江苏省2019-2020届高三模拟考试数学试卷(含答案)

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江苏省南京市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

江苏省南京市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1 ()1xxef xe+=-（其中e是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x∈R且0x≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x xxx xxe eef x f xe ee----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 3．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ，则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98，即有a 4+a 7=94，即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1．故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 7．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（） A ．33i - B ．33i + C ．13i + D ．13i -【答案】D 【解析】【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.8．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（） A． B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h，则2O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =.故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 10．231+=-ii （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.11．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=L .故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题. 12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年江苏省高三模拟考试数学试卷

高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．圆锥侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{－1，0，2，3}，则A ∩B ＝________．2. 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．6. 抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________．7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．8. 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．9. 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 10. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．11. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n}也为公差为d 的等差数列，则d ＝________．12. 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1x ＋4y，则x ＋y 的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则b ＋c a的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.(1) 求cos B 的值；(2) 若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.(1) 求证：BC ⊥平面VCD ； (2) 求证：AD ∥MN.17. (本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A ，B ，C ，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D ，规划要求楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值；(2) 当楼宇D 与楼宇B ，C 间距离相等时，拟在楼宇A ，B 间建休息亭E ，在休息亭E 和楼宇A ，D 间分别铺设鹅卵石路EA 和防腐木路ED ，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a ，2a(单位：元/千米，a 为常数)．记∠BDE ＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程； (3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k′.求证：k·k′为定值．19. (本小题满分16分)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64，数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 1b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围；(3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m .使得T m ＝2 019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a ln x －bx(a ，b ∈R )．(1) 若a ＝1，b ＝1，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2) 若a ＝1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(3) 若b ＝1，已知函数y ＝f (x )在其定义域内有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2.不等式a <(1－m )x 1＋mx 2(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象在x ＝5π12处的切线方程．22. (本小题满分10分)已知定点A(－2，0)，点B 是圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程.23. (本小题满分10分)在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点． (1) 求直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1DC 1A 1的余弦值．24. (本小题满分10分)已知x ，y 为整数，且x>y>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，n 为正整数，cos θ＝x 2－y 2x 2＋y 2，sin θ＝2xyx 2＋y 2，记A n ＝(x 2＋y 2)n cos nθ，B n ＝(x 2＋y 2)n sin nθ.(1) 试用x ，y 分别表示A 1，B 1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n ，A n 均为整数．2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1. {0，2}2. {x|x ≤2}3. 154. 85. 3π36. 657. 128. (2，3)9. －78 10. 13 11. 12 12. 313. [－2，2] 14. ⎣⎡⎭⎫－16，＋∞ 15. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，(1分)且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)则3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A ，(5分) 又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.(9分)因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝c ＝2，(10分) 又S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223＝22，解得a ＝3.(12分)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b ＝3.(14分)故边b 的值为3.16. (1) 在四棱锥V ABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分)因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分) 又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，(8分) 又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC ，(11分)又平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB ＝AC ＝BC ＝2，(1分)因为楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，所以∠BDC ＝120°，(2分)在△BDC 中，因为BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD·DC·cos ∠BDC ，(3分)所以22＝BD 2＋CD 2－2BD·CD·cos 120o ＝BD 2＋CD 2＋BD·CD ≥2BD·CD ＋BD·CD ＝3BD·CD ，则BD·CD ≤43，(4分)当且仅当BD ＝CD 时等号成立，此时∠DBC ＝∠DCB ＝30°，BD ＝CD ＝1cos 30°＝233.区域最大面积S ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×2×2×sin 60°＋12BD·CD·sin 120°＝433(平方千米)．(7分)(或者：因为直角三角形△ABD ，△ACD 全等，区域最大面积S ＝S △ABD ＋S △ACD ＝2S △ABD ＝2×12AB·BD ＝433(平方千米)．(7分))(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y 元，在Rt △BDE 中，由(1)知，∠BDE ＝θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，(8分) 则DE ＝233cos θ，BE ＝233tan θ，AE ＝AB －BE ＝2－233tan θ，(9分)所以y ＝2a·ED ＋a·AE ＝2a ⎝⎛⎭⎫233cos θ＋a·⎝⎛⎭⎫2－233tan θ＝23a 3⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋2a ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，令f′(θ)＝－1＋2sin θcos 2θ＝0，解得θ＝π6∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(11分) 当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝π6时，f(θ)取最小值，此时y min ＝4a(元)．(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值为433平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a 元．(14分) 18. (1)由长轴长2a ＝4，准线间距离2×a 2c ＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分) 则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.①(4分)(2) 若直线l 的斜率不存在，则EF ＝6， △AEF 的面积S ＝12AD·EF ＝362不合题意；(5分)若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，②代入①得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，③因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则x 1，2＝4k 2±223k 2＋22（1＋2k 2），④(6分)EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x1－x 2|＝1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2.(7分)点A 到直线l 的距离d 为3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，(9分)解得k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(10分) (3)设直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得点N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）.(12分)所以直线QD 的斜率为k′＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝ k ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分)由(2)中③得，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则k′＝－56k，所以k·k′＝－56为定值．(16分)19. (1) 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1，(2分)当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，① a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2，② 由①－②得，a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2)不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1，因为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立；(5分)当λ>0时，则不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1λ，设f(n)＝(1－12)(1－14)…(1－12n )2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12…⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋1·2n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以1λ>f(n)max ＝f(1)＝32，则0<λ<233，综上λ<233.(8分)(3) 在数列{c n }中，从b 1至b k (含b k 项)的所有项和是：(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k －1)×2＝k （k ＋1）2＋2k ＋1－4.(10分)当k ＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，当k ＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分)所以当m ＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时，T m ＝2 019. 即存在m ＝996，使得T m ＝2 019.(16分) 20. 当a ＝1，b ＝1时，f(x)＝ln x －x ，(1分) 则f′(x)＝1x －1，则f′(1)＝11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，则所求切线方程为y ＝－1.(4分)(2) 当a ＝1时，f(x)＝ln x －bx ，则f′(x )＝1x －b ＝1－bx x，(5分)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，①若b ≤0，则f′(x)>0恒成立，则函数f(x)的增区间为(0，＋∞)；(6分) ②若b>0，则由f′(x)＝0，得x ＝1b，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1b 时，f′(x)>0，则函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ；(7分) 当x ∈⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞时，f′(x)<0，则函数f(x)单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞.(8分) 综上，当b ≤0时，函数f(x)单调递增，增区间为(0，＋∞)；当b>0时，函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (3) 因为x 1，x 2分别是方程a ln x －x ＝0的两个根，即a ln x 1＝x 1，a ln x 2＝x 2. 两式相减a(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1，则a ＝x 2－x 1ln x 2x 1，(9分)则不等式a<(1－m)x 1＋mx 2(m>0)，可变为x 2－x 1ln x 2x 1<(1－m)x 1＋mx 2，两边同时除以x 1得，x 2x 1－1ln x 2x 1<1－m ＋mx 2x 1，(10分)令t ＝x 2x 1，则t －1ln t <1－m ＋mt 在t ∈(1，＋∞)上恒成立．因为1－m ＋mt>0，ln t>0，所以ln t －t －11－m ＋mt>0在t ∈(1，＋∞)上恒成立，(11分)令k(t)＝ln t －t －11－m ＋mt ，则k′(t)＝（t －1）[m 2t －（m －1）2]t （1－m ＋mt ）2＝m 2（t －1）⎣⎡⎦⎤t －（m －1）2m 2t （1－m ＋mt ）2，①当（m －1）2m 2≤1，即m ≥12时，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立，则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立；(13分) ②当（1－m ）2m 2>1，即0<m<12时，当t ∈⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2时，k′(t)<0，则k(x)在⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2上单调递减，则k(x)<k(1)＝0，不符合题意．(15分) 综上，m ≥12.(16分)21. 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以y′＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，(4分) 所以函数图象在x ＝5π12处的切线斜率k ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝－6.(6分) 当x ＝5π12时，y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝0，(7分) 所以所求切线方程为y －0＝－6⎝⎛⎭⎫x －5π12，即y ＝－6x ＋5π2.(10分)22. 设点M(x ，y)，点B(x 0，y 0)．因为M 为AB 的中点，所以x ＝x 0－22，y ＝y 0＋02，(4分) 所以x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.(6分)将点B(x 0，y 0)代入圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0得(2x －2)2＋4y 2＝4，化简得(x －1)2＋y 2＝1. 即点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)23. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，有AB ⊥AC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，故可以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分) 因为AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)．所以DC 1→＝(－1，2，3)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面A 1B 1D 的法向量，因为A 1B 1→＝(2，0，0)，B 1D →＝(－1，2，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，－x 1＋2y 1－3z 1＝0，令y 1＝3，则x 1＝0，z 1＝2，所以平面A 1B 1D 的一个法向量为n 1＝(0，3，2)．(3分) 设直线DC 1与平面A 1B 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos DC 1→，n 1|＝1213×14＝618291，所以直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为618291.(5分) (2) 由(1)知DC 1→＝(－1，2，3)，B 1C 1→＝(－2，4，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1DC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DC 1→·n 2＝0，B 1C 1→·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2y 2＋3z 2＝0，－2x 2＋4y 2＝0，令x 2＝2，则y 2＝1，z 2＝0，所以平面B 1DC 1的一个法向量为n 2＝(2，1，0)．(7分) 同理可以求得平面A 1DC 1的一个法向量n 3＝(3，0，1)，所以cos n 2，n 3＝610×5＝325，(9分) 由图可知二面角B 1DC 1A 1的余弦值为325.(10分)24. (1) A1＝(x2＋y2)cosθ＝(x2＋y2)·x2－y2x2＋y2＝x2－y2，(1分)B1＝(x2＋y2)sinθ＝(x2＋y2)·2xyx2＋y2＝2xy.(2分)(2) ①当n＝1时，由(1)得A1＝x2－y2，B1＝2xy.因为x，y为整数，所以A1，B1均为整数，所以结论成立；(4分)②当n＝k(k≥2，k∈N*)时，假设A k，B k均为整数，则当n＝k＋1时，A k＋1＝(x2＋y2)k＋1cos (k＋1)θ＝(x2＋y2)(x2＋y2)k(cos kθcos θ－sin kθsin θ)＝(x2＋y2)cos θ·(x2＋y2)k cos kθ－(x2＋y2)k sin kθ·(x2＋y2)sin θ＝A1·A k－B1·B k.(9分)因为A1，B1，均为整数，所以A k＋1也为整数，即当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②得，对一切正整数n，A n均为整数．(10分)。

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（）A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．2．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（）A ．13± B ．3±C ．±1D ．±【答案】B 【解析】【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-，由于点A 是BC 的中点，则212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得32m =±，因此，直线l 的斜率为122m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，则3233AD AM AD ===，3PM ∴==，1312P ABC V -∴==，设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，则1443P ABC O ABC V V --==⨯，解得：12r =；设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ，则MN PM R =-或R PM -，AN R =，在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，2213R R ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，解得R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】【分析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E mm E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 6．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S = B ．6i …7SS = C ．6i >，7S S = D ．6i …，7S S = 【答案】A 【解析】【分析】依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r 11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c=u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为）A ．2B ．C D ．3【答案】A 【解析】【分析】由已知，圆心M=222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M =2bb c===，故1a =，所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.9．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（）A B ．C D ．35【答案】A【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可. 【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=，在111Rt A B C △中，221111111115,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=，在11AC D V 中，22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.10．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30B ．312C ．152D ．62【答案】B 【解析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：11121142162aa q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩，因此552(12)31212S -==-.故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.11．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】C 【解析】【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>；又当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥，故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭，综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C.故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.2．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 3．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21xy=>，故x y <时，1xy<不成立，当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立，综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件，故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C 【解析】【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 5．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（）A ．33B ．23C ．33D 73【答案】D 【解析】【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sinBCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x -⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 7．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（）A ．3B ．5C D 【答案】D 【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B 【解析】【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时，共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院，在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时，共有33A +122210C A =种不同分配方案；共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（） ABC ．2D【答案】C 【解析】【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 10．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝24m --②，y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：22211234m m ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2，故选D ．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题． 12．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，计算1192a=，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，则61112378112a⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a=，从而可得3241119296,1922422a a⎛⎫=⨯==⨯=⎪⎝⎭，故24962472a a-=-=.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99，则判断框中可以填（）A．1S≥B．2S>C．lg99S>D．lg98S≥【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i=，lg2S=；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=；第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=；第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==，此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 4．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（）A ．3B ．32C ．4D ．2【答案】B【解析】【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以326BC ==所以AB ===故选：B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 5．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（） A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】C【解析】【分析】解出集合A ，再由含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个可得答案.【详解】解：由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，属于基础题.6．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2T x x -=可判断④. 【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎛⎝⎦ B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛⎝⎦ D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以0,5e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（）A ．35B ．45-C ．45D ．35- 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=，故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5f θ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-，故选：D【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．10．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.11．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题． 12．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=，故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E ∠=，即可得出结果.【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =，则11tan 33CE CA E A E∠===∴13πCA E ∠=.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知51=1244T -=，所以2T =，22πωπ==，又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+，故ϕ可取34π，所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年【答案】C【解析】【分析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A 3B ．2C 3D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =，又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ，过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===，故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（） A ．y x = B ．()sin f x x x = C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'V中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．3C．83D．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+u u u v u u u v u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】【分析】解出AP u u u r ，计算AP BC ⋅u u u r u u u r并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r λ（AB AC AB cosB AC cosC+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r 是关键．11．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考(二)模拟考试数学试卷及参考答案

2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考（二）模拟考试数学 Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填在答题纸对应的横线上．） 1．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 2．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ▲ ．4． D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为 ▲ ．5．已知函数()32f x x x =+，若()11log 30a f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭(0a >且1a ≠)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为 ▲ ． 7．在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则ac的值为 ▲ ． 8．将函数y ＝sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，恰好得到函数y ＝cos 2x 的图象，则φ的最小值为 ▲ ．9．已知直线l ：y ＝kx ＋3与圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0无公共点，AB 为圆C 的直径，若在直线l 上存在点P使得PA PB ⋅＝1，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ▲ ．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足AF ＝2BF ，则椭圆C 离心率的最小值是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 为函数y ＝2ln x 的图象与圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2的公共点，且它们在点P 处的切线重合．若二次函数y ＝f (x )的图象经过点O ，P ，M ，则y ＝f (x )的最大值为 ▲ ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为 ▲ ．13．已知函数f (x )＝2010x m x x x -+<⎧⎨-⎩，，，≥，其中m ＞0．若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，S 为△ABC 的面积．若不等式kS ≤3b 2+3c 2-a2恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题6题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．） 15．（本小题共14分）已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y )．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＜0的概率；（2）若x ，y ∈[1，6]，求满足a ·b ＜0的概率．16．（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b sin 2C ＝c sin B ．（1）求角C 的大小；（2）若sin π3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，求sin A 的值．17．（本小题共14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ECF ∠=，点E ，F 在直径AB 上，且π6ABC ∠=．（1）若EC =，求AE 的长；（2）设ACE α∠=，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．（本小题共16分）已知两个定点A (0，4)，B (0，1)，动点P 满足PA ＝2PB ．设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx －4．（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且∠COD ＝120°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点．19．（本小题共16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，点P在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．C AEF（第17题图）α20．（本小题共16分）已知函数f(x)＝a ln x－bx(a，b∈R)．（1）若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；（2）若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；（3）若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，不等式a＜(1－m)x1＋mx2(m＞0)恒成立，求实数m的取值范围．答案1. 答案：72. 答案：{0，2}3. 答案：164. 答案：125. 答案：()()0,13,+∞6. 【答案】 37. 2 8. π129. 答案：（- ，-1]∪[1，） 10. 【答案】11. 解析：设P(x 0，y 0)，则由y′＝2x ，得2x 0·k PM ＝－1⇒2x 0·y 0x 0－3＝－1⇒y 0＝－12x 0(x 0－3)．而二次函数y＝－12x(x －3)正好过O ，P ，M 三点，所以f(x)＝－12x(x －3)≤98.本题主要考查导数的几何意义、直线垂直、以及二次函数最值等内容．本题属于中等题．12. 【答案】－25313. 【答案】(0，1)14. 【答案】15. 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＜0得－2x ＋y ＜0，所以满足a ·b ＜0的基本事件为(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共27个，故满足a ·b ＜0的概率为2736＝34． (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.16. 解：(1) 由bsin 2C ＝csin B ，根据正弦定理，得2sin Bsin Ccos C ＝sin Csin B ，(2分)因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.(4分)又C∈(0，π)，所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，所以B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.(8分) 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3(12分)＝32×45－12×35＝43－310.17. （1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形，因为8AB =，6ABC π∠=，所以3BAC π∠=，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE 213164AE AE =+-，解得1AE =或3AE =，（2）因为2ACB π∠=，6ECF π∠=，所以ACE α∠=[0,]3π∈，所以362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，在ACF ∆中由正弦定理得sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFA παα===∠-，所以CF =，在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC AC A AEC πα==∠+，所以sin()3CE α=+，若产生最大经济效益，则CEF ∆的面积ECF S D 最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++，因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα+≤≤.所以当=3πα时，ECF S D取最大值为18.（1）设点的坐标为由可得，，整理可得所以曲线的轨迹方程为 .（2）依题意，，且∠ °，则点到边的距离为即点到直线的距离，解得所以直线的斜率为 .（3）依题意，，则，都在以为直径的圆上是直线上的动点，设则圆的圆心为，且经过坐标原点即圆的方程为，又因为在曲线上由，可得即直线的方程为由且可得，解得所以直线是过定点 .19.(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线AP 的方程为l AP ：y ＝k (x ＋2)，－12＜k ＜0，所以C (0,2k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k21＋4k 2，故y P ＝k (x P ＋2)＝4k1＋4k2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 设D (x 0,0)，因为B (0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k1＋4k 2－12－8k21＋4k 2，解得x 0＝2(1＋2k )1－2k ，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 1－2k ，0，所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝122(1＋2k )1－2k ＋24k 1＋4k 2－2k ＝4|k (1＋2k )|1＋4k2. 因为－12＜k ＜0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k1＋4k 2，令t ＝1－2k,1＜t ＜2，所以2k ＝1－t ，所以g (t )＝－2＋2t 1＋(1－t )2＝－2＋2tt 2－2t ＋2 ＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.20. 当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，则f ′(1)＝11－1＝0.又f (1)＝－1，则所求切线方程为y ＝－1. (2) 当a ＝1时，f (x )＝ln x －bx ，则f ′(x )＝1x －b ＝1－bxx，由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， ① 若b ≤0，则f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)； ②若b >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1b.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1b 时，f ′(x )>0，则函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1b，＋∞时，f ′(x )<0，则函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b，＋∞.综上，当b ≤0时，函数f (x )单调递增，增区间为(0，＋∞)；当b >0时，函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b，＋∞.(3) 因为x 1，x 2分别是方程a ln x －x ＝0的两个根，即a ln x 1＝x 1，a ln x 2＝x 2. 两式相减a (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1，则a ＝x 2－x 1ln x 2x 1，则不等式a <(1－m )x 1＋mx 2(m >0)，可变为x 2－x 1ln x 2x 1<(1－m )x 1＋mx 2，两边同时除以x 1得，x 2x 1－1ln x 2x 1<1－m ＋mx 2x 1.令t ＝x 2x 1，则t －1ln t<1－m ＋mt 在t ∈(1，＋∞)上恒成立．因为1－m ＋mt >0，ln t >0，所以ln t －t －11－m ＋mt >0在t ∈(1，＋∞)上恒成立，令k (t )＝ln t －t －11－m ＋mt，则k ′(t )＝(t －1)[m 2t －(m －1)2]t (1－m ＋mt )2＝m 2(t －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －(m －1)2m 2t (1－m ＋mt )2.① 当(m －1)2m 2≤1，即m ≥12时， k ′(t )>0在(1，＋∞)上恒成立，则k (t )在(1，＋∞)上单调递增，又k (1)＝0，则k (t )>0在(1，＋∞)上恒成立； ② 当(1－m )2m 2>1，即0<m <12时，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，(1－m )2m 2时，k ′(t )<0，则k (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，(1－m )2m 2上单调递减，则k (t )<k (1)＝0，不符合题意．综上，m ≥12.。

江苏省徐州市2019-2020学年度高三年级考前模拟检测数学试题含答案

徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考公式：圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{0,9}A =，{1,2,9}B =，则集合AB 中的元素个数为 ▲ ．2．复数(42i)(1i)z =-+(i 为虚数单位)的实部为 ▲ ．3．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5,89.5)的人数为 ▲ ．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为 ▲ ．5．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具),（第4题）39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5（第3题）（第17题）注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．已知(2,3)AB =，(1,)AC m =-，若AB BC ⊥，则实数m 的值为 ▲ ．8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为4π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知公差不为0的等差数列}{n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且124a a a ，，成等比数列，则7S 的值为 ▲ ．10．已知函数π()sin()6f x x =-，3(0,π)2x ∈，若函数()3()2g x f x =-的两个零点分别是12,x x ，则12()g x x +的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0,()() ,0,x x f x g x x +⎧=⎨<⎩≥ 则[(7)]g f -的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C :2220x y y +-=与圆2C :220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为a 的值为 ▲ ．13．若ABC △的内角满足123tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为 ▲ ． 14．若函数()|ln |f x x x a a =-+，(0,1]x ∈的最大值为0，则实数a 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：（1）11A C ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥．(第15题)BAC A 1B 1FC 1E如图，在ABC △中，6=AC ，D 为AB 边上一点，2==AD CD ，且46cos =∠BCD ．（1）求sin B 的值；（2）求ABC △的面积． 17．（本小题满分14分）如图，某市地铁施工队在自点M 向点N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形ABCD 所示区域)而被迫改道．原定的改道计划为：以M 点向南，N 点向西的交汇点O 为圆心，OM 为半径做圆弧MN ︵，将MN ︵作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自P 点起，改为直道PN ．已知3ON OM ==千米，点A 到OM ，ON 的距离分别为12千米和1千米，//AB ON ，且1AB =千米，记PON θ∠=. （1）求sin θ 的取值范围；（2）已知弧形线路MP ︵的造价与弧长成正比，比例系数为3a ，直道PN 的造价与长度的平方成正比，比例系数为a ，当θ为多少时，总造价最少？ACD（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，下顶点为B ，连结BF 并延长交椭圆于点P ，连结PA AB ，．记椭圆的离心率为e ．（1）若，21=e AB =C 的标准方程；（2）若直线P A 与PB 的斜率之积为16，求e 的值．19．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x x ax =+-，e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在[1,2]上单调递增，求a 的取值范围；（3）若存在正实数b ，使得对任意的(0,)x b ∈，总有2()1f x x <+，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足16a =，23a =-，312n n n n a a a a ++++=+，*n ∈N ．（1）若34a =，求4a ，5a 的值；（2）证明：对任意正实数m ，221{}n n a ma ++成等差数列；（3）若1n n a a +>(*n ∈N )，3433a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．（第18题）徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵32a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，点(1,1)M 在矩阵A 对应的变换作用下变为点(4,4)N ．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点π(4,)6A ，π(2,)2B ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为2,2x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点A 到直线l 的距离．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()|1|f x x =+．（1）解不等式()2f x >；（2）设()()()(1)g x f x f ax a =+>，若()g x 的最小值为12，求a 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为AA 1，A 1C 1，AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与EF 所成角的余弦值；（2）求二面角B 1－EG －F 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112a =，且21n n n a a a +=-，*n ∈N ．（1）求证：1112n naa +<≤；（2）求证：122C (21)2C (21)C (21)C (21)0kk nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-≤．（第22题）EA 1徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题1．4 2．6 3．15 4．2 5．11267．5 89．56 10．72- 11．2- 12．2± 13．3 14．12e-二、解答题15．（1）在中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以//EF AC ，…2分又在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，所以11//AC EF ，…………………………………………………………4分又因为11AC ⊄平面1B EF ，EF ⊂平面1B EF ，所以11//AC 平面1B EF ．…………………………………………………8分（2）因为侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11ABB A ，……………12分又因为1B E ⊂平面11ABB A ，所以1AC B E ⊥．…………………………14分16．（1）在ADC ∆中，由余弦定理得41222)6(222cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC ，……………………2分所以415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠ADC ADC ，……………………4分因为46cos =∠BCD ，BCD ∠是三角形BCD 的内角，所以410461cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠BCD BCD ，……………………6分所以)sin(sin BCD ADC B ∠-∠=∠BCD ADC BCD ADC ∠∠-∠∠=sin cos cos sin4104146415⨯-⨯= 810=． …………………………………………………………8分（2）在BCD ∆中，由正弦定理得BDCBCB CD BCD BD ∠=∠=∠sin sin sin ，…………10分 4104102sin sin =⨯=∠∠=B BCD CD BD ， ABC △628104152sin sin =⨯=∠∠=BBDCCD BC ， …………………………………12分所以215381062621sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆B BC AB S ABC ． …………14分 17．（1）以O 为原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)N ，1(,1)2A ，3(,2)2C ，所以直线CN 的方程为4(3)3y x =--，MN 所在圆的方程为229x y +=，联立224(3),39,y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ 解得21,2572,25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当PN 过点C 时，2172(,)2525P ，24sin 25θ=，所以sin θ的取值范围是24(0,)25．……………………………………………6分（2）MP 的长为π3()2θ-，设(3cos ,3sin )P θθ，则222(3cos 3)(3sin )1818cos PN θθθ=-+=-，……………………………8分所以总造价π()33()(1818cos )2f a a θθθ=⨯-+-9π(18918cos )2a θθ=+--，0(0,)θθ∈，024sin 25θ=，…10分所以()(18sin 9)f a θθ'=-，令()0f θ'=得，124sin (0,)θ=∈，所以πθ=，列表如下：所以当6θ=时，()f θ有极小值，也是最小值．答：当θ为π6时，总造价最少．……………………………………………………14分18．（1）设椭圆的焦距为2c ．由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪=+⎪⎩，，解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22143y x +=．…………………………………………4分（2）因为B ，F 在直线PB 上，所以直线PB 的方程为1y x c b+=-．解方程组222211y x c b y x a b ，，⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩得()2122221222++a c x a c b a c y a c ，，⎧=⎪⎨-⎪=⎩或220x y b ，，=⎧⎨=-⎩ 所以点P 的坐标为()22222222()++b a c a c a c a c，-．…………………………………8分因为直线PB 的斜率0()0PB b bk c c --==-，直线P A 的斜率()()2222222222220+22(+)+PA b a c b a c a c k a c a c a a c a a c ---==++()()()2222222(2(+))()()b ac b a c b a c a ac a c a a c a a c ---===+++，…………12分又因为直线P A 和PB 的斜率之积为16，所以()()()()()22221=()()()6b a c b a c a c a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -----⨯===+++，化简得226136(32)(23)0a ac c a c a c -+=--=，因为a c >，所以23a c =，所以椭圆的离心率23e =．……………………………………………………16分19．（1）当1a =时，2()e x f x x x =+-，()e 21x f x x '=+-，则(0)1f =，(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．………………2分（2）因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以()0f x '≥在[1,2]上恒成立，即()e 20x f x x a '=+-≥在[1,2]上恒成立，所以e 2xa x +≤在[1,2]上恒成立，………………………………………4分又因为函数e 2x y x =+在[1,2]上单调递增，所以e 2a +≤，当且仅当e 2a =+，1x =时，(1)0f '=，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞+．…………………………………………6分（3）不等式2()1f x x <+即e 1xax -<，①当1a ≤时，()e 0x g x a '=->在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上单调增，所以()(0)0g x g >=，不符合题意；…10分 ②当1a >时，由()0g x '=得ln x a =，列表如下：令b综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞．……………………………………16分20．（1）当1n =时，1423a a a a +=+，所以45a =-，当2n =时，2534a a a a +=+，所以52a =．……………………………2分（2）因为312n n n n a a a a ++++=+，当2n ≥时，121n n n n a a a a -+++=+，两式相加得，1312n n n a a a -+++=，…………………………………………6分即3111n n n n a a a a +++--=-，所以21{}n a -为等差数列，设公差为1d ，2{}n a 为等差数列，设公差为2d ．所以2+2232212+22232121()()()()n n n n n n n n a ma a ma a a m a a d md +++++-+=-+-=+，所以221{}n n a ma ++成等差数列．……………………………………………10分（3）设奇数项所成等差数列的公差为1d ，偶数项所成等差数列的公差为2d ．①当n 为奇数时，1162n n a d -=+，12132n n a d +-=-+，则12116322n n d d --+>-+，即1221()182()0n d d d d -++->，所以1212210,1()90,d d d d d d -⎧⎨⨯-++->⎩≥，故120d d -≥．……………………12分②当n 为偶数时，23(1)2n na d =-+-，1162n na d +=+，则213(1)622n nd d -+->+，即122()1820n d d d -++<，所以121220,2()1820,d d d d d -⎧⎨⨯-++<⎩≤，故1210,9,d d d -⎧⎨<-⎩≤．综上可得，129d d =<-． …………………………………………………14分又34121213233a a a a d d d +=+++=+=-，所以118d =-．所以当n 为奇数时，16(18)1592n n a n -=+⨯-=-；当n 为偶数时，3(1)(18)1592n n a n =-+-⨯-=-．故数列{}n a 的通项公式为159n a n =-，*n ∈N ．…………………………16分徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．（1）由条件知，31342124a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以34,24,a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩…5分（2）由（1）知，3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，矩阵A 的特征多项式为31()(3)(2)2(1)(4)22f λλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，解得A 的特征值为1和4．……………………………………10分B ．（1）在OAB △中，π(4,)6A ，π(2,)B ，由余弦定理，得AB =． (5)分（2）直线l 240y-+=，点A 的直角坐标为，所以点A 到直线l=．…………………10分 C ．（1）不等式()2f x >即|1|2x +>，则12x +>或12x +<-，解得1x >或3x <-，所以不等式()2f x >的解集为(,3)(1,)-∞-+∞． …………………………4分（2）(1)2, 1,1()|1||1|(1),1,1(1)2, .a x x g x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+-<-⎪⎪=+++=---⎨⎪⎪++>-⎪⎩≤≤由1a >可知，函数()g x 在1(,)a -∞-上单调减，在1(,)a-+∞上单调增，所以()g x 的最小值为111()12g a a -=-=，解得2a =．……………………10分22．（1）取AC 的中点O ，连接FO ，BO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，FO ⊥平面ABC ，BO⊥以{,,}OA OB OF 为基底建立空间直角坐标系O xyz -则(100)A ，，，(00)B ，(101)E ，，，(002)F ，，1(030)B ，，，1(102)C -，，，所以(101)EF =-，，，1(12)BC =--，，所以1113cos =4||||EF BC EF BC EF BC 〈〉=，，所以异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值为34；………………4分（2）因为G 为AB 的中点，所以1(0)2G ，，则(101)EF =-，，，1(1)2EG =--设平面EFG 的法向量为1111()n x y z =，，，平面1EGB 的法向量为2222()n x y z =，，，则1100n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以111101022x z x y z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11z =，得1(131)n =，，，同理2(310)n =，，所以12121215cos ,5||||n n n n n n 〈〉==，所以二面角的大小与向量12n n ，所成的角相等或互补，由图形知，二面角1B EG F --．………………10分 23．（1）因为21n n n a a a +=-，即11n n na a a +=-．要证1112n naa +<≤，只需证102n a <≤． ………………………………………… 2分用数学归纳法证明：当1n =时，112a =，命题成立；假设当n k =(1k ≥，*k ∈N )时命题成立，即102k a <≤，则当1n k =+时，有()2211124k k k k a a a a +=-=--+，由于102k a <≤，所以1104k a +<≤，显然有1102k a +<≤，所以当1n k =+时，命题也成立．所以对任意*n ∈N ，都有102n a <≤成立，即1112n naa +<≤得证． …………4分（2）因为11A C C !k kk n nn k k n k --==， ……………………………………………………6分所以111C (21)(21)C (21)k k k k n n n n n k a a n a ----=--，因此122C (21)2C (21)C (21)C (21)kk nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-()1(21)2n n n a n a -=-⋅．由（1）知，102n a <≤，所以()1(21)20n n n a n a --⋅≤，得证．……………10分。

江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-，则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.2．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<．故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 3．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π．故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A．210B．2613C．1313D．1310【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为118242642213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（）A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】【分析】直接将1zi i=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】解：将1zi i=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+z =故选：A 【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.8．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-；当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】【分析】【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

【20套精选试卷合集】江苏省扬州市梅岭中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

12 图1
yt
x 46
图2
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
已知等差数列an 满足 a1 a2 a2 a3 an an1 2nn 1 n N .
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an 2n1
的前
n
项和
S
n
.
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的一个焦点为 F 3,0 ，其左顶点
A 在圆 O :
x2
y2
12 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）直线 l : x my 3m 0交椭圆 C 于 M , N 两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1（点 N1 与
点 M 不重合），且直线 N1M 与 x 轴的交于点 P ，试问 PMN 的面积是否存在最大值？若存
3
度后所得的函数图象过点 P(0,1) ，则 f (x) sin(x ) （）
（A）在区间[ , ] 上单调递减 63
（B）在区间[ , ] 上单调递增 63
（C）在区间[ , ] 上单调递减 36
（D）在区间[ , ] 上单调递增 36
（10）已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），
若 AF 3FB ，则直线 l 的斜率为（）
（A） 2
（B） 1 2
（C） 3 2
（D） 3
（11）三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA1 AB AC 1 ， AB AC ， N 是 BC 的中点，
点 P 在 A1B1 上，且满足 A1P A1B1 ，直线 PN 与平面 ABC所成角的正切值取最大值时的

江苏省南通市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（）A B C D 【答案】D 【解析】【分析】先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 【详解】2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||5z =. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）． A ．440x y --= B ．440x y +-= C ．440x y ++= D ．440x y -+=【答案】A 【解析】过圆222x y r +=外一点(,)m n ，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为20mx ny r +-=，故选A ．3．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r ，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r+=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） A ．3B ．3 C ．155D ．105【答案】C 【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ，得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=， 111315cos 5DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为15.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.8．设全集U=R ，集合2{|340}A x x x =-->，则U A =ð（） A ．{x|-1 <x<4} B ．{x|-4<x<1} C ．{x|-1≤x≤4} D ．{x|-4≤x≤1}【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U A ð 【详解】由()()234410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U {|14}x x A =-≤≤ð. 故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.9．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（） A ．235B ．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.10．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．11．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（）A ．33B ．23C ．33D 73【答案】D 【解析】【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则3BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 12．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（）A ．BC ．6D ．【答案】D 【解析】【分析】先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省苏北三市高三模拟考试数学模拟试卷(有答案)

高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |0<x ≤2}，则A ∩B ＝Ｗ.2. 已知复数z ＝(2－i)2(i 是虚数单位)，则z 的模为Ｗ.3. 已知一组样本数据5，4，x ，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为Ｗ.4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为Ｗ.I ←1While I <8 I ←I ＋2 S ←2I ＋3 End While Print S (第4题)5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a ，再从剩余的两个数中任取一个数记为b ，则“a b是整数”的概率为Ｗ.6. 若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则实数p 的值为Ｗ.7. 在等差数列{a n }中，若a 5＝12，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为Ｗ.8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为Ｗ. 9. 已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为Ｗ.10. 已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1a，则b 的最大值为Ｗ.11. 将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为Ｗ.12. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为Ｗ.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为Ｗ.14. 已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为Ｗ. 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC 中，sin A ＝23，A ∈(π2，π).(1) 求sin 2A 的值；(2) 若sin B ＝13，求cos C 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是B 1C 1，AB ，AA 1的中点. (1) 求证：EF ∥平面A 1BD ；(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.17. (本小题满分14分)如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC 所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC ＝π6，AB ＝2 km.(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2，求道路BC 的长度；(2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2，新建道路BC 成本为10万元/km.设∠ABC ＝θ(0<θ≤2π3)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M (m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q .(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)ln x(a∈R).(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；(2) 若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3) 若函数f(x)存在两个极值点，求实数a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q na n ＋1)，且a n ＋1＋a n≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋qn －1a n .(1) 若q ＝1，求T 2 019的值；(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，请说明理由.高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0123，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018，求A －1B .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，设过点A (3，0)的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率.C. (选修45：不等式选讲) 已知函数f (x )＝|x －1|.(1) 解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2) 若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f (b a).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在三棱锥DABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠CAB ＝90°，且AC ＝AD ＝1，AB ＝2，E 为BD 的中点.(1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角ACEB 的余弦值.23. 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，n ∈N *.(1) 用数学归纳法证明：a n ∈(0，12)；(2) 令b n ＝12－a n ，求证：高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 24. 215. 136. 47. 1528. 8 39. (0，4) 10. 13 11.3π2 12. －1 13. －6 14. 37415. 解：(1) 由sin A ＝23，A ∈(π2，π)，则cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－（23）2＝－53，(2分)所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×23×(－53)＝－459.(6分)(2) 由A ∈(π2，π)，则B 为锐角.又sin B ＝13，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－（13）2＝223，(8分)所以cos C ＝－cos (A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )(12分) ＝－(－53×223－23×13)＝210＋29.(14分) 16. 证明：(1) 因为E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，所以EF ∥A 1B .(3分) 因为EF ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1BD .(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1D . (8分) 因为A 1B 1＝A 1C 1，且D 是B 1C 1的中点，所以A 1D ⊥B 1C 1.(10分)因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，B 1C 1，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(12分) 因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C . (14分)17. 解：(1) 在△ABC 中，已知∠BAC ＝π6，AB ＝2 km ，所以△ABC 的面积S ＝12×AB ×AC ×sin π6＝1，解得AC ＝2.(2分)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2×AB ×AC ×cos π6＝22＋22－2×2×2×cos π6＝8－43，(4分)所以BC ＝8－43＝6－2(km).(5分)(2) 由∠ABC ＝θ，则∠ACB ＝π－(θ＋π6)， 0<θ≤2π3.在△ABC 中，∠BAC ＝π6，AB ＝2 km ，由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ＝ABsin C ，所以BC ＝1sin （θ＋π6），AC ＝2sin θsin （θ＋π6）.(7分)记该计划所需费用为F (θ)，则F (θ)＝12×2sin θsin （θ＋π6）×2×12×10＋1sin （θ＋π6）×10＝10（sin θ＋1）sin （θ＋π6）(0<θ≤2π3).(10分) 令f (θ)＝sin θ＋132sin θ＋12cos θ，则f ′(θ)＝sin （θ－π3）＋12（32sin θ＋12cos θ）2.(11分)由f ′(θ)＝0，得θ＝π6.所以当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)<0，f (θ)单调递减；当θ∈(π6，2π3)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增.(12分)所以当θ＝π6时，该计划所需费用最小.答：当θ＝π6时，该计划所需总费用最小.(14分)18. 解：(1) 设椭圆的右焦点为(c ，0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c－c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －m ). 又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P (2，k (2－m )).(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2，得x 2＋2k 2(x －m )2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0，所以x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k (2k 2m 2k 2＋1－m )＝－km2k 2＋1，(8分)所以k OD ＝－12k ，从而直线OD 的方程为y ＝－12k x ，所以点Q 的坐标为Q (2，－1k)，(10分)所以以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋[y －k (2－m )](y ＋1k)＝0，即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2－[k (2－m )－1k]y ＝0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－4x ＋2＋m ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2±2－m ，y ＝0.所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2－m ，0).(16分)19. 解：(1) 因为f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，所以当a ＝1时，f (x )＝(x －1)ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1－1x.(1分)当x ＝1时，f (1)＝0，f ′(1)＝0，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程为y ＝0.(3分) (2) 因为对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，所以当ln x ＝0，即x ＝1时，f (x )＝0，a ∈R ；(5分) 当ln x >0，即x >1时，x ≥a 恒成立，所以a ≤1； (6分) 当ln x <0，即x <1时，x ≤a 恒成立，所以a ≥1.综上可知，对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，a ＝1. (7分) (3) 因为函数f (x )存在两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －a x＋1存在两个不相等的零点.设g (x )＝ln x －a x＋1，则g ′(x )＝1x ＋a x2＝x ＋ax2.(8分)当a ≥0时，g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，至多一个零点.(9分) 当a <0时，x ∈(0，－a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈(－a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝－a 时，g (x )min ＝g (－a )＝ln(－a )＋2. (11分)因为g (x )存在两个不相等的零点，所以ln(－a )＋2<0，解得－e －2<a <0. 因为－e －2<a <0，所以－1a>e 2>－a .因为g (－1a )＝ln(－1a)＋a 2＋1>0，所以g (x )在(－a ，＋∞)上存在一个零点.(13分)因为－e －2<a <0，所以a 2<－a .又g (a 2)＝ln a 2－1a ＋1＝2ln(－a )＋1－a ＋1，设t ＝－a ，则y ＝2ln t ＋1t ＋1(0<t <1e2).因为y ′＝2t －1t 2<0，所以y ＝2ln t ＋1t ＋1(0<t <1e 2)单调递减.又函数图象是连续的，所以y >2ln 1e 2＋e 2＋1＝e 2－3>0，所以g (a 2)＝ln a 2－1a＋1>0，所以在(0，－a )上存在一个零点.综上可知，－e －2<a <0.(16分)20. 解：(1) 当q ＝1时，由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q na n ＋1)，得(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1.(2分) 又a 1＝2，所以T 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1 011.(4分) (2) ①由a n (q na n －1)＋2q na n a n ＋1＝a n ＋1(1－q na n ＋1)，得q n(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n . 又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1qn .(6分)因为T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋qn －1a n ，所以qT n ＝qa 1＋q 2a 2＋q 3a 3＋…＋q na n ，所以(1＋q )T n ＝a 1＋q (a 1＋a 2)＋q 2(a 2＋a 3)＋q 3(a 3＋a 4)＋…＋qn －1(a n －1＋a n )＋q na n ，b n＝(1＋q)T n－q n a n＝a1＋1＋1＋…＋1＋q n a n－q n a n＝a1＋n－1＝n＋1，所以b n＝n＋1.(10分)②由题意，得c n＝2b n－1－1＝2n－1，n≥2.因为c1，c k－c1，c t－c k成等比数列，所以(c k－c1)2＝c1(c t－c k)，即(2k－2)2＝2t－2k， (12分)所以2t＝(2k)2－3·2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3·2k－2＋1 (*).由于c k－c1≠0，所以k≠1，即k≥2.当k＝2时，2t＝8，得t＝3.(14分)当k≥3时，由(*)得(2k－1)2－3·2k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3·2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解. 综上，k＝2，t＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10，(5分)所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－524 20.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(4分) 设过点A (3， 0)的直线l 的直角坐标方程为x ＝my ＋3，因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－3|1＋m2＝1，解得m ＝± 3.(8分)从而直线l 的斜率为±33.(10分) C. (1) 解：不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(4分)(2) 证明：要证f (ab )>|a |f (b a)，只要证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2. 而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. (10分)22. 解：因为DA ⊥平面ABC ，∠CAB ＝90°，所以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .因为AC ＝AD ＝1，AB ＝2，所以A (0，0，0)，C (1，0，0)，B (0，2，0)，D (0，0，1). 因为点E 为线段BD 的中点，所以E (0，1，12).(1) AE →＝(0，1，12)，BC →＝(1，－2，0)，所以cos 〈AE →，BC →〉＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝－254×5＝－45，所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45.(5分)(2) 设平面ACE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AC →＝(1，0，0)，AE →＝(0，1，12)，所以n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即x ＝0且y ＋12z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，z ＝－2，所以n 1＝(0，1，－2)是平面ACE 的一个法向量.设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，因为BC →＝(1，－2，0)，BE →＝(0，－1，12)，所以n 2·BC →＝0，n 2·BE →＝0，即x －2y ＝0且－y ＋12z ＝0，取y ＝1，得x ＝2，z ＝2，所以n 2＝(2，1，2)是平面BCE 的一个法向量.所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－35×9＝－55. (8分)所以二面角ACEB 的余弦值为－55. (10分) 23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝13∈(0，12)，结论显然成立；假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ∈(0，12)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－2a 2k ＋2a k ＝－2(a k －12)2＋12∈(0，12).综上，a n ∈(0，12).(4分)(2) 由(1)知，a n ∈(0，12)，所以b n ＝12－a n ∈(0，12).因为a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，所以12－a n ＋1＝12－(－2a 2n ＋2a n )＝2a 2n －2a n ＋12＝2(a n －12)2，即b n ＋1＝2b 2n .于是log 2b n ＋1＝2log 2b n ＋1，所以(log 2b n ＋1＋1)＝2(log 2b n ＋1)，故{log 2b n ＋1}构成以2为公比的等比数列，其首项为log 2b 1＋1＝log 216＋1＝log 213.于是log 2b n ＋1＝(log 213)·2n －1，从而log 2(2b n )＝(log 213)·2n －1＝log 2(13)2n －1，所以2b n ＝(13)2n －1，即b n ＝（13）2n －12，于是1b n ＝2·32n －1.(8分)因为当i ＝1，2时，2i －1＝i ，当i ≥3时，2i －1＝(1＋1)i －1＝C 0i －1＋C 1i －1＋…＋C i －1i －1>C 0i －1＋C 1i －1＝i ，所以对∀i∈N*，有2i－1≥i，所以32i－1≥3i，所以1b i＝2·32i－1≥2·3i，从而＝1b1＋1b2＋…＋1b n≥2(31＋32＋…＋3n)＝2×3（1－3n）1－3＝3n＋1－3.(10分)。

江苏省淮阴中学2019-2020学年度高三阶段模拟考试试题数学答案

江苏省淮阴中学2019-2020学年度高三阶段模拟考试试题（周练习八）数学Ⅰ 2020.05(全卷满分160分, 考试时间120分钟)注意事项:1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.2. 试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 命题“∀x ≥ 2，x 2 ≥ 4”的否定是 ▲ ．2. 设a ，b 是两个非零向量，则 “ a → ・b → <0 ”是 “a → ，b →夹角为钝角”的 ▲ 条件. ( 填“ 充分不必要 ” 或 “必要不充分” 或 “充分必要” 或 “既不充分也不必要” ) 3. 某商场在今年元宵节的促销活动，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示. 已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为 ▲ ．4. 执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为22，那么输入的n 值等于 ▲ ．5. 已知ai1－i ＝－1+i ，其中i 为虚数单位，那么实数a ＝ ▲ ．6. 已知向量a 与向量b 的夹角为60°，|a |=|b |=1，则|a －b |＝ ▲ ．7. 在直三校柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=5，则V 的最大值 ▲ ．（第3题图）8. 等差数列{a n }满足: a 4+a 5+a 6＝9，则a 1+a 4+a 10＝ ▲ ．9. 若双曲线上存在四个点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 是正方形，则该双曲线的离心率的取值范围 ▲ ．10. 已知函数f (x ) = x 2＋ax ＋2 （a ∈R ），若关于x 的不等式f (x )＋f (1x)≥0对任意x >0都成立，则a 的取值范围为 ▲ ．11. 已知函数f (x )＝4x ln x －x 2＋3，g (x )＝x 2＋2ax －4，若对任意的x 1∈(0，2]，总存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)＋4x 1g (x 2)≥0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，且AF →・DE →＝4，AF →・BF →＝－1，则AC →・BD →＝ ▲ ．13. 平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2+y 2＝r 2(r >0)与直线 y ＝x －4相交于两点A ，B .若圆O 上存在点P (可与点 A ，B 重合)，使得P A 2+PB 2=4，则r 的取值范围为 ▲ ．14. 若存在正整数m 使得关于x 的方程n sin x +(1＋mn )cos x =2＋2m －n 在(0，π)上有两个不等实根，则正整数n 的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在直三校柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AC ，A 1B 1的中点，且AB =BC. (1) 求证: 平面BMN ⊥平面ACC 1A 1 (2) 求证: MN ∥平面BCC 1B 1（第12题）已知△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知cos A ＝34，B ＝2A ，b ＝3．（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分∠BAC ，求△ABM 的面积．17．（本小题满分15分）一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽2m .，为了美化环境，现要在拐角位置布置一处盆景. 盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边OA ，OB 分别位于走廊拐角的外侧. 为了不影响走廊中正常的人流走动. 要求拐角最窄处CH 不得小于32m .(1) 若OA =OB =1m ，试判断是否符合设计要求；(2) 若O1=2OB ，且拐角最处恰好为32m 时，求盆景所在区域的面积；(3) 试判断对满足AB ＝52m 的任意位置的A ，B ，是否均符合设计要求? 请说明理由.18．（本小题满分15分）已知圆A 经过点P (-5，0)和Q 点(3，0)，且在y 轴上截得的线段长度为215. (1) 求圆A 的标准方程；(2) 过点B (1，0)作直线，与圆A 交于点C 、D ，连接AC 、AD ，过点B 作AC 的平行线，交AD 于点E ，求证: 点E 的轨迹是椭圆，并求出该椭圆方程；(3) 设直线l 是点E 的轨迹的任意一条切线，则x 轴是否存在一对关于原点对称的点F 、G ，使得点F 、G 道直线l 的距离之积为定值. 若存在，请求出这对点; 若不存在，请说明理由.首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且T n ＝4－(S n －P )3,其中P 为常数. (1) 求P 的值;(2) 求证: 数列{a n }为等比数列;(3) 设{1a n }的前n 项和A n ，证明: n 2－13＜A 1A 2＋A 2A 3＋…＋A n A n +1＜n2 .20．（本小题满分16分）定义可导函数y = f (x )在x 处的弹性函数为f ′(x ) ・xf (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数. 在区间D 上，若函数f (x )的弹性函数值大于1，则称f (x )在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作f (x )的弹性区间.(1) 若r (x )=e x－x ＋1，求r (x )的弹性函数及弹性函数的零点； (2) 对于函数f (x ) = (x －1) e x＋l nx －tx (其中e 为自然对数的底数) (ⅰ) 当t =0时，求f (x )的弹性区间D ；(ⅱ) 若f (x ) >1在(i)中的区间D 上恒成立，求实数的取值范围.江苏省淮阴中学2019-2020学年度高三阶段模拟考试试题数学Ⅱ 2020．05(全卷满分40分, 考试时间30分钟)注意事项:1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.2. 试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效.21．【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换（本题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m －13 2，其中阻m ，n ∈R,若点P (1，2)在矩降A 的变换下得到的点P 1(0，5)(1) 求实数m ，n 的值； (2) 求矩阵A 的逆矩阵.B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2t ＋1x ＝t (其中t 为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同单位长度，建立板坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=22cos ⎝⎛⎭⎫sin θ＋π4. 求直线l 被曲线C 截得得弦长.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）共享单车的出现大大方便了人们的出行.已知某城市有A ，B ，C ，D ，E 五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同. (1) 求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；(2) 记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望. 23．（本小题满分10分）已知抛物线x 2=2Py (P >0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λP )(λ∈R )的动直线l 交抛物线于B ，C 两点.(1) 求证: MB →・MC →≥0，并求等号成立时的实数λ的值；(2) 当λ=2时,设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求DO +DA 的最大值.江苏省淮阴中学2019-2020学年度高三阶段模拟考试试题（周练习八）数学Ⅰ参考答案及讲评一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.填空题讲评：11. 已知函数f(x)＝4x ln x－x2＋3，g(x)＝x2＋2ax－4，若对任意的x1∈(0，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＋4x1g(x2)≥0成立，则实数a的取值范围是▲．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，且AF →・DE →＝4，AF →・BF →＝－1，则AC →・BD →＝ ▲ ．13. 平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2+y 2＝r 2(r >0)与直线y ＝x －4相交于两点A ，B .若圆O 上存在点P (可与点A ，B 重合)，使得P A 2+PB 2=4，则r 的取值范围为 ▲ ．（第12题）14. 若存在正整数m使得关于x的方程n sin x+(1＋mn)cos x=2＋2m－n在(0，π)上有两个不等实根，则正整数n的最小值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15．（本小题满分14分）16．（本小题满分14分）20．（本小题满分16分）江苏省淮阴中学2019-2020学年度高三阶段模拟考试试题数学Ⅱ参考答案及评分标准A．选修4—2：矩阵与变换B．选修4—4：坐标系与参数方程【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）。

江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试数学试卷(PDF含解析)2020.5

江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试
参考答案
1．212．{1,2,4}3
．738
4．615．186．1422
=-y x 7．),2()1,(+∞--∞ 8．329．1或2510．2
11．【答案】9【解析】法一xy
z y x 21≥-
=+12．【答案】)
3,0(【解析】)sin(1cos sin )(2ϕωωω++=+=x a x x a x f (其中1cos 2+a a
ϕ，11
sin 2+a ϕ)
13．【答案】3
3,21(江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试
13．【答案】—3
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时，应写出文字说明、证明过程或是演算步骤
15、（本小题满足14分）
16、（本小题满足14分）
17、（本小题满足14分）
18、（本小题满足14分）
19、（本小题满足14分）
20、（本小题满足14分）
数学II卷（40分附加题）21、A【选修4-2矩阵与证明】
B【选修4-4坐标系与参数方程】
22、（本小题满足10分）
23、（本小题满足10分）。

江苏省苏州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．2．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．4．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（）A ．B ．4C ．2D ．-【答案】A 【解析】【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.5．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ；又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ；对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ；故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．考点：集合的运算．7．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8．设10(){2,0xx f x x -≥=<，则((2))f f -=（）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()111211422f f f ⎛⎫∴-===-= ⎪⎝⎭．故C 正确．考点：复合函数求值． 9．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系10．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+rrrrrr且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r则2b OE =r u u u r由1a b +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.11．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】【分析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 12．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+．故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考(二)模拟考试数学试卷及参考答案

B
π 3
3 ＝ 5，求
sin
A 的值．
17．（本小题共 14 分）
如图，有一直径为 8 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经
济价值是种植乙水果经济价值的转光源满足甲水果生长的需要，
5 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的
C处恰有一可旋
该光源照射范围是
ECF π，点 E，F 在直径 AB上，且 ABC π．
为 ▲．
5．已知函数 f x x 3 2x ，若 f 1 f log 1 3 0 ( a 0 且 a 1) ，则实数 a 的取值范围是
a
▲．
x2 y2 6．已知双曲线 C： a2 －b2＝ 1( a＞ 0， b＞ 0) 的离心率为 2，右焦点与抛物线
y2＝ 16x 的焦点重合，则双曲
线 C的顶点到渐近线的距离为
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2019 ～ 2020 学年度高三年级第一学期南通联考（二）模拟考试
数学Ⅰ
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填在答题纸对应的横线上．）
1．若 ( a＋ bi)(3 － 4i) ＝ 25 ( a， b∈ R，i 为虚数单位 ) ，则 a＋ b 的值为 ▲ ．
2．若集合 P＝ { － 1，0， 1， 2} ， Q＝ {0 ， 2， 3} ，则 P∩ Q＝ ▲ ．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150， 150， 400， 300 名学生．为了解学生的就业倾向，用
分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取
40 名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为
▲．
4．记函数 f x
4 3x x2 的定义域为 D．若在区间 [ － 5， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D的页

【20套精选试卷合集】江苏省南京市2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。

满分为150分，考试时间为120分钟。

考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。

考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知R 为实数集，集合{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B A Y（A ）{}2|≥x x （B ）{}3|->x x （C ）{}32|<≤x x （D ）R （2）已知22(1)a bi i+=+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则a b+=（A ）7- （B ）7 （C ）4- （D ）4（3）已知变量,x y 满足约束条件211,10x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（A ）3- （B ）0 （C ）1 （D ）3（4）若xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32，2x b =，x c 32log =，则当1x >时，,,a b c 的大小关系是（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<（5）在ABC ∆中，已知DC BC 3=，则AD =u u u r（A ）AC AB 3132+ （B ）AC AB 3132- （C ）1233AB AC +u u u r u u u r （D ）1233AB AC -u u ur u u u r（6）已知命题p ：函数11x y a+=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(1,2)-点；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧⌝ （C ）p q ⌝∧（D ）p q ∧⌝（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(∈x R,0>ω)的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只，，需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（A ）向左平移2π个单位长度（B ）向右平移2π个单位长度（C ）向左平移4π个单位长度（D ）向右平移4π个单位长度（9）在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==u u u r u u u r，3ABC S ∆=，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为（A ）2- （B ）2 （C ）4± （D ）2±（10）在递增的等比数列{}n a 中，已知134n a a +=，3264n a a -⋅=，且前n 项和为42n S =，则n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π （12）已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（A ）79 （B ）13 （C ）59 （D ）23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图2．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152 B ．512C ．512D ．512或512【答案】C 【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=，因为数列各项都是正数，所以12q +=，而34451a a a a q +===+，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q，代入即可得结果. 3．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】【分析】转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +„，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【详解】由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +„．设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x'=+>，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1h x h ==．所以min ()1a h x =„．故a 的取值范围是(,1]-∞．故选：B 【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-，下面考查方程1lna ae=-的解的个数，设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解，又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立，综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个，故选：C ．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.5．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题. 6．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（） A ．1 B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.7．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．8．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+【答案】C 【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--，故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.9．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加【答案】C 【解析】【分析】根据该厂每年产量未知可判断A 、B 、D 选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A 、B 、D 选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.11．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=，所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题12．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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高三年级第三次模拟考试(十八) 数学(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝1
2cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长.
圆锥的体积公式：V ＝1
3Sh ，其中S 为圆锥的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A ∩B ＝________.
2. 已知复数z ＝3＋4i
5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．
3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2
＝1，则其离心率为________.
4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________.
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________.
6. 不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4. 若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________.
7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 2，则S 12
S 8
＝________.
8. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π
3(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________.
9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a ＋2b 2＋4
b
的最小值为________.
10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f (3x )>f (x 2＋2)
的解集为________.
11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________.
12. 已知点P 在曲线C ：y ＝1
2x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直
的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________.
13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →
的
最小值为________.
14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝3
2ax 上方，则实数
a 的取值范围为________.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD. 求证：
(1) EF ∥平面ABC ； (2) CE ⊥AB.
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C
. (1) 求角A 的大小；
(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1
4，求cos C 的值.
某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．
(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；
(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为
A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；
(3) 如果A 1H →＝λA 1P →
，试求λ的取值范围.
已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －a ln x ，其中a ∈R.
(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f (x )的极小值不超过a
2
，求实数a 的最小值；
(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．
已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N *，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n
－1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立.
(1) 如果1a 1，1a 2，1
a 3成等差数列，求实数λ的值；
(2) 已知λ＝1.
①求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
②已知a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1＝1a 1，b 2＝1a 2，b 3＝1
a i
(i ∈N *)．求
证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 中的项．
高三年级第三次模拟考试(十八)
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤b c 0 1，求A 2.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，
y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)．以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上的两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝
⎛⎭⎫23，π
6，求直线l 被曲线C 截得的弦长.
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2.求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2
a ＋b
≥1.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点.
(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；
(2) 已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程.
23. (本小题满分10分)
已知数列{a n}，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N*恒成立．求证：
(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N*)；
(2) a n＋1>n n＋1(n∈N*).。

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