第十章动量定理-精选
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v0
x
第二节 动量定理
解：研究系统，建立坐标系。 F x(e)0pxc
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W 1 gW2v0W 1W g2W3v 代入已知数据，解得v＝3 m/s
再以小车为研究对象，由动量定理有
pxp0x Ft
W1 g
vW1 g
v0
Ft
代入已知数据，解得 F＝0.5 kN
r W3
r W2
质点系动量定理的积分形式
pdpv
t2
r F(e)
dt
或
p0
t1
p rp r0Ir(e)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用
于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
p x p 0 x I x ( e ) ,p y p 0 y I y ( e ) ,p z p 0 z I z ( e )
X0 m(mAwA 2 cmoBs)wgt
X0minm m AA wm 2BgmA kmBg
x
AxA
静止 平衡位置
mA g O
k
mB g B
B
N
第二节 动量定理
例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳 和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转 子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不
说明：
1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些 是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。 2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量 和，而不是代数和。
第二节 动量定理
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到 受锻压的工件上，工件发生变形历时 t ＝0.01 s ；求锤对工
d pr dt
r Fi(e)
质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
（或外力的主矢）。
上式也可以写成
d p r F r(e )d t d I(e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
第二节 动量定理
质点系动量定理的微分投影形式
d d p tx F x (e ) d d p ty F y(e ) d d p tz F z(e )
yB
x45
P
C
30
A
第二节 动量定理
解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。
由动量定理得
yB
m v 0 ( P c o s 4 5 o m g s i n 3 0 o F ) t( 1 )
x45
P
C F
0 0 ( P s i n 4 5 o N C m g c o s 3 0 o ) t ( 2 ) N C mg 30 A
第一节 动量与冲量
例1 求动量
均质细杆
均质滚轮
均质轮
第一节 动量与冲量
例2 两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时， OA杆的角速度为w，AB杆相对OA杆的角速度亦为w。求此瞬时 系统的动量。
解：由刚体系统的动量公式 p m 1 v C 1m 2v C 2
其中：
vC1
l 2
d dt
r (mvC)
r F(e)
对于质量不变的质点系，上式可改写为
r mdvC
r F(e)
或
dt
m a rCF r(e)
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 (外力的主矢)。
第三节 质心运动定理
形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此
质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质
x
O
A
静止 平衡位置
X0
k
B
第二节 动量定理
取系统为研究对象，画受力图。
块A作简谐振动，初始条件为
x
xA t0 X0
x&A t0 0
所以 xAX0coswt
x& AX0wsinwt
AxA
静止 平衡位置
mA g O
系统的动量为
k
ww p x m A x & A m B x & B m A X 0s int
第三节 质心运动定理
10.3.3 质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线 运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒 等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度 投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
w
AB作平面运动 v C2v Av C2A
vC2
lwl 2w2lw
2
pmlwm2lw5mwl 方向水平向右。
2
2
O
C1
mvC1
w
A
C2
mvC2
wr=w
B
第一节 动量与冲量
例3 已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA=l1， AB=l2， 轮的半径为R，轮作纯滚动，OA杆的角速度为w，求图示瞬时系 统的动量。
件的平均压力。
y
h
第二节 动量定理
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均 反力N*表示。
y
r
G
h
锤自由下落时间
t1
2h g
m2vym1yvIy 00G (tt1)N t
r N*
N G (t1 1 ) G ( 12 h 1 ) 3 0 0 0 9 .8 (12 1 .5 1 ) 1 6 5 6 k N
v0
x
r
r W1 r
N1
N2
N F
v
x
N1
W1 N2
第三节 质心运动定理
10.3.1 质量中心
rvC
mirvi mirvi mi M
xC
m ixi mi
m ixi m
yC
m iyi mi
m iyi m
zC
m izi mi
m izi m
第三节 质心运动定理
10.3.2 质心运动定理
t
tg
0 .0 19 .8
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的
重量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
第二节 动量定理
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为 30o的导杆AB斜向上运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑 块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增 大到v＝2 m/s 所需的时间。
将n个方程相加，即得
d ( m iv r i) F r i( e ) d t F r i( i) d t
又因
r
r
d ( m iv i) d ( m iv i) d p
第二节 动量定理
由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，
即
r Fi(i)
0。于是可得
质点系动量定理的微分形式
dpr F ri(e)dt
支座的约束力为：
Fx m2ew2sinwt Fy m1gm2gm2ew2coswt
第二节 动量定理
例8 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0 ＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测 得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦 力。
点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力
才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式
m
a
C
x
m aCy
F (e) x
F (e) y
m aCz
F (e) z
自然轴上的投影式 m d d vtC F t(e),m vC 2 F n(e), F b(e)0
第二节 动量定理
10.2.3 质点系动量守恒定律 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持 不变。 p＝p0 ＝恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零， 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
若 Fx(e) 0 ，则
px＝p0x ＝恒量
第二节 动量定理
思考题
求转子以匀角速度w转动时电动机外壳
的运动。
y
w O2
e
O1
x
第三节 质心运动定理
解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，＝w t，即有
x10, y10
x2 ecoswt, y2 esinwt
故质心运动方程为
xC
m 2e cos w t m1 m2
yC
m 2e sin w t m1 m2
y
w O2
2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
pvmivvi
第一节 动量与冲量
3）质心及用质心速度求质点系动量
定义质点系质量中心(质心) C 的矢径
rvC
mirvi mirvi mi m
则
pvmivvi
mi
drvi dt
d dt
mirvi
d dt
(mrvC)
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
以上结论，称为质心运动守恒定理。
第三节 质心运动定理
例9 如图所示，电动机外壳固定在水平 基础上，定子、转子的质量分别为m1、 m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于 制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，
已知转子以匀角速度w 转动。求： (1)
质心运动方程；(2) 基础对电机总的水 平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固 定，各处摩擦不计，初始时电机静止，
第三篇 动力学
第十章 动量定理
❖ 动量与冲量 ❖ 动量定理 ❖ 质心运动定理
重点、难点： 动量定理、动量守恒定理、质心运动定理及质心运动守恒定理。
第一节 动量与冲量
10.1.1 动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为m vv 。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kg•m/s。
10.2.1 质点的动量定理
m a rmdv rd(m v r)F r dt dt
d(m v r)F rdtdI r
微分形式
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mvrmvr0t1 t2F rdtIr
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段
时间内的冲量。
第二节 动量定理
质系动量定理
mB g B
ww m A X 02 c o st N B m A g m B g
B
N
ww N B ( m A m B ) g m A X 02 c o st
第二节 动量定理
B块跳起的条件为NB = 0，即
ww ( m A m B ) g m A X 02 c o st 0
sin w t
故 Fx m2w2ecoswt Fy m2w2esinwt(m1m2)g
y
w O2
e
O 1 m2g
x
m1g
Fx M O Fy
在转轴中心上，偏心距O1O2 = e，已知转子以等角速w 转
动。试求电动机机座的约束力。
第二节 动量定理
解：建立坐标系O1xy，画受力图 机壳不动，质点系的动量就是转子的动 量，其大小为P=m2ew，假设t0时，
O1O2铅垂，有 w t
由质系动量定理有：
m 10m 2ew2sinwtFx m 10m 2ew2coswtFym 1gm 2g
第二节 动量定理
10.2.2 质点系的动量定理
度为设vi，由作n个用质在点该组质成点的上质的点外系力。与其内中力第的i合个力质为点F的r i (e质) 与量Fr为i ( i)m，i，由速质
点的动量定理有
d ( m iv r i) F r i( e ) F r i( i )d t ( i 1 ,2 , ,n )
e
O1
x
第三节 质心运动定理
(2) 以系统为研究对象
由质心运动定理 m a C x F x(e ), m a C y F y(e )
得 (m1m2)& x& CFx (m1m2)& y& C Fy m1gm2g
因
&x&C
m 2ewLeabharlann Baidu2 m1 m2
cos w t
&y&C
m 2ew 2 m1 m2
由(2)式得
N CP si4n5 mcgo 3 s0
从而摩擦力为 F fC N f(P s4 i n 5 m cg 3 o )0 s
代入(1)式，求得所需时间为
t P c o s 4 5 o m g s in 3 0 o m f v ( P s in 4 5 o m g c o s 3 0 o ) 0 .0 9 4 1 s
太空中拔河，谁胜谁负？
系统不受外力作用，所以动量守恒
p m A v A m B v B ( m A m B ) v C 0
不分胜负！
第二节 动量定理
例6 质量分别为mA和mB的两个物块 A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。 B块放在地面上，静止时A块位于O 位置。如将A块压下，使其具有初位 移 X0 ， 此 后 突 然 松 开 ， 如 所 示 。 求 地面对B块的约束力NB。又X0多大时， B块将跳起？
第一节 动量与冲量
10.1.2 冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动 量的量纲相同。
常力的冲量
rr I Ft
rr
变力的冲量－元冲量 dI Fdt
而力
r F
在作用时间
t1
~t2内的冲量是矢量积分
r
I
t2
r F
d
t
t1
第二节 动量定理
x
第二节 动量定理
解：研究系统，建立坐标系。 F x(e)0pxc
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W 1 gW2v0W 1W g2W3v 代入已知数据，解得v＝3 m/s
再以小车为研究对象，由动量定理有
pxp0x Ft
W1 g
vW1 g
v0
Ft
代入已知数据，解得 F＝0.5 kN
r W3
r W2
质点系动量定理的积分形式
pdpv
t2
r F(e)
dt
或
p0
t1
p rp r0Ir(e)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用
于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
p x p 0 x I x ( e ) ,p y p 0 y I y ( e ) ,p z p 0 z I z ( e )
X0 m(mAwA 2 cmoBs)wgt
X0minm m AA wm 2BgmA kmBg
x
AxA
静止 平衡位置
mA g O
k
mB g B
B
N
第二节 动量定理
例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳 和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转 子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不
说明：
1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些 是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。 2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量 和，而不是代数和。
第二节 动量定理
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到 受锻压的工件上，工件发生变形历时 t ＝0.01 s ；求锤对工
d pr dt
r Fi(e)
质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
（或外力的主矢）。
上式也可以写成
d p r F r(e )d t d I(e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
第二节 动量定理
质点系动量定理的微分投影形式
d d p tx F x (e ) d d p ty F y(e ) d d p tz F z(e )
yB
x45
P
C
30
A
第二节 动量定理
解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。
由动量定理得
yB
m v 0 ( P c o s 4 5 o m g s i n 3 0 o F ) t( 1 )
x45
P
C F
0 0 ( P s i n 4 5 o N C m g c o s 3 0 o ) t ( 2 ) N C mg 30 A
第一节 动量与冲量
例1 求动量
均质细杆
均质滚轮
均质轮
第一节 动量与冲量
例2 两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时， OA杆的角速度为w，AB杆相对OA杆的角速度亦为w。求此瞬时 系统的动量。
解：由刚体系统的动量公式 p m 1 v C 1m 2v C 2
其中：
vC1
l 2
d dt
r (mvC)
r F(e)
对于质量不变的质点系，上式可改写为
r mdvC
r F(e)
或
dt
m a rCF r(e)
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 (外力的主矢)。
第三节 质心运动定理
形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此
质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质
x
O
A
静止 平衡位置
X0
k
B
第二节 动量定理
取系统为研究对象，画受力图。
块A作简谐振动，初始条件为
x
xA t0 X0
x&A t0 0
所以 xAX0coswt
x& AX0wsinwt
AxA
静止 平衡位置
mA g O
系统的动量为
k
ww p x m A x & A m B x & B m A X 0s int
第三节 质心运动定理
10.3.3 质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线 运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒 等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度 投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
w
AB作平面运动 v C2v Av C2A
vC2
lwl 2w2lw
2
pmlwm2lw5mwl 方向水平向右。
2
2
O
C1
mvC1
w
A
C2
mvC2
wr=w
B
第一节 动量与冲量
例3 已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA=l1， AB=l2， 轮的半径为R，轮作纯滚动，OA杆的角速度为w，求图示瞬时系 统的动量。
件的平均压力。
y
h
第二节 动量定理
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均 反力N*表示。
y
r
G
h
锤自由下落时间
t1
2h g
m2vym1yvIy 00G (tt1)N t
r N*
N G (t1 1 ) G ( 12 h 1 ) 3 0 0 0 9 .8 (12 1 .5 1 ) 1 6 5 6 k N
v0
x
r
r W1 r
N1
N2
N F
v
x
N1
W1 N2
第三节 质心运动定理
10.3.1 质量中心
rvC
mirvi mirvi mi M
xC
m ixi mi
m ixi m
yC
m iyi mi
m iyi m
zC
m izi mi
m izi m
第三节 质心运动定理
10.3.2 质心运动定理
t
tg
0 .0 19 .8
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的
重量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
第二节 动量定理
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为 30o的导杆AB斜向上运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑 块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增 大到v＝2 m/s 所需的时间。
将n个方程相加，即得
d ( m iv r i) F r i( e ) d t F r i( i) d t
又因
r
r
d ( m iv i) d ( m iv i) d p
第二节 动量定理
由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，
即
r Fi(i)
0。于是可得
质点系动量定理的微分形式
dpr F ri(e)dt
支座的约束力为：
Fx m2ew2sinwt Fy m1gm2gm2ew2coswt
第二节 动量定理
例8 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0 ＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测 得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦 力。
点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力
才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式
m
a
C
x
m aCy
F (e) x
F (e) y
m aCz
F (e) z
自然轴上的投影式 m d d vtC F t(e),m vC 2 F n(e), F b(e)0
第二节 动量定理
10.2.3 质点系动量守恒定律 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持 不变。 p＝p0 ＝恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零， 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
若 Fx(e) 0 ，则
px＝p0x ＝恒量
第二节 动量定理
思考题
求转子以匀角速度w转动时电动机外壳
的运动。
y
w O2
e
O1
x
第三节 质心运动定理
解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，＝w t，即有
x10, y10
x2 ecoswt, y2 esinwt
故质心运动方程为
xC
m 2e cos w t m1 m2
yC
m 2e sin w t m1 m2
y
w O2
2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
pvmivvi
第一节 动量与冲量
3）质心及用质心速度求质点系动量
定义质点系质量中心(质心) C 的矢径
rvC
mirvi mirvi mi m
则
pvmivvi
mi
drvi dt
d dt
mirvi
d dt
(mrvC)
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
以上结论，称为质心运动守恒定理。
第三节 质心运动定理
例9 如图所示，电动机外壳固定在水平 基础上，定子、转子的质量分别为m1、 m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于 制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，
已知转子以匀角速度w 转动。求： (1)
质心运动方程；(2) 基础对电机总的水 平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固 定，各处摩擦不计，初始时电机静止，
第三篇 动力学
第十章 动量定理
❖ 动量与冲量 ❖ 动量定理 ❖ 质心运动定理
重点、难点： 动量定理、动量守恒定理、质心运动定理及质心运动守恒定理。
第一节 动量与冲量
10.1.1 动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为m vv 。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kg•m/s。
10.2.1 质点的动量定理
m a rmdv rd(m v r)F r dt dt
d(m v r)F rdtdI r
微分形式
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mvrmvr0t1 t2F rdtIr
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段
时间内的冲量。
第二节 动量定理
质系动量定理
mB g B
ww m A X 02 c o st N B m A g m B g
B
N
ww N B ( m A m B ) g m A X 02 c o st
第二节 动量定理
B块跳起的条件为NB = 0，即
ww ( m A m B ) g m A X 02 c o st 0
sin w t
故 Fx m2w2ecoswt Fy m2w2esinwt(m1m2)g
y
w O2
e
O 1 m2g
x
m1g
Fx M O Fy
在转轴中心上，偏心距O1O2 = e，已知转子以等角速w 转
动。试求电动机机座的约束力。
第二节 动量定理
解：建立坐标系O1xy，画受力图 机壳不动，质点系的动量就是转子的动 量，其大小为P=m2ew，假设t0时，
O1O2铅垂，有 w t
由质系动量定理有：
m 10m 2ew2sinwtFx m 10m 2ew2coswtFym 1gm 2g
第二节 动量定理
10.2.2 质点系的动量定理
度为设vi，由作n个用质在点该组质成点的上质的点外系力。与其内中力第的i合个力质为点F的r i (e质) 与量Fr为i ( i)m，i，由速质
点的动量定理有
d ( m iv r i) F r i( e ) F r i( i )d t ( i 1 ,2 , ,n )
e
O1
x
第三节 质心运动定理
(2) 以系统为研究对象
由质心运动定理 m a C x F x(e ), m a C y F y(e )
得 (m1m2)& x& CFx (m1m2)& y& C Fy m1gm2g
因
&x&C
m 2ewLeabharlann Baidu2 m1 m2
cos w t
&y&C
m 2ew 2 m1 m2
由(2)式得
N CP si4n5 mcgo 3 s0
从而摩擦力为 F fC N f(P s4 i n 5 m cg 3 o )0 s
代入(1)式，求得所需时间为
t P c o s 4 5 o m g s in 3 0 o m f v ( P s in 4 5 o m g c o s 3 0 o ) 0 .0 9 4 1 s
太空中拔河，谁胜谁负？
系统不受外力作用，所以动量守恒
p m A v A m B v B ( m A m B ) v C 0
不分胜负！
第二节 动量定理
例6 质量分别为mA和mB的两个物块 A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。 B块放在地面上，静止时A块位于O 位置。如将A块压下，使其具有初位 移 X0 ， 此 后 突 然 松 开 ， 如 所 示 。 求 地面对B块的约束力NB。又X0多大时， B块将跳起？
第一节 动量与冲量
10.1.2 冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动 量的量纲相同。
常力的冲量
rr I Ft
rr
变力的冲量－元冲量 dI Fdt
而力
r F
在作用时间
t1
~t2内的冲量是矢量积分
r
I
t2
r F
d
t
t1
第二节 动量定理