江苏省2019-2020届高三模拟考试数学试卷(含答案)

高三年级第三次模拟考试(十八) 数学(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝1

2cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长.

圆锥的体积公式：V ＝1

3Sh ，其中S 为圆锥的底面积，h 为高.

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0

2. 已知复数z ＝3＋4i

5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．

3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2

＝1，则其离心率为________.

4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________.

5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________.

6. 不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4. 若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________.

7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 2，则S 12

S 8

＝________.

8. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π

3(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________.

9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a ＋2b 2＋4

b

的最小值为________.

10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f (3x )>f (x 2＋2)

的解集为________.

11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________.

12. 已知点P 在曲线C ：y ＝1

2x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直

的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________.

13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →

的

最小值为________.

14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝3

2ax 上方，则实数

a 的取值范围为________.

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD. 求证：

(1) EF ∥平面ABC ； (2) CE ⊥AB.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C

. (1) 求角A 的大小；

(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1

4，求cos C 的值.

某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；

(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为

A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；

(3) 如果A 1H →＝λA 1P →

，试求λ的取值范围.

已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －a ln x ，其中a ∈R.

(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f (x )的极小值不超过a

2

，求实数a 的最小值；

(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N *，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n

－1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立.

(1) 如果1a 1，1a 2，1

a 3成等差数列，求实数λ的值；

(2) 已知λ＝1.

①求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等差数列；

②已知a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1＝1a 1，b 2＝1a 2，b 3＝1

a i

(i ∈N *)．求

证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 中的项．

高三年级第三次模拟考试(十八)

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤b c 0 1，求A 2.

B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，

y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)．以坐标

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上的两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝

⎛⎭⎫23，π

6，求直线l 被曲线C 截得的弦长.

C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)

已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2.求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2

a ＋b

≥1.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点.