半对数法

y t y Ae
T1
Be
T2
Ce
T3
• 在对象响应的响应时间上， 依次量出 y y • 的数值分别点在半对数坐标上，连接各点 得线1，线1不是一条直线，但是时间t很大 时，即在线1的后半部分近似是一条直线。 因 t t T T1 T2 T3 ，当t很大时， T2 Be • 和Ce 衰 t Ae 减后的数值对应于T 衰减后的数值可以 忽略不计
• 以 作为纵坐标，t作为横坐标，得 一条直线。直线与纵坐标交于A，直线斜率为-1/T ln y y


tg
• 当 • 则t T
时
1 ln A ln M T 0t ln A ln M t
ln A ln M 1
M 0.368 A • 由此可以得到直线数值为0.368A时的时间，即为对 象的时间常数T,亦即MN=T
• 上式即为线5的直线方程式，直线与总坐标 交于C点，直线斜率为 ，则在直线5数 1 T 值等于0.368C时所对应的时间即为第三个 时间常数 ，这样就求得了三阶对象的 T3 传递函数
3
• 两边取对数：
t ln y y ln A T1
• 两边取对数：
Tt Tt t ln Be 2 Ae 1 y y ln C T3
半对数法
图1.21 用半对数法求一阶对象时间常数
K G s Ts 1 t y t K u 1 e T
t y t y 1 e T
y y y e

t T
t ln y y ln y T1
• 设三阶对象的传递函数为：
• 其阶跃响应是：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图1.22 三阶对象时间常数的求解 (a)三阶对象阶跃响应；(b)时间常数T1、T2、T3的求解
• 设已知一个三阶惯性环节的传递函数为
K G s T1s 1T2 s 1T3 s 1
• 且 ，则对象的阶跃响应可表示为 • T1 T2 T3 t t t • （1）
2
1
y y Ae


t T1
Be

t T2
Ae
t T1
y y Be

t T2
• 两边取对数后得
Tt t ln Ae 1 y y ln B T2 • 这是一直线方程式，式中 t 即为直线2， • 即为曲线1，两者之差即为线3。同前一样，将线3 Ae T1 y y 直线段延长交于纵坐标B点（t=0），得线4，其斜率 1 为 ，
T2
• 则在直线4的数值等于0.368B所对应的时间，即为对象的 第二个时间常数 T2
• 线3还不是直线，继续用上法将线4之值减 去同一时间下线3之值，得线5。由图看出， 线5是一根近似直线，说明对象是一个三阶 惯性环节。由式（1）仿上作法可得
Tt Tt t 2 1 ln Be Ae y y ln C T3
3
1
• 式（1）可近似表示为 • t • 或 y y Ae T1 • • 上式两边取对数后得
y y Ae

t T1
•
t ln y y ln A T1
• 这与一阶惯性环节一样。基于这样的假设， 就可将线1的直线段延长相交于纵坐标 （t=0）点A，得到线2，直线2的斜率 1 T 为 ，由此求得直线2数值0.368A所对应 的时间即为对象第一时间常数
1
T1
• 当t较小时，曲线1不是直线，主要是由于t 较小时， 等的影响不能忽略不计，因而 Be 在求取时必须同时考虑。如果我们将线2的 数值减去同一时间下线1的数值（是真数不 是对数），得线3。当t较大时，线3后面部 分近似一直线。
t T2
• 这是因t较大时， t 衰减后的数值对于 T3 • 和 t Ce 衰减后的数值可以忽略不计， t Ae T Be T 则式（1）可写成