平面任意力系的平衡条件和平衡方程
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理论力学平面力系2
§2-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F’R=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢R’ 和主矩 MO 都等于零，即：
′ FR = (∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 = 0
M O = ∑ M O (Fi ) = 0
48
∑F ∑F
ix
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
M F
45o
q
A l
B
56
解：
1. 取梁为研究对象，受力分析如图
M F
45o
2. 列平衡方程
∑ Fx = 0,
FAx − F cos 45o = 0
q
A l
B
∑ M (F ) = 0
A
∑ Fy = 0,
FAy − ql − F sin 45o = 0
y
q FAx
A
M
45o
l M A − ql × − F cos 45 o × l + M = 0 2 3. 解方程 FAx = F cos 45o = 0.707 F F
F A
F B
66
刚架 ABCD 所受载荷和尺寸如图所示。其中，集中力 F=8 kN ， 均布载荷的集度 q = 100 N/m，力偶矩大小M = 4 kN•m。如果不 计刚架的重量，求固定铰链支座A 和活动铰链支座D对刚架的约 束力。 θ = 60 o
由于 F’R=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢R’ 和主矩 MO 都等于零，即：
′ FR = (∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 = 0
M O = ∑ M O (Fi ) = 0
48
∑F ∑F
ix
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
M F
45o
q
A l
B
56
解：
1. 取梁为研究对象，受力分析如图
M F
45o
2. 列平衡方程
∑ Fx = 0,
FAx − F cos 45o = 0
q
A l
B
∑ M (F ) = 0
A
∑ Fy = 0,
FAy − ql − F sin 45o = 0
y
q FAx
A
M
45o
l M A − ql × − F cos 45 o × l + M = 0 2 3. 解方程 FAx = F cos 45o = 0.707 F F
F A
F B
66
刚架 ABCD 所受载荷和尺寸如图所示。其中，集中力 F=8 kN ， 均布载荷的集度 q = 100 N/m，力偶矩大小M = 4 kN•m。如果不 计刚架的重量，求固定铰链支座A 和活动铰链支座D对刚架的约 束力。 θ = 60 o
平面任意力系
且其作用线互相平行的力系。
∑ ∑
Yi 0 or
Xi 0
∑
M o Fi 0
A、B两点
∑
M A Fi 0
∑
M B Fi 0
的连线不 能与各力 的作用线 平行
例1：图示吊车，起吊物 重W=30kN，横梁单位长 度重q =4.2N/cm，l=5m， x=l /4。求A、B约束力。
R R2 R2 42kN
O
Ox
Oy
arctg ROy 52.4
ROx
2）求力系的主矩 M A 1 25 2 20 sin60 - 3 18 sin30 32.6kN m
3）求合力作用线到A点的距离 d M A 32.6 0.777
RO 42
个固定矢量。与简化中心密切相关，简化中心不同 其主矩一般也不相同，简化中心就是其作用点。
力系的合力：为主矢和主矩的合力，是一个固定矢量。与
原力系互为等效力系，不仅仅取决于主矢和主矩的 大小、方向及转向，还必须指出其作用线。
例1：正三角形ABC边长为a，受力如图，且F1=F2=F3=F。
求力系的主矢、对A点的主矩及力系合力作用线的位置。
解：1）求力系的主矢
ROx F1 F2 cos 60 F3 cos 60 2F ROy F2 sin60 F3 sin60 0
F3
CC
RO
R2 Ox
R2 Oy
4F2 0 2F
2）求对A点的主矩
2F
A
BB
F1
MA C
M A aF2 sin60 0.87aF
第四章：力系的平衡条件与平衡方程
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.
平面任意力系的平衡资料
' FDx FE cos 45 2 F
MB o
' FDx a F 2a 0
得
' FDx 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
例311 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连 接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处 的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
O1 B O2 A
三矩式平衡方程为：
相比较二矩式最简单
M M M
O1 O2 C
0 :N B 2a W cos a W sin b 0 0 : N A 2a W cos a W sin b 0 0 : T b N Aa N B a 0
二矩式平衡方程为：
X 0 : T W sin 0 M 0 :N 2a W cos a W sin b 0 M 0 : N 2a W cos a W sin b 0
O1 B O2 A
解得：
T W sin 5kN W cos a W sin b NA 3.33kN 2a W cos a W sin b NB 5.33kN 2a
解得
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
m
,
平面任意力系
解：
对象：小车ABC T, TC = G, NA, NB
y
h
分析力：
C TC
E
d
T
B NB b x
选轴列平衡方程：
A Nb A G
X T T c sin 0 T T c sin 1 . 04 kN
N
A
Y
N B T c cos 0
B
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重 W==40kN,外伸端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和 轴向力Q=40kN。L=20cm. 求两轴承的约束力。
解：
对象：轮轴
y YA L XA A W
A
分析力： W, P, Q, YC, XA, YA 选轴列平衡方程：
L L B C d YC
m 2 2P 20 0 . 8 2 16 0 .8 2 20 12 KN
(3) 解方程组；
RB qa 2
R Ay P qa R B 20 20 0 . 8 12 24 KN
平面任意力系平衡方程的其它形式
平衡方程的多矩形式
m A (F ) N
2 b Td T c cos b T c sin h 0
N
B
T c sin ( h d ) T c cos b 2b
1 . 67 kN
代入二式解得 或利用两矩式
N
A
T C cos N B 2 . 19 kN
B
F’1
n
平面任意力系三
F’R O MO
汇交力系合力的力矢称为原力系的主矢。
08静定与静不定问题
38
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
27
二、截面法 I
中心线的交点上，称为节点（结点）。
（3）所有荷载和支座反力都在桁架平面内，且都作用在桁架的
节点上。
（4）桁架杆件的自重可忽略不计，或将杆件的自重平均分配在
杆件两端的节点上。
根据以上假设，桁架中每一根杆都是二力杆，因此，杆件只受
拉力或压力。
24
工程力学中常见的桁架简化计算模型
计算桁架各 杆内力的方 法有： 节点法和截 面法
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3
§4-5 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 所以 , 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
YA S5sin P0
S5 0
X 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
28
说明： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
29
三、特殊杆件的内力判断
的系统叫∼。 [例]
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
平面力系的平衡条件与平衡方程式
A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，
从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。
三矩式平衡方程为
M A 0 M B 0 M C 0
其中，A，B，C三点不得共线。
图 2-16
由 M A 0 ， M B 0 知，该力系只可能为作用线过A，B
两点的合力或是平衡力系；
Fy 0
M O 0 （2-22）
图 2-19
对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何 轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。 所以，平面力偶系的平衡方程为
MO 0
理论力学
的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力 系就平衡。其平衡方程为
Fx 0
Fy
0
（2-21）
图 2-18
例
对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化 后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与 该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满 足的，故其平衡方程式为
M A 0
M B 0
Fx 0
（2-19）
式中，AB连线不得与x轴相垂直。
方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 M A 0 知，
该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，
或者为平衡力系；
由 M B 0 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线
最后，由 Fx 0 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，
理论力学
平面力系的平衡条件与平衡方程式
平面力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。
证
由主矢为零，即
从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。
三矩式平衡方程为
M A 0 M B 0 M C 0
其中，A，B，C三点不得共线。
图 2-16
由 M A 0 ， M B 0 知，该力系只可能为作用线过A，B
两点的合力或是平衡力系；
Fy 0
M O 0 （2-22）
图 2-19
对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何 轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。 所以，平面力偶系的平衡方程为
MO 0
理论力学
的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力 系就平衡。其平衡方程为
Fx 0
Fy
0
（2-21）
图 2-18
例
对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化 后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与 该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满 足的，故其平衡方程式为
M A 0
M B 0
Fx 0
（2-19）
式中，AB连线不得与x轴相垂直。
方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 M A 0 知，
该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，
或者为平衡力系；
由 M B 0 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线
最后，由 Fx 0 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，
理论力学
平面力系的平衡条件与平衡方程式
平面力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。
证
由主矢为零，即
材料力学第4章 平面任意力系
MO
M1
M
2
M
n
(2-2)
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它
反映了原力系中各力的作用线相对于点O的分布情
况，称为原力系对点O的主矩。
理论力学
静力学
平面任意力系
15
平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心， 其大小及方向等于力系的主矢，该力偶之矩等于力 系对于简化中心的主矩。
(2)
理论力学
静力学
平面任意力系
37
例题
MA(F) 0
FT AB sin 300 P AD F AE 0
(3)
由(3)解得
FT
2P 3F 4sin 300
(2 4 3 10)kN m 4m 0.5
19
kN
以
FT
之值代入式(1)、
例如，铁轨给轮 子的力等。
理论力学
静力学
平面任意力系
28
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部
各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压
力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构
件的轴线分布。
理论力学
静力学
平面任意力系
29
荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
值为多少？
理论力学
静力学
平面任意力系的平衡
平面任意力系的平衡
1.平面任意力系的平衡条件
力系的主矢 FR 和对任一点的主矩 MO 都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
①基本式
F=0，M 0
R
O
Fix 0 Fiy 0 M O(Fi) 0
平面汇交力系的平衡
2.平面任意力系的平衡方程其他形式
②二矩式
Fx 0 M A(F ) 0 MB (F ) 0
B A
③三矩式
F M A(F ) 0 x MB (F ) 0 MC (F ) 0
F
B
. A C
x
x轴不得垂直于AB的连线。
A、B、C三点不得共线。
上式只有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3.平面平行力系平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。 y 平面平行力系为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时， F1
也应满足平面任意力系的平衡方程。
选如图的坐标，则 F =自0 然满足。于是平面平行力系 x O
的平衡方程为：
F3 Fn
F2
x
Fy 0； M O (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
MA (F ) 0； MB (F ) 0 其中AB连线不能与各力的作用线平行。
平面任意力系的平衡
平面任意力系的平衡
3.联立求解
4.不翻倒的条件是：FA≥0，
所以由上式可得
G3
G2
G
A
G1 B
1.8 m
FA
2.0 m
FB
2.5 m
3.0 m
故最大起吊重量为
Gmax= 7.5 kN
平面力系的平衡问题求解步骤
1.根据问题和条件，选取研究对象。 2.分析研究对象的受力情况，画受力图。 3.根据受力类型列平衡方程。 4.求解。校核和讨论计算结果。
1.平面任意力系的平衡条件
力系的主矢 FR 和对任一点的主矩 MO 都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
①基本式
F=0，M 0
R
O
Fix 0 Fiy 0 M O(Fi) 0
平面汇交力系的平衡
2.平面任意力系的平衡方程其他形式
②二矩式
Fx 0 M A(F ) 0 MB (F ) 0
B A
③三矩式
F M A(F ) 0 x MB (F ) 0 MC (F ) 0
F
B
. A C
x
x轴不得垂直于AB的连线。
A、B、C三点不得共线。
上式只有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3.平面平行力系平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。 y 平面平行力系为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时， F1
也应满足平面任意力系的平衡方程。
选如图的坐标，则 F =自0 然满足。于是平面平行力系 x O
的平衡方程为：
F3 Fn
F2
x
Fy 0； M O (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
MA (F ) 0； MB (F ) 0 其中AB连线不能与各力的作用线平行。
平面任意力系的平衡
平面任意力系的平衡
3.联立求解
4.不翻倒的条件是：FA≥0，
所以由上式可得
G3
G2
G
A
G1 B
1.8 m
FA
2.0 m
FB
2.5 m
3.0 m
故最大起吊重量为
Gmax= 7.5 kN
平面力系的平衡问题求解步骤
1.根据问题和条件，选取研究对象。 2.分析研究对象的受力情况，画受力图。 3.根据受力类型列平衡方程。 4.求解。校核和讨论计算结果。
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0 恒成立 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重 心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示，水平梁由AB和BC两部分组成，它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在C处受滚 动支座支持，该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN，均布载荷q=2KN/m，尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）任何第四个方程只是前三个方程的线 性组合，因而不是独立的。
我们可以利用这个方程来校核计算的结果。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1．平面平行力系是平面任意力系的一种特 殊情形。 2．如图3-10 所示，设物体受平面平行力系 F1，F2，…，Fn 的作用。如选取 x 轴与各力 垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在 x 轴上的投影恒等于零，即 。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q， 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）求解方程
求解以上方程，得
FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。 c．如果再加上 ，那么力系如 有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
平面任意力系的平衡
20
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
4.2第4-2章平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可； （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
例 题 1 已知：M=Pa
求：A、B处约束反力。
PC
2a M D
a
解法1: (1) 取刚架为研究对象
(2) 画受力图
A FAx
B
(3) 建立坐标系,列方程求解
解得:
P2
Pe a
P1l b
P2
a
l
（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0
e
P
P1
M A 0, P2a FNBb P(e b) 0
解得:
P2
P(e b) a
A
B
FNA
b
FNB
因此，P2必须满足：
Pe P1l ab
P2
P(e b) a
解：取图示部分为研究对象
M B 0 P 3 FA .4 0
A
E
D
B
C
r
a
a
FA 9kN
Fx 0 FA FBx 0
FBx FA 9kN
Fy 0 FBy P 0
FBy P 12kN
A
FA
E
C
P
D r
P
B
FBx FBy
例 题6
FAx
Fy 0
FTE A
FAy
FB
D 45°
r
B
P
FAy P FB sin 45o 0 FBy 6kN
例 题7
已知：如图，
力系的平衡条件与平衡方程资料
mB (F ) 0
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
3-2平面力系的平衡条件
G3 A
1.8 m
G2 G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
例题
3-5
解： 1.取汽车及起重机为研究 取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。 列平衡方程。 列平衡方程
G3 G2 G
3.0 m
A
1.8 m
G1
2.0 m
B
2.5 m
∑F = 0,
F y
F
c
C
α
B
FAy
A
FAx
α D C E B xA来自WDaWE
b
解：
WD W
WE
l
1.取伸臂 为研究对象。 取伸臂AB为研究对象 取伸臂 为研究对象。 2.受力分析如图。 受力分析如图。 受力分析如图
3.选如图坐标系，列平衡方程。 3.选如图坐标系，列平衡方程。 选如图坐标系
∑F = 0, ∑Fy = 0, ∑M (F) = 0,
∑F = 0 , ∑F
x
y
= 0,
∑m (F) = 0
O
力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的 投影的代数和分 力系中的 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 分 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 对任一点矩的代数和也等于零
∑F = 0,
x
FAx = 0
∑F
y
= 0,
FAy − F + FD = 0
AB −F× + FD × 2 − M = 0 2
y M FAy
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（3-7）
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
结论:
平面任意力系平衡的解析条件是： 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影 的代数和分别等于零，以及各力对于任意一 点的矩的代数和也等于零。
式（3-7）称为平面任意力系的平衡方程 （为便于书写，下标 i 可略去）。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2
起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动； 起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。 起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。 求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q， 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程
解上述方程，得
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例 3-4
自重为 P = 100 kN 的 T 字型刚架 ABD， 置于铅垂面内，载荷如图 3-8a 所示。其中 M = 20 kN· m ， F = 400 kN ，q = 20 kN/m ， l=1m。 试求固定端 A 的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
2．平面任意力系平衡的必要条件 由上一节分析结果可见：若主矢和主矩 有一个不等于零，则力系应简化为合力或合 力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一 步简化为一个合力。 上述情况下力系都不能平衡，只有当主 矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此， 式 （3-6） 又是平面任意力系平衡的必要条 件。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 a
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解：
（1）取 T 字形钢架 ABD 为研究对象
钢架ABD上除主动力外，还受有固定端 A 处的约束力FAx ，Fay 和约束力偶 MA 。 线性分布载荷可视为一组平行力系，将 其简化为一个集中力F1 ，其大小为
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系的平衡 条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面任意力系平衡的必要
和充分条件 二、关于平面任意力系的例题 三、平面任意力系平衡方程的 其他形式 四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-6
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解：
（1）以起重机为研究对象
以起重机为研究对象，它所受的主动力 有P1和 P2。由于对称性，约束力和主动力都 位于同一平面内。止推轴承 A 处有两个约束 力FAx ，FAy ，轴承 B 处只有一个与转动轴垂 直的约束力FB ，约束力方向如图 3-6 所示。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3．平面任意力系平衡的必要和充分条件 于是，平面任意力系平衡的必要和充分 条件是： 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于 零。 这些平衡条件可用解析式表示。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
将式（3-2）和பைடு நூலகம்3-3）代入式（3-6）， 可得
例3-3
图3-7所示的水平梁 AB，A 端为固定铰 链支座，B 端为一滚动支座。 梁的长为 4a， 梁重 P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上 受均布载荷 q 作用，在梁的 BC 段上受力偶 作用，力偶矩 M = Pa 。 试求 A 和 B 处的支座约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-7
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程
解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解题技巧：
（1）从上述例题可见，选取适当的坐标 轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的 未知数的数目。
（2）在平面任意力系情形下，矩心应取 在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽 可能多的未知力相垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
三、平面任意力系平衡 方程的其他形式
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
其作用线可利用合力矩定理确定：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
式中，h 是点 A 到集中力 F1 的距离，由上 式求得 h = l ， 即集中力作用于三角形分 布载荷的几何中心。 刚架受力图如图3-8b 所示。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
一、平面任意力系平衡 的必要和充分条件
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1．平面任意力系的充分条件 现在讨论静力学中最重要的情形，即平 面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形 （3-6）
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
显然，主矢等于零，表明作用于简化中 心 O 的汇交力系为平衡力系；主矩等于零， 表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系 必为平衡力系。 因此，式（3-6）为平面任意力系的充分 条件。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）求解方程
求解以上方程，得
FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程