质量和相对于矩形块的速度: 虫的质量和相对于矩形块的速度 m2 vr (相对速度大小为常量 相对速度大小为常量) 相对速度大小为常量 初始状态: 初始状态 矩形块: 矩形块 静止 虫:位于矩形块圆形槽中的最右侧 位于矩形块圆形槽中的最右侧 求: 某瞬时角度为 θ ,矩形块的速度和 矩形块的速度和 加速度 vBox, aBox 以及地面对矩形 块的反力的大小
2
Part B 动量定理 [解 ]
m2
计算反力 FN
Py = m2 vr cos θ
dPy dt
m1
= FN − m1 g − m2 g
ɺ m2 vr (− sin θ )θ = FN − (m1 + m2 ) g
θ=
vr t R
ɺ θ=
vr R
m2 vr2 sin θ FN = (m1 + m2 ) g − R
若力 F 随时间变化, 则在微小时间段内:
dI = Fdt
I x = ∫ Fx dt
Unit: N·s 牛顿 秒 牛顿·秒
t1 t2 t2 t1
I = ∫ Fdt
t1
t2
I y = ∫ Fy dt
I z = ∫ Fz dt
t1
t2
Part A 冲量和动量 2. 动量
质点的动量. 质点的动量 质点的质量与其速度的乘积称为 质点的动量 质点的动量. 某瞬时质量为m 的质点的动量P : Unit: kg·m/s
表明质心的x坐标不变 (初始状态为 静止). 设质心的x坐标为坐标轴的原点
B
PxB + Qx A xC = P+Q
Part C 质心运动定理 [解 ]
动量定理
3 px mi vix
0 m2 v2 m3v3 cos a
x
m
3
a
O
2mv mv cos 45 2.71mv
例1 已知：三物块质量分别为 m1 = 2m2 = 4m3 = 4m ， 用绳相连放在固定的梯形台上，a = 60° ，物块速度 大小均为v ，不计绳与滑轮质量。试求：系统的动量。
e
i
0
，则
p p1 p2 常矢量
px px1 px 2 常量
若
F 0
e x
，则
§10-3
质心运动定理
一、质心运动定理
dp e Fi dt
d ( mvc ) e Fi dt
e
mac Fi
质心运动定理
一、质心运动定理 质心运动定理
mac Fi
解： 系统的动量大小，
y
v
m2
p
px p y
2
2
4.26mv
m1
a
O
系统的动量方向， 1 p x 1 2.71mv ( p, i ) cos cos p 4.26mv
x
m
3
309.5 ( p, j ) cos
1
py p
219.4
rc
mr m
i i
对t求导
vc
macx F
e x
e
直角坐标轴 的投影形式:
macy F
macz F
e y
e z
一、质心运动定理 质心运动定理
mac Fi
ma F
n c e n
e
自然轴 的投影形式:
0 m2 v2 m3v3 cos a
x
m
3
a
O
2mv mv cos 45 2.71mv
例1 已知：三物块质量分别为 m1 = 2m2 = 4m3 = 4m ， 用绳相连放在固定的梯形台上，a = 60° ，物块速度 大小均为v ，不计绳与滑轮质量。试求：系统的动量。
e
i
0
，则
p p1 p2 常矢量
px px1 px 2 常量
若
F 0
e x
，则
§10-3
质心运动定理
一、质心运动定理
dp e Fi dt
d ( mvc ) e Fi dt
e
mac Fi
质心运动定理
一、质心运动定理 质心运动定理
mac Fi
解： 系统的动量大小，
y
v
m2
p
px p y
2
2
4.26mv
m1
a
O
系统的动量方向， 1 p x 1 2.71mv ( p, i ) cos cos p 4.26mv
x
m
3
309.5 ( p, j ) cos
1
py p
219.4
rc
mr m
i i
对t求导
vc
macx F
e x
e
直角坐标轴 的投影形式:
macy F
macz F
e y
e z
一、质心运动定理 质心运动定理
mac Fi
ma F
n c e n
e
自然轴 的投影形式:
第十章：动量定理
例10-5
电动机的外壳和定子 的总质量为m1 , 质心C1 与转子转轴 O1 重合 ； 转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏 心距 O1O2 = e 。若转子 以等角速度 旋转。 求：电动机底座所受 的约束力。 解： 1、选择包括外壳、定子、 转子的电动机作为研究对 象，受力分析如图。
m1 g
m2 g
M
Fx
Fy
2、运动分析，各刚体质心的加速度
aC1 0, aC2 e 2
maCx Fx 应用质心运动定理 (e) ma F Cy y
(e)
aC2 C1
C2
m1 g
m2 g
M
Fx
注意到 m aC mi ai
m1 0 m2 e 2 cost Fx
F ——静滑动摩擦力；
FN ——台面对风扇的约束力； Ff ——空气流对风扇的反作用力
由平衡方程
F
则
x
0
Ff f s minW
又因 F f F f ，而 Ff ρ A 2
f s min
A 2
W
例10-2
巳知:轮心速度 ,半径为R ，重为Q 。平行杆 ABC 重P ,曲柄长 r ，其重量不计。 求：车轮均速运动时加于铁轨的附加压力的最大 值。
y
x
mA
v vB
v I
b
q
mB
解：对整个系统应用动量定理，得 大小 方向 ? √ √ ? ? √
条件不够，再以球A应用动量定理，得 大小 方向 ? √ ？ √
y
x
v IAB
v vB
v I
v vA - Iv AB
mA
mB
第10章动量定理
冲量的单位： Ns kgm/s 2 s kgm/s
3
§10-2 动量定理
1．质点的动量定理
由
d
(mv)
F
dd(tmv)
Fdt
动量定理的微分形式
即：质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。
对m上v 式积m分v0，时间0t由Fd0t到t，速I 度由动v量0变定为理v，的得积分形式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
dri dt
d dt
mi ri
令 m mi
rC
mi ri m
为质心
则
p
d
dt
mi ri
d dt (mrC )
mvC
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力 在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。
I
t2
Fdt
t1
质点系动量守恒定律
§10-2 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri
mmi
xC
m ix m
i
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
或
maC
F (e) i
i 1
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的乘
则
vC
常矢量
若
F (e) x
0
第十章 动量定理
N = m3 g cosθ
R YO = (m1 + m2 + m3 )g − m3 g cos θ + m3 g a sin θ − m2 a r
2
a X O = m3 R cosθ + m3 g cosθ sin θ r
电动机的外壳固定在水平基础上， 定子质量为 m1 ，转子质量为 m2 。设定子的质 心位于转轴的中心 O1 ，但由于制造误差，转 子的质心O2 到O1 的距离为e 。已知转子匀速 转动，角速度为 ω 。求基础的支座反力。
F = q ρ (v2 − v1 )
Fx = q ρ (v2 cos θ − (−v1 )) Fx = q ρ (v1 + v2 cos θ )
例 已知：P(平台)、Q（小车）、Vr，（铰车C重 量不计，平台与地面光滑接触），静止开始。 求：平台速度 解：1、研究对象： 平台、绞车、小车、绳系统 2、受力图： 受力特征： A N Q Vr P B
aC C FS mg C FN
（1）因没有摩擦，所以水平方向的外力为零。因此，由质心 运动定理可知，质心在铅垂线上做直线运动。 （2）因为有足够大的 摩擦，所以半圆柱做纯滚动。圆心（选 做基点）的运动为水平直线运动，质心相对基点做往复摆动， 因此，其运动轨迹为曲线（实际上是一种称为内摆线的曲 线）。
mi (vi+ − vi− ) = I i mi (vi+ − vi− ) = I i
Δ(∑ mi vi ) = ∑ I ie + ∑ I ii ΔQ = S e
例 以速度v飞行的炮弹在空气中炸 为质量相等的两块,第一块弹片的 速度与初始运动方向成α角,其速 度大小为2v,求第二块弹片的速度.
1 mv1 2
A1 第10章(1) 动量定理
l
例4 物块 mA 沿三角块 mB 的斜面滑下，斜 面倾角α，A与B、B与地不计摩擦，试在 系统运动中分析B对A的约束力。
解：
FN1 = m A gcosα ?
解：
自由度N＝2，广义坐标 q = (x，x r)
解：
受力分析与 加速度分析
解：
整体系统
e m a = F ∑ i cix Rx
macx = m A a Ax + mB aBx = 0
β
解
系统初始静止
(e ) FR x ≡0
y
ve
vB
x
A
p x = m Av Ax − mB vB = 0
T0 = 0
V0 = 0
O
va
B
vr
β
B 相对于A 运动了
s 距离
1 1 2 2 T = m A v A + mB v B 2 2
机械能守恒
V = −m A gs sin β
T + V = T0 + V0
vA
A
vD vC
P D
l vC = ω 2
vD = lω
ω AB
ω
O
ω AB
vD vD = = =ω PD l 2
vB
B
v A = PA ⋅ ω AB = 2lω cos ϕ
vB = PB ⋅ ω AB = 2lω sin ϕ
方向铅垂向上 方向水平向左
（2）系统的动量
px = −mv 1 C sin ϕ − 2mv 1 D sin ϕ − m2vB
G mi ∆rCi = 0
质点运动守恒定律
质心运动的守恒定律
(e ) FR x ≡0
例4 物块 mA 沿三角块 mB 的斜面滑下，斜 面倾角α，A与B、B与地不计摩擦，试在 系统运动中分析B对A的约束力。
解：
FN1 = m A gcosα ?
解：
自由度N＝2，广义坐标 q = (x，x r)
解：
受力分析与 加速度分析
解：
整体系统
e m a = F ∑ i cix Rx
macx = m A a Ax + mB aBx = 0
β
解
系统初始静止
(e ) FR x ≡0
y
ve
vB
x
A
p x = m Av Ax − mB vB = 0
T0 = 0
V0 = 0
O
va
B
vr
β
B 相对于A 运动了
s 距离
1 1 2 2 T = m A v A + mB v B 2 2
机械能守恒
V = −m A gs sin β
T + V = T0 + V0
vA
A
vD vC
P D
l vC = ω 2
vD = lω
ω AB
ω
O
ω AB
vD vD = = =ω PD l 2
vB
B
v A = PA ⋅ ω AB = 2lω cos ϕ
vB = PB ⋅ ω AB = 2lω sin ϕ
方向铅垂向上 方向水平向左
（2）系统的动量
px = −mv 1 C sin ϕ − 2mv 1 D sin ϕ − m2vB
G mi ∆rCi = 0
质点运动守恒定律
质心运动的守恒定律
(e ) FR x ≡0
第十章 动量矩定理汇总
第十章动量矩定理第1节动量矩动量定理建立了质点、质点系动量主矢的改变与外力系主矢的关系。
若当质心为固定轴上一点时，v C =0，则其动量恒等于零，质心无运动，这时用动量定理无法得到质点系的运动规律。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
一、质点的动量矩图10-1-1-1 质点动量对点的矩示意图质点对点O的动量矩：M 0 (mv)=r×mv质点对轴z 的动量矩：M z (mv)=xm v y −ym v x正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正。
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：[ M o (mv)] z = M z (mv)动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
二、质点系的动量矩质点系对轴o动量矩：L O = ∑ M O ( m i v i )= ∑ r i × m i v i质点系对轴z动量矩：L z = ∑ M z ( m i v i )=[ L O ] z三、刚体动量矩计算1.平动刚体L O = ∑ M O ( m i v i ) = ∑ r i × m i v c = r c ×m v c L z = M z (m v c )平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于将刚体的质量集中于质心时的动量对该点（轴）的动量矩。
2.定轴转动刚体L z = M z ( m i v i )= ∑ m i r i ⋅ω= J z ⋅ω定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
3.平面运动刚体L z = M z (m v C )+ J C ⋅ω平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
例1已知: 滑轮A：m1，R1，J1；滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 ，v3 ；几何关系: R1=2R2。
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在转轴中心上，偏心距O1O2 = e，已知转子以等角速w 转
动。试求电动机机座的约束力。
第二节 动量定理
解：建立坐标系O1xy，画受力图 机壳不动，质点系的动量就是转子的动 量，其大小为P=m2ew，假设t0时，
O1O2铅垂，有 w t
由质系动量定理有：
m 10m 2ew2sinwtFx m 10m 2ew2coswtFym 1gm 2g
sin w t
故 Fx m2w2ecoswt Fy m2w2esinwt(m1m2)g
y
w O2
e
O 1 m2g
x
m1g
Fx M O Fy
第三节 质心运动定理
10.3.3 质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线 运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒 等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度 投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
d pr dt
r Fi(e)
质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
（或外力的主矢）。
上式也可以写成
d p r F r(e )d t d I(e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
第二节 动量定理
质点系动量定理的微分投影形式
d d p tx F x (e ) d d p ty F y(e ) d d p tz F z(e )
太空中拔河，谁胜谁负？
系统不受外力作用，所以动量守恒
p m A v A m B v B ( m A m B ) v C 0
不分胜负！
第二节 动量定理
例6 质量分别为mA和mB的两个物块 A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。 B块放在地面上，静止时A块位于O 位置。如将A块压下，使其具有初位 移 X0 ， 此 后 突 然 松 开 ， 如 所 示 。 求 地面对B块的约束力NB。又X0多大时， B块将跳起？
v0
x
r
r W1 r
N1
N2
N F
v
x
N1
W1 N2
第三节 质心运动定理
10.3.1 质量中心
rvC
mirvi mirvi mi M
xC
m ixi mi
m ixi m
yC
m iyi mi
m iyi m
zC
m izi mi
m izi m
第三节 质心运动定理
10.3.2 质心运动定理
以上结论，称为质心运动守恒定理。
第三节 质心动定理
例9 如图所示，电动机外壳固定在水平 基础上，定子、转子的质量分别为m1、 m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于 制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，
已知转子以匀角速度w 转动。求： (1)
质心运动方程；(2) 基础对电机总的水 平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固 定，各处摩擦不计，初始时电机静止，
t
tg
0 .0 19 .8
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的
重量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
第二节 动量定理
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为 30o的导杆AB斜向上运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑 块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增 大到v＝2 m/s 所需的时间。
v0
x
第二节 动量定理
解：研究系统，建立坐标系。 F x(e)0pxc
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W 1 gW2v0W 1W g2W3v 代入已知数据，解得v＝3 m/s
再以小车为研究对象，由动量定理有
pxp0x Ft
W1 g
vW1 g
v0
Ft
代入已知数据，解得 F＝0.5 kN
r W3
r W2
质点系动量定理的积分形式
pdpv
t2
r F(e)
dt
或
p0
t1
p rp r0Ir(e)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用
于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
p x p 0 x I x ( e ) ,p y p 0 y I y ( e ) ,p z p 0 z I z ( e )
说明：
1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些 是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。 2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量 和，而不是代数和。
第二节 动量定理
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到 受锻压的工件上，工件发生变形历时 t ＝0.01 s ；求锤对工
件的平均压力。
y
h
第二节 动量定理
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均 反力N*表示。
y
r
G
h
锤自由下落时间
t1
2h g
m2vym1yvIy 00G (tt1)N t
r N*
N G (t1 1 ) G ( 12 h 1 ) 3 0 0 0 9 .8 (12 1 .5 1 ) 1 6 5 6 k N
由(2)式得
N CP si4n5 mcgo 3 s0
从而摩擦力为 F fC N f(P s4 i n 5 m cg 3 o )0 s
代入(1)式，求得所需时间为
t P c o s 4 5 o m g s in 3 0 o m f v ( P s in 4 5 o m g c o s 3 0 o ) 0 .0 9 4 1 s
第二节 动量定理
10.2.2 质点系的动量定理
度为设vi，由作n个用质在点该组质成点的上质的点外系力。与其内中力第的i合个力质为点F的r i (e质) 与量Fr为i ( i)m，i，由速质
点的动量定理有
d ( m iv r i) F r i( e ) F r i( i )d t ( i 1 ,2 , ,n )
X0 m(mAwA 2 cmoBs)wgt
X0minm m AA wm 2BgmA kmBg
x
AxA
静止 平衡位置
mA g O
k
mB g B
B
N
第二节 动量定理
例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳 和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转 子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不
e
O1
x
第三节 质心运动定理
(2) 以系统为研究对象
由质心运动定理 m a C x F x(e ), m a C y F y(e )
得 (m1m2)& x& CFx (m1m2)& y& C Fy m1gm2g
因
&x&C
m 2ew 2 m1 m2
cos w t
&y&C
m 2ew 2 m1 m2
支座的约束力为：
Fx m2ew2sinwt Fy m1gm2gm2ew2coswt
第二节 动量定理
例8 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0 ＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测 得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦 力。
第二节 动量定理
10.2.3 质点系动量守恒定律 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持 不变。 p＝p0 ＝恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零， 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
若 Fx(e) 0 ，则
px＝p0x ＝恒量
第二节 动量定理
思考题
第一节 动量与冲量
10.1.2 冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动 量的量纲相同。
常力的冲量
rr I Ft
rr
变力的冲量－元冲量 dI Fdt
而力
r F
在作用时间
t1
~t2内的冲量是矢量积分
r
I
t2
r F
d
t
t1
第二节 动量定理
2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
pvmivvi
第一节 动量与冲量
3）质心及用质心速度求质点系动量
定义质点系质量中心(质心) C 的矢径
rvC
mirvi mirvi mi m
则
pvmivvi
mi
drvi dt
d dt
mirvi
d dt
(mrvC)
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
w
AB作平面运动 v C2v Av C2A
vC2
lwl 2w2lw
2
pmlwm2lw5mwl 方向水平向右。
2
2
O
C1
mvC1
w
A
C2
mvC2
wr=w
B
第一节 动量与冲量
例3 已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA=l1， AB=l2， 轮的半径为R，轮作纯滚动，OA杆的角速度为w，求图示瞬时系 统的动量。
点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力
才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式
m
a
C
x
动。试求电动机机座的约束力。
第二节 动量定理
解：建立坐标系O1xy，画受力图 机壳不动，质点系的动量就是转子的动 量，其大小为P=m2ew，假设t0时，
O1O2铅垂，有 w t
由质系动量定理有：
m 10m 2ew2sinwtFx m 10m 2ew2coswtFym 1gm 2g
sin w t
故 Fx m2w2ecoswt Fy m2w2esinwt(m1m2)g
y
w O2
e
O 1 m2g
x
m1g
Fx M O Fy
第三节 质心运动定理
10.3.3 质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线 运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒 等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度 投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
d pr dt
r Fi(e)
质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
（或外力的主矢）。
上式也可以写成
d p r F r(e )d t d I(e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
第二节 动量定理
质点系动量定理的微分投影形式
d d p tx F x (e ) d d p ty F y(e ) d d p tz F z(e )
太空中拔河，谁胜谁负？
系统不受外力作用，所以动量守恒
p m A v A m B v B ( m A m B ) v C 0
不分胜负！
第二节 动量定理
例6 质量分别为mA和mB的两个物块 A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。 B块放在地面上，静止时A块位于O 位置。如将A块压下，使其具有初位 移 X0 ， 此 后 突 然 松 开 ， 如 所 示 。 求 地面对B块的约束力NB。又X0多大时， B块将跳起？
v0
x
r
r W1 r
N1
N2
N F
v
x
N1
W1 N2
第三节 质心运动定理
10.3.1 质量中心
rvC
mirvi mirvi mi M
xC
m ixi mi
m ixi m
yC
m iyi mi
m iyi m
zC
m izi mi
m izi m
第三节 质心运动定理
10.3.2 质心运动定理
以上结论，称为质心运动守恒定理。
第三节 质心动定理
例9 如图所示，电动机外壳固定在水平 基础上，定子、转子的质量分别为m1、 m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于 制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，
已知转子以匀角速度w 转动。求： (1)
质心运动方程；(2) 基础对电机总的水 平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固 定，各处摩擦不计，初始时电机静止，
t
tg
0 .0 19 .8
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的
重量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
第二节 动量定理
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为 30o的导杆AB斜向上运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑 块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增 大到v＝2 m/s 所需的时间。
v0
x
第二节 动量定理
解：研究系统，建立坐标系。 F x(e)0pxc
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W 1 gW2v0W 1W g2W3v 代入已知数据，解得v＝3 m/s
再以小车为研究对象，由动量定理有
pxp0x Ft
W1 g
vW1 g
v0
Ft
代入已知数据，解得 F＝0.5 kN
r W3
r W2
质点系动量定理的积分形式
pdpv
t2
r F(e)
dt
或
p0
t1
p rp r0Ir(e)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用
于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
p x p 0 x I x ( e ) ,p y p 0 y I y ( e ) ,p z p 0 z I z ( e )
说明：
1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些 是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。 2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量 和，而不是代数和。
第二节 动量定理
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到 受锻压的工件上，工件发生变形历时 t ＝0.01 s ；求锤对工
件的平均压力。
y
h
第二节 动量定理
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均 反力N*表示。
y
r
G
h
锤自由下落时间
t1
2h g
m2vym1yvIy 00G (tt1)N t
r N*
N G (t1 1 ) G ( 12 h 1 ) 3 0 0 0 9 .8 (12 1 .5 1 ) 1 6 5 6 k N
由(2)式得
N CP si4n5 mcgo 3 s0
从而摩擦力为 F fC N f(P s4 i n 5 m cg 3 o )0 s
代入(1)式，求得所需时间为
t P c o s 4 5 o m g s in 3 0 o m f v ( P s in 4 5 o m g c o s 3 0 o ) 0 .0 9 4 1 s
第二节 动量定理
10.2.2 质点系的动量定理
度为设vi，由作n个用质在点该组质成点的上质的点外系力。与其内中力第的i合个力质为点F的r i (e质) 与量Fr为i ( i)m，i，由速质
点的动量定理有
d ( m iv r i) F r i( e ) F r i( i )d t ( i 1 ,2 , ,n )
X0 m(mAwA 2 cmoBs)wgt
X0minm m AA wm 2BgmA kmBg
x
AxA
静止 平衡位置
mA g O
k
mB g B
B
N
第二节 动量定理
例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳 和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转 子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不
e
O1
x
第三节 质心运动定理
(2) 以系统为研究对象
由质心运动定理 m a C x F x(e ), m a C y F y(e )
得 (m1m2)& x& CFx (m1m2)& y& C Fy m1gm2g
因
&x&C
m 2ew 2 m1 m2
cos w t
&y&C
m 2ew 2 m1 m2
支座的约束力为：
Fx m2ew2sinwt Fy m1gm2gm2ew2coswt
第二节 动量定理
例8 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0 ＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测 得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦 力。
第二节 动量定理
10.2.3 质点系动量守恒定律 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持 不变。 p＝p0 ＝恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零， 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
若 Fx(e) 0 ，则
px＝p0x ＝恒量
第二节 动量定理
思考题
第一节 动量与冲量
10.1.2 冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动 量的量纲相同。
常力的冲量
rr I Ft
rr
变力的冲量－元冲量 dI Fdt
而力
r F
在作用时间
t1
~t2内的冲量是矢量积分
r
I
t2
r F
d
t
t1
第二节 动量定理
2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
pvmivvi
第一节 动量与冲量
3）质心及用质心速度求质点系动量
定义质点系质量中心(质心) C 的矢径
rvC
mirvi mirvi mi m
则
pvmivvi
mi
drvi dt
d dt
mirvi
d dt
(mrvC)
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
w
AB作平面运动 v C2v Av C2A
vC2
lwl 2w2lw
2
pmlwm2lw5mwl 方向水平向右。
2
2
O
C1
mvC1
w
A
C2
mvC2
wr=w
B
第一节 动量与冲量
例3 已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA=l1， AB=l2， 轮的半径为R，轮作纯滚动，OA杆的角速度为w，求图示瞬时系 统的动量。
点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力
才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式
m
a
C
x